Aproximación al PERT en evaluación de programas desde las técnicas matemáticas de análisis de grafos

Abstract

La técnica de análisis de grafos, matemático-geométrica desde su origen, y muy escasamente utilizada en las Ciencias del Comportamiento, puede convertirse en un útil instrumento al servicio de muy variados ámbitos. Aquí se propone su aplicación a la confección de los PERT (Project Evaluation and Review Technique), que constituyen el eje vertebrador de la planificación y serie de tomas de decisiones en implementación y evaluación de programas de intervención. El rigor que le es inherente es una garantía básica que se halla al servicio de la eficacia y eficiencia del programa.

Full text

anales de psicología, 1993, 9(2), 213-226
- 213 -
Aproximación al PERT en evaluación de programas desde las
técnicas matemáticas de análisis de grafos
Pedro Sánchez Algarra
Universidad de Barcelona
Departamento de Estadística
Mª. Teresa Anguera Argilaga*
Universidad de Barcelona
Deptº de Metodología de las CC. del Comportamiento
Resumen: La técnica de análisis de grafos, ma-
temático-geométrica desde su origen, y muy es-
casamente utilizada en las Ciencias del Compor-
tamiento, puede convertirse en un útil instrumento al
servicio de muy variados ámbitos.
Aquí se propone su aplicación a la confección de
los PERT (Project Evaluation and Review Techni-
que), que constituyen el eje vertebrador de la pla-
nificación y serie de tomas de decisiones en im-
plementación y evaluación de programas de inter-
vención. El rigor que le es inherente es una garantía
básica que se halla al servicio de la eficacia y
eficiencia del programa.
Palabras-clave: Análisis de grafos, PERT, tempora-
lización, evaluación de programas.
Title: PERT Proposal in program evaluation
through graph mathematic technique.
Abstract: Graph analysis was always of the
mathematical-geometric nature. It has not been used
on Behavioral Sciences, with few wxcwptions, and
it can become of useful instrument in several fields.
In this article it is proposed as application to
PERT (Project Evaluation and Review Technique).
The PERT graphics are the main axes of planning in
program evaluation; also, they are relevant to take
decisions during the process of program im-
plementation and program evaluation. Its characte-
ristic rigor constitues a basic guarantee for efficacy
and effectiveness of program.
Keywords: Graph analysis, PERT, timing, program
evaluation.
1. Introducción
El análisis de grafos ha experimentado un rápido
desarrollo en los últimos años, y ha llegado a
convertirse en un importante instrumento
estadístico-matemático para ámbitos tan diversos
como la Investigación Operativa, la Psicología, la
Genética, la Lingüística, la Sociología, etc. En
Psicología existe ya una cierta tradición en la
utilización de la teoría de grafos en los análisis de
textos, tanto en México (Heredia, 1983; Huerta,
1982; Salazar, 1979; Solano, 1983) como en
España (Camps, 1987; Boada, 1992).
La teoría de grafos funciona como modelo
matemático en cualquier sistema que permita una
relación binaria. Euler (1707-1782), considerado
* Dirección para correspondencia: Mª Teresa Anguera
Argilaga. Deptº de Metodología de las Ciencias del
Comportamiento. Facultad de Psicología. Universidad de
Barcelona. Zona Universitaria de Pedralbes. 08028 Barcelona
(España).
 Copyright 1993 Secretariado de Publicaciones e Intercambio
Científico, Universidad de Murcia, Murcia (España). ISSN:
0212-9728. Artículo recibido: 14-10-93, aceptado: 22-11-93.
como el padre de la teoría de grafos, ya la utilizó
para tratar problemas de carácter topológico que
en aquel momento resultaban irresolubles, como
el puente de Königsberg. Ya en el siglo XIX,
Kirchhoff (1847) desarrolló la que él denominaba
teoría de los árboles con el fin de resolver el
sistema de ecuaciones lineales que se planteaban
en los circuitos eléctricos mediante la vía
alternativa de los grafos. Pocos años después, y en
el ámbito de la química orgánica, Cayley (1857)
utilizó los grafos como único instrumento
matemático para el análisis de los isómeros. Pero
con igual éxito se iban extendiendo sus
aplicaciones a otras áreas del conocimiento, y así,
en Psicología, Lewin (1936), con la colaboración
de Festinger y Cartwright, propuso que el
"espacio vital" de un sujeto se representase por un
mapa planar, en el cual las regiones representasen
las distintas actividades realizadas por dicho
sujeto, los distintos entornos que le eran propios,
sus aficiones, etc., y mediante el análisis de dicho
grafo logró gran éxito en el estudio de las

214 P. Sánchez Algarra y M.T. Anguera Argilaga
anales de psicología, 1993, 9(2)
relaciones interpersonales. Igualmente, en el
ámbito de la probabilidad mediante cadenas de
Markov, Feller utilizaba grafos en el sentido de
que los distintos eventos se representaban
mediante puntos, y una línea dirigida de un punto
a otro indicaba una probabilidad positiva de
sucesión directa entre estos dos eventos; del
mismo modo, en el análisis numérico, los grafos
han permitido la inversión de matrices y al
cálculo de los "eigenvalues".
Pero la disciplina que en mayor medida ha
contribuido a un desarrollo de la teoría de grafos
ha sido, sin duda, la Sociología (Wilson, 1983),
en la que la modelización matemática de redes
sociales, en las últimas décadas, ha impulsado aún
más el desarrollo básico y las posibilidades de
aplicación de la teoría de grafos.
Se han considerado tres tipos básicos de
modelos: a) Modelos puros de muestreo para la
realización de inferencias de grafos de amplia
envergadura, b) modelos simples de transición
para grafos deformados aleatoriamente o por
circunstancias inciertas, y c) modelos estocásticos
simples para cambios no determinísticos en el
grafo. La especificación sistemática de cada uno
de ellos nos marcará la pauta para la delimitación
de su aplicabilidad y limitaciones en diferentes
situaciones, así como también para el surgimiento
de nuevos modelos más sofisticados.
2. Fundamento y notación
Un grafo (V,L) consiste en una serie no vacía
V de elementos denominados nodos (vértices,
puntos) y una subserie L de la clase de pares no
ordenados de distintos nodos. Los elementos de L
se denominan aristas (líneas, enlaces). Si la serie
V de nodos del grafo (V,L) se comprende en su
contexto, será simple referirnos al grafo L.
El número de elementos en V y L se llama,
respectivamente, el orden y tamaño en el grafo.
Así, la Figura 1 muestra un grafo de orden 16 y
tamaño 12. Si un grafo tiene un orden N, su
tamaño será al menos








2
N y será completo cuando su tamaño sea el
máximo.
Figura 1. Un grafo de orden 16 y tamaño 12.
Un grafo (V,L) se puede representar por su
matriz adyacente X, la cual se define por Xvv =
0 para v ∈
∈∈
∈ V y Xuv (= Xvu) igual a 1 ó a 0 según
que {u,v} pertenezca a L para u == v, u, v ∈
∈∈
∈ V.
Una arista {u,v} se dice que es incidente respecto
a u y a v; y de u y v se dice que son adyacentes si
{u,v} ∈
∈∈
∈ L.
El grado de un nodo v se define como el
número de aristas incidentes en él; es decir
Xuv
uv∈
∑
(1)
La distribución de grado de L viene dado
por las frecuencias F0, F1, .... FN-1 de nodos de
grados 0, 1, ..., N-1, respectivamente, donde N =
|V| es el orden del grafo. El grado de distribución
satisface 0 ≤
≤≤
≤ Fi ≤
≤≤
≤ N para i = 0, 1, ..., N-1 y
FN
i
i
N
=
=
−
∑
0
1
(2)
Es conveniente decir que L tiene una dis-
tribución de grado
01 1
01 1
FF F
NN
...( )−− (3)
Así, el grafo de la Figura 1 tiene una distri-
bución de grado 01 110 22 32 41.
Los nodos de grado 0 se denominan aislados.
El tamaño R = |L| de un grafo viene dado por la
mitad de la suma de los grados; es decir,
2
0
1
RXiF
uv
u
V
u
V
i
i
N
==
∈∈=
−
∑∑∑
(4)
Si Q es la suma de cuadrados de los grados:
∑∑∑ −
=∈∈
=






=1
0
2
2N
i
i
VuVu
uv FiXQ (5)
Y entonces la media µ y la varianza σ2 de los
grados viene dada por:

PERT en evaluación de programas mediante análisis de grafos 215
anales de psicología, 1993, 9(2)
µ = 2R/N σ2 = Q/N - 4R2/N2 (6)
Un subgrafo de un grafo (V,L) es un grafo
(V',L') en que V
′
⊆ V y L
′
⊆ L . Hay que tener
en cuenta que el hecho de que (V',L') sea un
grafo implica que L' tenga que ser una subserie
de la clase ℘2 (V
′
) de pares no ordenados de
nodos en V'.
Hay tres tipos diferentes de subgrafos:
a) Componentes. Dos nodos distintos u y v
en un grafo (V,L) están conectados si hay una
secuencia (v0, ..., vn) de nodos en V de modo que
v0=u, vn=v, y {vi-1,vi} ∈
∈∈
∈ L para i=1,...,n. Un nodo
está conectado consigo mismo. La conexión se
define por tanto como una relación de
equivalencia en V que divide V en K clases de
equivalencia no vacías V1,...,VK tales que no
existen aristas que conecten dos nodos de clases
distintas. Si L1,...,LK son la serie de aristas en L
que conectan nodos en las clases V1,...,VK,
respectivamente, entonces (V1,L1),...,(VK,LK) son
subgrafos de (V,L) y se denominan los
componentes de (V,L).
Un grafo conectado es un grafo que sólo
consta de un componente. Un grafo conectado de
orden N tiene al menos N-1 aristas, y entonces (es
decir, cuando tiene el tamaño mínimo) se le
conoce por árbol; y un grafo en que todos los
componentes sean árboles se denomina bosque.
Finalmente, un grafo en que todos los
componentes con completos se le conoce por
grafo transitivo.
La distribución de orden de los compo-
nentes de (V,L) viene dada por las frecuencias
K1,...,KN de componentes de orden 1,...,N,
respectivamente, donde N=³V³. Estas frecuencias
satisfacen las igualdades
KK
i
i
N
=
=
∑
1
NiK
i
i
N
=
=
∑
1
(7)
y las desigualdades
∑∑
==








≤≤−
N
i
N
i
ii K
i
RKi
12
2
)1( (8)
donde R = |V|. Estas desigualdades pueden
comprobarse aprovechando el hecho de que cada
componente de orden i tiene un tamaño que es al
menos de i-1 (lo que da lugar a un componente de
árbol) y a lo sumo 







2
i (que significaría un
componente completo). Según Frank (1978a,
1981), de (8) se sigue que







+−
≤≤− 2
1KN
RKN (9)
L tiene la distribución de orden de los com-
ponentes
12
12
KK K
N
n
... (10)
Así, el grafo de la Figura 1 tiene una distribución
de orden de los componentes 11 20 30 41 51 61.
b) Subgrafos inducidos. Si S ⊆ V, se define
el subgrafo de (V,L) inducido por S como el
grafo con la serie de nodos S y la serie de aristas
L(S), que consta de todas las aristas en L que
conectan dos nodos en S. Los subgrafos inducidos
de orden 2 y 3 se llaman díadas y tríadas,
respectivamente. En la Figura 2 hay una díada y
siete diferentes tríadas.
Los subgrafos inducidos resultan de gran
utilidad en investigaciones basadas en una
muestra de nodos y observaciones de adyacencias
entre los nodos muestreados, y siempre resulta
conveniente, a efectos de un mayor grado de
concordancia, restringir los datos obtenidos a
adyacencias dentro de la muestra, lo cual da lugar
a subgrafos inducidos.
Figura 2. Grafos diádicos y triádicos.
Un grafo (V,L) de orden N tiene 







2
N
díadas y 







3
N tríadas. La distribución de díadas
viene dada por las frecuencias (T20, T21) de díadas
en L de tamaños 0 y 1, respectivamente; la
distribución de tríadas, a su vez, viene dada por
las frecuencias (T30, ..., T33) de tríadas en L de
tamaños 0, ..., 3, respectivamente. Estas

216 P. Sánchez Algarra y M.T. Anguera Argilaga
anales de psicología, 1993, 9(2)
frecuencias de díadas y tríadas cumplen las si-
guientes relaciones:
T20 +T21 







2
N T21 = R = |G| (11)
T30 +....+T33 = 







3
N
(12)
T31 + 2T32 +3T33 +T21 = (N - 1) R - Q/2
Es posible deducir propiedades de la distri-
bución de grados (F0,...,FN-1) a partir de la dis-
tribución de tríadas. Mediante unos pocos co-
nocimientos de combinatoria se puede comprobar
que
TT iN F N RQ
i
i
N
31 32
1
1
12 1 2+−=−−=
=
−
∑()/() /
(13)
∑
−
=
=−=








+1
2
3332 2/)2(
2
3
N
i
iRQF
i
TT (14)
donde Q es la suma de cuadrados de los grados.
De aquí se deduce que R y Q vienen dados por la
distribución de tríadas de acuerdo a
R=(T31 +2T32+3T33) / (N - 2) (15)
Q = 2 [T31 +NT32+3(N-1)T33] / (N - 2) (16)
Esto implica que la media y la varianza de la
distribución de grados puede calcularse a partir de
la distribución de tríadas, de acuerdo con (6), (15)
y (16).
La distribución de tríadas también puede
utilizarse para inferir otras propiedades del grafo.
Así, por ejemplo, un grafo transitivo tiene T32 =
0, y un bosque tiene T33 = 0. Frank (1978b) ha
demostrado que la distribución triádica de un
grafo transitivo es suficiente para determinar el
grafo completo si su orden es como máximo 13; si
el orden es como máximo 21, hay como mucho
dos grafos transitivos con la misma distribución
triádica; de hecho, para el orden 21 hay 694
distribuciones triádicas distintas, cada una de las
cuales es compatible con un único grafo
transitivo, y 49 distribuciones triádicas, cada una
de las cuales es común a dos grafos transitivos. El
número de grafos en una clase dada que es
compatible con una determinada distribución
triádica se conoce como la multiplicidad de la
distribución triádica en esta clase.
La distribución triádica ofrece información
acerca de la distribución de orden de los com-
ponentes. En particular, podemos tener límites
más bajos en el número K de componentes uti-
lizando la distribución triádica. Para comprobarlo,
si designamos por N1,...,NK los órdenes de los
componentes e introducimos la polinomial
()()xN Cxkr
r
Kr
r
k
k
K
−=− −
=
=
∑∏1
0
1
(17)
donde
C
01= CNN
ri
i
i
ir
r
=
<
∑
∑
<
1
1....
... (18)
para r = 1, ..., K. Según Hardy, Littlewood &
Pólya (1952), los números








=
r
K
C
Cr
r (19)
satisfacen para cada r = 1,...,K-1 la desigualdad
C
C
C
rr r−+
≤
11
2
(20)
obteniéndose una igualdad si y sólo si todos los
órdenes de los componentes son iguales. La
desigualdad (20) da lugar al siguiente límite más
bajo para K:
KrC r r C C
rC r C C
rrr
rrr
≥−− +
−+
−+
−+
22
11
2
11
11
1
()()
()
(21)
a condición de que el denominador sea positivo.
Sustituyendo
C
N
1= R
N
TC −








== 2
202
C
T
330
= (22)
en la ecuación (21), hallamos que para r=1
()
RN
N
K2
2
+
≥ (23)
y para r=2
KTNT
TNT
≥−
−
43
23
20
2
30
20
2
30
(24)
donde, de acuerdo con las ecuaciones (11), (12) y
(15),
()
()
2
23 323130
20 −
++
=N
TTT
T (25)
El límite más bajo en K que viene dado por la
ecuación (23) es mejor que el N-R dado por la

PERT en evaluación de programas mediante análisis de grafos 217
anales de psicología, 1993, 9(2)
ecuación (9) si y sólo si 2R>N, es decir, si y sólo
si el grado de la media es mayor que 1. Y el límite
más bajo en K que se halla mediante la ecuación
(24) es mejor que el que ofrece la ecuación (23) si
y sólo si
(
)
2
2030
2
2020 234 TNTNTT <<− (26)
c. Estrellas. Si S ⊆ V definimos la estrella de
(V,L) obtenida de S como el subgrafo formado
por la serie de nodos A(S) y la serie de aristas
H(S), donde A(S) se compone de todos los nodos
que se hallan en S o adyacentes a algún nodo en
S, y donde H(S) consta de todas las aristas que
son incidentales a algún nodo en S. La serie S es
el centro de la estrella, y si el centro tiene tamaño
n, la estrella se denomina también n-estrella.
Existe una estrecha relación entre la serie de
aristas H(S) y la serie de aristas
()
SL inducidas
por el complementario de
S
respecto a V. Si la
notación correspondiente a la barra se utiliza
también para complementarios de series de aristas
respecto a ℘2(V), entonces
()
()
SLLSH I= (27)
Es decir, las aristas en la estrella con centro S son
las aristas en L que no están en el subgrafo de L
inducidas por el complementario de S.
Las estrellas se utilizan con profusión en in-
vestigaciones de grafos extensos que se apoyan en
una muestra de nodos y en datos acerca de las
adyacencias de los nodos muestreados.
3. Representación matricial de grafos
La utilización informática de los grafos obliga
a una representación en forma matricial. A todo
grafo se le puede asociar una matriz cuadrada
booleana M, donde las filas van a representar el
vértice inicial y las columnas el vértice final, de
modo que en cada uno de sus elementos
colocaremos:
1 si existe el arco (vi, vj) entre sus vértices
aij =
0
en caso contrario
Así, para el grafo de la Figura 3 la matriz
asociada es
Figura 3. Grafo asociado a M.
















=
00000
10000
11000
01000
00110
e
d
c
b
a
M
edcba
Las propiedades de la matriz asociada a un
grafo son las siguientes:
a) La matriz traspuesta de M(M') representa a otro
grafo en el que las flechas de sus arcos están
invertidas.
b) El grado de salida de un vértice viene dado por
la suma aritmética de los elementos de su fila
en la matriz, y el grado de entrada de un
vértice por la suma de los elementos de su
columna en la matriz.
c) Si el grado de entrada de un vértice es nulo
(grado E(v)=0) es un vértice de entrada al
grafo. Por tanto, es aquél que le corresponde
una columna de ceros.
Análogamente, si el grado de salida de un
vértice es nulo (grado S(v)=0) es un vértice de
salida del grafo; por tanto, es aquél que le
corresponde una fila de ceros.
d) La matriz M indica los caminos de longitud 1
desde un vértice dado a otro, y el número de
ellos. Hallando M2 = M.M tenemos los
caminos de longitud 2, M3 indica los caminos
de longitud 3, y así sucesivamente con los
caminos de longitud 4, 5, ..., n, siendo n el
número de vértices.

218 P. Sánchez Algarra y M.T. Anguera Argilaga
anales de psicología, 1993, 9(2)
e) En cuanto a la detección de circuitos, si no
existen circuitos habrá un número , siendo n
el número de vértices, tal que Mk es nula a
partir de dicha potencia k. En el caso de no
haber circuitos las sucesivas potencias de M
deben tener las diagonales principales siempre
nulas, mientras que en caso contrario hay
algún circuito.
Así, a partir del ejemplo anterior,
















=
































==
00000
00000
10000
10000
12000
00000
10000
11000
01000
00110
.
00000
10000
11000
01000
00110
.
2MMM
Hay 2 caminos de longitud 2 entre a y d, 1
entre a y c, 1 entre b y c, etc.
















=
































==
00000
00000
00000
00000
20000
00000
00000
10000
10000
12000
.
00000
10000
11000
01000
00110
.23 MMM
Por lo tanto, hay dos caminos de longitud 3
entre a y c.
















=
































==
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
20000
.
00000
10000
11000
01000
00110
.34 MMM
Luego no hay ningún camino de longitud 4, y
al ser la matriz nula, indica que el grafo no posee
circuito.
4. Aplicación de la teoría de grafos al
PERT
Ante un uso creciente de programas de in-
tervención en todos los ámbitos de la conducta
humana, resulta urgente y de vital importancia
que nos planteemos si no resultará en muchos
casos baldío el esfuerzo de elaborar e imple-
mentar un programa sin la necesaria planificación
que implica el PERT.
Históricamente, el PERT (Project Evaluation
and Review Technique) desarrollado fun-
damentalmente por la casa Booz, Allen y Ha-
milton, en colaboración con la Marina USA y la
empresa aeronáutica Lockheed, y que fue apli-
cado en el proyecto del submarino Polaris, es la
más utilizada de las formas de planificación de
proyectos (Veney & Kaluzny, 1984). El PERT
implica la existencia de una temporalización
detallada (PERT, sistema Ghant) en la que se
constatan la secuenciación y concurrencia de las
acciones del programa. Precisamente en base a
este criterio "de agenda" se han propuesto sis-
temas de evaluación (Muscatello, 1988).
En buen número de programas de interven-
ción el PERT se ha utilizado como mera plani-
ficación en que figuraba la relación de actividades
y el "timing" asignado a cada una. Un programa
de intervención, independientemente del ámbito
al que se refiere, está configurado por una serie de
tareas o actividades que se realizan en un
determinado orden o secuencia. Una actividad
consume un tiempo y unos recursos, y, en
terminología PERT, un suceso es un momento en
el tiempo que indica cuándo empieza o termina
una actividad o un conjunto de actividades, y no
consume tiempo ni recursos. Dado que todo
programa implica la existencia de una
temporalización detallada, que se explicita
mediante el PERT (sistema Ghant) en la que se
constatan la secuenciación y concurrencia de las
acciones del programa, precisamente en base a
este criterio "de agenda" se han propuesto
sistemas de evaluación (Muscatello, 1988).
Un proyecto puede esquematizarse gráfica-
mente usando un grafo, donde los arcos del grafo
indican las actividades, y los vértices, los sucesos.
Las flechas irán de izquierda a derecha indicando
que se avanza en el tiempo. La longitud de las
flechas no precisa ser dibujada a escala.
El grafo que representa un proyecto será
siempre un grafo sin circuitos. Así, en la Figura 4
el vértice 1 es el suceso inicial de la actividad A,
y el vértice 2 es su suceso final; además, éste sirve
de suceso inicial para la actividad B, y así
sucesivamente.
Figura 4. Sucesos

PERT en evaluación de programas mediante análisis de grafos 219
anales de psicología, 1993, 9(2)
Entre los sucesos se pueden crear conver-
gencias, o divergencias, o ambas.
Una vez construido el grafo completo del
programa se numeran cada uno de los sucesos.
Para ello, si el grafo está bien dibujado por ni-
veles, se irán numerando sus nodos desde 1 en
adelante, de izquierda a derecha, y en un mismo
nivel de arriba a abajo, de modo que si para una
actividad el suceso inicial es el i y el final es el j,
se cumple siempre que i<j:
Figura 5. Numeración de los sucesos.
De este modo, para las actividades anteriores
de un suceso se cumplirá que todos ellos tienen
número de suceso menor.
La elaboración del grafo PERT de un pro-
grama implica la construcción del cuadro de
prelaciones formado por dos columnas:
. En la primera, se indican todas las activi-
dades una a una.
. En la segunda, se indican las actividades
inmediatamente anteriores a ésta.
Siempre supondremos que habrá un único
suceso inicio y otro suceso fin de proyecto, que se
averigua de las siguientes formas:
a) Conocido el cuadro de prelaciones, del
suceso inicio del proyecto partirán las actividades
que no tengan anteriores.
b) En el suceso fin del proyecto finalizarán
aquellas actividades que luego no aparezcan como
anteriores.
Como ilustración, nos referimos a un de-
terminado programa perteneciente al ámbito de
Servicios Sociales que tiene como objetivo la
desinstitucionalización de niños procedentes de
familias maltratadoras, y para el cual se han
propuesto siete actividades {A,B,C,D,E,F,G}, que
cumplen:
a) A y B se inician a la vez.
b) D,E y F empiezan tras haber finalizado A.
c) C empieza al terminar B.
d) G se inicia al acabar C y F.
Los tiempos previstos para cada uno de ellos
son:
Cuadro 1. Tiempos de cada actividad
Actividad Tiempos
A
B
C
D
E
F
G
6
4
2
1
3
4
2
El cuadro de prelaciones será:
Cuadro 2. Prelaciones
Actividad Anteriores Operación
A
B
C
D
E
F
G
-
-
B
A
A
A
C, F
Aplicando a)
Aplicando a)
Aplicando c)
Aplicando b)
Aplicando b)
Aplicando b)
Aplicando d)
De acuerdo con lo indicado, los sucesivos
pasos de construcción del PERT serán:
Figura 6. Paso 1 del PERT, en que se dibuja el suceso
inicio y las dos actividades de partida
A la actividad A le seguirán las actividades
que tengan A en la columna Anteriores, que en
nuestro caso son D,E y F. De igual modo a la
actividad B le seguirá la C:

220 P. Sánchez Algarra y M.T. Anguera Argilaga
anales de psicología, 1993, 9(2)
Figura 7. Paso 2 del PERT, en donde se contempla
como a la Actividad A le seguirán las actividades que
tengan "A" en la columna "anteriores", en nuestro caso
D, E y F. De igual modo, a la actividad B le seguirá la
C.
Figura 8. Paso 3 del PERT. La actividad G sigue a las
actividades F y C.
Y finalmente, puesto que D, E y G no apa-
recen en la columna "anteriores", son las acti-
vidades que terminan en el suceso final del pro-
grama:
Figura 9. Paso 4 del PERT.
Pero el grafo anterior presenta dos actividades
paralelas, la D y la E, lo que podemos solucionar
añadiendo una actividad ficticia1, por ejemplo,
1 Las actividades ficticias son actividades no reales que
surgen como necesidad de representar ciertas
situaciones en un grafo, que no consumen tiempo ni
recursos. Se representan mediante una flecha a trazos
y tienen utilidad en los dos casos siguientes:
a) Cuando existen prelaciones lineales de convergen-
cia y divergencia a la vez.
b) Cuando hay actividades en paralelo.
detrás de la D, resultando finalmente el grafo de
la Figura 10, en donde se numeran los nodos:
Figura 10. PERT final.
5. Optimización del PERT mediante
la teoría de grafos
Se lleva a cabo mediante dos importantes
apoyos estadísticos, que son el cálculo de los
tiempos temprano y retardado, por una parte, y,
por otra, la incidencia de las holguras en el
camino crítico.
5.1. Cálculo de los tiempos temprano (early)
y retardado (last)
Llamaremos t(i,j) al tiempo de la actividad
que une el suceso i y el suceso j. Si en el grafo de
la Figura 10 colocamos los tiempos de cada
actividad que hallan en el Cuadro 1 y tenemos en
cuenta que en la actividad ficticia F1 el tiempo
será nulo al no consumir ninguno, resulta el
PERT de la Figura 11.
Figura 11. PERT con tiempos
Los tiempos early y last, a los que nos re-
feriremos a continuación, se colocarán en cada
nodo como se indica en la Figura 12:

PERT en evaluación de programas mediante análisis de grafos 221
anales de psicología, 1993, 9(2)
Figura 12. Descripción del nodo de un PERT
A) El tiempo "early" o tiempo "rápido" es el
menor tiempo que se puede emplear para llegar a
este suceso.
El suceso inicio del programa tendrá tiempo
early nulo. Para los restantes sucesos, siguiendo
el orden de su numeración será el valor mayhor de
entre todas las actividades que en él converjan, y
es la resultante de sumar el tiempo inicial de la
actividad al tiempo de esa actividad.
Podemos así decir que el tiempo early de un
suceso j es el siguiente:
t(j) = máx [t(i) + t(i,j)]
siendo t(i,j) el tiempo de la actividad (i,j), y por
esto i<j.
El tiempo mínimo del programa, que indica la
duración total de éste, viene dado por el valor del
tiempo early (o del tiempo last) del suceso final
del proyecto.
Así, los tiempos early del PERT de la Figura
11 son:
. El tiempo del suceso inicio del programa es
nulo:
Nodo 1: t(1) = 0
. A los sucesos siguientes solamente les llega
una flecha a cada uno:
Nodo 2: t(2) = t(1) + t(1,2) = 0 + 6 = 6
Nodo 3: t(3) = t(1) + t(1,3) = 0 + 4 = 4
Nodo 4: t(4) = t(2) + t(2,4) = 6 + 1 = 7
. En el suceso 5 concurren dos flechas; por
tanto
Nodo 5: t(5)= máx [t(2)+t(2,5),t(3)+t(3,5)] =
↑ ↑
(actividad F1) (actividad C)
= máx [6+4, 4+2] = máx [10,6] = 10
. Finalmente, en el suceso 6 concurren tres
flechas, por lo que
Nodo 6:
t(6) = máx [t(4) + t(4,6),t(2) + t(2,6),t(5)
↑ ↑
(actividad F1) (actividad E)
+ t(5,6)] = máx [7 + 0,6 + 3,10+2] =
máx [7,9,12] = 12
↑
(actividad G)
. Por tanto, la duración total del programa es
t(6) = 12.
Los pasos anteriores pueden realizarse di-
rectamente en el grafo. De cualquier forma, se
obtiene el PERT de la Figura 13.
B) El tiempo "last" o tiempo "lento" es el
mayor tiempo que se puede emplear hasta llegar a
ese suceso para que la duración del programa no
se retrase.
El suceso final del programa tendrá tiempo
last igual a su tiempo early calculado. Para los
restantes nodos, y siguiendo el orden decreciente
de su numeración, se calculará tomando el menor
valor de entre todas las actividades que de él
salgan, resultantes de restar al tiempo del suceso
final de cada actividad el tiempo de dicha
actividad.
El tiempo last de un suceso i es:
t'(i) = mín [t'(j) - t(i,j)]
Al final, en el suceso de inicio de proyecto,
deberá resultar siempre que t(1) = t'(1) = 0
Por tanto, los tiempos last del PERT de la
Figura 11 son:
. El tiempo last del suceso fin del programa es
igual a su tiempo early:
Nodo 6: t'(6) = 12
. De los sucesos siguientes solamente sale una
flecha de cada uno:
Nodo 5: t'(5) = t'(6) - t(5,6) = 12 - 2 = 10
Nodo 4: t'(4) = t'(6) - t(4,6) = 12 - 0 = 12
Nodo 3: t'(3) = t'(5) - t(3,5) = 10 - 2 = 8
. Del suceso 2 parten tres actividades, por lo
que

222 P. Sánchez Algarra y M.T. Anguera Argilaga
anales de psicología, 1993, 9(2)
Nodo 2: t'(2)=mín [t'(4) - t(2,4),t'(6) -
↑ ↑
(actividad D) (actividad E)
t(2,6),t'(5) - t(2,5)] = mín [12-1, 12-3, 10-4] =
↑
(actividad F)
= mín [11,9,6] = 6
. Finalmente, para el suceso 1, tenemos
Nodo 1: t'(1)= mín [t'(2)-t(1,2),t'(3)- t(1,3)] =
↑ ↑
(actividad A) (Actividad B)
= mín [6 - 6,8 - 4] = mín [0,4] = 0
Los pasos anteriores pueden realizarse di-
rectamente en el grafo. De cualquier forma, se
obtiene el PERT de la Figura 14.
5.2. Incidencia de las holguras en el camino
crítico
Al aplicar el PERT se considerarán las hol-
guras de tiempo que veremos a continuación,
teniendo en cuenta que una determinada activi-
dad se representará como se muestra en la Figura
15, siendo:
t(i) = tiempo early del suceso inicial
t'(i) = tiempo last del suceso inicial
t(j) = tiempo early del suceso final
t'(j) = tiempo last del suceso final
Figura 15. Representación de una actividad

PERT en evaluación de programas mediante análisis de grafos 223
anales de psicología, 1993, 9(2)
A) La holgura de un suceso es la diferencia
entre el tiempo last y el tiempo early de dicho
suceso. Es decir,
H(i) = t'(i) - t(i)
H(j) = t'(j) - t(j)
Esta holgura indica el tiempo que se puede
retrasar su realización sin retrasar el programa:
. Si H(i) = 0 indica que no se puede retrasar
el comienzo de la actividad
. Si H(j) = 0 indica que no se puede retrasar
el final de esa actividad
B) La holgura de actividad puede ser de tres
tipos:
a. Holgura total de una actividad es igual al
tiempo last del suceso final menos el tiempo
early inicial menos el tiempo de la actividad:
H
T(i,j) = t'(j) - t (i) - t(i,j)
Indica el tiempo que puede retrasarse una
actividad determinada sin retrasar el programa.
Las actividades cuya holgura total es cero se
llaman actividades críticas. El camino crítico,
que va del suceso inicio del programa hasta el
suceso fin, viene determinado por aquellas
actividades que sean críticas. Esto significa que
las actividades críticas son la clave para que el
programa total no se retrase. Puede haber más de
un camino crítico.
Si la holgura total de una actividad es nula,
deben ser nulas las holguras de su suceso inicial
y final, pero la inversa no tiene por qué ser cierta.
Es decir, si
Hij Hi
Hj
T(, ) ()
()
=⇒=
=
00
0
Si solamente deseamos determinar el camino
crítico bastará realizar los siguientes pasos:
a) Marcar los nodos cuyo tiempo early sea
igual a su tiempo last, es decir, aquellos cuya
holgura de suceso sea nula.
b) Investigar los posibles caminos que pue-
dan unir los nodos anteriores, marcando aquellas
actividades cuya holgura total sea nula.
Aplicándolo al ejemplo que desarrollamos,
resulta:
Figura 16. Camino crítico
b. Holgura libre es igual al tiempo early del
suceso final menos el tiempo early inicial menos
el tiempo de la actividad:
H
L(i,j) = t(j) - t(i) - t(i,j)
Esta holgura indica qué parte de la holgura
total se puede consumir sin afectar a las activi-
dades posteriores.
c. Holgura independiente es igual al tiempo
early del suceso final menos el tiempo last
inicial menos el tiempo de la actividad:
HI(i,j) = t(j) - t'(i) - t(i,j)
Esta holgura corresponde a cuando la acti-
vidad anterior ha terminado en su tiempo last, y
la posterior a la que se considera que empieza en
su tiempo early. Puede ser negativa.

224 P. Sánchez Algarra y M.T. Anguera Argilaga
anales de psicología, 1993, 9(2)
De cualquier modo las tres holguras cumplen
las relaciones siguientes:
HT(i,j) ≥ HL(i,j) ≥ HI(i,j)
Se construye el Cuadro 3 para el PERT de la
Figura 15:
Cuadro 3. Resumen con todos los datos del PERT
Activ.
i - j
Nombre t(i,j)
t(i) t(j) t'(i) t'(j) H(i) H(j) HT H
L H
I Situac.
1 2
1 3
2 4
2 5
2 6
3 5
4 6
5 6
A
B
D
F
E
C
F1
G
6
4
1
4
3
2
0
2
0
0
6
6
6
4
7
10
6
4
7
10
12
10
12
12
0
0
6
6
6
8
12
10
6
8
12
10
12
10
12
12
0
0
0
0
0
4
5
0
0
4
5
0
0
0
0
0
0
4
5
0
3
4
5
0
0
0
0
0
3
4
5
0
0
0
0
0
3
0
0
0
Crítica
Crítica
Crítica
Vemos como el tiempo mínimo es 12.
En este Cuadro se manifiesta la relevante
virtualidad de la teoría de grafos en la planifi-
cación de un estudio de carácter interventivo. En
el ejemplo desarrolado a modo de ilustración se
han propuesto actividades genéricas re-
presentadas mediante símbolos, y duraciones
expresadas con tiempos en cualquier unidad
convencional, pero en estudios empíricos, el que
se disponga de información relativa a la
optimización que implica una determinada se-
cuenciación de actividades y sus respectivas du-
raciones va a suponer enormes ventajas, y no
sólo en cuanto a la eficacia del programa de in-
tervención, sino respecto también a su eficiencia,
dado que puede ser considerable la reducción de
recursos necesarios.
6. Conclusiones
Las posibilidades que brinda el PERT han
permitido que la implementación de programas
se llevase a cabo con mayor sistematización y de
acuerdo con el plan previsto, lo cual facilita
indudablemente no sólo la evaluación del pro-
grama sino su análisis económico.
La aproximación al PERT desde el análisis
de grafos dota a este instrumento de mayores
ventajas, y su uso racional y minucioso es alta-
mente favorable a la precisión que cada vez con
mayor intensidad está caracterizando a la eva-
luación de programas de intervención.
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