Aberraciones ópticas en sistemas discretos y finitos, sobre el espacio fase

Full text

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
POSGRADO EN CIENCIAS FÍSICAS
INSTITUTO DE CIENCIAS FÍSICAS
FÍSICA MATEMÁTICA
ABERRACIONES ÓPTICAS EN SISTEMAS DISCRETOS Y
FINITOS, SOBRE EL ESPACIO FASE
TESIS
QUE PARA OPTAR POR EL GRADO DE:
MAESTRO EN CIENCIAS FÍSICAS
PRESENTA:
ROBERTO KENAN URIOSTEGUI UMAÑA
TUTOR:
DR. KURT BERNARDO WOLF BOGNER
INSTITUTO DE CIENCIAS FÍSICAS
MIEMBROS DE COMITÉ TUTOR:
DR. NATIG ATAKISHIYEV
INSTITUTO DE MATEMÁTICAS
DR. REMIGIO CABRERA
INSTITUTO DE CIENCIAS FÍSICAS
MÉXICO, CIUDAD DE MÉXICO, JULIO 2017

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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
POSGRADO EN CIENCIAS FÍSICAS
INSTITUTO DE CIENCIAS FÍSICAS
FÍSICA MATEMÁTICA
ABERRACIONES ÓPTICAS EN SISTEMAS DISCRETOS Y
FINITOS, SOBRE EL ESPACIO FASE
TESIS
QUE PARA OPTAR POR EL GRADO DE:
MAESTRO EN CIENCIAS FÍSICAS
PRESENTA:
ROBERTO KENAN URIOSTEGUI UMAÑA
TUTOR:
DR. KURT BERNARDO WOLF BOGNER
INSTITUTO DE CIENCIAS FÍSICAS
MIEMBROS DEL COMITÉ TUTOR:
DR. REMIGIO CABRERA
INSTITUTO DE CIENCIAS FÍSICAS
DR. NATIG ATAKISHIYEV
INSTITUTO DE MATEMÁTICAS
MÉXICO, CIUDAD DE MÉXICO, JULIO 2017

ii

iii
Miembros del Jurado Evaluador:
•Dr. Wolf Luis Mochán Backal
Instituto de Ciencias Físicas, UNAM
•Dr. Kurt Bernardo Wolf Bogner
Instituto de Ciencias Físicas, UNAM
•Dr. Alejandro Ramirez Solís
Instituto de Investigación en Ciencias Básicas y Aplicadas, UAEMor
•Dr. Octavio Hector Castaños Garza
Instituto de Ciencias Nucleares, UNAM
•Dr. Hector Moya Cessa
Instituto Nacional de Astrofísica, Óptica y Electrónica

iv

v
Dedico este trabajo a mi esposa, Yuvia.

vi

vii
Agradecimientos
Agradezco profundamente a mi esposa Yuvia por impulsarme día con día a cumplir con
nuestras metas y objetivos. Gracias por acompañarme en las noches de café y nunca perder la
confianza. Gracias por todo tu amor, amistad y comprensión.
Agradezco al Dr. Kurt B. Wolf por enseñarme, tanto en sentido académico como personal.
Su apoyo y dirección han sido vitales para mi desarrollo académico. Introducirme a la inves-
tigación científica desde su particular punto de vista ha hecho de esta labor una experiencia
sumamente grata.
Agradezco al Dr. Remigio Cabrera por su apoyo como parte de mi comité tutoral, así como
sus consejos y enseñanzas que me han hecho crecer como estudiante. Al Dr. Natig Atakishiyev,
agradezco profundamente su interés académico y apoyo como tutor. Al Quim. Guillermo
Krötzsch agradezco su apoyo como miembros del mismo equipo de trabajo.
Al Instituto de Ciencias Físicas UNAM, donde realizé el trabajo presentado en este do-
cumento agradezco permitirme el uso de sus instalaciones como estudiante asociado, a sido
invaluable. Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACyT) por apoyarme económi-
camente a través de su programa de becas de posgrado.

viii

ix
Resumen
Usando el esquema de aberraciones de Hamilton–Lie y el método de cuantización finita,
basado en el álgebra de Lie su(2)y el modelo de oscilador discreto y finito, se analiza la estructura
de transformaciones sobre señales definidas sobre N2puntos del espacio de dimensión D=2,
en el espacio fase. Se consideran señales f=fmx,mycomo matrices de dimensión N×N,
donde N=2j+1yjes la dimensión de la representación de su(2). Estas transformaciones
pertenecen al grupo U(N), parametrizado para realizar una expansión en aberraciones alrededor
de una vecindad del subgrupo U(2), que contiene la parte paraxial de ellas.
Se realiza una descripción de aberraciones en sistemas finitos bidimensionales a través de
una expansión del modelo de cuantización de sistemas unidimensionales, asignando una copia de
álgebra u(2)a cada dirección del plano cartesiano. El presente trabajo se centra en aberraciones
con simetría diédrica D4, debido a que su análogo geométrico son aberraciones axialmente
simétricas. Se muestran las aberraciones de cuarto orden, consistentes de un sextuplete en
monomios de los operadores Q(posición) y P(momento), mas tres que involucran términos
en L(pseudo-energía), las cuales son propias de este esquema de cuantización. El aspecto del
sextuplete de aberraciones es comparado con su análogo en la óptica geométrica.

x

xi
Índice general
Jurado Evaluador iii
Agradecimientos vii
Resumen ix
Índice general xi
Índice de figuras xiii
1 Introducción 1
2 Modelo de aberraciones de Hamilton-Lie 5
2.1 Sistemas unidimensionales ............................ 6
2.1.1 Base monomial .............................. 6
2.1.2 Álgebras de aberraciones aKsp(2,R).................. 9
2.1.3 Grupos de aberraciones AKSp(2,R)................... 13
2.1.4 Aberraciones del espacio fase ...................... 17
2.2 Sistemas 2D axialmente simétricos ........................ 22
2.2.1 Base en coordenadas reducidas ...................... 22
2.2.2 Álgebra y grupo de aberraciones ..................... 23
2.2.3 Aberraciones de tercer orden ....................... 24
3 Sistemas discretos y finitos 27
3.1 Señales unidimensionales ............................. 27
3.1.1 Mapeo del espacio fase sobre la esfera .................. 28
3.1.2 Modelo su(2)–cuantizado ........................ 30

xii ÍNDICE GENERAL
3.1.3 Ordenamiento de Weyl .......................... 32
3.1.4 Grupo de aberraciones unitarias ..................... 35
3.1.5 Aberraciones de U(N).......................... 36
3.2 Aberraciones en sistemas 2Dcon simetría diédrica D4............. 45
3.2.1 Extensión del modelo de cuantización finita ............... 45
3.2.2 Mapeo paraxial .............................. 47
3.2.3 Aberraciones en pantallas pixeladas ................... 52
4 Conclusiones 61
Apéndices 63
A Función de Wigner de SU(2)63
Bibliografía 67

xiii
Índice de figuras
2.1 Diagrama de peso para sp(2,R)............................ 7
2.2 Transformaciones lineales y aberraciones del espacio fase clásico, generadas por los elementos
del grupo de aberraciones puras Gk(αˆ
Mk,m), clasificadas por orden ak=2k−1y peso m;
aproximados hasta primer orden en el parámetro de aberración α. El mapeo unitario se encuentra
en la cima, seguido de las traslaciones de Heisenberg–Weyl a lo largo de qyp(orden de aberración
cero). Los tres mapeos lineales correspondientes a k=1son: propagación, magnificación y
lente delgada; las aberraciones de orden k=2,3,4,5le siguen. ............... 20
2.3 Líneas de flujo correspondientes a las aberraciones de orden ak=3. De izquierda a derecha son:
m=2aberración esférica, m=1coma, m=0astigmatismo (curvatura de campo), m=−1
distorsión, m=−2pocus. ............................... 21
2.4 Diagramas de manchas del sextuplete correspondiente a las aberraciones de rango K=2. Los
índice (2,0,0)corresponden a la aberración esférica, la cual es un campo independiente, es decir,
no depende de la posición respecto al eje óptico; (1,1,0)corresponde a coma, es un campo
linealmente dependiente; (1,0,1)es curvatura de campo; (0,2,0)es astigmatismo; (0,1,1)es
distorsión, y (0,0,2)es pocus. ............................. 26
3.1 Esfera clásica en el espacio metafase (q,p, λ) ∈ R3, con ejes cartesianos de posición q, momento
py pseudo energía λ. El plano tangente al polo sur λ=−r, es el espacio fase (q,p)de la óptica
geométrica paraxial. ................................. 29
3.2 Esfera (lado izquierdo) del espacio metafase parametrizada por los ángulos (β, γ)con β∈ [0, π]y
γ∈ (−π, π], posteriormente proyectada sobre un plano (lado derecho) usando la función Wigner
de su(2)....................................... 36

xiv ÍNDICE DE FIGURAS
3.3 Del lado izquierdo se muestra la función "señal", esta es una función δq,0definida para N=21
puntos (j=10). La función solo existe sobre los puntos, pero se han unido con líneas a trozos
para mejorar su visibilidad. De color azul se muestra el valor real de la función y en verde su
valor absoluto. Del lado derecho se muestra una gráfica de contornos de la función de Wigner
W(δq,0|β, γ)de la función delta de Kroneker. Los contornos representan los valores principales
de la proyección. ................................... 37
3.4 Función delta de Kronecker y su respectiva función de Wigner bajo la acción de transformaciones
SU(2)lineales (3.17). Los puntos y lineas azules representan los valores reales de la función y
en verde aparece su valor absoluto. En la esquina superior izquierda se muestra la “rotación”
de SU(2)generada por el operador ˆ
Pa través de la matriz unitaria exp(−iαˆ
P). En la esquina
superior derecha, la traslación en el espacio de momento de SU(2)actuando por medio de
exp(−iαˆ
Q), la cual únicamente imprime una fase que para esta señal es 1. En la imagen inferior
se muestra la acción del elemento exp(−iαˆ
L), conocido como transformada de Fourier–Kravchuk
(considerando una fase). En todos los casos el valor del parámetro de transformación es α=1
4π.38
3.5 Del lado izquierdo se muestra la función "señal", esta es una función rectángulo definida para
N=21 puntos, Rect(q)=1para −4≤q≤4y cero en cualquier otro lugar. Tal como antes,
de color azul se muestra el valor real de la función y en verde su valor absoluto, y del lado
derecho se muestra una gráfica de contornos de la proyección sobre un plano de la función de
Wigner W(Rect(q)|β, γ)de la función rectángulo de Kroneker sobre la esfera. Los valores de los
contornos son: 0.0,0.0001,0.001,0.01,0.2,0.3,· · · ,0.15,0.2,0.3,· · · ,3.0,3.1......... 39
3.6 Función rectángulo y su función de Wigner bajo la acción de las transformaciones SU(2)lineales
generadas por ˆ
P,ˆ
Qyˆ
L, las cuales se muestran en dicho orden. Los puntos de la señal siguen
la convención adoptada en las figuras anteriores. El parámetro de transformación se ha elegido
igual para cada una de ellas, α=1
4π. A pesar de que la “rotación" de SU(2)deforma la función,
es posible comparar las dos primeras transformaciones con la segunda fila de la pirámide en la
figura 2.2; la última imagen puede compararse con un giro de 45◦de la función, en dirección
contraria al giro de las agujas del reloj. ......................... 40
3.7 Aberraciones de orden A=2de la señal de la figura 3.5. Para todas las transformaciones el
valor del parámetro de aberración es β=0.05. La columna izquierda presenta las aberraciones
producidas por ˆ
M0
1,1=ˆ
P2W,ˆ
M0
1,0=ˆ
Qˆ
PWyˆ
M0
1,−1=ˆ
Q2W, respectivamente en orden
decreciente. Estas pueden ser comparadas con la tercera fila de la piramide en la figura 2.2
correspondiente a sistemas continuos. La columna derecha presenta las aberraciones generadas
a través de ˆ
M1
1,1
2
=ˆ
Lˆ
PWyˆ
M1
1,1
2
=ˆ
Lˆ
QW, respectivamente. .............. 40

ÍNDICE DE FIGURAS xv
3.8 Aberraciones de orden A=3de la señal 3.5. En estas aberraciones se ha usado un valor de
β=0.01 como parámetro de aberración. Del lado izquierdo se presentan –en orden descendente–
las aberraciones producidas por ˆ
M0
3
2,3
2
=ˆ
P3W,ˆ
M0
3
2,1
2
=ˆ
Qˆ
P2W,ˆ
M0
3
2,−1
2
=ˆ
Q2ˆ
PW
yˆ
M0
3
2,−3
2
=ˆ
Q3W, las cuales pueden ser comparadas con la cuarta fila de la pirámide de
aberraciones 2.2. Del lado derecho de la figura, se presentan las aberraciones generadas por
ˆ
M1
3
2,1
=ˆ
Lˆ
P2W,ˆ
M1
3
2,0
=ˆ
Lˆ
Qˆ
PWyˆ
M1
3
2,−1
=ˆ
Lˆ
Q2W................. 41
3.9 Aberraciones de orden A=4. de la señal 3.5, con parámetro de aberración β=0.002. En la
columna izquierda se muestran las aberrciones generadas por ˆ
M0
2,2=ˆ
P4W,ˆ
M0
2,1=ˆ
Qˆ
P3W,
ˆ
M0
2,0=ˆ
Q2ˆ
P2W,ˆ
M0
2,−1=ˆ
Q3ˆ
PWyˆ
M0
2,−2=ˆ
Q4W. Pueden observarse las similitudes
que presentan estas aberraciones con las que muestra la quinta fila de la pirámide de la figura
2.2, también resulta ilustrativo compararlas con los flujos de la figura 2.3. En la columna derecha
se presentan las aberraciones generadas a través de ˆ
M1
2,3
2
=ˆ
Lˆ
P3W,ˆ
M1
2,1
2
=ˆ
Lˆ
Qˆ
P2W,
ˆ
M1
2,−1
2
=ˆ
Lˆ
Q2ˆ
PWyˆ
M1
2,−3
2
=ˆ
Lˆ
Q3W........................ 42
3.10 Estado base del oscilador finito y discreto (3.24). En la cima de la pirámide, puede verse la fun-
ción sin transformación. El tamaño de la señal es de N=21 puntos ( j=10). Los puntos grandes
muestran el valor absoluto de la función y las líneas a trozos muestran su valor real. Las aberra-
ciones mostradas están en correspondencia con la cuantización finita de los monomios clásicos
mostrados en (3.20). Los parámetros de aberración usados son: φ=1
4πpara A=1,α=0.05
para A=2,β=0.01 para A=3yγ=0.002 para A=4. El valor de los contornos que muestran
los gráficos de densidad son: 0.0,0.0001,0.001,0.01,0.2,0.3,· · · ,0.15,0.2,0.3,· · · ,3.0,3.1.
Puede observarse que estas señales no presentan distorsiones sobre todo el espacio fase, como en
el caso de una señal rectangular. ............................ 44
3.11 Aberraciones del estado base (3.24) del oscilador discreto y finito. Las aberraciones mostradas
están en correspondencia con su equivalente discreto y finito de los monomios en (3.21). El
tamaño de la señal es de N=21 puntos. Las gráficas siguen las convenciones de la figura
anterior. Se ha utilizado el mismo valor de los parámetros de acuerdo a su orden de aberración A.44

xvi ÍNDICE DE FIGURAS
3.12 Transformación de una señal de 65 puntos, consistente de un solo pixel de valor uno sobre una
base de ceros, bajo el mapeo debido a las exponenciales: exp −iαˆ
P(pseudo-traslación) en la
imagen superior y exp −iαˆ
L(transformada de Fourier-Kravchuk) en la imagen inferior. Se
muestra la parte real, imaginaria y el valor absoluto de estas transformaciones, para parámetros:
α=0.0,0.1,0.3y0.5. La escala de grises ha sido ajustada para mostrar en color negro el
mínimo, blanco el máximo y gris los valores cero, para cada gráfica. También se ha modificado
la escala de tamaño por pixel a 4: 1 , respecto a altura-anchura, con la finalidad de mejorar la
visualización. .................................... 48
3.13 Transformación de una señal de 65 puntos, consistente de cinco pixeles equidistantes de valor
uno, sobre una base de ceros. En la primera imagen, el mapeo es producido por exp −iαˆ
P2
y la segunda es mapeada por exp −iαˆ
Qˆ
PW. Como en la figura anterior, se muestra la
parte real, imaginaria y valor absoluto en la misma escala de grises, aquí para parámetros
α=0.0,0.001,0.003 y0.005. La escala por pixel es 4:1, de nuevo. ............ 49
3.14 Señal bidimensional de tamaño 65 ×65, compuesta por 25 puntos con valor uno representados
en color blanco, acomodados uniformemente; los pixeles en tono gris poseen valor cero. . . . . 50
3.15 Mapeo de la señal 3.14, bajo las transformaciónes generadas por exp −iαP(imagen superior) y
exp −iαL(imagen inferior). El parámetro de transformación es α=0.06 para ambos mapeos.
La escala de grises ha sido ajustada para mostrar el máximo en color blanco y el mínimo en
negro, el valor cero se muestra en un tono intermedio de gris. ............... 51
3.16 Transformaciónes paraxiales generadas por exp −iαP2con α=0.002 (imagen superior) y
exp −iβ{Q·P}Wcon β=0.004 (imagen inferior). La escala de grises ha sido ajustada para
mostrar el máximo en color blanco y el mínimo en negro, el valor cero se muestra en un tono
intermedio de gris. .................................. 52
3.17 Transformación generada por la exponencial del operador de helicidad, exp −iβ{Q×P}W.
Los parámetros utilizados, de izquierda a derecha, son β=0.0,0.002,0.004,0.006. La escala
de grises está ajustada para mostrar en blanco el máximo de la transformación, en gris los valores
cero y en negro el mínimo. .............................. 53
3.18 Aberración esférica de la imagen (3.11), generada por exp −iαP22con α=1×10−6en
aproximación a tercer orden de su serie de Taylor. Comenzando por la imagen superior y de
izquierda a derecha, se presenta la parte real, imaginaria y valor absoluto de la señal discreta
y finita aberrada; la última imagen es el diagrama de manchas del caso continuo de la óptica
geométrica. La escala de grises ha sido ajustada para mostrar en negro el mínimo, en gris el valor
cero y en blanco el máximo de la señal. ......................... 55

ÍNDICE DE FIGURAS xvii
3.19 Pocus es generada por exp −iαQ22con α=5×10−6. Se presenta la parte real, imaginaria,
valor absoluto y el caso continuo, en el mismo orden que en la figura anterior; igualmente se
sigue el mismo ajuste para la escala de grises. Debe notarse que debido a que se trata de una
aproximación a tercer orden, se ha perdido la unitariedad de la transformación, lo que produce
pérdida en la amplitud total de algunos pixeles. ...................... 55
3.20 Aberración comática es generada a través de exp −iαP2Q·PWcon α=3×10−6en
aproximación a tercer orden de su serie de Taylor. Se muestra la parte real, imaginaria, valor
absoluto y diagrama de manchas de la óptica geométrica, en el orden previamente establecido, al
igual que la escala de grises. .............................. 56
3.21 Distorsión es generada a través de exp −iαQ·P Q2Wcon α=5×10−6Esta aberración es
conjugada de Fourier de la aberración comática. La escala de grises y orden de las imágenes es
la misma que antes. Obsérvese el desplazamiento de los máximos de la señal 3.14 hacia el centro
de la imagen, tal como ocurre en el caso continuo, siendo mayor el efecto para los pixeles más
lejanos al eje de simetría. ............................... 57
3.22 Curvatura de campo es generada por exp −iαP2Q2W. El parámetro de aberración es α=
5×10−6. La posición y contenido de las distíntas imágenes es el seguido en las figuras anteriores,
así como la escala de grises. Note la similitud con el caso continuo pese a verse fuertemente
afectada por los bordes de la imagen. .......................... 57
3.23 Astigmatismo es la transformada auto-recíproca es generada por exp−iα(Q·P)2W. El
parámetro de aberración es α=5×10−6. Pese a que existen oscilaciones propias de este modelo
y la naturaleza finita del sistema, puede observarse gran similitud entre los casos discreto y continuo. 58
3.24 Aberraciones de orden Ak=4correspondientes al grado k=2. Del lado derecho de la figura se
muestra el operador cuya exponencial genera la transformación. Los parámetros de aberración,
son: α=2×10−6,β=5×10−6yγ=5×10−6, respectivamente en orden descendente. La
escala de grises se ha ajustado del mismo modo que en las figuras anteriores. ........ 59

xviii ÍNDICE DE FIGURAS

1
Capítulo 1
Introducción
Cuando los rayos de luz provenientes de un punto objeto pasan a través de un dispositivo óptico
y estos no forman un solo punto imagen, se dice que la imagen ha sido aberrada. La descripción
de este fenómeno está más allá de la aproximación paraxial. En óptica geométrica se describen
las transformaciones que sufre un haz de luz por medio de transformaciones canónicas, las
cuales son lineales en el regimen paraxial y no lineales en el regimen metaxial. En óptica
discreta, también es posible expresar la dinámica de los sistemas por medio de transformaciones
canónicas al realizar un proceso de quantización finita fundamentado en el modelo de oscilador
armónico discreto y finito.
El modelo de oscilador finito basado en el álgebra su(2)y grupo SU(2)de Lie, ha sido usado
para analizar señales discretas y finitas sobre el espacio fase. En [25], L. E. Vicent y K. B. Wolf
proponen funciones discretas de Laguerre–Kravchuk como una base ortonormal conveniente
para analizar y sintetizar imágenes discretas de forma exacta. Cuando el numéro de pixeles que
forma la imagen tiende a infinito, el modelo se contrae al caso continuo de la óptica geométrica
(o bien, a la óptica ondulatoria), esta contracción es realizada por los autores en [28].
En una dimensión las coordenadas del espacio fase, posición qy momento p, son deformadas
a matrices autoadjuntas QyPde dimensión (2j+1), que actúa sobre vectores f={fm}j
m=−j∈
C2j+1. Este proceso de cuantización finita ha sido llamado el Camino real [26] para ir de
la óptica geométrica a la óptica discreta, pues se trata de un proceso paralelo al de ir de la
mecánica clásica a la cuántica. Ha sido utilizado sobre señales unidimensionales para analizar
la transformada fraccional de Fourier, vuelo libre y squeezing. En señales 2Dse ha aplicado para
obtener rotaciones, giraciones y transformadas de Fourier, y en 3Dpara rotacion de imágenes
voxeladas [27].

2 Introducción
En este trabajo se presenta una generalización del modelo de cuantización finita para analizar
la estructura del conjunto de transformaciones sobre señales bidimensionales (pantallas pixe-
ladas). Se consideran señales como matrices del espacio vectorial RN2, donde N=2j+1y
jes el tamaño de la representación de su(2). El valor de los elementos matriciales se asocia
al valor, en escala de grises, de pixeles sobre una pantalla. Las transformaciones unitarias que
puede sufrir una pantalla representada por una matriz N×N, pertenecen al grupo U(N). La
parametrización de este grupo se realiza alrededor de la vecindad del subgrupo U(2), es decir,
se trata de una expansión de transformaciones no lineales alrededor del régimen lineal. Son
estas transformaciones canónicas no lineales las que se conocen como aberraciones. Su análisis
en sistemas 2Dcon la simetría del grupo D41constituye la aportación principal del presente
desarrollo.
El capítulo 2 presenta la teoría de aberraciones de Hamilton–Lie, basada en el álgebra
simpléctica sp(2,R)y desarrollado dentro del marco de la óptica geométrica. Está dividido en
dos secciones principales, la primera de ellas, dedicada a sistemas unidimensionales, presenta
una base monomial para el espacio de todas las funciones analíticas en variables del espacio
fase (q,p), por medio de la cual se genera el álgebra de Lie de aberraciones aKsp(2,R)que a su
vez genera el grupo de aberraciones AKSp(2,R). La acción de este grupo se clasifica por orden
ak=2k−1, donde kes el rango. En la segunda sección, se desarrolla la teoría de aberraciones
para sistemas bidimensionales axialmente simétricos; esta es una extrapolación del caso 1D,
cuya mayor diferencia se encuentra en la nueva base para las transformaciones. De igual forma,
se define un álgebra y un grupo de aberraciones. Se muestra el aspecto de las aberraciones de
tercer orden por medio de diagramas de manchas.
El capítulo 3 –también dividido en dos secciones principales–, está dedicado a sistemas
discretos y finitos. En la primera sección se desarrolla el método de cuantización finita para
sistemas unidimensionales. Se introduce el esquema de ordenamiento de Weyl, y se utiliza
la función de Wigner de su(2)para mostrar el aspecto de las aberraciones. Aquí el orden de
aberración será Ak=2k, y aparecen aberraciones que no tienen análogo geométrico. En la
segunda sección se presentan las aberraciones sobre pantallas pixeladas. La generalización del
método de cuantización implementado sobre señales 2Dse realiza asignando una copia del
álgebra u(2)a cada coordenada cartesiana. Este modelo no tiene dificultad en ser implementado
sobre pantallas cuadradas o rectángulares, pero se ha optado por el caso cuadrado porque
1El grupo diédrico D4está formado por el elemento identidad, tres rotaciones por los ángulos θ=90◦,180◦y
270◦, además de inversiones sobre los ejes x,yy dos ejes diagonales a 45◦y135◦; un total de ocho elementos.

3
concentra todos los rasgos interesantes.
Se presentan seis aberraciones de cuarto orden, linealmente independientes y tres aberra-
ciones más, que se derivan de la generalización del caso unidimensional. Se conjetura sobre la
pérdida de unitariedad en las transformaciones. Finalmente en el último capítulo se presentan
algunas conclusiones.

4 Introducción

5
Capítulo 2
Modelo de aberraciones de
Hamilton-Lie
Es común que en el marco de la óptica geométrica se dividan las transformaciones canónicas
del espacio fase en dos regímenes: El paraxial, constituído por transformaciones lineales, y el
metaxial de las transformaciones no-lineales conocidas como aberraciones. En este capítulo se
hará uso de la teoria de álgebras y grupos de Lie para clasificar las deformaciones del espacio
fase. El modelo que describe estos mapeos es llamado de Hamilton-Lie porque son canónicos
y se transforman como elementos de multipletes finitos del álgebra simpléctica de dimensión
D=2; este modelo fue estudiado y desarrollado por K. B. Wolf [1,2,3], utilizando algunos
métodos introducidos por A. J. Dragt [6,7,8,9]. En este marco teórico, las transformaciones
lineales inhomogéneas son generadas por funciones lineales y cuadráticas de las coodenadas
del espacio fase (posición qy momento p), mientras que las aberraciones son generadas por
funciones homogéneas de potencias mayores en estas coordenadas.
La mayor parte de la literatura dedicada al tratamiento de aberraciones ópticas sigue la
clasificación introducida por Ludwig Seidel en 1853, la cual considera "errores de imagen”
respecto a la posición de rayos a la entrada y salida de pantallas de un aparato [4]. La clasificación
de aberraciones de Hamilton-Lie se desarrolla sobre el escenario del espacio fase a través de
grupos de transformaciones. Esencialmente ambos esquemas coinciden en las aberraciones de
orden más bajo. Las aberraciones de Hamilton-Lie describen las no-linealidades de los mapeos
del espacio fase como desarrollos perturbativos de sistemas hamiltonianos.

6 Modelo de aberraciones de Hamilton-Lie
2.1 Sistemas unidimensionales
En esta sección se clasifican los polinomios en variables del espacio fase (q,p)y las aberraciones
que generan, a través de su grado y de otro número "cuántico” de importancia teórica. Se mostrará
que truncando a orden finito los generadores de estos mapeos forman un álgebra de Lie, cuya
exponenciación corresponde al grupo de Lie de las deformaciones del espacio fase [1, cap.
13]. La multiplicación de los elementos de este grupo tiene una correspondencia 1 : 1 con la
concatenación ordenada de izquierda a derecha de los elementos que conforman un sistema
óptico aberrante.
2.1.1 Base monomial
Sea el espacio vectorial Ade todas las funciones analíticas f(q,p)del espacio fase. A través del
parentesis de Poisson es posible asociar a cada una de estas funciones un operador diferencial
ˆ
f(q,p):={f(q,p),◦} =∂f(q,p)
∂q
∂
∂p−∂f(q,p)
∂p
∂
∂q,(2.1)
donde el símbolo ◦denota la aplicación del operador sobre alguna función del espacio A. Este
operador es llamado operador de Lie–Poisson y el espacio vectorial que forman es isomorfo a
A. Su exponencial de Lie,
exp −αˆ
f(q,p)=exp−α{f(q,p),◦}:=
∞

n=0
(−α)n
n!{f(q,p),◦}n,(2.2)
donde f,◦n=f,◦f,◦n−1:=
n veces
  
{f{· · · { f,◦} · · · }},yf,◦0:=1.(2.3)
produce grupos uniparamétricos de transformaciones canónicas del espacio fase.
Una clasificación natural para una base del espacio vectorial A, de rango ky peso m, es el
conjunto de monomios de grado 2k,
Mk,m=Mk,m(q,p):=qk−mpk+m,(2.4)
k∈ {0,1
2,1,3
2,2, . . .},m∈ {k,k−1, . . ., −k},
Esta base introduce una clasificación del espacio Ade funciones del espacio fase, y permite
descomponerlo en la suma directa de subespacios Akde dimensión finita, cada uno de los cuales
es invariante bajo la acción de transformaciones lineales M∈Sp(2,R).

Sistemas unidimensionales 7
Figura 2.1: Diagrama de peso para sp(2,R)
Suponiendo una kfija, dado los rangos establecidos para los parámetros en (2.4), es evidente
que habrá 2k+1monomios,
Mk,mk
m=−k=p2k,qp2k−1,q2p2k−2, . . . , q2k−2p2,q2k−1p,q2k,(2.5)
los cuales son una base natural para el espacio vectorial Aky forman multipletes bajo la acción
de sp(2,R). Los generadores del álgebra simpléctica,
M1,1(q,p)=p2,M1,0(q,p)=qp,yM1,−1(q,p)=q2,(2.6)
actuando como operadores de Lie–Poisson, se clasifican en:
ascenso :1
2ˆ
M1,1qk−mpk+m=(m−k)qk−m−1pk+m+1=(m−k)Mk,m+1,(2.7)
peso :1
2ˆ
M1,0qk−mpk+m=m qk−mpk+m=m Mk,m,(2.8)
descenso :1
2ˆ
M1,−1qk−mpk+m=(m+k)qk−m+1pk+m−1=(m+k)Mk,m−1.(2.9)
La figura 2.1 muestra el diagrama de peso de la base (2.5) obtenido con los eigenvalores de (2.8).
El operador 1
2ˆ
M1,1es llamado de ascenso porque incrementa en una unidad el eigenvalor del
operador de peso –del cual, la razón de la elección de su nombre resulta obvia– . Analogamente,
1
2ˆ
M1,−1es el operador de descenso porque produce un decremento en una unidad del eigenvalor
del operador de peso [10]. Es fácil observar que al aplicar el operador de ascenso al estado más
alto, es decir cuando m=k, el resultado se vuelve nulo, y lo mismo ocurre cuando aplicamos
el operador de descenso al estado m=−k.
Las funciones analíticas f∈ A se pueden escribir en términos de esta base, como
f(q,p)=
∞

2k=0
fk(q,p),fk(q,p)=
k

m=−k
ck,mMk,m(q,p),(2.10)
donde fk(q,p) ∈ AkyC={ck,m}es el conjunto de los coeficientes de f(q,p)en la base (2.4).

8 Modelo de aberraciones de Hamilton-Lie
La base vectorial {Mk,m}k
m=−k∈ Akse transforma en si misma bajo la acción de sistemas
lineales M(M)con M=a b
c d ∈Sp(2,R), cuya acción es
Ma b
c d :q
p=a b
c d −1q
p=d−b
−c a q
p,
ad −bc =1,⇒(2.11)
Ma b
c d :Mk,m=(dq −bp)k−m(ap −cq)k+m.
Usando el teorema del binomio, identificando n+l:=k−m0e introduciendo k−µ:=l, se
llega a una forma de la ecuación anterior, que dice más sobre la acción del grupo,
Ma b
c d :Mk,m=
k−m

n=0
k+m

l=0k−m
nk+m
l
×ak+m−l(−b)k−m−n(−c)ldnqn+lp2k−n−l
=
k

m0=−k
Dk
m,m0a b
c d −1
Mk,m0(q,p),(2.12)
donde se ha definido
Dk
m,m0a b
c d :=
µk+m
µ−m0k−m
k−µaµ−m0bk+m0−m−µck−µdµ+m,(2.13)
con las restricciones para el rango de µdadas por los binomiales, −k≤m≤µ≤k, y
−k≤m0≤µ≤k+m0−m, siendo los exponentes de a,b,c,dnúmeros positivos o cero. De este
modo, la acción de los elementos del grupo simpléctico Sp(2,R)queda expresada mediante la
multiplicación de matrices de tamaño (2k+1) × (2k+1)sobre vectores columna de monomios
Mk,m0(q,p).
Las matrices Dk(M):=Dk
m,m0(M)llevan a cabo la acción del grupo Sp(2,R)y satisfacen
la composición
Dk(M1)Dk(M2)=Dk(M1M2),Dk(
1
)=
1
,Dk(M−1)=Dk(M)−1,(2.14)
por lo tanto, son una representación (irreducible) del grupo. La paridad de las mátrices (2.13) está
definida por Dk(−M)=(−1)2kDk(M), donde se observa que representan fielmente aSp(2,R)
únicamente cuando kes un número semientero, para kenteros ellas representan fielmente al
grupo SO(2,1), dejando en evidencia el doble cubrimiento del grupo simpléctico sobre este
grupo Lorenziano [12].

Sistemas unidimensionales 9
Transformada de Fourier geométrica
La transformada de Fourier geométrica está dada por la acción de F:=0 1
−1 0 ∈Sp(2,R)de
modo que F:=M(F)actúa sobre el espacio fase de la forma
F:q
p=F−1q
p=−p
q.(2.15)
Haciendo un análisis rápido de la definición (2.13), se encuentra que en la base monomial, la
transformada de Fourier está representada por una matríz antidiagonal cuyos elementos son la
unidad alternando de signo,
Dk
k,m(F−1)=(−1)k−mδm+m0,0⇒
F:Mk,m=(−1)k−mMk,−m.(2.16)
Aberraciones de la posición qy del momento pestarán relacionados a través de una transformada
de Fourier.
2.1.2 Álgebras de aberraciones aKsp(2,R)
En la sección anterior se ha descrito someramente la acción de los generadores del álgebra
sp(2,R)que generan transformaciones lineales del espacio fase. Vista desde la perspectiva
del espacio vectorial generado por la base (2.4), las transformaciones lineales constituyen el
subespacio A1⊂ A. Esta subálgebra tiene un papel especial en la teoría de aberraciones de
Hamilton-Lie. Para entender dicho papel, se calcula el paréntesis de Poisson de dos monomios
Mk,m(q,p),
Mk,m,Mk0,m0=∂Mk,m
∂q
∂Mk0,m0
∂p−∂Mk,m
∂p
∂Mk0,m0
∂q
=2(km0−k0m)Mk+k0−1,m+m0.(2.17)
Esta operación adiciona los rangos de los monomios, estableciendo la relación
Ak,Ak0=Ak+k0−1,(2.18)
entre los subespacios homogéneos de polinomios en variables del espacio fase. En el caso
particular en que k=k0=1tenemos que el subespacio vectorial A1es cerrado bajo el
paréntesis de Poisson, A1,A1=A1, es decir, el espacio A1generado por los monomios

10 Modelo de aberraciones de Hamilton-Lie
M1,mes en realidad un álgebra de Lie. Los demás subespacios Ak’s sirven como espacios
homogéneos para la acción de los operadores Lie–Poisson asociados a los generadores de A1.
Por otra parte, los Ak’s no cierran en álgebras para k>1, pues (2.18) conduce a k’s mayores.
Únicamente la suma directa ∞
k>1Akforma un álgebra bajo el paréntesis de Poisson (aparte
del caso ya descrito) [1, cap. 5].
Es posible establecer una relación equivalente a (2.17) válida para cualquier par de funciones
f(q,p),g(q,p) ∈ A y sus correspondientes operadores de Lie–Poisson asociados (2.1). Esta se
desarrolla a continuación:
ˆ
f,ˆ
g=ˆ
fˆ
g−ˆ
gˆ
f
=ˆ
f∂g
∂q
∂
∂p−∂g
∂p
∂
∂q−ˆ
g∂f
∂q
∂
∂p−∂f
∂p
∂
∂q
=∂f
∂q
∂
∂p∂g
∂q
∂
∂p−∂g
∂p
∂
∂q−∂f
∂p
∂
∂q∂g
∂q
∂
∂p−∂g
∂p
∂
∂q
−∂g
∂q
∂
∂p∂f
∂q
∂
∂p−∂f
∂p
∂
∂q+∂g
∂p
∂
∂q∂f
∂q
∂
∂p−∂f
∂p
∂
∂q,
hasta aquí no se ha hecho más que extender la definición de cada uno de los operadores. Al
aplicar las derivadas parciales correspondientes, se obtendrán términos en derivadas parciales
de segundo orden en pyqque se eliminarán entre sí y términos con derivadas cruzadas, cuya
simetría permitirá reagrupar la ecuación,
ˆ
f,ˆ
g=∂f
∂q
∂2g
∂p∂q
∂
∂p−∂f
∂q
∂2g
∂p2
∂
∂q−∂f
∂p
∂2g
∂q2
∂
∂p
+∂f
∂p
∂2g
∂q∂p
∂
∂q
−∂g
∂q
∂2f
∂p∂q
∂
∂p
+∂g
∂q
∂2f
∂p2
∂
∂q
+∂g
∂p
∂2f
∂q2
∂
∂p−∂g
∂p
∂2f
∂q∂p
∂
∂q
=∂g
∂p
∂2f
∂q2+∂f
∂q
∂2g
∂p∂q−∂f
∂p
∂2g
∂q2−∂g
∂q
∂2f
∂p∂q∂
∂p
+∂f
∂p
∂2g
∂q∂p
+∂g
∂q
∂2f
∂p2−∂f
∂q
∂2g
∂p2−∂g
∂p
∂2f
∂q∂p∂
∂q
=∂
∂q∂f
∂q
∂g
∂p−∂f
∂p
∂g
∂q∂
∂p−∂
∂p∂f
∂q
∂g
∂p−∂f
∂p
∂g
∂q∂
∂q
=
∂f,g
∂q
∂
∂p−∂f,g
∂p
∂
∂q
⇒ˆ
f(q,p),ˆ
g(q,p)=f(q,p),g(q,p),◦.(2.19)

Sistemas unidimensionales 11
Al tomar el operador de Lie-Poisson de la ecuación (2.17), se obtiene
Mk,m,Mk0,m0,◦=2(km0−k0m)Mk+k0−1,m+m0,◦
y de la ecuación (2.19) se sigue que
ˆ
Mk,m,ˆ
Mk0,m0=2(km0−k0m)ˆ
Mk+k0−1,m+m0.(2.20)
El espacio vectorial generado por los operadores {ˆ
Mk,m}tiene la misma estructura que el espacio
generado por la base monomial (2.4), donde el papel fundamental del paréntesis de Poisson es
desempeñado por el corchete de Lie. Por lo tanto, los operadores {ˆ
Mk,m}también generan
álgebras.
Como caso particular, se tiene el corchete de Lie entre los operadores de Poisson ˆ
M1,m,
ˆ
M1,m,ˆ
M1,m0=2(m0−m)ˆ
M1,m+m0,(2.21)
es decir, del mismo modo que sucede en el caso binomial, los operadores ˆ
M1,mcierran en el
álgebra de Lie A1y los espacios Aksirven como espacios homogéneos para su acción. Por
ello, en completa analogía con las ecuaciones (2.7)–(2.9), se define
ascenso :ˆ
M1,1,ˆ
Mk,m=2(m−k)ˆ
Mk,m+1,(2.22)
peso :ˆ
M1,0,ˆ
Mk,m=2mˆ
Mk,m,(2.23)
descenso :ˆ
M1,−1,ˆ
Mk,m=2(m+k)ˆ
Mk,m−1.(2.24)
Para valores k,k0>1, el corchete de Lie de dos operadores conducirá a monomios de grado
mayor, dado que k+k0−1>k,k0. Es posible expresar la acción de los monomios Mk,mcon
k>1como generadores de grupos uniparamétricos de transformaciones no lineales sobre las
coordenadas del espacio fase haciendo uso repetido de la ecuación (2.17), del siguiente modo
exp αˆ
Mk,mq
p=
q1+∞
n=1
(−α)n
n!c−
k,m;nMn(k−1),nm
p1+∞
n=1
(+α)n
n!c+
k,m;nMn(k−1),nm,(2.25)
donde cσ
k,m;n:=n−1
s=0(k+σ(2s−1)m),σ∈ {+,−}. Estos coeficientes se anulan para k=1
2.
El parámetro αes llamado parámetro de aberración. La clasificación por rangos kpermite
truncar consistentemente el álgebra de dimensión infinita Agenerada por las funciones analíticas
del espacio fase a álgebras de Lie con un número finito de parámetros.

12 Modelo de aberraciones de Hamilton-Lie
Se define el álgebra de aberraciones de rango K de sp(2,R)como el álgebra de Lie
aKsp(2,R), generada por los operadores ˆ
Mk,m, siendo kun número entero o semientero con
rango 1≤k≤K, mientras que −k≤m≤ky está caracterizada por la relación de conmutación
ˆ
Mk,m,ˆ
Mk0,m0=2(km0−k0m)ˆ
Mk+k0−1,m+m0si k,k0≥1,k+k0−1≤K,
0si k+k0−1>K.(2.26)
Como se ha índicado anteriormente, los operadores {ˆ
Mk,m}1
m=−1forman la subálgebra sp(2,R),
la cual en este marco teórico es llamada subálgebra paraxial, mientras que aK:=K
k>1Ak, es
la subálgebra de aberraciones puras de orden aK=2K−1. Los coeficientes de Hamilton–Lie
se definen como las coordenadas A={Ak.m}K
k>1de un elemento ˆ
A∈aK.
Los generadores ˆ
Mk,m∈aKpueden ser llamados aberraciones simétricas cuando kes un
número semientero debido a la paridad Mk,m(−q,−p)=Mk,m(q,p)de los monomios (2.4),
cuando kes un número entero, la paridad de los monomios es Mk,m(−q,−p)=−Mk,m(q,p)
y son llamadas aberraciones antisimétricas. El conjunto de aberraciones simétricas forman la
subálgebra as
Ksp(2,R) ⊂ aKsp(2,R); este trabajo se centra en ellas.
El álgebra de aberraciones tiene estructura de suma semidirecta entre la parte paraxial y la
parte de aberraciones,
aKsp(2,R)=aK←⊕sp(2,R)(2.27)
donde sp(2,R)es la subálgebra radical y aKes la subálgebra invariante. Los elementos del
álgebra de aberraciones generalmente no conmutan, pero en los casos a3
2sp(2,R)=i4sp(2,R)
yas
2sp(2,R)=i5sp(2,R)todas sus aberraciones conmutan.
Más allá de los 3 generadores del álgebra sp(2,R)provenientes de cada uno de sus pará-
metros, cada subálgebra de aberraciones puras aKtiene nk:=2k+1parámetros en cada uno de
sus rangos 1≤k≤K, la suma de todos ellos es la dimensión del álgebra dimaK=2K2+3K−5.
El orden de aberración de los elementos del álgebra pertenecientes a cada rango se define como
ak:=2k−1. En la tabla 2.1 se muestran los valores para algunos rangos. Las aberraciones
aKforman álgebras nilpotentes, porque los conmutadores continuados ˆ
Mk,m,ˆ
Mk,m,[· · · ]
llegarán a ser igual a cero, por (2.26).
El desarrollo teórico que se presentará excluye el valor k=1
2, debido a que el operador de

Sistemas unidimensionales 13
k aknkdim aKk aknkdim as
K
3
22 4 4 2 3 5 5
2 3 5 9 3 5 7 12
5
24 6 15 4 7 9 21
3 5 7 22 5 9 11 32
Tabla 2.1: Valores caracteŕisticos de las subálgebrás de aberraciónes puras de varios rangos. Del lado izquierdo se
muestran los datos de subálgebras completas, es decir, compuestas tanto por aberraciones simétricas (kentero) como
antisimétrica (ksemientero); del lado derecho se muestran los datos para subálgebras simétricas, cuya dimensión se
ha calculado usando la fórmula dimas
K=K2+2K−3.
Lie-Poisson de los binomios correspondientes, bajan el rango de los monomios 1,
ˆ
M1
2,1
2Mk,m=(m−k)Mk−1,mp=(m−k)Mk−1
2,m+1
2
ˆ
M1
2,−1
2Mk,m=(k+m)Mk−1,mq=(k+m)Mk−1
2,m−1
2
lo que impide truncar consistentemente en álgebras de aberración finitas. Por otra parte,
estos elementos son los generadores de traslaciones ˆ
M1
2,−1
2
=pe inclinaciones de la pantalla
ˆ
M1
2,1
2
=q. Excluirlos no deja el modelo incompleto porque siempre se puede colocar el origen
del sistema a aberrar en el origen de coordenadas y elegir un patrón de rayos y pantallas que
sean perpendiculares entre si [7].
2.1.3 Grupos de aberraciones AKSp(2,R)
El grupo de aberraciones de rango K se define como la exponencial de Lie del álgebra de
aberraciones (2.27). Este grupo tiene estructura de producto semidirecto
AKSp(2,R)=AK←⊗Sp(2,R),(2.28)
donde, Sp(2,R)es el subgrupo radical y AKes el subgrupo invariante, construído a través de la
exponencial de Lie de los generadores de aberraciones puras.
La parametrización de un elemento del grupo de aberraciones AKSp(2,R)está dada a través
de los coeficientes de aberración de Hamilton-Lie ck,m∈Rlos cuales son los coeficientes de
las funciones polinomiales del espacio fase fk(q,p) ∈ Ak, y tiene sus generadores ˆ
fk=fk,◦
1Pero sí vamos a ver la acción de eαq,◦yeαp,◦sobre señales discretas.

14 Modelo de aberraciones de Hamilton-Lie
ordenado por rango, del siguiente modo:
GK(F;M):=GK(F;
1
)G(O;M(F1)),(2.29)
donde
GK(F;
1
):=exp ˆ
fK× · · · × exp ˆ
f2×exp ˆ
f3
2,(2.30)
ˆ
fk:=
k

m=−k
ck,mˆ
Mk,m,1≤k≤K,(2.31)
G(O;M):=exp ˆ
f1=Mexp −c1,0−2c1,−1
2c1,1c1,0.(2.32)
Esta es la parametrización de producto factorizado utilizada primero por Dragt en [6]. Clara-
mente la unidad del grupo es el elemento GK(O;
1
). El factor derecho de la ecuación (2.29),
G(O;M) ∈ Sp(2,R)es el mapeo lineal producido por los generadores ˆ
f1de rango uno. Mien-
tras que el factor izquierdo GK(F;
1
)es el subgrupo de aberraciones puras. En el esquema
de Hamilton–Lie, los coeficientes de aberración cuantifican la desviación de la linealidad de
un sistema, y son independientes de la configuración paraxial del sistema que representa la
dinámica de haces de luz al pasar a través de un aparato óptico.
El producto entre dos elementos del grupo de aberraciones de rango Ktiene estructura de
producto semidirecto,
GK(F;M)GK(G;N)=GK(F;
1
)M(M)GK(G;
1
)M(N)(2.33)
=GK(F;
1
)GK(M(M):G;
1
)M(MN)(2.34)
=GK(F]M(M):G;MN),(2.35)
donde la primera línea contiene la forma del producto factorizado, mientras que en la segunda
línea se ha aplicado M(M)sobre la exponencial de los operadores ˆ
gk, lo que recae sobre los
coeficientes de aberración gk,m(q,p), tal como en (2.12),
M(M):gk(q,p)=
k

m=−k
k

m0=−k
gk,mDk
m,m0(M−1)Mk,m(q,p),(2.36)
M(M):gk,m=
k

m=−k
gk,mDk
m,m0(M−1),(2.37)
M(M):Gk=Dk(M−1)|Gk.(2.38)

Sistemas unidimensionales 15
La matriz Dkha sido definida en (2.13). Los coeficientes de aberración están organizados en
subvectores columna Gk=(gk,m)dentro de los vectores columna G=(Gk).
Los operadores actúan saltando sucesivamente sobre el argumento de las funciones. La
acción paraxial es diagonal por bloques
M(M):
G3/2
.
.
.
GK
=
D3/2(M−1)|O
...
O DK(M−1)|
G3/2
.
.
.
GK
.(2.39)
Al factorizar de este modo la acción del grupo de aberraciones, ocurre que un “objeto”
o conjunto de haces luminosos en el espaco fase, primero es aberrado y posteriormente es
transformado linealmente.
En la ecuación (2.34) se ha tomado en cuenta la composición de M(M)con el término M(N).
El producto ](gato) que aparece en la ecuación (2.35) es el producto entre dos elementos del
grupo de aberraciones puras. Se mostrará la regla de composición del producto ]para el caso
de A2Sp(2,R), el cual contiene aberraciones de rangos k=3
2y2. Siguiendo la parametrización
de producto factorizado, un elemento del álgebra de aberraciones puras se escribe como la suma
de operadores de Poisson,
G2(F;
1
)=exp ˆ
f2exp ˆ
f3
2
≈ (1+ˆ
f2)(1+ˆ
f3
2
+1
2ˆ
f2
3
2
)(2.40)
≈1+ˆ
f3
2
+ˆ
f2+1
2ˆ
f2
3
2
,
donde, en cada rango se han despreciado los términos con k>2. Del mismo modo, la regla de
composición del producto ]entre dos aberraciones, es
G2(F;
1
)G2(G;
1
)=(1+ˆ
f3
2
+ˆ
f2+1
2ˆ
f2
3
2
)(1+ˆ
g3
2
+ˆ
g2+1
2ˆ
g2
3
2
)
≈1+ˆ
f3
2
+ˆ
g3
2
+ˆ
f2+ˆ
g2+1
2ˆ
f2
3
2
+1
2ˆ
g2
3
2
+ˆ
f3
2ˆ
g3
2
=1+ˆ
h3
2
+ˆ
h2+1
2ˆ
h2
3
2
≈ G2(H;
1
)=G2(F]G;
1
).(2.41)
Igualando los términos del mismo rango de las dos últimas líneas de (2.41), se encuentra la
regla sencilla de composición de los coeficientes de aberración de orden ak=3. Usando ˆ
h3
2
para despejar el término 1
2ˆ
h2
3
2
, y la propiedad ˆ
fˆ
g−ˆ
gˆ
f={
f,g}, se calculan los coeficientes de

16 Modelo de aberraciones de Hamilton-Lie
cuarto orden,
h3
2(q,p)=f3
2(q,p)+g3
2(q,p),tercer orden (2.42)
h2(q,p)=f2(q,p)+g2(q,p)+1
2f3
2,g3
2(q,p),cuarto orden (2.43)
h5
2(q,p)=f5
2(q,p)+g5
2(q,p)+f3
2,g2(q,p)
+1
3f3
2,f3
2,g3
2(q,p) − 1
6f3
2,g3
2,g3
2.quinto orden (2.44)
La composición (2.44) se ha conseguido repitiendo el procedimiento indicado para el cálculo
de los coeficientes anteriores. Cabe señalar que las ecuaciones (2.42)–(2.44) también describen
la composición dentro del grupo de aberraciones simétricas AS
2Sp(2,R), basta reemplazar los
rangos 3
2→2,2→3y5
2→4, para que la equivalencia quede establecida. De (2.41) puede
verse que el producto gato es asociativo,
F]G]H:=(F]G)]H=F](G]H).(2.45)
De las ecuaciones (2.42)–(2.44) para coeficientes más altos se obtiene la composición de
los coeficientes de aberración de Hamilton-Lie, haciendo uso de la definición (2.31). Los
coeficientes de aberración del rango más bajo solo se suman,
h3
2,m=f3
2,m+g3
2,m,m∈3
2,1
2,−3
2,−1
2.(2.46)
Para los coeficientes del siguiente rango, k=2, encontramos
h2,2=f2,2+g2,2+3
2f3
2,1
2g3
2,3
2−3
2f3
2,3
2g3
2,1
2,
h2,1=f2,1+g2,1+3f3
2,−1
2g3
2,3
2−3f3
2,3
2g3
2,−1
2,
h2,0=f2,0+g2,0+9
2f3
2,−3
2g3
2,3
2
+3
2f3
2,−1
2g3
2,1
2
−3
2f3
2,1
2g3
2,−1
2−9
2f3
2,3
2g3
2,−3
2,(2.47)
h2,−1=f2,−1+g2,−1+3f3
2,−3
2g3
2,1
2−3f3
2,1
2g3
2,−3
2,
h2,2=f2,−2+g2,−2+3
2f3
2,−3
2g3
2,−1
2−3
2f3
2,−1
2g3
2,−3
2.
Una vez encontrado el producto gato ], se puede encontrar una forma explícita de la transfor-
mación inversa de una aberración, en primera instancia, del grupo de aberraciones de rango 5
2,
G(F−1;
1
):=G(F;
1
)−1(2.48)
F−1]F=O=F]F−1,

Sistemas unidimensionales 17
orden de aberración 2f−1
3
2
=−f3
2,
orden 3f−1
2=−f2,
orden 4f−1
5
2
=−f5
2
+f3
2,f2.
(2.49)
De aquí se obtiene la forma de la transformacion inversa genérica de la aberración G(F;M),
G(F;M)−1=G(O;M)−1G(F;
1
)−1
=G(O;M−1)G(F−1;
1
)G(O;F)G(O;F−1)(2.50)
=G(D(M−1)F−1;M−1).
2.1.4 Aberraciones del espacio fase
Los grupos de aberraciones AKSp(2,R)(un grupo para cada valor del rango K) producen las
deformaciones del espacio fase de la óptica geométrica en el modelo paraxial de rayos. La
acción de cada uno de sus elementos sobre el espacio fase se sigue de la parametrización de
producto factorizado,
G(F;M):q
p=G(F;
1
)G(O;M):q
p
=G(F;
1
):M−1q
p(2.51)
=M−1G(F;
1
):q
G(F;
1
):p.
De modo que la tarea se resume a determinar la acción de las aberraciones puras sobre las
coordenadas. Es importante que las transformaciones sobre las coordenadas sean canónicas
porque ésto garantiza que la descripción con el método de Lie que provee una aproximación a
los sistemas ópticos aberrados con un número finito de parámetros se desarrolle en el interior
de una subvariedad que es canonica, hasta rango K, dentro de la variedad de todas las posibles
transformaciones de R2D. Esto queda garantizado por la realización exponencial del grupo de
aberraciones, mostrada en (2.30). Además, reconociendo algunas simetrías dentro de la parte
paraxial del sistema se pueden lograr reducciones en el número de parámetros de aberración.
Las fórmulas explícitas para las coordenadas aberradas del espacio fase qA(q,p)=GK(F;
1
):
qypA(q,p):=GK(F;
1
):p, se pueden obtener de (2.25)y(2.30)–(2.31). Evidentemente, es-
tas involucran series infinitas, sin embargo, los términos resultantes pueden ser agrupados de

18 Modelo de aberraciones de Hamilton-Lie
acuerdo a su grado de homogeneidad 2k. Llamando ξ=qop, se tiene
ξA(q,p):=GK(F;
1
):ξ(2.52)
=exp ˆ
fK× · · · exp ˆ
f5
2×exp ˆ
f2×exp ˆ
f3
2:ξ
=ξmonomio original de grado 1
+f3
2, ξgrado 2
+f2, ξ+1
2! f3
2,f3
2, ξ grado 3
+f5
2, ξ+f2,f3
2, ξ+1
3! f3
2,f3
2,f3
2, ξ grado 4
+· · · grados 5, . . . 2K−2
+fK, ξ+· · · grado 2K−1=aK
+· · · grados mayores.
En cada término hasta el grado de aberración aK, el primer sumando es fk, ξ mientras
que los demás sumandos involucran términos fk0,◦con k0<k. Más allá del grado aKno son
tomados en cuenta como parámetros de aberración. La estrategia de Hamilton–Lie de truncar
aberraciones despreciando los grados mayores en las coordenadas del espacio fase, permite
denotar las coordenadas aberradas a través de un número finito de términos,
ξ[aK]
A:=ξA−terminos de grado mayor que aK. (2.53)

Sistemas unidimensionales 19
El mapeo (q,p) 7→ q[aK]
A,p[aK]
Ano es estrictamente canónico, pero mantiene esta propiedad
hasta el orden de aberración,
q[aK]
A,p[aK]
A=1+terminos de grado mayor que aK. (2.54)
Aberraciones de tercer orden
Considérese el quintuplete de aberraciones puras simétricas de tercer orden, generado por los
operadores {ˆ
M2,m}2
m=−2. En (2.52) se muestra que las coordenadas aberradas consisten de la
identidad más un polinomio de grado 3 en (q,p). Usando la notación G2(αˆ
M2,m):=G2(F2;
1
)
para F2=αˆ
M2,m, se vuelve una aplicación de (2.25) donde es posible aproximar la serie ex-
ponencial cortando la suma despúes del termino lineal en α. El siguiente diagrama muestra
la forma particular del mapeo para cada valor de m∈ {k,· · · ,−k}y se identifica mediante el
nombre correspondiente:
MAPEO LINEAL EN αNOMBRE
G2(αˆ
M2,2):q
p=q−4αp3
paberración esférica,
G2(αˆ
M2,1):q
p=q−3αqp2
p+αp3coma,
G2(αˆ
M2,0):q
p=q−2αq2p
p+2αqp2astigmatismo / curvatura de campo,
G2(αˆ
M2,−1):q
p=q−αq3
p+3αq2pdistorsión,
G2(αˆ
M2,−2):q
p=q
p+4αq3pocus.
(2.55)
Puede observarse la simetría que guardan las variables qyptransformadas, con respecto a su
grado monomial, misma que heredan de la construcción de los monomios (2.4). Cabe mencionar
que la clasificación de aberraciones (2.55) es sui generis de esta construcción. Muchos autores
utilizan otros esquemas.

20 Modelo de aberraciones de Hamilton-Lie
Figura 2.2: Transformaciones lineales y aberraciones del espacio fase clásico, generadas por los elementos del
grupo de aberraciones puras Gk(αˆ
Mk,m), clasificadas por orden ak=2k−1y peso m; aproximados hasta primer
orden en el parámetro de aberración α. El mapeo unitario se encuentra en la cima, seguido de las traslaciones de
Heisenberg–Weyl a lo largo de qyp(orden de aberración cero). Los tres mapeos lineales correspondientes a k=1
son: propagación, magnificación y lente delgada; las aberraciones de orden k=2,3,4,5le siguen.

Sistemas unidimensionales 21
Figura 2.3: Líneas de flujo correspondientes a las aberraciones de orden ak=3. De izquierda a derecha son:
m=2aberración esférica, m=1coma, m=0astigmatismo (curvatura de campo), m=−1distorsión, m=−2
pocus.
En la figura 2.2, se muestran las deformaciones del espacio fase bajo los elementos del
grupo de aberraciones puras, desarrollados únicamente hasta primer orden en α, para ordenes
de aberración ak=1,2,3,4,5ym∈ {3,5
2, . . . , −5
2,−3}. Los tres casos k=1ym∈ {1,0,−1}
son propagación, magnificación y lente delgada; los cuales pertenecen a la parte paraxial. Esta
figura muestra en la tercera fila (contando de abajo hacia arriba) las aberraciones de tercer orden
(2.55), y pueden ser comparadas con las aberraciones antisimétricas de orden 2y4.
Las líneas de flujo en aberraciones son cuando ˆ
Mk,m=constante; en la figura 2.3 se muestran
para el quintuplete k=2. Puede verse que para m∈ {1,0,−1}estas líneas son como hipérbolas
con distinta convergencia asintótica y dirección de flujo, para el caso m=±2son líneas rectas
que cambian de dirección según se encuentren del lado positivo o negativo de los ejes.
Algunas series pueden ser calculadas de forma más eficiente. En el caso de m=0yk<K,
se sigue directamente de la fórmula (2.25),
G(αˆ
Mk,0):q
p=
2n+1≤K
αn
n!kn(−1)nqn+1pn
qnpn+1≈e−αkq p q
eαkq p p.(2.56)
A pesar de que sigue siendo una aproximación, su forma cerrada proporciona algunas ventajas
de cálculo.

22 Modelo de aberraciones de Hamilton-Lie
2.2 Sistemas 2D axialmente simétricos
En esta sección se desarrolla la teoría de aberraciones para sistemas Hamiltonianos de dimensión
D=2,axialmente simétricos, esto es, invariantes bajo la acción del grupo de rotaciones
alrededor del eje óptico y bajo reflexiones sobre planos que contienen dicho eje [1, cap. 14].
Las álgebras de aberraciones son la suma semidirecta de una parte paraxial y otra parte de
aberraciones puras, generadas a través de monomios en las coordenadas del espacio fase (q,p) ∈
R4. Las definiciones y propiedades principales de estas álgebras son extrapoladas del caso
D=1visto en la sección anterior.
2.2.1 Base en coordenadas reducidas
Un sistema óptico cuyo índice de refracción n(q)depende únicamente de la distancia |q|al eje
óptico, contendrá familias de rayos {q,p}φcon φ∈ S1, obtenidas por rotación alrededor del eje
óptico de cualquier rayo con valor inicial φ=0. Este ángulo es una coordenada ignorable para
la evolución a lo largo del eje. Las coordenadas importantes del espacio fase son invariantes
ante rotaciones por φ, estas son |q|2,q·py|p|2[1, cap 7].
Se establece una base de monomios sobre funciones cuadráticas de las coordenadas del
espacio fase q=qx
qyyp=px
py. Estos monomios son
Mk+,k0,k−(q,p):=|p|2k+q·pk0|q|2k−,(2.57)
con kσ≥0, σ ∈ {+,0,−} números enteros [15]. Son invariantes bajo la acción del grupo de
rotaciones O(2)alrededor del eje óptico, R=cos θ−sin θ
sin θcos θy bajo reflexiones −1 0
0 1 a través
del centro óptico. Además, constituyen una base para el espacio vectorial Ade dimensión
infinita numerable.
Es posible pensar la definición (2.57), como monomios en coordenadas reducidas del espacio
fase (|q|2,q·p,|p|2), cuyo rango será su grado de homogéneidad total y su peso será su eigenvalor
bajo el operador 1
2q·p,◦, que suma las potencias de |p|2y resta las de |q|2. Esto es,
Mk+,k0,k−(q,p)tiene rango k:=k++k0+k−∈ {1,2,3, . . .},
peso m:=k+−k−∈ {k,k−1, . . . , −k}.(2.58)
En analogía con el caso unidimensional, existe un operador de Poisson asociado a cada
monomio, indicado como ˆ
Mk+,k0,k−.=Mk+,k0,k−,◦. Su conmutador produce la estructura

Sistemas 2D axialmente simétricos 23
algebraica del espacio A. La parte paraxial de los sistemas axialmente simétricos es generada
por tres monomios de rango uno,
M1,0,0=|p|2,M0,1,0=q·p,M0,0,1=|q|2,(2.59)
cuyos operadores de Poisson cierran en el álgebra de Lie sp(2,R)que genera transformaciones
lineales del espacio A. La estructura de Avuelve a ser la suma directa de subespacios Akde
rango definido ky dimensión finita dk:=k+1
n=1n=1
2(k+1)(k+2). El orden de aberración
para un rango dado es ak=(2k−1). Así, para rangos k=2,3y4tenemos subespacios de
dimensión dk=6,10 y15, con aberraciones de orden ak=3,5y7.
A diferencia del caso unidimensional, dos números, el rango ky el peso mno son suficientes
para caracterizar univocamente el conjunto de monomios Mk+,k0,k−. Por ejemplo, los monomios
M1,0,1yM0,2,0tienen el mismo rango y peso, así que debemos usar sus tres índices kσpara
distinguirlos.
2.2.2 Álgebra y grupo de aberraciones
Los espacios de funciones Aksirven como espacios homogéneos para el álgebra de Lie sp(2,R)
de A1generada por los monomios (2.57). En este caso, la acción de los generadores de ascenso,
peso y descenso, es respectivamente:
ˆ
M1,0,0,ˆ
Mk+,k0,k−=2k0ˆ
Mk++1,k0−1,k−−4k−ˆ
Mk+,k0+1,k−−1,(2.60)
ˆ
M0,1,0,ˆ
Mk+,k0,k−=2(k+−k−)ˆ
Mk+,k0,k−,(2.61)
ˆ
M0,0,1,ˆ
Mk+,k0,k−=4k+ˆ
Mk+−1,k0+1,k−+2k0ˆ
Mk+,k0−1,k−+1.(2.62)
El álgebra de aberraciones de rango K axialmente simétricas aAS
Ksp(2,R)queda deter-
minada a través de la relación de conmutación de sus generadores ˆ
Mk+,k0,k−[3],
ˆ
Mk+,k0,k_,ˆ
Mk0
+,k0
0,k0
_=4k−k0
+−k+k0
−ˆ
Mk++k0
+−1,k0+k0
0+1,k−+k0
−−1(2.63)
+2k0k0
+−k0
−−(k+−k−)k0
0ˆ
Mk++k0
+,k0+k0
0−1,k−+k0
−.
De forma similar al caso unidimensional, esta relación presenta la misma composición de
rangos Ak,Ak0=Ak+k0−1, lo cual permite, de nuevo, truncar consistentemente a un rango
dado Kcomo en (2.26) reemplazando todos los monomios de rango mayor por cero.
El álgebra de Lie de aberraciones para sistemas Hamiltonianos de dimensión D=2axial-
mente simétricos, es la suma semidirecta del álgebra radical sp(2,R)generada por (2.59), con

24 Modelo de aberraciones de Hamilton-Lie
la subálgebra invariante y nilpotente de aberraciones puras aAS
K, la cual, para rangos K=2,3,4
tiene 6,6+10 =16 y6+10 +15 =31 aberraciones.
Se define el grupo de aberraciones de rango K axialmente simétrico AAS
KSp(2,R), como
la exponencial de Lie del álgebra aAS
Ksp(2,R). Sus elementos los denotamos por GK(F;M)en
analogía con la sección anterior y con la parametrización de producto factorizado,
GK(F;M):=G(FK, . . . , F3,F2,
1
)G(O;M(F1)),(2.64)
G(F;
1
):=exp ˆ
fK× · · · × exp ˆ
f3×exp ˆ
f2,(2.65)
ˆ
fk:=
k++k0+k−=k
fk+,k0,k−ˆ
Mk+,k0,k−(q,p),(2.66)
G(O;M)=exp ˆ
f1=Mexp −f1,1,0−2f1,1,−1
2f1,1,1f1,1,0.(2.67)
Ahora todos los rangos son enteros. Los coeficientes {fk+,k0,k−}para 2≤k≤Kson los
coeficientes de aberración cartesianos de Hamilton–Lie del sistema.
La composición de los elementos del grupo de aberraciones AAS
KSp(2,R)se sigue de
(2.33)—(2.35), resumida en
GK(F;M)G(G;N)=GK(F]M(M):G;MN).(2.68)
La composición “gato” entre aberraciones puras se obtiene del mismo modo que en (2.41),
pero ahora ordenando el producto entre polinomios (2.66) de tres variables que contienen los
coeficientes cartesianos F={Fk}K
k=2={fk+,k0,k−}de aberraciones axialmente simétricas, hasta
encontrar la relación perteneciente a H=F]G. La acción del subgrupo radical M∈Sp(2,R)
sobre las aberraciones (2.68) es de nuevo, lineal y diagonal por bloques en k, por tanto se expresa
en la forma
M(M):Fk=Dk(M−1)|Bk,(2.69)
tal como en (2.36)—(2.38). Sin embargo, ahora los elementos de Dk(M)se encuentran desde
la transformación de las tres variables |q|2,q·p,|p|2, a través de matrices de dimensión 3×3,
en lugar de matrices de 2×2como en el caso unidimensional; más importante aún, es que estas
matrices no son irreducibles como lo son (2.13). Aquí las matrices Dk(M)para k=2,3,4tienen
dimensiones 6×6,10 ×10,15 ×15 y se pueden llevar a una forma diagonal por bloques.
2.2.3 Aberraciones de tercer orden
Se muestra la forma de las aberraciones puras para K=2, es decir, de tercer orden, aprox-
imando la acción del elemento de grupo correspondiente, a primer orden Gk(αˆ
Mk+,k0,k−):=

Sistemas 2D axialmente simétricos 25
1+αˆ
Mk+,k0,k−. El operador de Poisson aplicado sobre las coordenadas del espacio fase
(q,p) ∈ R4, que son asignadas al rango 1
2, actúa de la forma
ˆ
Mk+,k0,k−q
p=−∂/∂p
∂/∂qMk+,k0,k−(q,p),
=k−Mk+,k0,k−−1(q,p)k0Mk+,k0−1,k−(q,p)
−koMk+,k0−1,k−(q,p) −k+Mk+−1,k0,k−(q,p)q
p.(2.70)
Esta es una acción no lineal que lleva un vector de rango 1
2a uno de rango k−1
2.
De modo que para K=2obtenemos el siguiente sextuplete:
MAPEO LINEAL EN αNOMBRE
G2(αˆ
M2,0,0):q
p=q−4α|p|2p
paberración esférica,
G2(αˆ
M1,1,0):q
p=q−α(2(q·p)p+|p|2q)
p+α|p|2pcoma,
G2(αˆ
M1,0,1):q
p=q−2α|q|2p
p+2α|p|2qcurvatura de campo,
G2(αˆ
M0,2,0):q
p=q−2α(q·p)p
p+2α(q·p)qastigmatismo,
G2(αˆ
M0,1,1):q
p=p+α(|q|2p+2(q·p)q)
q−α|q|2qdistorsión,
G2(αˆ
M0,0,2):q
p=q
p+4α|q|2qpocus.
(2.71)
En la figura 2.4 se muestra por medio de “diagramas de manchas”, la apariencia de las seis
aberraciones axialmente simétricas, las cuales han sido nombradas de acuerdo a la propuesta de
Dragt en [6]. Los diagramas mostrados son mallas cuadradas en cuyas posiciones qi,jse han
colocado los haces de rayos lumínicos con direcciones que dibujan círculos que se abren con radio
|p|=pj. La simetría axial de las aberraciones queda manifiesta en la independencia angular
con respecto al centro de la pantalla, que tiene la forma de cada mancha en el diagrama, mientras
que su tamaño solo depende de la distanca de los puntos con respecto al eje óptico. En el caso de
la aberración esférica, el tamaño y forma de las manchas es independiente de su posición en la
pantalla, esto es un campo independiente, la dirección de los rayos es invariante. La aberración
pocus, es la transformada de Fourier de la aberración esférica, esta deja invariante los puntos
sobre la imagen pero aberra esféricamente el subespacio de momentos. Las aberraciones coma
y distorsión también son conjugadas de Fourier una de la otra. Por su parte, las aberraciones

26 Modelo de aberraciones de Hamilton-Lie
astigmatismo y curvatura de campo son auto recíprocas bajo la transformada de Fourier, de
modo que distorsionan igual los subespacios de posición y de momento.
2 0 0 1 1 0
1 0 1 0 2 0
0 1 1 0 0 2
Figura 2.4: Diagramas de manchas del sextuplete correspondiente a las aberraciones de rango K=2. Los índice
(2,0,0)corresponden a la aberración esférica, la cual es un campo independiente, es decir, no depende de la posición
respecto al eje óptico; (1,1,0)corresponde a coma, es un campo linealmente dependiente; (1,0,1)es curvatura de
campo; (0,2,0)es astigmatismo; (0,1,1)es distorsión, y (0,0,2)es pocus.

27
Capítulo 3
Sistemas discretos y finitos
El modelo de cuantización de la óptica geométrica continua en sistemas discretos de dimensión
finita, se basa en el álgebra de Lie su(2), cuyas eigenfunciones son señales de Npuntos, su
espacio fase es esférico y sus transformaciones son representadas por medio de matrices unitarias
de dimensión N×Nlas cuales a su vez forman el grupo U(N). Se presenta una clasificación
de aberraciones de sistemas finitos, la cual se sigue de la clasificación de sistemas continuos,
presentada en el capítulo anterior.
3.1 Señales unidimensionales
En esta sección se introduce el modelo de cuantización finita para sistemas unidimensionales
desarrollada por K. B. Wolf en [4]. Este modelo se basa en transformaciones unitarias desa-
rrolladas sobre señales compuestas de Npuntos, en particular cuando estas transformaciones se
modelan en sistemas ópticos geométricos cuya parte paraxial y aberraciones son conocidas. El
grupo U(N)es factorizado en transformaciones unitarias del espacio fase pertenecientes a SU(2)
lineales y no lineales, se introduce el ordenamiento de Weyl para eliminar una ambigüedad de
carácter conmutativo y posteriormente se clasifican las N2−4aberraciones. El uso de la función
de Wigner de su(2)para representar el espacio metafase sobre un plano permitirá visualizar el
efecto de las aberraciones de U(2)sobre señales discretas y finitas, así como comparar su aspecto
con su correspondencia clásica. Detalles sobre la función de Wigner pueden encontrarse en el
apéndice.

28 Sistemas discretos y finitos
3.1.1 Mapeo del espacio fase sobre la esfera
Considérese un sistema clásico y axialmente simétrico cuyas observables (q,p, λ) ∈ R3posición,
momento y pseudo-energía (función de energía cuyo cero a sido ajustado) respectivamente.
Realizando una identificación de q,pyλbajo los paréntesis de Berezin de su(2):
λ, qB=p,p, λB=q,q,pB=λ. (3.1)
Los brackets de Berezin1pueden realizarse por medio de operadores diferenciales con las mismas
propiedades que los paréntsis de Poisson [29].
El primer y el segundo paréntesis en (3.1) son las ecuaciones de Hamilton geométrica y
dinámica para el oscilador armónico, respectivamente, tomando la energía h=λ+constante.
El tercer paréntesis determina el modelo de oscilador finito de su(2).
Las superficies invariantes en las coordenadas (q,p, λ) ∈ R3bajo el paréntesis de Berezin
de cualquier función diferenciable f(q,p, λ), son las esferas q2+p2+λ2=r2de radio r(ver
figura 3.1) y las superficies definidas por la función misma f(q,p, λ)=constante. Funciones
lineales en q,pyλgeneran el grupo de Lie SU(2)de operadores
R(v).=exp v1q+v2p+v3λ, ◦B,(3.2)
los cuales producen rotaciones rígidas de las esferas en el espacio metafase2(q,p, λ) ∈ R3. Este
grupo de transformaciones es comúnmente llamado SU(2)–lineal.
Transformaciones no rígidas de la esfera son generadas por medio de la exponenciación del
paréntesis de Berezin de funciones diferenciables no lineales f(q,p, λ),
S(α):=exp αf(q,p, λ),◦B.(3.3)
1Dadas dos funciones fygde las variables s1,s2ys3, pidiendo que se cumplan las relaciones {s1,s2}=s3,
{s3,s1}=s2y{s2,s3}=s1, los paréntesis de Poisson adquiere la forma
{f,g}=
s1s2s3
∂f
∂s1
∂f
∂s2
∂f
∂s3
∂g
∂s1
∂g
∂s2
∂g
∂s3
.
Estos paréntesis son conocidos como paréntesis de Berezin y son señalados colocando una letra “B” como subíndice
del paréntesis.
2Algunos autores llaman “espacio metafase” al espacio generado por el plano fase estándar más un tercer eje
perpendicular, asignado a los valores de energía del sistema.

Señales unidimensionales 29
Figura 3.1: Esfera clásica en el espacio metafase (q,p, λ) ∈ R3, con ejes cartesianos de posición q, momento py
pseudo energía λ. El plano tangente al polo sur λ=−r, es el espacio fase (q,p)de la óptica geométrica paraxial.
Estas transformaciones preservan los paréntesis de Berezin (3.1). por ello se dice que forman el
grupo SU(2)-canónico. Una base para (3.3) son los monomios qapbλc,◦Blos cuales forman
bajo conmutación el álgebra de cubrimiento su(2). Las líneas de flujo del espacio metafase
bajo (3.3) son la intersección de la esfera r=constante con la familia de superficies definida por
f(q,p, λ)=constante.
Considerando que los valores de λestán restringidos a la esfera, sus potencias solo podrán
ser 0o1, cualquier otro valor de potencia puede expresarse por combinación lineal. Por lo
tanto, es posible usar la siguiente base de monomios linealmente independientes para generar
las aberraciones de su(2)de ordenes A=2k,
M0
k,m(q,p):=pk+mqk−m,m∈ {−k,−k+1,· · · ,k},(3.4)
M1
k,m(q,p, λ):=λpk+m−1
2qk−m−1
2,m∈ {−k+1
2,−k+3
2,· · · ,k−1
2}.(3.5)
Nótese que la definición (3.4) es la misma que (2.4), mientras que (3.5) no está presente en
la óptica geométrica. Las líneas de flujo para las aberraciones (3.4), cuando mtoma sus valores
límite −kyk, son círculos sobre la esfera con p=constante y q=constante; para −k≤m≤k,
los círculos máximos p=0yq=0dividen la esfera en cuatro cuadrantes cuyos flujos no se
mezclan. En el caso de (3.5), el círculo máximo λ=0junto con los otros círulos máximos
dividen la esfera en octantes.
En el caso plano, con los paréntesis de Poisson q,p=1, el orden de aberración de los
generadores Mk,m,◦Pse cuenta como ak=2k−1, porque sobre el espacio fase los términos
no lineales en la serie exponencial de Mk,m,wP(w=q,p) es un polinomio de grado 2k−1.

30 Sistemas discretos y finitos
Sin embargo, sobre la esfera, con los paréntesis de Berezin los términos de la serie exponencial
de M0
k,m,wB(w=q,p, λ) conducen a un grado polinomial A=2k; porque el álgebra su(2)
es semisimple, el grado no se reduce.
La clasificación de transformaciones y aberraciones sobre la esfera generadas a través de
la base de monomios (3.4)–(3.5) es el análogo en su(2)de la clasificación (2.4) para la óptica
geométrica con paréntesis de Poisson. De modo que el modelo clásico en su(2)sobre la esfera,
descrito en esta sección es una deformación del modelo plano presentado en el capítulo anterior.
3.1.2 Modelo su(2)–cuantizado
La estructura que presentan las relaciones (3.1) entre las observables q,pyλ, manifiestan la
misma estructura que poseen los generadores del álgebra su(2)en una representación unitaria
irreducible j, denotados abstractamente por ˆ
L1,ˆ
L2yˆ
L3, cuyas relaciónes de conmutación son
ˆ
Li,ˆ
Lj=iεi,j,kˆ
Lk,i,j,k∈ {1,2,3}.(3.6)
Los cuales son bien conocidos de la teoría cuántica de momento angular [11].
El modelo de su(2)para sistemas finitos de N=2j+1puntos, consiste en considerar las tres
observables q,pyλcomo el espectro de los generadores de esta álgebra. Su correspondencia
con las observables físicas es:
posición: ˆ
Q=ˆ
L1,(3.7)
momento: ˆ
P=−ˆ
L2,(3.8)
energía: ˆ
H=ˆ
L3+(j+1
2)ˆ
1,(3.9)
donde ˆ
1es el operador identidad. Al tomar en cuenta la extensión generada por el operador
ˆ
En=nˆ
I, el cual genera por sí mismo el álgebra central u(1), se consigue extender su(2)a
u(2)=u(1) ⊕ su(2). Las relaciones de conmutación físicas que caracterizan a este modelo son:
ˆ
H,ˆ
Q=−iˆ
P,ˆ
H,ˆ
P=iˆ
Q,ˆ
Q,ˆ
P=iˆ
H− (j+1
2)ˆ
1.(3.10)
Con ellas queda determinado el modelo de oscilador armónico cuántico finito y discreto [10],
estudiado y desarrollado por N. M. Atakishiyev, G. S. Pogosyan y K. B. Wolf.
Por simplicidad, se define ˆ
L:=ˆ
L3=ˆ
H− (j+1
2)ˆ
1. En la representación jde su(2)el
operador de Casimir es un múltiplo del operador unidad,
ˆ
Q2+ˆ
P2+ˆ
L2=j(j+1)ˆ
1.(3.11)

Señales unidimensionales 31
Los generadores (3.7)–(3.9) actúan sobre señales complejas definidas sobre Npuntos, como
matrices de dimensión N×N. Debido a que u(2)es un espacio compacto, el modelo comprende
una colección discreta y finita de los valores que constituyen el espectro de las observables
posición (q), momento (p)y energía (λ)[12], mientras la teoría de momento angular garantiza
que dicho espectro es equiespaciado [10].
En el espacio de Hilbert de “señales” f∈CNdefinidas sobre el espacio vectorial complejo
de dimensión N,
f=

f−j
.
.
.
fq−1
fq
fq+1
.
.
.
fj

,fq≡f(q) ∈ F ,q∈ {− j,−j+1, . . . , j},(3.12)
donde Fes un campo de dimensión numerable N=2j+1; el operador de posición ˆ
Qdefine
una base ortonormal de Kronecker δq,q0. Con ello, los elementos de matriz de los operadores
ˆ
Q,ˆ
Pyˆ
L, son:
Qq,q0=qδq,q0q,q0∈ {− j,−j+1, . . ., j},(3.13)
Pq,q0=−i1
2(j−q)(j+q+1)δq+1,q0−1
2(j+q)(j−q+1)δq−1,q0,(3.14)
Lq,q0=1
2(j−q)(j+q+1)δq+1,q0+1
2(j+q)(j−q+1)δq−1,q0(3.15)
Estas matrices son hermitianas, sin traza y son una base para representar el álgebra su(2). En
particular, la acción del generador ˆ
Psobre una señal (3.12), ˆ
Pf=f0, resulta en
f0
q=−i1
2(j−q)(j+q+1)fq+1−(j+q)( j−q+1)fq−1,(3.16)
esto es, −iveces la derivada central ponderada. Por lo tanto, mientras que en sistemas continuos
el momento genera traslaciones en el espacio de posiciones, en el modelo de su(2)este genera
rotaciones alrededor del eje p.
Al tomar la exponencial de Lie de cada uno de los generadores de u(2)se obtienen los gene-
radores del grupo U(2)–lineal de las transformaciones sobre señales de Npuntos. En particular,
la exponencial de Lie de los operadores (3.7)–(3.9) generan los tres grupos uniparamétricos de
SU(2),
ˆ
U1=exp(−iαˆ
Q),ˆ
U2=exp(−iβˆ
P),ˆ
U3=exp(−iγˆ
L).(3.17)

32 Sistemas discretos y finitos
Debido a que en la representación (3.13)–(3.15) los generadores de su(2)corresponden a
matrices hermitianas y sin traza, los grupos (3.17) son matrices unitarias con determinante uno.
Una realización de ellas puede ser a través de matrices Djde Wigner y así proveer la acción
lineal del grupo SU(2)sobre vectores columna de Npuntos (3.12). La exponencial de Lie del
operador unidad exp(iφˆ
1)es el generador de la fase total de la señal, y en la clasificación (3.4)
corresponde al orden A=0.
3.1.3 Ordenamiento de Weyl
En el modelo discreto de aberraciones, los monomios (3.4)–(3.5), que dan lugar a transfor-
maciones no lineales (3.3), son elementos del álgebra de cubrimiento universal su(2)la cual
contiene todos los productos que se pueden formar con los elementos de cada monomio. Esta
ambigüedad de ordenamiento es inherente a cualquier esquema de cuantización. Este modelo
utiliza el esquema de ordenamiento de Weyl para solucionar el problema. Dado un monomio
clásico qapbλcy los operadores no conmutantes ˆ
Q,ˆ
P,ˆ
Lque sustituirán a las coordenadas clási-
cas, se suma sobre las a+b+cpermutaciones de sus elementos y se divide por el factorial de
este número. Se denota por {ˆ
Qaˆ
Pbˆ
Lc}Wal operador ordenado de Weyl. De este modo, una
base natural de u(2)está dada por operadores de la forma,
ˆ
M0,1
k,m:=M0,1
k,m(ˆ
Q,ˆ
P,ˆ
L)W.(3.18)
y su representación matricial tendrá dimensión N×N.
El ordenamiento de Weyl es distributivo respecto a la suma, lo cual junto con la distribu-
tividad de los operadores y matrices mismas, permite que el conmutador de los operadores
ˆ
M0,1
k,m∈su(2)con cualquier operador ˆ
M0,1
1
2,m∈u(2), sea el analogo del paréntesis de Berezin
de los correspondientes monomios clásicos. Sin embargo, en general el conmutador entre dos
elementos de mayor orden de su(2)será diferente de los paréntesis Berezin en su realización
clásica. Otra propiedad importante del ordenamiento de Weyl, es que cuando los operadores son
auto-adjuntos bajo algún producto interno, entonces también su producto bajo el ordenamiento
de Weyl es auto-adjunto, es decir, mapea representaciones hermitianas en representaciones
hermitianas. En [13], los autores demuestran que el ordenamiento de Weyl es invariante bajo
transformaciones metaplécticas.
Para cada rango kexiste un multiplete de aberraciones que se transforma linelamente bajo el
grupo U(2), con los mismos coeficientes que su contraparte sobre la esfera clásica. En particular,
la transformada de Fourier-Kravchuk de algún monomio (3.4)–(3.5) se obtiene rotando la esfera

Señales unidimensionales 33
de la figura 3.1, alrededor del eje λpor 1
2π, lo que produce un intercambio p→qyq→ −p. En
la óptica geométrica, el álgebra simpléctica sp(2,R)genera las transformaciones lineales que
conservan los ordenes de aberración, y la transformada de Fourier produce el mismo cambio en
las coordenadas.
Las representaciones matriciales de su(2)no pueden producir representaciones fieles de
su(2)por que el número de matrices hermitianas independientes no puede ser mayor de N2.
Considere el caso de un sistema de N=5puntos, es decir, con j=2. El álgebra de Lie u(5)
de matrices hermitianas tiene dimensión 52=25 mientras que subgrupo lineal u(2)únicamente
tiene 22=4, por lo tanto existen 21 generadores de aberración independientes a encontrar y
clasificar. Para conocer cuál es la mayor aberración que puede sufrir una señal en tal sistema,
considere la matriz diagonal de posición Qcon elementos (3.13) y sus sucesivas potencias Qn
comenzando con Q0=
1
. Las primeras cinco potencias cubren los cinco grados de libertad de
todas las matrices diagonales, por lo tanto, potencias mayores serán combinación lineal de las
primeras, dado que cualquier matriz hermitiana puede ser diagonalizada este argumento aplica
para cualquiera de ellas.
Así, para un sistema de 5puntos, los monomios que generan aberraciones de ordenes
0≤A≤4, y de pesos mcomo lo especifica (3.4)y(3.5), pueden ser ordenadas en las siguientes
“pirámides de aberraciones”:
M0
k,m(q,p):
A=0 1 k=0
1p q 1
2
2p2qp q21
3p3qp2q2p q33
2
4p4qp3q2p2q3p q32
m=23
211
20−1
2−1−3
2−2
(3.19)

34 Sistemas discretos y finitos
M1
k,m(q,p, λ):
A=1λk=1
2
2λpλq1
3λp2λqp λq23
2
4λp3λqp2λq2pλq32
m=3
211
20−1
2−1−3
2
(3.20)
La primera pirámide tiene 15 aberraciones y la segunda 10, en total proveen los 25 genera-
dores del álgebra u(5). El orden de aberración A=0es el generador de fase, A=1son lo tres
generadores lineales de su(2)y los demás son distíntas aberraciones. En particular, la pirámide
(3.19) coincide con las aberraciones mostradas en la figura 2.2.
Para el caso general del álgebra u(N), la pirámide (3.19) tiene 1
2N(N+1)generadores
mientras que en la piramide (3.20) hay 1
2N(N−1), sumando los N2generadores esperados. De
modo que los ordenes de aberración presentes en el grupo unitario U(N)son 0≤A≤N−1=2j.
En cada orden de aberración Aexistirán 2k+1matrices M0
k,my2kmatrices M1
k,m, en total
2A+1aberraciones distintas en cada orden.
Entre los generadores de u(2)únicamente el operador de momento ˆ
Pes representado por
una matriz puramente imaginaria. La exponencial de −iveces este tipo de matrices conduce
a matrices reales y ortogonales; de aquí se sigue que las aberraciones cuyos generadores
son representados por matrices puramente imaginarias son elementos del grupo SO(N) ⊂
U(N)que tiene 1
2N(N−1)parámetros, y mapean señales reales en señales reales. Entre las
pirámides (3.19)–(3.20), todas las aberraciones que contengan potencias impares de pgenerarán
transformaciones reales.
Algunas de estas transformaciones son bien conocidas; en [19,20,21], los autores analizan
el espacio fase de señales bajo transformaciones de rango k=1. Por ejemplo, el operador
1
2ˆ
M0
1,1=1
2ˆ
P2, el cual es de orden A=2genera el vuelo libre de Fresnel, y la lente delgada de
Fresnel de fase cuadrática es generada por el operador 1
2ˆ
M0
1,−1=1
2ˆ
Q2, también de segundo orden.
El operador ˆ
M0
1,0=ˆ
Qˆ
PWgenera la transformación conocida como squeezing, tambien de
segundo orden. La transformada de Fourier-Kravchuk es generada por ˆ
L; es una transformación
de orden A=1.

Señales unidimensionales 35
3.1.4 Grupo de aberraciones unitarias
En analogia con la óptica geométrica, se sigue la descomposición del grupo U(N)basada en el
subgrupo lineal U(2); sus elementos estarán caracterizados mediante N2parámetros,
ˆ
B=ˆ
BAN−1
A=0
=B0
k,mk
m=−kN−1
2k=A=0
,B1
k,mk
m=−kN−1
2k+1=A=1,(3.21)
que son transfomaciones expresables en términos de los monomios (3.4)–(3.5). La parametri-
zación de producto factorizado para el grupo U(N)se escribirá como
U(B):=exp(−iBN−1·MN−1) × · · · × exp(−iB1·M1) × exp(−iB0),(3.22)
BA·MA:=
k=A/2

m=−k
B0
k,mM0
k,m+
k=(A−1)/2

m=−k
B1
k,mM1
k,m,(3.23)
esta representación conserva la dimensión N×N. Muchas de las propiedades de este orde-
namiento son heredadas del caso continuo visto en el capítulo anterior; si bien posee particula-
ridades debido a que no está construído a partir del operador de Poisson sino de conmutadores.
La parametrización (3.22)–(3.23) del grupo U(N)no es global, se trata de una parametriza-
ción de la vecindad del subgrupo lineal U(2), constituye una expansión de aberraciones alrededor
del régimen paraxial. En óptica geométrica, la vecindad es de dimensión infinita numerable,
clasificada a través del orden de aberración. En sistemas discretos, la vecindad posee dimensión
finita y también se clasifica por medio de aberraciones como desviaciones de la linealidad.
Dado que el grupo U(N)como variedad tiene volumen invariante finito [18], es de esperarse
que el rango de sus parámetros sea finito y periódico, tal como ocurre para el subgrupo lineal
U(2). Los eigenvalores de las matrices de aberración esférica M0
k,k=P2k, para N=2j+1
son p2k, con p∈[−j,j]tomando valores enteros o medios enteros. Los eigenvalores de las
matrices exponenciadas con φ=B0
k,kson entonces exp(−iφp2k). Cuando Nes impar todas
estas fases regresan a 1para φ=2π, pero cuando Nes par ocurre únicamente para φ=22k+1π.
Las mismas propiedades se mantienen para los subgrupos generados por Q2kyL2k. Las demás
aberraciones, |m|<k, empezando con ˆ
Qˆ
PWyN>5, no parecen ser calculables en forma
analítica [18].

36 Sistemas discretos y finitos
Figura 3.2: Esfera (lado izquierdo) del espacio metafase parametrizada por los ángulos (β, γ)con β∈ [0, π]y
γ∈ (−π, π], posteriormente proyectada sobre un plano (lado derecho) usando la función Wigner de su(2).
3.1.5 Aberraciones de U(N)
En lo siguiente, se presentarán algunas aberraciones simples, generadas a traves de los operadores
ˆ
Mσ
k,my se clasificarán por sus números cuánticos (k,m, σ). Se pasa por alto la diferencia entre
la acción derecha o izquierda de los operadores y matrices porque únicamente cambia el signo
del parámetro.
Para mostrar la apariencia de las aberraciones de U(N)se utiliza la función de Wigner de
su(2), la cual mapea el espacio fase esférico al plano, permitiendo visualizar la acción de las
transformaciones sobre una señal discreta [21]. Dicho mapeo se representa en la figura 3.2,
donde la esfera del espacio metafase está parametrizada por los ángulos (β, γ)con β∈ [0, π]y
γ∈ (−π, π], siendo el eje qcorrespondiente al valor β=0. La utilidad de la función de Wigner
de su(2)en este análisis yace en hacer reconocible la señal después de ser aberrada.
El polo inferior de la esfera corresponde a (β=1
2, γ =0), este se proyecta sobre el centro
del rectángulo; en este plano, el eje βcorresponde al eje qde la esfera y el eje horizontal γ
corresponde al eje de los momentos p. Las líneas resaltadas sobre el plano corresponden a los
distíntos círculos igualmente resaltados sobre la esfera, la línea en γ=0corresponde a la mitad
inferior del círculo máximo que cruza el eje qy el eje λsobre la esfera, mientras las líneas
en γ=±πson la proyección de la mitad superior del mismo círculo, las líneas en γ=±1
2π
corresponden al círculo máximo que cruza los ejes qyp, el círculo máximo que cruza los ejes
pyλse proyecta sobre la línea horizontal en β=1
2π. Las líneas horizontales superior e inferior
sobre el plano corresponden a los puntos β=0(en dirección +q) y β=π(en dirección −q),
respectivamente.

Señales unidimensionales 37
Figura 3.3: Del lado izquierdo se muestra la función "señal", esta es una función δq,0definida para N=21
puntos (j=10). La función solo existe sobre los puntos, pero se han unido con líneas a trozos para mejorar su
visibilidad. De color azul se muestra el valor real de la función y en verde su valor absoluto. Del lado derecho
se muestra una gráfica de contornos de la función de Wigner W(δq,0|β, γ)de la función delta de Kroneker. Los
contornos representan los valores principales de la proyección.
El aspecto y dinámica de tres señales distíntas bajo la acción de U(N)es el siguiente. La
primera de ellas es la función delta de Kronecker. El valor de la función es 1en el punto cero,
y cero los demás puntos. La gráfica de contornos de su función de Wigner sobre el plano (ver
figura 3.3), muestra dos zonas obscuras a los costados del eje γ, lo que índica que sobre la esfera
se trata de un tipo de “anillo de densidad” o círculo máximo con centro en q=0que cruza
los ejes pyλ, de ahí que su proyección sobre el eje qsea solamente un punto, pero no posea
un valor determinado de momento, teniendo una proyección extendida a lo largo de todo el eje
p. Esta función permite visualizar la continuidad del flujo sobre la esfera del espacio fase, al
mismo tiempo que da una buena perspectiva de la acción lineal de SU(2)sobre la señal en el
espacio de posiciones.
Las imágenes de la figura 3.4 muestran las transformaciones lineales de SU(2)generadas
por los operadores de momento ˆ
P, posición ˆ
Qy pseudoenergía ˆ
L, en ese orden. En el espacio
metafase, cada uno de ellos realiza una rotación geométrica de la esfera alrededor de su eje
correspondiente [20]; un resultado importante de ello, es que –contrario a lo que sucede en
el contexto de la mecánica cuántica continua– la exponencial del operador de momento ˆ
Pno
genera traslaciones puras de la señal. De hecho, no existe combinación lineal de los generadores
que produzca traslaciones puras de una señal discreta, finita y no periódica. Existen distorsiones
que se observan sobre la señal que se deben a la proyección de la esfera sobre el plano (β, γ).

38 Sistemas discretos y finitos
Figura 3.4: Función delta de Kronecker y su respectiva función de Wigner bajo la acción de transformaciones
SU(2)lineales (3.17). Los puntos y lineas azules representan los valores reales de la función y en verde aparece
su valor absoluto. En la esquina superior izquierda se muestra la “rotación” de SU(2)generada por el operador ˆ
P
a través de la matriz unitaria exp(−iαˆ
P). En la esquina superior derecha, la traslación en el espacio de momento
de SU(2)actuando por medio de exp(−iαˆ
Q), la cual únicamente imprime una fase que para esta señal es 1. En la
imagen inferior se muestra la acción del elemento exp(−iαˆ
L), conocido como transformada de Fourier–Kravchuk
(considerando una fase). En todos los casos el valor del parámetro de transformación es α=1
4π.
Bajo la acción del elemento generado por el operador de posición ˆ
Q, la función delta no
permite visualizar la rotación, debido a la simetría del anillo que representa sobre la esfera. Por
otra parte, el giro alrededor del eje λdebido a la acción del elemento exp(−iαˆ
L)es notablemente;
este elemento del grupo SU(2)-lineal es la transformada fraccional de Fourier–Kravchuk 3(con
una fase).
Para mostrar la apariencia de las aberraciones de U(N)se ha escogido la función rectángulo
(figura 3.5) porque muestra mayor estructura que otras funciones que suelen utilizarse, tales
como los modos de oscilador, si bien también se mostrarán al final de esta sección. Esta
función se puede imaginar como un “bulto" de densidad sobre el polo sur de la esfera, que se
proyecta sobre el eje qcomo una función rectangular discreta. Los contornos del diagrama de
la función de Wigner se eligen de forma que sea posible observar el comportamiento de los
valores principales, al mismo tiempo que se observa la estructura de los valores más pequeños.
3La transformada fraccional de Fourier–Kravchuk puede escribirse como Dθ=ei1
4πθ exp(−i1
2πθ ˆ
L), de modo
que si el parámetro del elemento generado por el operador de pseudoenergía es α=1
4π, con un valor θ=1
2, ambas
transformaciones coinciden [17].

Señales unidimensionales 39
Figura 3.5: Del lado izquierdo se muestra la función "señal", esta es una función rectángulo definida para N=21
puntos, Rect(q)=1para −4≤q≤4y cero en cualquier otro lugar. Tal como antes, de color azul se muestra el
valor real de la función y en verde su valor absoluto, y del lado derecho se muestra una gráfica de contornos de la
proyección sobre un plano de la función de Wigner W(Rect(q)| β, γ)de la función rectángulo de Kroneker sobre la
esfera. Los valores de los contornos son: 0.0,0.0001,0.001,0.01,0.2,0.3,· · · ,0.15,0.2,0.3,· · · ,3.0,3.1.
Del mismo modo que se hizo con la función delta, en la figura 3.6 se muestra la acción de
las transformaciones generadas por los operadores ˆ
Q,ˆ
Pyˆ
Lsobre la función rectángulo, donde
se ha tomado como parámetro α=1
4πpara todas las transformaciones. En la primera imagen se
muestra la acción de exp(−iαˆ
P)el cual, si bien traslada el máximo de la función, no mantiene
su estructura, generando oscilaciones sobre todos los puntos donde está definida. En el caso del
elemento exp(−iαˆ
Q), la función rectángulo sufre únicamente un cambio de fase; mientras la
proyección de su función de Wigner sobre la esfera permite ver un desplazamiento limpio en el
espacio de momentos debido a su giro alrededor del eje q. Por último se muestra la transformada
fraccional de Fourier–Kravchuk de la función rectángulo producida por exp(−iαˆ
L).
Para visualizar las aberraciones de U(N)se utilizan parámentros pequeños que permiten
reconocer la señal aberrada sobre el espacio fase y compararla con su análogo continuo. En
la figura 3.7 se presentan las cinco aberraciones de segundo orden (A=2), generadas por
el proceso de quantización finita de los monomios clásicos {M0
1,m}1
m=−1,{M1
1,m}
1
2
m=−1
2. La
columna izquierda muestra la correspondencia finita de vuelo libre, squeezing y lente delgada,
mientras la columna derecha muestra dos aberraciones que no tienen correspondencia clásica.
Se puede observar gran similitud al comparar la función de Wigner de estas aberraciones y su
correspondencia en la figura 2.2.

40 Sistemas discretos y finitos
Figura 3.6: Función rectángulo y su función de Wigner bajo la acción de las transformaciones SU(2)lineales
generadas por ˆ
P,ˆ
Qyˆ
L, las cuales se muestran en dicho orden. Los puntos de la señal siguen la convención adoptada
en las figuras anteriores. El parámetro de transformación se ha elegido igual para cada una de ellas, α=1
4π. A
pesar de que la “rotación" de SU(2)deforma la función, es posible comparar las dos primeras transformaciones con
la segunda fila de la pirámide en la figura 2.2; la última imagen puede compararse con un giro de 45◦de la función,
en dirección contraria al giro de las agujas del reloj.
Figura 3.7: Aberraciones de orden A=2de la señal de la figura 3.5. Para todas las transformaciones el
valor del parámetro de aberración es β=0.05. La columna izquierda presenta las aberraciones producidas por
ˆ
M0
1,1=ˆ
P2W,ˆ
M0
1,0=ˆ
Qˆ
PWyˆ
M0
1,−1=ˆ
Q2W, respectivamente en orden decreciente. Estas pueden ser
comparadas con la tercera fila de la piramide en la figura 2.2 correspondiente a sistemas continuos. La columna
derecha presenta las aberraciones generadas a través de ˆ
M1
1,1
2
=ˆ
Lˆ
PWyˆ
M1
1,1
2
=ˆ
Lˆ
QW, respectivamente.

Señales unidimensionales 41
En la figura 3.8, se presentan las aberraciones de tercer orden (A=3), en correspodencia con
los monomios clásicos {M0
3
2,m}
3
2
m=−3
2
,{M1
3
2,m}1
m=−1. De nuevo, la columna izquierda muestra
los monomios correspondientes a (3.5) y la columna derecha los correspondientes a (3.6). La
figura 3.9, muestra las aberraciones de orden A=4, generadas por el análogo discreto de los
monomios {M0
2,m}2
m=−2,{M1
2,m}
3
2
m=−3
2, usando el mismo orden que se ha usado anteriormente.
Las aberraciones de la columna derecha son: aberración esférica, coma, astigmatismo, distorsión
de campo y pocus, en orden descendente. Es de destacarse que esta última, pocus, únicamente
modifica el espacio de momentos, razón por la cual fue ignorada en la clasificación de Seidel.
Figura 3.8: Aberraciones de orden A=3de la señal 3.5. En estas aberraciones se ha usado un valor de β=0.01
como parámetro de aberración. Del lado izquierdo se presentan –en orden descendente– las aberraciones producidas
por ˆ
M0
3
2,3
2
=ˆ
P3W,ˆ
M0
3
2,1
2
=ˆ
Qˆ
P2W,ˆ
M0
3
2,−1
2
=ˆ
Q2ˆ
PWyˆ
M0
3
2,−3
2
=ˆ
Q3W, las cuales pueden ser comparadas
con la cuarta fila de la pirámide de aberraciones 2.2. Del lado derecho de la figura, se presentan las aberraciones
generadas por ˆ
M1
3
2,1
=ˆ
Lˆ
P2W,ˆ
M1
3
2,0
=ˆ
Lˆ
Qˆ
PWyˆ
M1
3
2,−1
=ˆ
Lˆ
Q2W.

42 Sistemas discretos y finitos
Figura 3.9: Aberraciones de orden A=4. de la señal 3.5, con parámetro de aberración β=0.002. En la columna
izquierda se muestran las aberrciones generadas por ˆ
M0
2,2=ˆ
P4W,ˆ
M0
2,1=ˆ
Qˆ
P3W,ˆ
M0
2,0=ˆ
Q2ˆ
P2W,
ˆ
M0
2,−1=ˆ
Q3ˆ
PWyˆ
M0
2,−2=ˆ
Q4W. Pueden observarse las similitudes que presentan estas aberraciones con
las que muestra la quinta fila de la pirámide de la figura 2.2, también resulta ilustrativo compararlas con los flujos
de la figura 2.3. En la columna derecha se presentan las aberraciones generadas a través de ˆ
M1
2,3
2
=ˆ
Lˆ
P3W,
ˆ
M1
2,1
2
=ˆ
Lˆ
Qˆ
P2W,ˆ
M1
2,−1
2
=ˆ
Lˆ
Q2ˆ
PWyˆ
M1
2,−3
2
=ˆ
Lˆ
Q3W.

Señales unidimensionales 43
Por último, se presenta la dinámica del estado base del oscilador finito de su(2),
ψj(k)=dj
−j,k(1
2π)=1
2j2j
j+k,(3.24)
donde dj
−j,k(1
2π)es la función dpequeña de Wigner [24]. Este estado es par y está centrado en
k∈ [−j,j]. Su rotación alrededor del eje de momento por un ángulo θ, traslada su proyección
a lo largo del eje de posición por una cantidad sin θ. Los estados coherentes de este modelo de
oscilador se definen por la acción exponenciada del elemento ˆ
P∈SU(2), del modo base,
κj
θ:=exp(−iθˆ
P)ψj,(3.25)
para θ∈ [0, π][20]. Esta es la única señal discreta y finita que puede ser trasladada de forma
pura por medio de exp(−iθˆ
P), al menos mientras la señal se mantenga a distancia de los bordes
(límite donde se encuentra definida), pues aún esta perderá su forma, convergiendo a una delta
de Kronecker para θ=1
2π.
En las figuras 3.10 y3.11 se muestran las aberraciones de la función 3.24, que corresponden
a la cuantización finita de las monomios en (3.20) y (3.21); el orden en el que se encuentran
las imágenes está en completa correspondencia con dicho arreglo de monomios. El tamaño de
la señal es de N=21 puntos, y los parámetros de aberración utilizados son los mismos que en
los casos anteriorimente mostrado. El objetivo de conservar valores pequeños del parámetro
de aberración con respecto a su parte lineal es mantener un aspecto reconocible de la función
después de transformarla, lo que permite compararla con el caso continuo.

44 Sistemas discretos y finitos
Figura 3.10: Estado base del oscilador finito y discreto (3.24). En la cima de la pirámide, puede verse la función sin
transformación. El tamaño de la señal es de N=21 puntos ( j=10). Los puntos grandes muestran el valor absoluto
de la función y las líneas a trozos muestran su valor real. Las aberraciones mostradas están en correspondencia
con la cuantización finita de los monomios clásicos mostrados en (3.20). Los parámetros de aberración usados son:
φ=1
4πpara A=1,α=0.05 para A=2,β=0.01 para A=3yγ=0.002 para A=4. El valor de los contornos
que muestran los gráficos de densidad son: 0.0,0.0001,0.001,0.01,0.2,0.3,· · · ,0.15,0.2,0.3,· · · ,3.0,3.1. Puede
observarse que estas señales no presentan distorsiones sobre todo el espacio fase, como en el caso de una señal
rectangular.
Figura 3.11: Aberraciones del estado base (3.24) del oscilador discreto y finito. Las aberraciones mostradas están
en correspondencia con su equivalente discreto y finito de los monomios en (3.21). El tamaño de la señal es de
N=21 puntos. Las gráficas siguen las convenciones de la figura anterior. Se ha utilizado el mismo valor de los
parámetros de acuerdo a su orden de aberración A.

Aberraciones en sistemas 2Dcon simetría diédrica D445
3.2 Aberraciones en sistemas 2Dcon simetría diédrica D4
En esta sección se presenta una generalización de los métodos implementados para la cuanti-
zación finita de señales unidimensionales que permite realizar aberraciones con simetría dié-
drica D4sobre pantallas rectangulares pixeladas que portan imágenes f=fmx,mycon mi|ji
−ji
(i=x,y) y Ni=2Ji+1siendo jiun número entero, considerándolas como señales bidimen-
sionales en coordenadas cartesianas, organizadas en matrices de tamaño Nx×Ny. Este trabajo
se centra en el caso jx=jy, debido a que concentra todos los resulados interesantes de este tipo
de aberraciones, sin embargo, no hay problema en considerar el caso rectangular. Se analizarán
aberraciones de orden Ak=2k=4(correspondientes al rango k=2). Por lo tanto, dichas
señales se consideran como vectores del espacio RN2.
3.2.1 Extensión del modelo de cuantización finita
Para transformaciones de señales bidimensionales, se toma la base de monomios (2.57) siendo
q=qx
qyyp=px
py; es cada dirección del espacio (x,y), la que será cuántizada finitamente de
forma independiente. Se consideran las cantidades qi,piyλi(i=xoy) como el espectro de
generadores de su(2)i, tal como en (3.7)–(3.9), existiendo un conjunto de operadores ˆ
Qi,ˆ
Piy
ˆ
Lipara cada dirección del plano, definidos por (3.13)–(3.15). De este modo, tomando en cuenta
el operador unidad ˆ
I, se tiene el álgebra
u(1) ⊕ su(2)x⊕su(2)y=u(1) ⊕ so(4) ⊂ u(4)(3.26)
Cada conjunto de operadores ˆ
Qi,ˆ
Pi,ˆ
Licumple con sus propias relaciones de conmutación
(3.10), al mismo tiempo que cada copia del álgebra u(2)=u(1) ⊕ su(2)son independientes
entre sí y mutuamente conmutantes.
Así, las coordenadas clásicas se convierten en operadores 2Dque serán distínguidos con
una línea superior indicando que su acción se divide en las dos componentes del plano,
|q|2=q2
x+q2
y7−→ Q2=ˆ
Q2
(x)+ˆ
Q2
(y)(3.27)
q·p=qxpx+qypy7−→ {Q·P}W=ˆ
Qˆ
PW(x)+ˆ
Qˆ
PW(y)(3.28)
|p|2=p2
x+p2
y7−→ P2=ˆ
P2
(x)+ˆ
P2
(y)(3.29)
El operador invariante de Casimir de este nuevo sistema es Q2+P2+L2=2j(j+1)ˆ
I.

46 Sistemas discretos y finitos
Finalmente, se tiene la siguiente base de aberraciones con simetría D4, de rango k=
k++k0+k−=2, es
M0
k+,k0,k−(Q,P):=P2k+{Q·P}Wk0Q2k−,(3.30)
m=k+−k−∈{−2,−1,0,0,1,2},
que genera un sextuplete de aberraciones finitas en correspondencia con la óptica geométrica.
Por otra parte, la base
M1
k0
+,k0
0,k0
−(Q,P,L):=L2M0
k0
+,k0
0,k0
−(Q,P)m0=k0
+−k0
−∈{−1,0,1}.(3.31)
con k0
++k0
0+k0
−=1, genera un triplete de aberraciones propias del modelo de cuantización
finita.
Clásicamente, cada operador en (3.27)–(3.29) conmuta –en relación al paréntesis de Poisson–
con el operador de momento angular o helicidad,q×p=qxpy−qypx, sin embargo, su versión
finita no lo hace. Estos operadores generan la parte paraxial de los sistmas axialmente simétricos.
Para señales bidimensionales, los operadores con simetría axial producirán transformaciones
invariantes ante el intercambio x↔yen ambas direcciones, lo que no incluye al operador de
momento angular.
La acción de los operadores de su(2)(3.27)–(3.29), sobre señales finitas representadas por
matrices f=fmx,my, es de la forma
Q2:fmx,my
=m2
x+m2
yfmx,my,(3.32)
{Q·P}W:fmx,my
=−i1
2(mx+1
2)(j−mx)(j+mx+1)fmx+1,my
+i1
2(mx−1
2)(j+mx)(j−mx+1)fmx−1,my
−i1
2(my+1
2)(j−my)(j+my+1)fmx,my+1(3.33)
+i1
2(my−1
2)(j+my)(j−my+1)fmx,my−1
P2:fmx,my
=1
2j(2j−mx−my+2)fmx,my
−1
4Cj
mxfmx+2,my−1
4Cj
−mxfmx−2,my(3.34)
−1
4Cj
myfmx,my+2−1
4Cj
−myfmx,my−2,
donde Cj
m:=(j−m−1)(j−m)( j+m+1)( j+m+2). Cada uno de estos operadores está
separado como suma de dos términos, escribiendo génericamente un operador A, un término

Aberraciones en sistemas 2Dcon simetría diédrica D447
ˆ
A(x)sobre la componente xyˆ
A(y)sobre la componente y, ambas componentes representadas
por la misma matríz A=Ami,m0
i, de modo que
f0
mx.my=A:fmx,my
=
j

m0
x=−j
Amx,m0
xfm0
x,my+
j

m0
y=−j
Amy,m0
yfmx,m0
y.(3.35)
Puede demostrarse que estas transformaciones son auto-adjuntas bajo producto interno
sesquilineal común en el espacio de dimensión N2donde están definidas estas matrices,
(f,g)=
j

mx=−j
j

my=−j
fmx,myg∗
my,mx,(3.36)
de modo que se satisface A:f,g=f,A:g.(3.37)
Esto puede establecerse directamente para A=P2, usando Cj
m=Cj
−m−2yCj
−m=Cj
m−2en
(3.34). Por otra parte, la acción del operador de helicidad sobre señales bidimensionales, es
Q×P:fmx,my
=i1
2my(j−mx)(j+mx+1)fmx+1,my
−i1
2my(j+mx)(j−mx+1)fmx−1,my
+i1
2mx(j−my)(j+my+1)fmx,my+1(3.38)
−i1
2mx(j+my)(j−my+1)fmx,my−1,
a pesar de que este operador sube y baja índices independientes, sus coeficientes mezclan los
términos de ambas direcciones, por lo cual su acción no puede escribirse en la forma (3.35),
pero será analizada también, adelante.
3.2.2 Mapeo paraxial
La exponencial de los operadores P,QyLpuede calcularse fácilmente y ser separadas por su
acción sobre las componentes xoyde la señal por medio de la fórmula de Baker-Campbell-
Hausdorff. Esta propiedad la conservan los operadores (3.32)–(3.34), de modo que es posible
obtener transformaciones paraxiales unitarias sobre imágenes pixeladas,
e−iαA:f=e−iαˆ
Axfe−iαˆ
Ay(3.39)
Sin embargo, el espacio fase de señales 2Des de cuatro dimensiones, por lo tanto, no es
conveniente usar la función de Wigner de su(2)para visualizar sus transformaciones como se
hizo anteriormente para sistemas unidimensionales.

48 Sistemas discretos y finitos
Figura 3.12: Transformación de una señal de 65 puntos, consistente de un solo pixel de valor uno sobre una
base de ceros, bajo el mapeo debido a las exponenciales: exp −iαˆ
P(pseudo-traslación) en la imagen superior y
exp −iαˆ
L(transformada de Fourier-Kravchuk) en la imagen inferior. Se muestra la parte real, imaginaria y el
valor absoluto de estas transformaciones, para parámetros: α=0.0,0.1,0.3y0.5. La escala de grises ha sido
ajustada para mostrar en color negro el mínimo, blanco el máximo y gris los valores cero, para cada gráfica. También
se ha modificado la escala de tamaño por pixel a 4 : 1 , respecto a altura-anchura, con la finalidad de mejorar la
visualización.
Con el propósito de comparar directamente las transformaciones sobre sistemas unidimen-
sionales con sistemas bidimensionales, se muestra en la figura 3.12 la acción de los operadores
exp −iˆ
Pyexp −iαˆ
Lsobre una señal Delta de Kronecker, es decir, una señal con solo un
pixel con valor uno y todos los demás valen cero, esta vez graficada en pixeles cuyo tono de gris
varía según el valor de la señal. Se muestra la parte real, imaginaria y el valor absoluto, de forma
descendente. Para la exponencial del operador ˆ
P, puede observarse que a medida que el valor
del parámetro de la transformación se incrementa, el máximo de la función se mueve hacia la
izquierda, al mismo tiempo que se propagan oscilaciones en la dirección contraria que tienden
a desaparecer cuando el número de pixeles del sistema tiende a infinito. Esta transformación no
posee parte imaginaria porque el producto iˆ
Pes real, por otra parte, el valor absoluto revela la
simetría de la transformación.
El mapeo producido por la exponencial exp −iαˆ
Lgenera dos nuevos máximos que se
propagan en direcciones opuestas a medida que el parámetro αaumenta, de nuevo existen
oscilaciones alrededor de ambos máximo; esta transformación sí tiene parte imaginaria porque
el producto iˆ
Les imaginario. Compárense estas dos transformaciones con las mostradas en la
figura 3.4.

Aberraciones en sistemas 2Dcon simetría diédrica D449
Figura 3.13: Transformación de una señal de 65 puntos, consistente de cinco pixeles equidistantes de valor uno,
sobre una base de ceros. En la primera imagen, el mapeo es producido por exp −iαˆ
P2y la segunda es mapeada
por exp −iαˆ
Qˆ
PW. Como en la figura anterior, se muestra la parte real, imaginaria y valor absoluto en la misma
escala de grises, aquí para parámetros α=0.0,0.001,0.003 y0.005. La escala por pixel es 4:1, de nuevo.
En la figura 3.13 se presenta la transformación de una señal con valor uno en cinco puntos
repartidos equidistántemente, y cero en las demás posiciones, bajo mapeo paraxial. La trans-
formacion debida a exp −iαˆ
P2, produce oscilaciones (positivas) alrededor de los tres pixeles
centrales cuando α=0.001, dejando inalterados los pixeles en los extremos. Al aumentar el
parámetro αa0.003, los pixeles centrales se dividen en dos máximos, mientras los pixeles
extremos comienzan a mostar las primeras oscilaciones; en α=0.005 las oscilaciones han
comenzado a interferir entre sí. Este comportamiento muestra que los bordes de la señal afectan
de forma importante las transformaciones, principalmente cuando son generadas por el operador
ˆ
P, como se explicará más adelante.
El mapeo generado por exp −iαˆ
Qˆ
PW–también mostrado en la figura 3.13–, hace que
los máximos de la señal se desplacen hacia el centro de la misma. El efecto resulta mayor en
los pixeles más alejados del centro. El desplazamiento es similar al observado en 3.12, es decir,
dejando oscilaciones (positivas y negativas) tras de sí, pero mostrando ser una transformación
simétrica.
En estos ejemplos, no se ha considerado la acción del operador ˆ
Qporque únicamente imprime
una fase sobre la señal, produciendo una parte imaginaria, pero manteniendo la amplitud de la
misma. Excepto para la matriz diagonal exp −iαˆ
Ql, la exponencial de las matrices (3.14)–
(3.16) generarán matrices de tamaño (1
2j+1)×(1
2j+1)con todos sus elementos distintos de cero.
Dado que los elementos centrales de las matrices PnyLmcrecen como v(1
2j)n+m, el parámentro
de aberración αdeberá ser escalado inversamente para mantener las transformaciones dentro de
una escala visualmente reconocible, como ocurrió en las figuras 3.12 y3.13.

50 Sistemas discretos y finitos
Figura 3.14: Señal bidimensional de tamaño 65 ×65, compuesta por 25 puntos con valor uno representados en
color blanco, acomodados uniformemente; los pixeles en tono gris poseen valor cero.
Para mostrar las transformaciones sobre imágenes pixeladas en 2D, se ha elegido una señal
formada por 25 puntos de valor uno, equidistántemente repartidos sobre una base de ceros. El
tamaño del arreglo es 65×65, tal como se muestra en la figura 3.14. Esta configuración de imagen
permite visualizar fácilmente el efecto de las transformaciones del modelo de cuantización finita
de su(2), además, las aberraciones de cuarto orden serán directamente comparables con el caso
continuo de la óptica geómetrica mostrado en 2.4.
La primera transformación que se presenta en la figura 3.15, es generada por la exponencial
del operador Pcon parámetro α=0.05. En ella, puede observarse el desplazamiento de
los máximos de la señal en dirección diagonal ascendente, producida por la composición del
desplazamiento en la dirección negativa sobre el eje xy positiva sobre el eje y. Como era
de esperarse, aparecen oscilaciones en la dirección opuesta al desplazamiento de los máximos,
estas oscilaciones interfieren generando máximos y mínimos locales que se observan en tonos
blancos y negros. Esta transformación no es axialmente simétrica, si bien, es simétrica con
respecto a la diagonal principal, debido a las propiedades de la matríz Pi=Pmi,mi(i=x,y).
La segunda imágen de 3.15, muestra la transformada de Fourier–Kravchuk de la señal, con
el mismo valor de parámetro α=0.06. Esta transformación es axialmente simétrica, debido a
que constituye una rotación alrededor del eje ˆ
Lxmás una rotación alrededor del eje ˆ
Ly. Dichas
rotaciones producen la división de los nueve máximos centrales, estas divisiones se desplazan
a lo largo de las diagonales, en ambas direcciones, al mismo tiempo que oscilan entre valores
positivo y negativos que se observan con tonos de blanco y negro, en la parte real e imaginaria
de la imagen. Los máximos restantes sienten el efecto de los bordes, por lo que su dinámica no
es simétrica. Las transformaciónes debidas a PyLtienen la misma amplitud.

Aberraciones en sistemas 2Dcon simetría diédrica D451
Figura 3.15: Mapeo de la señal 3.14, bajo las transformaciónes generadas por exp −iαP(imagen superior) y
exp −iαL(imagen inferior). El parámetro de transformación es α=0.06 para ambos mapeos. La escala de grises
ha sido ajustada para mostrar el máximo en color blanco y el mínimo en negro, el valor cero se muestra en un tono
intermedio de gris.
Al comparar la figura 3.15 con 3.12, se observa que el parámetro utilizado en la transfor-
mación se ha reducido un orden de magnitud para mantener una imagen comparable, esto se
debe a que la transformación bidimensional generada por la exponencial de los operadores Q,
PyLse divide en una parte que actúa sobre las componentes xy otra sobre las componentes y;
en su representación matricial, se traduce en dos operaciones que multiplicarán sus elementos
(columna por fila) para luego sumarlos, este proceso se repite dos veces, acumulando el efecto de
la transformación, por lo que hubo que manter el valor del parámetro de aberración aún menor
que en el caso unidimensional para mantener una forma reconocible en la transformación.
En la figura 3.16, se muestran las transformaciones paraxiales de 3.14,exp −iαP2con
α=0.002 yexp −iβ{Q·P}Wcon β=0.004. La primera de ellas es la versión finita de
vuelo libre y puede compararse con la figura 3.13, al igual que en el caso 1D, los pixeles
blancos se dividen, en este caso, en ambas direcciones del plano, generando cuatro nuevos
pixeles “encendidos” en las direcciones principales y otros cuatro de menor intensidad sobre

52 Sistemas discretos y finitos
Figura 3.16: Transformaciónes paraxiales generadas por exp −iαP2con α=0.002 (imagen superior) y
exp −iβ{Q·P}Wcon β=0.004 (imagen inferior). La escala de grises ha sido ajustada para mostrar el máximo
en color blanco y el mínimo en negro, el valor cero se muestra en un tono intermedio de gris.
las diagonaes; dependiendo de la parte que se observe (real, imaginaria o absoluta) será el
tono en que se observen, es decir oscilarán con distínta fase, pero el comportamiento general
se mantiene. La segunda imagen de esta misma figura, squeezing, puede ser comparada con
3.13 o directamente con la figura 3.7; en ella se observa claramente la contracción de la imagen
hacia el centro de la misma, generando el desplazamiento de los máximos de la señal. Esta
transformación produce un campo que depende radialmente de la distancia al centro.
3.2.3 Aberraciones en pantallas pixeladas
La aberraciones de orden Ak=4correspondientes al rango k=2, son generadas por la
exponenciación de la base {M0
k+,k0,k−}2
m=−2,{M1
k0
+,k0
0,k0
−}1
m0=−1k=2,k0=1definida en (3.30) y
(3.31). Sin embargo, nótese de (3.35) que al tratar de exponenciar un operador genérico A, las

Aberraciones en sistemas 2Dcon simetría diédrica D453
potencias mayores a uno en la serie exponencial, como la potencia cuadrática, producirá
A2
:f=
j

m00
x,m0
x=−j
Amx,m00
xAm00
x,m0
xfm0
x,my+
j

m00
x,m0
y=−j
Amx,m00
xAmy,m0
yfm00
x,m0
y(3.40)
+
j

m00
y,m0
x=−j
Amy,m00
yAmx,m0
xfm0
x,m00
y+
j

m00
y,m0
y=−j
Amy,m00
yAm00
y,m0
yfmx,m0
y,
el cual mezcla los términos con índices xyy, por lo que no es posible separar su acción como
la suma (A)2,ˆ
A2
x+ˆ
A2
y. Las potencias mayores tendrán más términos mezclados, resultando
imposible calcular de forma cerrada la acción de la serie exponencial respecto a las direcciones
del plano, por lo tanto debe aproximarse truncando la serie, con lo que se pierde la unitariedad
de la transformación. A pesar de ello, no hay dificultad en implementar computacionalmente
el cálculo de cada término de la serie exponencial hasta algún orden conveniente. Resulta
partícularmente útil la aplicación repetitiva de las fórmulas (3.32)–(3.34), calculando previa-
mente la simetrización de Weyl de la correspondiente aberración, para evitar la ambigüedad de
ordenamiento al implementar este modelo de cuantización finita. Las aberraciones presentadas
en este trabajo han sido aproximadas a tercer orden en su serie de Taylor.
A pesar de no ser una aberración, el operador de helicidad mezcla los términos en xy en
y, como lo muestra (3.38), por lo que es necesario aproximar la exponencial de {Q×P}W. En
la figura 3.17 se muestra su acción sobre la señal 3.14, aproximando la serie de Taylor a tercer
orden, y aumentando el parámetro de la transformación en pasos de 0.002. Puede observarse
en esta figura que el operador de helicidad genera un desplazamiento de la imagen alrededor del
centro de la misma, sin embargo, las oscilaciones que produce este desplazamiento hace dificil
identificar los máximos de la señal conforme el parámetro βaumenta.
Figura 3.17: Transformación generada por la exponencial del operador de helicidad, exp −iβ{Q×P}W. Los
parámetros utilizados, de izquierda a derecha, son β=0.0,0.002,0.004,0.006. La escala de grises está ajustada
para mostrar en blanco el máximo de la transformación, en gris los valores cero y en negro el mínimo.

54 Sistemas discretos y finitos
En la figura 3.18, se muestra la imagen 3.14 aberrada esféricamente con un parámetro de
aberración α=1×10−6, generada por la exponencial del operador M0
2,0,0W
=P22. Se
muestra la parte real, imaginaria y amplitud, además del diagrama de manchas de la óptica
geométrica para comparar los resultados. En el caso geométrico, esta transformación genera
una aberración independiente del campo, esto es, que la deformación de los puntos sobre la
imagen, no depende de su posición. En la figura se observa la deformación del pixel central,
siendo la misma para los pixeles dentro del primer cuadro de la imagen; el efecto de los bordes
es notorio sobre la transformación, lo cual es consistente con la estructura de P22ya que los
elementos de la matriz Pnson del orden ∼jnen el centro y decrecen hasta llegar a cero en los
bordes. Por lo tanto, en el caso discreto y finito, aberración esférica es una transformación que
no genera un campo dependiente de la distancia radial, pero que inevitablemente se ve afectada
por la existencia de los bordes de la señal.
Pocus es una transformación que aberra esféricamente el espacio de momentos. Es generada
por M0
0,0,2W
=Q22, en este caso, con α=5×10−6. Tal como en el caso continuo, no
se observa cambio en la posición de los puntos de la imagen (ver figura 3.19), sin embargo, es
posible observar el cambio de fase que produce, aparece una parte imaginaria en el mapeo y
disminuyen los valores máximos, manteniendo la amplitud total invariante.
Aberración comática es presentada en la figura 3.20, generada por la acción exponencial de
M0
1,1,0W
=P2Q·PWcon parámetro de aberración α=3×10−6. Esta es una transforma-
ción real que produce un campo dependiente de la distancia al centro de simetría, afectando más
a los puntos alejados del mismo. Comparando el caso finito con el caso continuo, se observa el
despliegue de oscilaciones en forma de cono con dirección central. La transformada de Fourier
relaciona coma con distorsión, siendo conjugadas una de la otra. Distorsión es generada a través
de la exponencial de M0
0,1,1W
=Q·P Q2W, y se muestra en la figura 3.21 donde se ha
utilizado el parámetro de aberración α=5×10−6. Puede observarse que esta aberración, tam-
bién es un campo que depende de su distancia al centro de simetría, la cual desplaza los pixeles
hacia el centro, siendo mayor su efecto para los puntos lejanos. Como todo desplazamiento en
un sistema discreto y finito, existen oscilaciones que se propagan en dirección contraria a la del
desplazamiento de los máximos de la señal. Otro comportamiento general de las aberraciones
es que son transformaciones reales cuando son función de una potencia impar del operador de
momento Py poseen parte imaginaria cuando son función de una potencia par del mismo. Por
lo tanto, distorsión es una transformación puramente real.

Aberraciones en sistemas 2Dcon simetría diédrica D455
Figura 3.18: Aberración esférica de la imagen (3.11), generada por exp −iαP22con α=1×10−6en
aproximación a tercer orden de su serie de Taylor. Comenzando por la imagen superior y de izquierda a derecha,
se presenta la parte real, imaginaria y valor absoluto de la señal discreta y finita aberrada; la última imagen es el
diagrama de manchas del caso continuo de la óptica geométrica. La escala de grises ha sido ajustada para mostrar
en negro el mínimo, en gris el valor cero y en blanco el máximo de la señal.
Figura 3.19: Pocus es generada por exp −iαQ22con α=5×10−6. Se presenta la parte real, imaginaria,
valor absoluto y el caso continuo, en el mismo orden que en la figura anterior; igualmente se sigue el mismo ajuste
para la escala de grises. Debe notarse que debido a que se trata de una aproximación a tercer orden, se ha perdido la
unitariedad de la transformación, lo que produce pérdida en la amplitud total de algunos pixeles.

56 Sistemas discretos y finitos
Figura 3.20: Aberración comática es generada a través de exp −iαP2Q·PWcon α=3×10−6en aprox-
imación a tercer orden de su serie de Taylor. Se muestra la parte real, imaginaria, valor absoluto y diagrama de
manchas de la óptica geométrica, en el orden previamente establecido, al igual que la escala de grises.
Las aberraciones generadas por la exponencial de los operadores M0
1,0,1W
=P2Q2W
yM0
0,1,0W
=(Q·P)2W, es decir, curvatura de campo y astigmatismo, se muestran en
las figuras 3.22 y3.23, respectivamente. El valor del parámetro de aberración utilizado es
α=5×10−6. Tal como en los casos anteriores, estas transformaciones son conjugadas de
Fourier una de la otra. Ambas transformaciones son generadas por potencias pares del operador
momento, por lo que poseen parte imaginaria, además, ambas generan campos dependientes.
En el caso de curvatura, el efecto de los bordes sobre la transformación vuelve a ser importante,
como ocurre con aberración esférica, esta aberración presenta circulos alrededor de los máximos,
que oscilan intercalando valores negativos y positivos, pero su amplitud y longitud depende de
su posición. Astigmatismo es una aberración que prolonga los máximos de la señal hacia el
centro, sin embargo, presenta oscilaciones alrededor de las deformaciones principales de la
imagen, estas oscilaciones son inherentes del modelo de cuantización y la naturaleza discreta y
finita de las señales. A pesar de ello, se observa gran similitud entre la dinámica de aberraciónes
finitas y las aberraciones de la óptica geométrica.

Aberraciones en sistemas 2Dcon simetría diédrica D457
Figura 3.21: Distorsión es generada a través de exp −iαQ·P Q2Wcon α=5×10−6Esta aberración es
conjugada de Fourier de la aberración comática. La escala de grises y orden de las imágenes es la misma que antes.
Obsérvese el desplazamiento de los máximos de la señal 3.14 hacia el centro de la imagen, tal como ocurre en el
caso continuo, siendo mayor el efecto para los pixeles más lejanos al eje de simetría.
Figura 3.22: Curvatura de campo es generada por exp −iαP2Q2W. El parámetro de aberración es α=
5×10−6. La posición y contenido de las distíntas imágenes es el seguido en las figuras anteriores, así como la escala
de grises. Note la similitud con el caso continuo pese a verse fuertemente afectada por los bordes de la imagen.

58 Sistemas discretos y finitos
Figura 3.23: Astigmatismo es la transformada auto-recíproca es generada por exp−iα(Q·P)2W. El
parámetro de aberración es α=5×10−6. Pese a que existen oscilaciones propias de este modelo y la natu-
raleza finita del sistema, puede observarse gran similitud entre los casos discreto y continuo.
Por último se presentan en la figura 3.24 las tres aberraciones propias de este modelo,
generadas por el operador Lsegún la base (3.31). La primera de ellas está generada por la
exponencial del operador M1
1,0,0W
=L2P2Wcon parámetro de aberración α=2×10−6.
Es interesante notar la similitud entre aberración esférica y esta aberración. La aberración debida
aM1
0,1,0W
=L2Q·PWha sido implementada con parámetro de aberración β=5×10−6.
Es una aberración real por ser múltiplo impar del operador de momento, cuya apariencia resulta
similar a coma. La última aberración, es generada por la exponencial de M1
0,0,1W
=L2Q2W,
con parámetro γ=5×10−6. Al comparar con la imagen 3.19, se observa gran similitud entre
esta aberración y curvatura de campo.
Las similitudes encontradas entre estas tres últimas aberraciones y algunas del sextuplete
estándar no son de sorprender pues ocurre un comportamiento similar entre las tres aberraciones
de la columna derecha de la figura 3.5 y las de la columna izquierda de la figura 3.4, a pesar de
ser de distínto orden. La razón es clara: los elementos de las matrices (3.15)y(3.16) difieren
en una constante iy un signo; además, en el caso bidimensional, en las aberraciones propias de
este modelo de cuantización finita, el operador L2sustituye a P2. Estas aberraciones no tienen
contraparte en el modelo de la óptica geométrica, por lo que no pueden compararse con un caso
continuo.

Aberraciones en sistemas 2Dcon simetría diédrica D459
Figura 3.24: Aberraciones de orden Ak=4correspondientes al grado k=2. Del lado derecho de la figura se
muestra el operador cuya exponencial genera la transformación. Los parámetros de aberración, son: α=2×10−6,
β=5×10−6yγ=5×10−6, respectivamente en orden descendente. La escala de grises se ha ajustado del mismo
modo que en las figuras anteriores.
En la extensión del modelo unidimensional de cuantización finita a dos dimensiones, existe
únicamente una “pirámide” de aberraciones propias que son ortogonales entre sí bajo el producto
(3.36). Al despejar L2del operador de Casimir y sustituirla en la definición (3.31), queda en
evidencia que las tres aberraciones mostradas en 3.24 son en realidad una combinación lineal
de aberraciones de segundo y cuarto orden.

60 Sistemas discretos y finitos

61
Capítulo 4
Conclusiones
A través del modelo de aberraciones de Hamilton–Lie de la óptica geométrica, basado en mul-
tipletes finitos del álgebra simpléctica Sp(2,R), se introdujo el modelo de cuantización finita
de su(2)para sistemas unidimensionales [4], cimentado en el modelo de oscilador armónico
cuántico discreto y finito. Este modelo posee la estructura del álgebra su(2), cuyas transforma-
ciones forman el grupo U(N)de matrices unitarias de dimensión N×N. Para modelar sistemas
ópticos, el grupo U(N)es factorizado en transformaciones de SU(2)lineales y no lineales. Las
aberraciones del espacio fase de sistemas unidimensionales fueron visualizadas por medio de la
función Wigner de su(2), mapeando el espacio metafase esférico sobre el plano, lo que permitió
comparar su aspecto con el caso clásico. La ambigüedad de ordenamiento inherente a todo
esquema de cuantización, fue solventado por el esquema de ordenamiento de Weyl.
En este trabajo se extendió el modelo de cuantización de su(2)a sistemas en 2Dpor
medio de la teoría de aberraciones para sistemas hamiltonianos bidimensionales axialmente
simétricos. Esta extensión del modelo finito permite realizar aberraciones con simetría D4sobre
pantallas rectangulares pixeladas. Asignando una copia del álgebra u(2)a cada dirección del
plano, independientes entre sí y mutuamente conmutantes, se trató de producir transformaciones
unitarias sobre señales discretas, vistas como vectores en el espacio RN2.
Se mostró que la acción paraxial del grupo SU(2), genera transformaciones unitarias sobre
señales discretas y finitas f=fmx,my. Sin embargo, las transformaciones no lineales de SU(2)
no pueden calcularse de forma cerrada, separando su acción sobre las componentes (x,y), por lo
que deben ser aproximadas truncando a orden conveniente su serie de Taylor. La implementación
computacional de esta aproximación resulta sencilla y de bajo costo en cómputo utilizando las
fórmulas (3.32)–(3.34).

62 Conclusiones
Se presentaron las aberraciones de cuarto orden generadas por la exponencial del sextuplete
M0
k+,k0,k−2
m=−2, aproximadas hasta tercer orden en su serie de Taylor. La apariencia de las
aberraciones en QyPfue comparada con el caso análogo en óptica geométrica, encontrándose
grandes similitudes y haciendo evidente un importante efecto de los bordes de la señal finita
sobre la dinámica general. Las diferencias entre el caso discreto y el caso contínuo, radican
fundamentalmente en que el operador ˆ
Pen SU(2)no genera traslaciones puras de la señal, este
produce oscilaciones tras de sí, que se propagan en dirección opuesta a la traslación deseada,
dicho comportamiento afecta notablemente la imagen portada por f.
Las aberraciones generadas por el triplete M1
k0
+,k0
0,k0
−1
m0=−1son propias de este modelo y
no tienen contraparte geométrica. Sin embargo, en realidad no son aberraciones linealmente
independientes; utilizando el operador invariante de Casimir es posible expresarlas como com-
binación lineal de aberraciones de segundo y cuarto orden. Por lo tanto, existe solo una pirámide
(en analogía con el ordenamiento (3.20) del caso 1D), que clasifica todas las transformaciones
según su orden de aberración.
Resulta interesante la perspectiva de estudiar las aberraciones sobre sistemas no simétricos
[2] através de un modelo de cuantización finita adaptado. Donde, a diferencia de los sistemas
axialmente simétricos, aún dentro del marco de la óptica geométrica los operadores (3.27)–(3.29)
no conmutan con el operador de helicidad, lo que añade complejidad al problema.

63
Apéndice A
Función de Wigner de SU(2)
El espacio fase de un conjunto de datos puede ser representado y analizado con ayuda de la
función de distribución de Wigner1. Esta fue introducida originalmente en la mecánica cuántica
para funciones de onda ψ(q), donde se define (haciendo ~=1) como
Wψ(q,p)=1
2πR
dx ψ(q−1
2x)∗e−ixpψ(q+1
2x).(A.1)
Las variables (q,p)son coordenadas canónicamente conjugadas del espacio fase plano y los
valores de Wψ(q,p)reflejan de cerca los objetos intuitivos del modelo.
La representación del espacio fase de un conjunto finito de datos, se realiza considerando
una señal fcomo un conjunto de 2l+1datos,
f={fm|m=−l,−l+1, . . . , l},fm∈C,(A.2)
donde 2l+1es un número entero positivo. De modo que puede considerarse al conjunto fcomo
un vector perteneciente al espacio vectorial complejo C2l+1.
La función de Wigner para (A.2), se basa en una guía de ondas finita con índice de refracción
parabólico que actúa como un oscilador armónico sobre el campo de ondas entrante (señal)
producido por un arreglo lineal de Nfuentes coherentes de luz, la salida es rcibida por el mismo
número de sensores de campo de ondas. Para forzar el modelo a portar únicamente un número
finito de modos, se utiliza el modelo de oscilador armónico cuántico discreto y finito, el cual
posee un número finito de estados energéticos ligados y equiespaciados.
En el modelo de oscilador finito, el espectro del operador de posición ˆ
Qes un conjunto
de valores equiespaciados qm=m,m=−l,−l+1, . . . , len el espacio vectorial R2l+1. Este
1La información presentada en este apéndice está basada en [22]y[23]

64 Función de Wigner de SU(2)
operador , junto con los operadores de momento ˆ
Py energía ˆ
H, son identificados con los
generadores del álgebra de Lie su(2),
ˆ
J1=ˆ
Q,ˆ
J2=−ˆ
P,ˆ
J3=ˆ
H− (l+1
2)ˆ
1,(A.3)
que cumplen con las relaciones de conmutación cíclicas ˆ
Ji,ˆ
Jj=ii,j,kˆ
Jkcon i,j,k∈ {1,2,3}.
La exponencial del álgebra de Lie de los operadores (A.3), produce los elementos del grupo
SU(2)cuyos elementos genéricos pueden ser paramétrizados a través de un vector y, con eje
de rotación dado por el vector dirección unitario v=y/|y|y el ángulo de rotación alrededor de
dicho eje es η=|y|, a saber
g[y]=g[ηv]=exp(−iy·J)=exp[−iη(v1J1+v2J2+v3J3)],(A.4)
donde J=(ˆ
J1,ˆ
J2,ˆ
J3). En parametrización polar del grupo,
y=ηv(θ, φ),v=
sin θsin φ
sin θcos φ
cos θ
,









0≤η≤4π,
0≤θ≤π,
0≤φ < 2π.
(A.5)
Esto provee un sistema de coordenadas en R3, donde el elemento unidad g[0]está en el origen
para todas las direcciones (θ, φ)y el elemento “menos unidad" de SU(2),g[2πv(θ, φ)], también
está en el origen para todas las direcciones.
En estas coordenadas, la medida invariante es
dg[y]=γ(η)dy=1
2sin21
2ηdηdv,dv(θ, φ)=sin θdθdφ, (A.6)
donde dy=dy1dy2dy3es la medida cartesiana en R3, la función de peso es
γ(η)=
1
2sin21
2η
η2=1
8sinc1
2η. (A.7)
La variedad de SU(2)es la tres–esfera S3y Vol SU(2)dg=2π2=VolS3.
Considérese el grupo de Lie SU(2)con 3 parámetros y con generadores J={ˆ
Ji}3
i=1, cuyos
elementos polarmente parametrizados son g[y]=exp (−iy·J), donde y·J=3
i=1yiJies el
producto punto entre vectores. Se define el operador de Wigner como la familia de operadores,
función de x∈R3, dada por

W(x)=
SU(2)
dg[y]exp [iy· (x−J)]=
SU(2)
dg[y]exp(ix·y)g[y].(A.8)

65
La integral directa de los elementos del grupo está bien definida cuando el operador actúa
sobre funciones definidas en un espacio homegéneo bajo el grupo. El rango de los parámetros
polares yes la variedad compacta de SU(2), mientras el espacio xen el argumento del operador
de Wigner, es R3. Los operadores (A.4), actuando como operadores unitarios sobre un espacio
de Hilbert apropiado, tienen la propiedad (g[y])†=g[−y], es decir, su operador adjunto es
su inverso. Tomando en cuenta esto y definiendo el rango para ηen (−2π, 2π], resulta que el
operador de Wigner es autoadjunto 
W(x)†
=
W(x)para todo x∈R3.
La acción del operador de Wigner sobre un vector columna f∈R2l+1, es

W(x)f=
SU(2)
dg[y]exp(ix·y)Dl[y]=Wl(x)f,(A.9)
donde Dl[y]son las matrices de espín lque constituyen una representación irreducible y unitaria
de SU(2)en coordenadas polares, en la teoría de momento angular son bien conocidas como
matrices Dde Wigner. Las matrices Wl(x)son llamadas matrices Wde Wigner de SU(2), y
son una representación del operador de Wigner de SU(2)en R2l+1.
Las matrices DyWde Wigner son esencialmente conjugadas de Fourier una de la otra; la
integral en (A.9) puede ser invertida porque tiene el kernel de transformación exp(ix·y). Así,
se tienen las transformaciones:
Wl(x)=
SU(2)
γ(|y|)dyexp(ix·y)Dl[y],(A.10)
Dl[y]=1
(2π3)γ(|y|)
R3
dxexp(−ix·y)Wl(x).(A.11)
De la unitariedad de las matrices Dde Wigner, Dl[y]†=Dl[−y], y escogiendo un intervalo
de integración invariante bajo inversiones, las matrices Wde Wigner resultan ser autoadjuntas,
Wl(x)†=Wl(x). Por lo tanto, sus eigenvalores, determinante y traza, son reales.
Se define la función distribución de Wigner de las señales finitas f={fm}l
m=−lyg=
{gm}l
m=−lcomo la forma sesquilineal
Wl(f,g|x)=f†Wl(x)g=
l

m,m0=−l
f∗
mWl
m,m0(x)gm0.(A.12)
Los elementos de la matriz de Wigner, separando la parte radial y angular de x=χu, son
Wl
m,m0(χu)=2π
−2π
1
2sin21
2ηdηS2
dvexp(iχηu·v)Dl
m,m0[ηv].(A.13)

66 Función de Wigner de SU(2)
En notación de Dirac, se puede escribir Wl
m,m0(x)=hl,m|W(x|i,m0i. Cuando f=g, la
función de Wigner se indíca simplemente por Wl(f|x), y es el valor de espectación del operador
de Wigner en el estado f.
Cualquier punto x=χu(θ, φ) ∈ R3puede obtenerse rotando χk=(0,0, χ)desde el polo
norte, por (θ, φ)∈S2, mediante
u(θ, φ)=R(φ, θ, 0)k.(A.14)
La matriz Wlde Wigner, sobre la esfera en términos de valores en el polo norte es diagonal,
por lo tanto, se tiene
wl
m,m0(χu(θ, φ)) =e−i(m−m0)φ
l

n=−l
dl
m,n(θ)Wl
n(χ)dl
m0,n(θ)∗,(A.15)
Wl
n(χ)=(−1)2lπ
4
l

n=−l
1

−1
ds|dl
m,n(arccos s)|2
×sin(2π χs)−1
χs−n+1+2
χs−n
+−1
χs−n−1,(A.16)
donde s:=cos θ. Los elementos de matriz Wl
m,m0(x)son el kernel de transformación entre
funciones del espacio contínuo de coordenadas x∈R3y funciones del espacio discreto de
representación irreducible con índices (l,m,m0).

67
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