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Revista Iberoamericana de Autom´
atica e Inform´
atica Industrial 00 (2023) 1–10 www.revista-riai.org
Trayectorias de m´axima rigidez de un robot redundante
actuando como soporte en el mecanizado de paredes delgadas
Jokin Aginagaa,b,∗
, Iv´an Garc´ıa–Cuestab, Xabier Iriartea,b, Aitor Plazab
aSmart Cities Institute, Universidad P´ublica de Navarra, Campus Arrosadia s/n, 31006 Pamplona, Espa˜na.
bDepartamento de Ingenier´ıa, Universidad P´ublica de Navarra, Campus Arrosadia s/n, 31006 Pamplona, Espa˜na.
To cite this article: Aginaga, J., Garc´ıa–Cuesta, I., Iriarte, X., Plaza, A. 2023. Maximum stiffness t rajectories o f a
redundant robot acting as a support in thin-walled machining. Revista Iberoamericana de Autom´atica e Inform´atica
Industrial 00, 1-5. https://doi.org/10.4995/riai.2023.18977
Resumen
La precisi´
on de un robot est´
a ligada a su rigidez. En comparaci´
on con la m´
aquina herramienta tradicional, los robots industriales
tienen un gran espacio de trabajo como ventaja, pero una rigidez reducida como desventaja. Adem´
as, la rigidez tiene una gran
dependencia y variabilidad con la postura o configuraci´
on del robot. De ah´
ı que resulte necesario un an´
alisis de rigidez de los
robots, que se eval´
ua mediante la matriz de rigidez. En este trabajo se presenta un an´
alisis de rigidez de un robot serie. Ante la
diversidad de ´
ındices representativos extra´
ıdos a partir de la matriz de rigidez, se ha propuesto el uso de un ´
ındice que tenga en
cuenta la direcci´
on de las cargas que soporta el robot y la direcci´
on en que se desea que el robot aporte rigidez en la aplicaci´
on
espec´
ıfica. Asimismo, se ha utilizado el ´
ındice de rigidez para llevar el robot a configuraciones que mejoren la rigidez, hecho que
resulta posible en aplicaciones en las que el robot tiene al menos un grado de libertad (GDL) redundante. La metodolog´
ıa se ha
aplicado a un robot de 7 GDL utilizado como robot de soporte en el mecanizado de paredes delgadas. Dado que para definir la
trayectoria ´
unicamente son necesarios 5 GDL, se utilizan 2 GDL reduntantes para mejorar la rigidez.
Palabras clave: Rob´
otica Industrial, Grado de libertad redundante, Rigidez, Optimizaci´
on de postura, ´
Indice de comportamiento
Maximum stiffness trajectories of a redundant robot acting as a support in thin-wall machining
Abstract
The precision of a robot is linked to its stiffness. Compared with traditional machine tools, industrial robots have large workspace
as an advantage, but low stiffness as a disadvantage. Furthermore, stiffness has a high dependence and variability on the robot’s
posture or configuration. Hence, a stiffness analysis of robots is necessary, which is evaluated by means of the stiffness matrix. In
this paper, a stiffness analysis of a serial robot is presented. Given the diversity of representative indices extracted from the stiffness
matrix, it is proposed the use of an index that takes into account the direction of the loads supported by the robot and the direction
in which it is desired that the robot provides stiffness in the specific application. Then, the stiffness index has been used to move the
robot to configurations that improve stiffness, which is possible in applications where the robot has at least one redundant degree-
of-freedom (DOF). The methodology has been applied to a 7-DOF robot used as a support robot in thin-wall machining. Since only
5 GDLs are needed to define the trajectory, 2 reduntant GDLs are used to improve the stiffness.
Keywords: Industrial robotics, Redundant degree of freedom, Stiffness, Pose optimization, Performance index
1. Introducci´
on
En la actualidad la rob´
otica industrial tiene un uso crecien-
te en una gran variedad de aplicaciones, existiendo soluciones
que realizan tareas cada vez m´
as precisas (D´
ıaz-Cano et al.,
2022). As´
ı, los robots industriales son cada vez m´
as utilizados
para tareas de mecanizado, tales como el fresado, el taladrado,
∗Autor para correspondencia: jokin.aginaga@unavarra.es
Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International (CC BY-NC-SA 4.0)
Este artículo ha sido aceptado para su publicación en un futuro número de RIAI. Su contenido es definitivo y únicamente cambiará en la versión final
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Aginaga, J. et al. /Revista Iberoamericana de Autom´atica e Inform ´atica Industrial 00 (2023) 1–10 2
el recanteado o el rectificado. Frente a la m´
aquina herramien-
ta tradicional, los robots industriales tienen entre sus ventajas
unos costes de instalaci´
on menores y una mayor flexibilidad
para adaptarse a distintas tareas (Guo et al., 2015). Como con-
trapartida, la rigidez de los robots industriales es menor que
la de la m´
aquina herramienta. En operaciones de mecanizado,
debido a la magnitud de las fuerzas de contacto, esta menor ri-
gidez conlleva, en cierta medida, una p´
erdida de la precisi´
on
deseada (Cvitanic et al., 2020). Asimismo, desde un punto de
vista din´
amico, la aparici´
on de vibraciones inestables, conoci-
das como chatter, es m´
as frecuente en el caso de los robots
industriales que en la m´
aquina herramienta (Mohammadi and
Ahmadi, 2022).
Existen abundantes referencias relativas a la rigidez de ro-
bots, pudiendo diferenciar entre rigidez est´
atica y din´
amica.
El t´
ermino est´
atico hace referencia a modelos que no tienen
en cuenta t´
erminos inerciales ni de amortiguamiento (Cvitanic
et al., 2020). La rigidez est´
atica suele modelizarse como una
matriz 6 ×6 que relaciona los desplazamientos y rotaciones del
elemento terminal con el torsor que los produce. Las propie-
dades mec´
anicas y geom´
etricas de los elementos constructivos,
los actuadores y otros elementos de transmisi´
on determinan la
rigidez de un robot, pero es sabido que la rigidez es distinta en
funci´
on de la configuraci´
on en que se encuentre. No es de ex-
tra˜
nar por tanto que se hayan utilizado ´
ındices de rigidez para
mejorar la configuraci´
on del robot (L´
eger and Angeles, 2016;
Guo et al., 2015; Bu et al., 2017; Zhao et al., 2021).
Operaciones como el mecanizado, taladrado, fresado, etc.
requieren 5 grados de libertad (GDL), con lo que si se utiliza
un robot serie de 6 GDL se tiene un grado de libertad redun-
dante (Lin et al., 2022). Lo mismo sucede si se utiliza un robot
redundante de 7 GDL, en el que independientemente de la apli-
caci´
on existe al menos un GDL redundante. Teniendo en cuenta
que la rigidez de un robot depende de su configuraci´
on, en ope-
raciones en las que exista un GDL redundante este puede ser
utilizado para llevar al robot a una configuraci´
on ´
optima desde
el punto de vista de la rigidez. Este hecho ha sido aprovechado
en la literatura en aplicaciones industriales con robots de tipo
serie (Lin et al., 2022; Guo et al., 2015; Cvitanic et al., 2020),
en robots de tipo paralelo (Aginaga et al., 2012; Azulay et al.,
2014) y en robots de 6 GDL sobre una plataforma m´
ovil que le
otorga un GDL adicional (Li et al., 2022).
Este trabajo se enmarca en el mecanizado de paredes del-
gadas, que suele ser habitual en el sector aeron´
autico. Desde
un punto de vista mec´
anico, el mecanizado de paredes delgadas
presenta varias dificultades tanto por cuestiones est´
aticas como
din´
amicas; su baja rigidez hace que las piezas de paredes del-
gadas sufran deformaciones durante el proceso de mecanizado,
mientras que la herramienta de mecanizado introduce vibracio-
nes mec´
anicas en el proceso (Herranz et al., 2005). La m´
aquina
herramienta, la herramienta de corte y la pieza de trabajo de
pared delgada forman un sistema din´
amico y las vibraciones
pueden conducir a un problema de maquinabilidad en muchas
condiciones operativas, especialmente en estos sistemas de baja
rigidez compuestos por paredes delgadas.
Para aumentar la rigidez del sistema en el proceso de meca-
nizado, puede utilizarse un robot a modo de soporte m´
ovil por
la cara opuesta al mecanizado que realice una fuerza de empu-
je aportando rigidez a la placa o elemento a mecanizar (Ozturk
et al., 2018; Torres et al., 2020). Para el caso de un mecanizado
por las dos caras de una placa delgada, en (Zhao et al., 2020) se
utilizan dos robots simult´
aneamente, obteniendo como resulta-
do un mejor acabado cuando los robots realizan el mecanizado
de manera asim´
etrica.
Este trabajo presenta un an´
alisis del uso de los grados de
libertad redundantes de un robot de tipo serie para lograr una
rigidez mayor. El robot utilizado para aplicar la metodolog´
ıa
desarrollada es el KUKA LBR iiwa 7, un robot colaborativo
de 7 GDL. Por su parte, la trayectoria a realizar queda defini-
da por 5 GDL, con lo que se tienen 2 GDL redundantes que
son utilizados para mejorar la rigidez del robot. Para cuantifi-
car la mayor rigidez, se utiliza como ´
ındice el elemento de la
matriz de rigidez correspondiente a la direcci´
on espec´
ıfica en
la que se desea una mayor rigidez. En primer lugar, se parame-
triza las redundancia inherente al robot en la resoluci´
on de la
cinem´
atica inversa y, posteriormente, se comprueba que la rigi-
dez es distinta para las distintas configuraciones del robot y se
analiza efecto de los 2 GDL redundantes. Finalmente, se dise˜
na
una trayectoria ´
optima desde el punto de vista de la rigidez para
la trayectoria deseada del robot iiwa utilizado como robot de
soporte durante el mecanizado de una pared delgada.
2. Cinem´
atica del robot iiwa
El robot KUKA LBR iiwa es un robot colaborativo de ca-
dena cinem´
atica abierta y con 7 GDL mediante pares articula-
dos. Se trata de un robot cuyo movimiento puede ser controlado
mediante las coordenadas de salida o mediante las coordenadas
articulares, lo cual resulta imprescindible para la aplicaci´
on que
se le pretende dar. La Figura 1 muestra una imagen del robot.
Figura 1: Robot colaborativo KUKA LBR iiwa.
2.1. Cinem´atica directa
La Figura 2 muestra una imagen esquem´
atica de la ci-
nem´
atica del robot, junto con las coordenadas articulares θide
cada par cinem´
atico y los sistemas de referencia de la base fija
y el elemento terminal.
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Figura 2: Modelo cinem´
atico del robot (Shimizu et al., 2008).
La cinem´
atica directa consiste en calcular la posici´
on y
orientaci´
on del elemento terminal a partir de los valores θide
las coordenadas articulares.
Para la resoluci´
on de la cinem´
atica directa habitualmente
en rob´
otica se utilizan las coordenadas de Denavit-Hartemberg
(Denavit and Hartenberg, 1955), que mediante el uso de 4
par´
ametros por articulaci´
on establecen un sistema de referen-
cia en cada uno de los eslabones. De esta manera, para cada
elemento ise tiene un sistema de referencia cuyo origen est´
a en
el eje de la articulaci´
on i+1, cuyo eje zcoincide con el eje de
giro de la articulaci´
on iy cuyo eje xest´
a alineado con la normal
com´
un entre las articulaciones iei+1. Para el caso del robot
iiwa, se han utilizado los par´
ametros D-H mostrados en la Ta-
bla 1. N´
otese que pueden existir parametrizaciones alternativas,
puesto que la notaci´
on D-H no es ´
unica.
Tabla 1: Par´
ametros D-H del robot iiwa
iθiαidiai
1θ1−π/2dbs 0
2θ2π/2 0 0
3θ3−π/2dse 0
4θ4π/2 0 0
5θ5−π/2dew 0
6θ6π/2 0 0
7θ70dwt 0
Las distancias dbs ,dse,dew ydwt mostradas en la Tabla 1
se corresponden con las distancias entre la base y hombro, el
hombro y el codo, el codo y la mu˜
neca y la mu˜
neca y el elemen-
to terminal, respectivamente, siendo sus valores dbs =0,34 m,
dse =0,4m,dew =0,4mydwt =0,106 m.
A partir de esta acotaci´
on, pueden establecerse matrices de
transformaci´
on homog´
eneas para cada una de las articulacio-
nes y, simplemente multiplic´
andolas subsecuentemente, se lo-
gra calcular la posici´
on y orientaci´
on del elemento terminal a
partir de los valores de las coordenadas articulares.
2.2. Cinem´atica inversa
La cinem´
atica inversa consiste en calcular el valor de las
coordenadas articulares θipara una posici´
on y orientaci´
on de-
terminada del elemento terminal. Dado que el robot iiwa es un
robot redundante, la resoluci´
on de la cinem´
atica inversa da lu-
gar a infinitas soluciones. En la literatura se han establecido
diversas formas de afrontar la redundancia para resolver la ci-
nem´
atica inversa del robot iiwa, bien sea num´
ericamente (Song
et al., 2021), mediante el uso del algebra geom´
etrica (Zaplana
et al., 2022) o anal´
ıticamente mediante la parametrizaci´
on de
la redundancia (Shimizu et al., 2008; Zaplana et al., 2018). En
este trabajo se ha utilizado la metodolog´
ıa anal´
ıtica propuesta
en (Shimizu et al., 2008). En ella, se parametriza la redundan-
cia mediante un ´
angulo Ψ, de manera que los infinitos posibles
valores de dicho ´
angulo dan lugar a las infinitas soluciones po-
sibles de la cinem´
atica inversa.
La definici´
on del ´
angulo Ψse realiza teniendo en cuenta que
los elementos que van desde el hombro hasta la mu˜
neca van a
estar siempre en un mismo plano. De esta manera, ese plano
puede girar respecto a una direcci´
on que va desde el hombro
(Ps) hasta la mu˜
neca (Pw) seg´
un el ´
angulo Ψ, tal como muestra
la Figura 3. Adem´
as, de la Figura 2 se observa que los ejes de
las articulaciones 5, 6 y 7 intersectan en un punto, hecho que
va a permitir desacoplar los problemas de posici´
on y de orien-
taci´
on una vez fijada la redundancia.
Figura 3: Parametrizaci´
on de la redundancia mediante el ´
angulo Ψ(Shimizu
et al., 2008).
Dando un valor al ´
angulo Ψ, es posible plantear la reso-
luci´
on de la cinem´
atica inversa anal´
ıticamente resolviendo en
primer lugar el valor de la coordenada θ4, y sucesivamente los
valores de θ1,θ2yθ3del brazo, as´
ı como los valores θ5,θ6yθ7
de la mu˜
neca. Los detalles de dicha resoluci´
on pueden consul-
tarse en (Shimizu et al., 2008).
Tal como sucede en todos los robots, la cinem ´
atica inversa
da lugar a diferentes configuraciones o modos de ensamblaje.
Siendo un robot de 7 GDL, existen 4 factores que determinan
las distintas configuraciones del robot:
1. Hombro: formado por los elementos 1 y 2 del robot. Las
dos configuraciones posibles se denominan “Hombro de-
recha” y “Hombro izquierda”, Figura 4(a).
2. Orientaci´
on del Codo: formado por los elementos 3 y 4
del robot, puede tomar configuraciones de “Codo dere-
cha” y “Codo izquierda”, Figura 4(b).
3. Posici´
on del Codo: formado por la parejas de elementos
2 y 3 y la pareja 4 y 5, puede tomar las configuraciones
“Codo arriba” y “Codo abajo”, Figura 4(c).
4. Mu˜
neca: formada por los elementos 5 y 6, da lugar a las
configuraciones “Mu˜
neca arriba” y “Mu˜
neca abajo”, Fi-
gura 4(d).
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(a) Hombro izquierda y Hombro derecha (b) Codo izquierda y Codo derecha
(c) Codo arriba y codo abajo (d) Mu ˜
neca arriba y Mu˜
neca abajo
Figura 4: Distintas configuraciones del robot iiwa.
Dado que cada factor puede tomar dos valores, se tiene un
total de 24=16 combinaciones posibles para un ´
unico valor de
Ψ, dando lugar a 16 configuraciones diferentes del robot para
una misma pose (posici´
on y orientaci´
on) de su elemento termi-
nal. La Figura 4 muestra las variantes de los 4 factores indivi-
dualmente para una misma pose del elemento terminal.
3. C´
alculo de la rigidez de cada configuraci´
on
La rigidez de un robot se eval´
ua mediante su matriz de rigi-
dez, que relaciona el torsor Waplicado en su elemento terminal
con los desplazamientos cartesianos y angulares ∆Sque produ-
ce:
W=K∆S(1)
donde W=(Fx,Fy,Fz,Mx,My,Mz)Tes el torsor actuante y ∆S
=(∆xP,∆yP,∆zP,∆θx,∆θy,∆θz)Tson los desplazamientos que
produce, siendo θx,θyyθzlos ´
angulos de Euler que definen la
orientaci´
on del elemento terminal. N´
otese que si los vectores
Wy∆Sest´
an referidos a una base x−y−z, la matriz de rigidez
Kestar´
a referida a esa misma base x−y−z.
La matriz de rigidez es funci´
on de la configuraci´
on del robot
a trav´
es de su matriz Jacobiana. La matriz Jacobiana relaciona
el vector ˙
xde velocidades lineales y angulares del elemento ter-
minal con el vector ˙
θde velocidades en las articulaciones.
˙
x=J˙
θ(2)
En este caso, la matriz Jes una matriz de dimensiones 6×7
en la que cada columna tiene la forma:
Ji="zi−1×(On−Oi−1)
zi−1#(3)
donde zi−1es el eje de giro de la articulaci´
on (i−1)-´
esima y
OnyOi−1son, respectivamente, los vectores de posici´
on de las
referencias del elemento terminal y del elemento (i−1)-´
esimo,
ambos tomando la base fija como referencia (Tsai, 1999).
La matriz de rigidez se calcula a partir de la matriz Jacobia-
na y una matriz diagonal χcon la rigidez de cada articulaci´
on.
K=J−TχJ−1(4)
donde χ=diag(k1,...,kn), siendo kila rigidez de cada articula-
ci´
on.
Las rigideces kide cada articulaci´
on vienen dadas por la ri-
gidez constructiva de sus componentes. Concretamente, estos
valores hacen referencia a la constante de proporcionalidad en-
tre un par Tiaplicado en cada articulaci´
on y la desviaci´
on an-
gular ∆θique produce en la misma. Dado que dichos valores
kino est´
an en las especificaciones del fabricante, las rigideces
kise van a considerar proporcionales al par m´
aximo que pue-
de aportar cada articulaci´
on. As´
ı, se considera kiunitario para
las articulaciones 1 y 2, cuyo par m´
aximo para el LBR iiwa 7
R800 es de 176 Nm, y valores inferiores para el resto de articu-
laciones tal como se indica en la Tabla 2. Pese a no tratarse de
valores de rigidez realistas, este hecho no afecta a los resultados
presentados ya que el an´
alisis compara la rigidez de un mismo
robot en distintas configuraciones.
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Tabla 2: Rigidez de las articulaciones. Tmax en Nm ykien Nm/rad.
θ1θ2θ3θ4θ5θ6θ7
Tmax 176 176 110 110 110 40 40
ki1 1 0,625 0,625 0,625 0,227 0,227
De la Ecuaci´
on (4) se obtiene una matriz 6×6 que describe
la rigidez del robot en cualquier direcci´
on en una determinada
configuraci´
on. Dado que la matriz tiene 36 componentes, es-
tablecer un ´
ındice escalar que defina la rigidez no es una tarea
sencilla, m´
as a´
un teniendo en cuenta que la matriz de rigidez no
es homog´
enea dimensionalmente (Angeles, 2010). En la litera-
tura se han utilizado ´
ındices globales, que hacen referencia a
todo el espacio de trabajo o una porci´
on del mismo (Rao et al.,
2005; Zhang et al., 2018; Liao et al., 2022), e ´
ındices locales
referidos a la rigidez en una configuraci´
on determinada (Xue
et al., 2022). Respecto al modo de obtener un ´
ındice escalar a
partir de los 36 elementos de la matriz de rigidez K, se utilizan
valores relacionados con el determinante o el determinante de la
primera submatriz 3×3, que es dimensionalmente homog´
eneo y
hace referencia a los desplazamientos (Guo et al., 2015). Este
tipo de ´
ındices dan informaci´
on de la rigidez en general, pe-
ro una configuraci´
on del robot puede aportar valores de rigidez
muy elevados en una direcci´
on y una rigidez reducida en otras
direcciones. M´
as a´
un, es posible que en una aplicaci´
on espec´
ıfi-
ca sea interesante obtener una elevada rigidez en determinada
direcci´
on, resultando irrelevante el valor de la rigidez en otras
direcciones. Es as´
ı que en los ´
ultimos a˜
nos se est´
an utilizando
´
ındices de rigidez asociados a la tarea a realizar (Chen et al.,
2019; Qintao et al., 2019).
Figura 5: Robot de mecanizado a la derecha y robot de apoyo m´
ovil con rodillo
a la izquierda (Torres et al., 2020).
En la aplicaci´
on analizada en el presente trabajo, la aplica-
ci´
on de un robot como soporte m´
ovil en el mecanizado de pare-
des delgadas, se desea que el robot sea lo m´
as r´
ıgido posible en
la direcci´
on en la que empuja la chapa. La Figura 5 muestra los
dos robots y la chapa a mecanizar: El robot de la derecha es un
robot industrial que realiza una ranura sobre la chapa de pared
delgada, mientras que el robot de la izquierda es el robot iiwa
analizado en este art´
ıculo cuya funci´
on es seguir la trayectoria
de mecanizado desde la cara opuesta de la chapa empujando y
por tanto aportando rigidez a la chapa a mecanizar. En adelante,
el robot que mecaniza ser´
a denominado robot de mecanizado y
el robot iiwa que realiza la la labor de soporte m´
ovil ser´
a refe-
rido como robot de soporte o simplemente robot.
En esta aplicaci´
on, es evidente que el robot de soporte de-
be aportar rigidez en la direcci´
on perpendicular a la chapa. As´
ı,
si se ubica un sistema de referencia fijo con su eje xen la di-
recci´
on perpendicular a la chapa, el ´
ındice utilizado para repre-
sentar la rigidez del robot ser´
a el elemento Kxx . Considerar este
elemento como ´
ındice de rigidez en la direcci´
on x, es equivalen-
te al ´
ındice de rigidez direccional descrito en (Guo et al., 2015),
que se calcula premultiplicando y postmultiplicando la prime-
ra submatriz 3×3 de Kpor un vector unitario uen la direcci´
on
deseada:
kuu =uTK3×3u(5)
As´
ı, en caso de que el robot de soporte tuviese que aportar
rigidez en otra direcci´
on, bastar´
ıa con definir un vector uen la
direcci´
on deseada y utilizar (5) para obtener el ´
ındice de rigidez.
A modo de ejemplo, si el robot tuviera que ejercer de soporte
m´
ovil en el mecanizado de una placa curva, podr´
ıa utilizarse el
´
ındice kuu asociado a una direcci´
on uperpendicular a la chapa
en cada punto.
4. Resultados
La aplicaci´
on del c´
alculo de la rigidez se ha realizado so-
bre la trayectoria del robot de soporte como robot de apoyo en
la operaci´
on de mecanizado. En primer lugar, debe comprobar-
se que, en efecto, distintos valores del ´
angulo Ψdan lugar a
distintos valores de rigidez para una misma pose del elemen-
to terminal. Adicionalmente, debe realizarse un an´
alisis de las
distintas configuraciones en funci´
on de los 4 factores citados
previamente (Figura 4).
Dada la simetr´
ıa del robot, se ha comprobado que los facto-
res “Hombro”, “Orientaci´
on del Codo” y “Mu˜
neca” no afectan
a la matriz de rigidez. Esto es debido a la geometr´
ıa de robot
y a la disposici´
on de sus elementos constructivos. Tal como se
ilustra en la Figura 6, para las dos configuraciones “Hombro de-
recha” y “Hombro izquierda”, la disposici´
on de los elementos
constructivos que aportan rigidez al robot es la misma, con la
salvedad de que las bases 1 y 2 est´
an giradas 180◦en un caso
respecto al otro. Esto mismo sucede para las distintas configu-
raciones obtenidas seg´
un los factores “Orientaci´
on del Codo” y
“Mu˜
neca”.
Por su parte, el factor “Posici´
on del Codo” s´
ı afecta a la
rigidez ya que, en este caso, la distribuci´
on de los elementos
del robot ser´
a distinta para las configuraciones “Codo arriba” y
“Codo abajo”. No obstante, variando el valor del par´
ametro Ψ
se pueden alcanzar las citadas variantes “Codo arriba” y “Codo
abajo” de la Figura 4(c), ya que entre ambas existe un desfase
de Ψ = 180◦. Por tanto, para realizar este an´
alisis basta con va-
riar el ´
angulo Ψpara obtener todas las posibles configuraciones
del robot.
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(a) “Hombro derecha”
(b) “Hombro izquierda”
Figura 6: Distintos valores del factor “Hombro”.
4.1. Rigidez para distintas configuraciones en la misma pose
Como paso previo del an´
alisis, se ha evaluado la rigidez
del robot en una determinada pose del elemento terminal pa-
ra distintas soluciones de la cinem´
atica inversa, es decir, para
distintos valores del ´
angulo Ψ. Se ha tomado como pose de re-
ferencia la definida por las coordenadas xP=0,5m,yP=0,5m,
zP=0,8m, con los ´
angulos de Euler iguales a cero. La Figura
7 muestra una representaci´
on de la rigidez del robot de soporte
tomando como ´
ındice su elemento Kxx , en funci ´
on del ´
angulo
Ψpara la pose mencionada. Dado que la diferencia entre los
valores de Kxx para distintos valores de Ψes elevada, la repre-
sentaci´
on est´
a en escala logar´
ıtmica.
Figura 7: Kxx en funci ´
on de Ψpara una pose dada.
La Figura 7 confirma que la variabilidad de la rigidez es
muy alta y que, por tanto, las diferentes configuraciones alcan-
zables mediante el GDL redundante, parametrizadas mediante
el ´
angulo Ψ, dan lugar a distintos valores de rigidez. As´
ı, se-
leccionando el ´
ındice de rigidez adecuado, el GDL redundan-
te puede utilizarse para lograr configuraciones m´
as r´
ıgidas de
acuerdo a la aplicaci´
on que se le d´
e al robot.
4.2. Trayectoria como robot de soporte
Tal como se ha comentado en la Secci ´
on 3, se pretende utili-
zar el robot iiwa como robot de soporte que rigidice una chapa
de pared delgada, mientras por la otra cara el robot de meca-
nizado realiza una operaci´
on de mecanizado, tal como se ha
mostrado en la Figura 5.
La Figura 8 muestra una representaci´
on esquem´
atica de la
trayectoria del robot de soporte. El centro de la chapa est´
a si-
tuado a una distancia de la base del robot dada por las coor-
denadas xyz, mientras que la longitud de la trayectoria es Lt.
Adem´
as del GDL redundante, de la Figura 8 se observa que el
rodillo colocado en el elemento terminal puede girar respecto a
su eje sin alterar su funci´
on como robot de soporte. As´
ı, se tiene
una segunda redundancia en la trayectoria cuyo efecto tambi´
en
se debe analizar. Esta redundancia se parametriza mediante un
´
angulo δ, que representa la orientaci´
on del ´
ultimo elemento del
robot de soporte respecto a la direcci´
on perpendicular al plano
de la chapa (Figura 8).
Adicionalmente, la ubicaci´
on relativa entre el robot y la cha-
pa tambi´
en tiene una influencia considerable en la configura-
ci´
on en la que el robot realiza su tarea de soporte m´
ovil, con lo
que el presente trabajo tambi´
en tendr´
a en cuenta la ubicaci´
on
de la pieza respecto al robot.
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Figura 8: Trayectoria del robot de soporte.
Como primera prueba, se ha evaluado la rigidez del robot a
lo largo de la trayectoria para determinados valores del ´
angulo
Ψ, cada uno de ellos con 3 valores del ´
angulo δ. A modo de
ejemplo, se han tomado los valores Ψ = 0◦yΨ = 90◦y para
cada uno de ellos los valores δ=−15◦,δ=0◦yδ=15◦. Para
este primer an´
alisis se han tomado como valores de la Figura 8
x=0,5m,z=0,55 myLt=0,35 m, tomada esta ´
ultima dis-
tancia de manera sim´
etrica respecto a la posici´
on de la base del
robot de soporte que establece el recorrido de la coordenada y.
Figura 9: Rigidez para los valores Ψ = 0◦yΨ = 90◦.
La Figura 9 muestra la rigidez a lo largo de la trayectoria
para los citados 6 casos. Se observa c´
omo la rigidez en la di-
recci´
on xes mayor para el caso en el que Ψ = 90◦en cualquier
punto de la trayectoria independientemente del valor de δ. Asi-
mismo, se observa que el valor de δtiene una influencia en la
rigidez menor que el ´
angulo Ψ, aunque al tratarse de un solo
caso esta observaci´
on no se considera concluyente.
A partir de la Figura 9 se deduce que es mejor realizar la
trayectoria fijando el ´
angulo Ψa 90◦frente a fijarlo a 0◦, inde-
pendientemente del ´
angulo δ. Adem´
as, se observa que, mientras
con Ψ = 0◦se mantiene la simetr´
ıa para los valores positivos y
negativos de la coordenada y, en el caso de Ψ = 90◦esa simetr´
ıa
en Kxx se rompe, ya que la geometr´
ıa del robot no es sim´
etri-
ca a lo largo del recorrido. La Figura 10 permite visualizar esa
ausencia de simetr´
ıa cuando el valor del ´
angulo Ψes de 90◦
frente a la simetr´
ıa cuando el ´
angulo Ψes de 0◦, considerando
en ambos casos δ=0.
(a) Ψ = 90◦
(b) Ψ = 0◦
Figura 10: Robot en la trayectoria con distintos valores de Ψ.
4.3. Trayectoria de m´axima rigidez
Una vez constatado que las distintas configuraciones, de-
finidas mediante los ´
angulos Ψyδ, dan lugar a distintos va-
lores de la rigidez del robot, el paso final es utilizar los GDL
redundantes para optimizar la rigidez del robot a lo largo de la
trayectoria. Para ello, se ha discretizado la trayectoria y se ha
analizado la rigidez del robot en cada uno de sus puntos en fun-
ci´
on de los ´
angulos Ψyδ. Tal como se ha dicho previamente,
la ubicaci´
on de la pieza tambi´
en tiene influencia en la rigidez
que aporta el robot ya que, en funci´
on de esta ubicaci´
on, las
configuraciones en las que el robot realiza la trayectoria son
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La Figura 11 muestra el valor del ´ındice de rigidez Kxx a lo
largo de la trayectoria para distintos valores de Ψ y su valor
´optimo de δ, ubicando la pieza en distintas posiciones seg´un las
coordenadas x y z de la Figura 8. Nuevamente, el ´ındice de ri-
gidez Kxx se ha representado en escala logar´ıtmica debido a las
grandes diferencias de Kxx en funci´on de la configuraci´on del
robot.
(a) x=0,5m,z=0,55 m
(b) x=0,75 m,z=0,7m
Figura 11: Rigidez para distintos valores de Ψ y ubicaciones de la pieza seg´un
acotaci´on de la Figura 8.
La primera observaci´on de la Figura 11 es que, en efecto,
existen variaciones sustanciales del ´ındice de rigidez, con lo que
utilizar el GDL redundante resultara
´ ´util para llevar al robot a
una configuraci´on que aporte mayor rigidez. Asimismo, se ob-
serva que para las dos ubicaciones de la pieza la m´axima rigidez
se da cuando el valor es Ψ es cercano a los 180◦. Se debe apro-
vechar por tanto esta cresta de valores m´aximos para obtener la
mayor rigidez posible del robot a lo largo de la trayectoria. En
lo relativo a la ubicaci´on de la pieza respecto al robot, n´otese
que los valores num´ericos son m´as elevados en la Figura 11(a)
que en la Figura 11(b). Conviene por tanto analizar en mayor
profundidad la ubicación de la pieza
Para hallar la ubicaci´on ´optima de la pieza, se ha realizado
un barrido en las coordenadas x y z de la Figura 8. Se han toma-
do valores para x entre 0,45 m y 0,75 m y valores para z entre
0,55 m y 0,7 m, teniendo en cuenta que son los valores en los
que la trayectoria al completo est´a dentro del espacio de traba-
jo del robot de soporte, respetando las limitaciones del rango de
movilidad de cada articulaci´on. Ahora bien, tal como se ha
visto la rigidez del robot de soporte var´ıa a lo largo de la
trayectoria, por lo que para comparar las trayectorias entre s´ı es
necesario un ´ındice o valor de referencia. Se ha elegido para
ello el valor m´ınimo de la rigidez en la trayectoria, de manera
que se garan-tice que cualquier punto de la trayectoria tendra´
una rigidez de, como m´ınimo, el valor elegido. Los resultados
de este proceso se muestran en la Figura 12.
Figura 12: Valor m ´
aximo de rigidez m´
ınima a largo de la trayectoria, en funci´
on
de la ubicaci´
on de la pieza.
De la Figura 12 se observa que la coordenada ztiene una
menor influencia en la mejora de la rigidez, mostrando valo-
res casi constantes o con una variaci´
on peque˜
na. Por su parte,
la ubicaci´
on en xcobra una mayor importancia, obteni´
endose
valores m´
as elevados en el tramo entre 0,55 my 0,6m. Con-
cretamente, el valor m´
aximo de rigidez m´
ınima se da para las
coordenadas x=0,56 myz=0,55 m.
Una vez se tiene la ubicaci´
on ´
optima de la pieza, pueden
extraerse los valores de los ´
angulos Ψyδque maximizan la ri-
gidez del robot y, por ende, la trayectoria ´
optima para esta tarea
como soporte m´
ovil. La optimizaci´
on ha dado como resultado
que el valor de Ψes constante e igual a 180◦a lo largo de to-
da la trayectoria de m´
axima rigidez. Por su parte, la Figura 13
representa el valor de δa lo largo de la trayectoria de m´
axima
rigidez. Obs´
ervese que el valor de δes un valor que aumenta
linealmente desde −18◦hasta +18◦. Con estos valores de δ, to-
dos los elementos del robot de soporte permanecen en un plano
vertical, evitando flexiones fuera de dicho plano.
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Figura 13: Valor de δ´
optimo para pieza en x=0,56 myz=0,55 m.
Adicionalmente, la Figura 14 muestra el valor de las coor-
denadas articulares a lo largo de la trayectoria de m´
axima rigi-
dez. Dado que el robot permanece en un plano vertical durante
toda la trayectoria, se observa que la mayor´
ıa de las coordena-
das angulares apenas var´
ıan. As´
ı, la coordenada θ1va haciendo
girar el plano vertical y el resto de coordenadas sufren leves va-
riaciones para trazar la recta que est´
a en contacto con la chapa.
Figura 14: Valor de las coordenadas articulares en la trayectoria de m ´
axima ri-
gidez.
Finalmente, la Figura 15 representa el valor de rigidez ob-
tenido a lo largo de la trayectoria, en la que se ha a˜
nadido el
valor de la rigidez en las trayectorias iniciales de la Secci´
on
4.2. Tal como se aprecia en la imagen, los valores de rigidez
alcanzados son muy elevados con respecto a las trayectorias de
referencia con [Ψ, δ]=[0◦,0◦]y[Ψ, δ]=[90◦,0◦], por lo que
una vez m´
as se ha representado el valor de la rigidez en esca-
la logar´
ıtmica. N´
otese que los valores de rigidez obtenidos son
aproximadamente tres ´
ordenes de magnitud superiores a los de
las trayectorias de referencia, con lo que puede afirmarse que el
uso de los GDL redundantes del robot puede mejorar conside-
rablemente la rigidez del robot en este tipo de aplicaciones.
Figura 15: Rigidez en trayectorias para pieza en x=0,56 myz=0,55 m.
5. Conclusiones
Se ha llevado a cabo un an´
alisis de rigidez de un robot antro-
pom´
orfico redundante de 7 GDL. La resoluci´
on de la cinem´
ati-
ca inversa se ha parametrizado de manera que variando un solo
par´
ametro se alcancen las infinitas soluciones.
Se ha analizado la rigidez del robot a lo largo de una tra-
yectoria en la que el robot trabaja como soporte de una chapa
de pared delgada a la que otro robot est´
a realizando una ope-
raci´
on de mecanizado por la cara opuesta. Al tratarse de una
trayectoria definida mediante 5 GDL, el robot de 7 GDL per-
mite tener una redundancia de 2 GDL. Mediante las distintas
soluciones de la cinem´
atica inversa, se ha elegido la trayectoria
que aporta mayor rigidez en la direcci´
on deseada en esta apli-
caci´
on. Los resultados muestran que, efectivamente, la rigidez
del robot puede mejorarse sensiblemente utilizando los GDL
redundantes. En el mismo proceso, tambi´
en se han analizado
el efecto de la posici´
on relativa entre la chapa y la base del ro-
bot, observ´
andose que afecta tanto a los valores de rigidez en
s´
ı mismos como a la ubicaci´
on de las zonas en las que puede
alcanzarse la m´
axima rigidez.
Pese a que el an´
alisis se ha realizado sobre una trayectoria
recta en la que el robot debe aporta rigidez siempre en la mis-
ma direcci´
on, la formulaci´
on utilizada puede aplicarse al caso
de superficies curvas en las que la direcci´
on en la que se desea
mejorar la rigidez var´
ıe. Finalmente, el an´
alisis deber´
ıa comple-
tarse mediante experimentaci´
on en laboratorio.
Agradecimientos
Este trabajo ha contado con la financiaci´
on de la “Convoca-
toria de ayudas a proyectos de I+D del Gobierno de Navarra”,
bajo el proyecto con Ref. 0011-1365-2021-000080.
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