Dow-Jones Index Return and Risk Analysis Method Based on ARMA-GARCH Model under Epidemic Impact

Full text

Finance 金融, 2022, 12(1), 9-17
Published Online January 2022 in Hans. http://www.hanspub.org/journal/fin
https://doi.org/10.12677/fin.2022.121002
文章引用: 魏东乾. 疫情冲击下基于 ARMA-GARCH 模型的道琼斯指数收益率及风险分析方法[J]. 金融, 2022, 12(1):
9-17. DOI: 10.12677/fin.2022.121002
疫情冲击下基于ARMA-GARCH模型的道琼斯
指数收益率及风险分析方法
魏东乾
新加坡国立大学艺术与社会科学学院，新加坡
收稿日期：2021年11月15日；录用日期：2021年12月22日；发布日期：2021年12月29日
摘 要
本文使用ARMA-GARCH模型拟合，分析了疫情期间美国股市2019年至2020年部分期间数据。首先对数
据进行检验，得出序列不平稳的结论；应用ARMA-GARCH模型，可以有效地拟合出道琼斯指数收益率序
列，得到期间的波动率大小，通过图像能直观判断拟合模型后的波动率变化幅度；通过VaR的滚动预测
实证也证实了在3月份，股市的投资风险显著上升。可以得出，利用ARMA-GARCH模型进行股市收益率
及风险判断是可行的，拟合效果较好。但是，利用ARMA-GARCH模型时应注意：因为收益率序列的自相
关与偏自相关图不是典型的时序图，所以从时间序列图中要准确地把握好ARMA模型，否则容易导致
ARMA模型拟合存在偏差；GARCH模型可以进一步尝试其他分布的拟合。
关键词
ARMA-GARCH模型，收益率，VaR预测，股市风险
Dow-Jones Index Return and Risk Analysis
Method Based on ARMA-GARCH Model
under Epidemic Impact
Dongqian Wei
Faculty of Arts & Social Science, National University of Singapore, Singapore
Received: Nov. 15th, 2021; accepted: Dec. 22nd, 2021; published: Dec. 29th, 2021
Abstract
This paper uses ARMA-GARCH model fitting to analyze the data of US stock market during the epi-

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demic period from 2019 to 2020. Firstly, we test the data and draw the conclusion that the se-
quence is unstable; using ARMA-GARCH model, we can effectively fit the return series of Dow-Jones
index, get the volatility during the period, and intuitively judge the variation range of volatility af-
ter fitting the model through the image; through the rolling prediction of VaR, it is also confirmed
that the investment risk of the stock market increased significantly in March. It can be concluded
that it is feasible to use ARMA-GARCH model to judge stock market return and risk, and the fitting
effect is good. However, when using ARMA-GARCH model, we should pay attention to: because the
autocorrelation and partial autocorrelation diagrams of return series are not typical time series
diagrams, we should accurately grasp the ARMA model from the time series diagram, otherwise it
is easy to lead to deviation in the fitting of ARMA model; GARCH model can further try to fit other
distributions.
Keywords
ARMA-GARCH Model, Return Rate, VaR Prediction, Stock Market Risk
Copyright © 2022 by author(s) and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1. 引言
在疫情冲击下，道琼斯指数在 2020 年3月份出现了三次熔断，通过对道琼斯指数的收益率来观察疫
情对股市的冲击影响。为了验证 ARMA-GARCH 模型对于疫情冲击下股市指数预测的有效性，本文通过
ARMA-GARCH 模型对道琼斯指数收益率进行拟合与预测分析，在 ARMA-GARCH 模型的基础上对数据
进行风险的滚动预测与实证，评估道琼斯指数收益率的预期风险。本文选取了 2020 年3月份美国疫情爆
发前后一定时期内的股市指数的数据作为实证研究的对象，数据检验后进行 ARMA-GARCH 模型拟合，
应用 GARCH 模型的 VaR 进行滚动预测，验证预测效果。
2. ARMA-GARCH 模型介绍及相关文献
2.1. ARMA-GARCH 模型介绍[1]
一般的 ARMA(p, q)模型的形式为：
011
p
t it ti
q
it i
ii
r ra a
φφ θ
−−
= =
=+ +−
∑∑
，其中
{ }
t
a
是白噪声系列，p和
q都是非负整数。
GARCH 模型是 Bollerslev (1986)提出的广义 GARCH 模型。对于对数收益率序列
t
r
，令
ttt
a ru= −
为
时刻的新息，称
t
a
服从 GARCH(m, s)模型：
t tt
a
σε
=
，
2 22
011
m
t i ti j
j
s
tj
ia
σ α α βσ
−−
= =
=++
∑∑
。GARCH 模型
实际上就是在 ARCH 的基础上，增加考虑异方差函数的 p阶自回归性而形成，它可以有效的拟合具有长
期记忆性的异方差函数。ARCH 是GARCH 模型的一个特例。
实际上 ARCH 模型是在 ARMA 模型的基础上提出来的，两者的区别在于扰动项的设置不同，在
ARMA 模型中扰动项是最简单的白噪声序列。在现代高频金融时间序列中，数据经常出现波动性聚集的
特点，但从长期来看数据是平稳的，即长期方差(无条件方差)是定值，但从短期来看方差是不稳定的。对
于这种条件异方差，传统的时间序列模型如 ARMA 模型识别不出来这一特征。
任何时间序列都由一个均值方程和一个方差方程所组成，一般的 ARMA 模型忽略了方差方程，因为
残差是一个白噪声；而 GARCH 模型假设均值方程是一个常数，残差有 ARCH 效应。采用 ARMA-GARCH
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模型分析，就是分别对均值和方差建模，即均值满足 ARMA 过程，残差满足 GARCH 过程的一个随机过
程。
2.2. 相关文献叙述
相关学者运用 ARMA-GARCH 模型对股市指数及其他金融衍生产品指数的波动进行了分析、预测。
黄轩、张青龙建立 ARMA-GARCH 模型，对“沪深 300 指数”的波动率进行分析，证明了 ARMA-GARCH
模型的分析效果优于单独使用 ARMA 模型、GARCH 模型的预测效果[2]。潘贵豪等利用时间序列的相关
理论，建立了黄金价格的 ARMA-GARCH 模型进行实证分析，结果非常接近实际[3]。卢芊妤等利用
DCC-GARCH 模型得到股市动态条件相关系数，经过技术处理，构建测度 A股对央行公开市场操作敏感
性的 VaR 模型，得出经济紧张时相对较小的事件也能达到股市联动的巨大作用[4]。张桂香探讨 VaR 技
术在投资组合风险管理中的运用，并进行了实证分析，证明了 VaR 技术对于投资组合决策和绩效评估具
有较好的效果[5]。何晓光以隔夜拆借数据为样本，建立 ARMA-GARCH 模型的利率风险测度 VaR 模型，
分析了不同分布对不同场景的应用性[6]。张志强以沪深 300 指数为研究对象，建立了正态分布和 t分布
的ARMA-GARCH 模型，研究表明基于 t分布的 ARMA-GARCH 模型可以较好的沪深 300 指数的波动进
行模拟[7]。总之，ARMA-GARCH 模型对于金融市场的指数预测应用较为广泛，但是针对当前疫情冲击
作用下的分析文献还比较少见，本文对此进行了尝试。
3. 数据分析
数据来源于道琼斯指数 2019 年1月份至 2020 年5月份期间的 355 条样本数据，包括当日开盘价、
当日最高价、当日最低价、当日收盘价、当日成交量以及调整后的收盘价等 6条属性。时间序列 k线图
所示(图1)，价格指数在 2020 年3月份急剧下降，同时成交量达到峰值，是平时十倍左右，在此之前的
收盘价格都是呈稳步上升趋势，成交量比较平稳。
Figure 1. K-line chart of Dow-Jones index
图1. 道琼斯指数 k线图
属性变量矩阵估计如表1所示，开盘价和收盘价最高值分别为 29,440.00 与29,551.00，对应时间分
别是 2020 年2月21 日与 2020 年2月14 日，开盘价和收盘价的最低值分别为 19,028.00 与18,592.00，
对应时间均为 2020 年3月23 日，股价处于明显下跌状态；2020 年2月21 日至 3月23 日之间股市产生
大幅度下降，在 2020 年2月27 日成交额是平时数据的 10 倍左右。美股在 3月份发生了 10 日3次熔断

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的罕见情况。
可以看出，股市存在着短期周期性，2月份股市有下跌趋势应是正常现象。但在 3月初美国疫情开
始爆发，人们对债务危机出现预期心理，流动性放水加剧，导致股市低迷，说明疫情确实对美国股市产
生了较大影响。
Table 1. Attribute variable matrix
表1. 属性变量矩阵
DJIA.Open DJIA.Higk DJIA.Low DJIA.Close DJIA.Volume DJIA.Adjusted
Min.: 19028 Min.: 19121 Min.: 18214 Min.: 18592 Min.: 1.297e+09 Min.: 18592
1st Qu.: 25279 1st Qu.: 25523 1st Qu.: 25092 1st Qu.: 25387 1st Qu.: 3.336e+09 1st Qu.: 25387
Median: 26259 Median: 26422 Median: 26052 Median: 26258 Median: 3.653e+09 Median: 26258
Mean: 26103 Mean: 26285 Mean: 25909 Mean: 26109 Mean: 4.239e+09 Mean: 26109
3rd Qu: 27190 3rd Qu: 27280 3rd Qu: 27079 3rd Qu: 27185 3rd Qu: 4.146e+09 3rd Qu: 27185
Max.: 29440 Max.: 29569 Max.: 29407 Max.: 29551 Max.: 6.650e+10 Max.: 29551
4. ARMA-GARCH 模型拟合
4.1. 数据检验分析
对道琼斯指数的收盘价格做 t检验，结果为：t = 258.69，df = 354，p-value < 2.2e−16，说明不同样本
之间差异显著。进行 Ljung-BoxQ 统计量检验，结果为：X-squared = 2709，df = 10，p-value < 2.2e−16 远
小于 0.05，认为序列具有显著相关性，并非白噪声序列。
对道琼斯指数进行一阶对数差分计算收益率，即：
( )
ln ln 1
t
r Pt P t=−−
得到收益率时间序列图(图2)，初步判断此时的收益率序列并不存在时间趋势项。进一步进行单位根
检验，检验结果为：Lag Order = 10，Dickey-Fuller = −5.0265，p-value = 0.01，拒绝原假设，说明该序列
不含有单位根，不是随机游走序列。对收益率序列进行 Ljung-Box 检验，Q统计量检验的 p-value 小于 0.05，
说明序列并不平稳，需要拟合 ARMA 均值方程模型。
Figure 2. Time series of return rate
图2. 收益率时间序列图

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4.2. ARMA-GARCH 模型拟合
ARMA(p, q)均值方差模型为：
0
11
pq
t iti t i ti
ii
r ra a
φφ θ
−−
= =
=+ +−
∑∑
收益率的自相关系数图与偏自相关系数图如图3所示，自相关系数和偏自相关系数均存在拖尾性，
即自相关系数和偏自相关系数均存在相关性。对自相关系数与偏自相关系数图进行调试，最后拟合
ARMA(4, 2)，拟合后序列的残差相关系数图与偏自相关系数图如图4所示。
Figure 3. ACF and PACF of return rate of DJIA
图3. 收益率的自相关系数图与偏自相关系数图
Figure 4. Fitted ACF and PACF of return rate of DJIA
图4. 拟合后收益率的自相关系数图与偏自相关系数图

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初步认为此时的残差序列是平稳序列，进一步做 Ljung-Box 检验，结果分别为 X-squared = 426.85，
df = 10，p-value < 2.2e−16；Chi-squared = 154.82，df = 12，p-value < 2.2e−16。p-value 值大于 0.05，说明
序列是平稳序列，ARMA 拟合良好。
对残差平方序列进行波动性检验，结果分别为：X-squared = 426.85，df = 10，p-value < 2.2e−16；
Chi-squared = 154.82，df = 12，p-value < 2.2e−16。Ljung-Box 检验和拉格朗日乘数检验下，均显示残差序
列是具有 ARCH 效应的，所以对残差进一步拟合 GARCH 条件异方差方程，即：
2 22
0
11
t tt
mS
t i ti j ti
ij
aG
a
σ α α βσ
−−
= =
= Σ


=++

∑∑
其中
t
a
为均值方程后的残差，由于常见的 GARCH 模型通常是 GARCH(1, 1)，GARCH(1, 2)，GARCH(2, 2)，
通过模型的比较，最终选择使用 GARCH(1, 1)的异方差方程，即运用 ARMA(4, 2)-GARCH(1, 1)模型对收益
率序列进行拟合，拟合结果如表2所示。
Table 2. Fitting results of return rate series
表2. 收益率序列拟合结果
Estimate Std. t value Pr(>|t|)
mu 2.149e−02 8.217e−05 261.552 <2e−16
ar1 −8.138e−02 4.312e−05 −1887.307 <2e−16
ar2 9.999e−01 4.111e−05 24321.228 <2e−16
ar3 −2.183e−02 4.362e−05 −500.357 <2e−16
ar4 −1.290e−01 3.582e−05 −3602.046 <2e−16
ma1 9.635e−02 6.728e−05 1432.112 <2e−16
ma2 −9.998e−01 6.755e−05 −14799.746 <2e−16
omega 4.904e−02 1.681e−02 2.918 0.00352
alpha1 3.106e−01 6.969e−02 4.456 8.33e−06
beta1 6.874e−01 5.074e−02 13.547 <2e−16
各个系数的 t检验全部通过，说明系数的解释作用显著，最终得到模型：
123 4 1
2 22
1
0.021493 0.081385 0.999893 0.021827 0.129009 0.096348 0.999764
0.049044 0.310568 0.687393
t t t t t tt
t tt
r r r r r aa
a
σσ
−− − − −
−
=− + − − +−


=++


对该模型的残差项进行 ARCH 效应检验，结果为：Chi-squared = 8.3912，df = 12，p-value0.7539。P-value
大于 0.05，说明残差不具备 ARCH 效应，模型拟合成功。拟合的波动率序列图如图5所示，在尾部波动
率明显提高，说明序列在 3月份的时候波动的很剧烈，和收益率的时间序列(图2)对比可以发现，收益率
在3月份的时候出现了剧烈的波动，两个图的结果是相吻合的，进一步说明股票市场出现了剧烈波动，
疫情对股票市场产生了剧烈影响。标准化残差的时间序列图、自相关图以及平方自相关图如图6~8 所示，

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剔除个别异常值，标准化残差符合独立同分布序列的特征。用
2
t
µ
σ
+
可以作为的近似 95%置信区间，将
置信下限和置信下限分别延轴方向连成曲线，得到已知收益率在拟合波动率下的预测区间(图5~9)，可 以
看出，预测区间基本全部覆盖了收益率。
Figure 5. Fitted volatility series
图5. 拟合的波动率序列图
Figure 6. Time series diagram of standardized residuals
图6. 标准化残差的时间序列图
Figure 7. Autocorrelation diagram of standardized residuals
图7. 标准化残差的自相关图

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Figure 8. Square autocorrelation of normalized residuals
图8. 标准化残差的平方自相关图
Figure 9. Forecast interval of return rate under fitted volatility
图9. 收益率在拟合波动率下的预测区间
5. VaR 滚动预测
运用 ARMA-GARCH 模型，进一步预测下一日市场的 VaR 作为市场风险的评估方式，在正态分布条
件的假设下一天持有期的 VaR 分位数为：
( ) ( )
11
t at
pr q
σ
= +
利用拟合模型，置信区间取 99%，使用 2019 年年度收益率序列进行 VaR 的滚动预测，并与实际序
列进行比较。具体建模步骤如下：
1) 基于 ACF、PACF 判断均值方程的自回归项和漂移项；
2) 分别建立 AR(p)、MA(q)、ARMA(p, q)模型；
3) 根据三个模型的 AIC 值选择最优作为均值方程；
4) 分别建立 GARCH(1, 1)、GARCH(2, 1)、GARCH(2, 2)模型；
5) 判断三个模型的系数显著性，选择显著性检验均通过的模型；
6) 检验残差是否具有 ARCH 效应。
利用循环做每日的滚动，预测 2020.01.01~2020.05.30 的VaR，如图10 所示：可以看出 VaR 曲线完
全包裹住了收益率，说明包裹性很好，并且可以很好的看出来在中间部分也就是 3月份的时候达到了峰

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值。由于收益率是取的绝对值所拟合的图形，实际上三月份的收益率是为负值，这实际情况相吻合。说
明应用 GARCH 模型的 VaR 滚动预测有较好的效果。
Figure 10. Predicted curve of VaR
图10. VaR 预测曲线
6. 结论
1) 在疫情刚产生时期，股票市场的确产生了很大波动效应，同时对应的风险也是很大的。应用
ARMA-GARCH 模型，可以有效地拟合出道琼斯指数收益率序列，进而得到期间的波动率大小，同时通
过图像能直观判断拟合模型后的波动率变化幅度；通过 VaR 的滚动预测实证也证实了在 3月份下，股市
的投资风险显著上升。可以得出，本文利用 ARMA-GARCH 模型进行股市收益率及风险判断是可行的，
拟合效果较好。
2) 利用 ARMA-GARCH 模型时应注意：因为收益率序列的自相关与偏自相关图不是典型的时序图，
所以从时间序列图中要准确地把握好 ARMA 模型，否则容易导致 ARMA 模型拟合存在偏差；GARCH
模型可以进一步尝试其他分布的拟合[6] [7]。
参考文献
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