BookPDF Available

Az ismeretlen Wald Ábrahám. The Unknow Abraham Wald

November 2020

November 2020

Publisher: private printing
ISBN: 978-973-0-32931-5

Authors:

Zoltán Kása

Sapientia Hungarian University of Transylvania, Cluj-Napoca

Róbert Oláh-Gál

Sapientia Hungarian University of Transylvania

This booklet presents in Hungarian and English the life and activity of the American mathematician Abraham Wald born in Kolozsvár in 1902. The booklet mainly presents facts that are not very well known about his life and family.

The front page of the 1927/28 yearbook of King Ferdinand I University of Cluj

…

Florin Piersic Cinema (former Republica) on Mihai Viteazul Square

…

A price offer for the Pécs community of the kosher bakery in 1910

…

Registry entry in the registers of the Piarist grammar school in Cluj

…

Figures - uploaded by Zoltán Kása

Content may be subject to copyright.

Content uploaded by Zoltán Kása

Content may be subject to copyright.

Kása Zoltán – Oláh-Gál Róbert

Az ismeretlen Wald Ábrahám

The Unknown Abraham Wald

Csíkszereda–Kolozsvár, 2020

Jelen füzet a következő dolgozatokon alapszik:

 Oláh-Gál Róbert: Állítsunk emléktáblát Wald Ábrahámnak!, Szabadság, 2012.

jan. 6.

 Kása Zoltán: A kolozsvári Wald Ábrahám matematikus családja, in: Adalékok

a kolozsvári zsidóság múltjához III. Szerkesztette: Schwartz Róbert, Mega Könyvki-

adó, Kolozsvár, 2015. 81–89. old.

 Ferenc Márta, Lőrincz Annamária, Oláh-Gál Róbert: Adalékok Wald Ábrahám

életrajzához, Historia Scientiarium, 17, 2019. pp. 12–19.

Lektorálta Sándor Zsolt egyetemi tanár.

This booklet is based on the following papers in Hungarian:

• Róbert Oláh-Gál: Állítsunk emléktáblát Wald Ábrahámnak! (Let's set up a me-

morial plaque to Abraham Wald!), Szabadság, Jan. 6., 2012.

• Zoltán Kása: A kolozsvári Wald Ábrahám matematikus családja (The family of

the mathematician Abraham), in: Adalékok a kolozsvári zsidóság múltjához III

(Additions to the past of Jewry in Cluj III.) Edited by Róbert Schwartz, Mega Pub-

lishing House, Cluj-Napoca, 2015. pp. 81 –89.

• Márta Ferenc, Annamária Lőrincz, Róbert Oláh-Gál: Adalékok Wald Ábrahám

életrajzához (Additions to the biography of Ábrahám Wald), Historia Scientiari-

um, 17, 2019. pp. 12–19.

Proofread: Professor Zsolt Sándor

Tartalom – Contents

Ki volt Wald Ábrahám? .....................................................................................

Who was Abraham Wald? .....................................................................................

Wald Ábrahám matematikai munkássága ........................................................

Abraham Wald’s mathematical work ....................................................................

A Wald-teszt .......................................................................................................

The Wald test .......................................................................................................

A Wald-egyensúly ..................................................................................................

The Wald equilibrum .............................................................................................

A hiányzó lövedéknyomok ......................................................................................

The missing bullet marks ........................................................................................

A maximum likelihood módszer konzisztenciája .......................................................

Consistency of the maximum likelihood estimation method ..........................................

Wald Ábrahám családja .......................................................................................

Abraham Wald’s family .........................................................................................

Wald Ábrahám középiskolai bizonyítványai .....................................................

Abraham Wald’ high school certificates ................................................................

Wald Ábrahám három magyar nyelvű levele Alexits Györgyhöz ...................

Three letters from Abraham Wald to György Alexits ...........................................

Irodalom ................................................................................................................

References ..............................................................................................................

Képjegyzék – Table of Figures

1. kép. A kolozsvári I. Ferdinánd Király Egyetem 1927/28-as évkönyvének címlapja .............. 6

Fig. 1 The front page of the 1927/28 yearbook of King Ferdinand I University of Cluj ......... 34

2. kép A kolozsvári I. Ferdinánd Király Egyetem 1927/28-as évkönyve 187. oldala ................ 7

Fig. 2 Page 187 in the 1927/28 yearbook of King Ferdinand I University of Cluj ................. 35

3. kép. Florin Piersic (volt Republica) mozi a Széchenyi téren ............................................... 18

Fig. 3 Florin Piersic Cinema (former Republica) on Mihai Viteazul Square ......................... 44

4. kép. A Major/Mikes/Croitorilor utca 17. számú ház és udvara ........................................... 19

Fig. 4 House and courtyard at 17 Major/ Mikes/ Croitorilor Street. ..................................... 44

5. kép. Az 1910-es évekbeli árajánlat a pécsi hitközség számára ............................................ 20

Fig. 5 A price offer for the Pécs community of the kosher bakery in 1910 ............................. 46

6. kép. Wald Ábrahám előadás közben .................................................................................... 22

Fig. 6 Abraham Wald during a lecture .................................................................................... 47

7. kép. A fiatal Wald Ábrahám ................................................................................................ 22

Fig. 7 The young Abraham Wald ............................................................................................. 47

8. kép. A kolozsvári Tarbut iskola (1920–1927) és ami néhány év óta a helyén van, ............. 22

Fig. 8 The Tarbut School in Cluj (1920–1927) and the new building on the same site. ......... 48

9. kép. Matrikulai bejegyzés a kolozsvári piarista gimnázium anyakönyvében ...................... 25

Fig. 9 Registry entry in the registers of the Piarist grammar school in Cluj .......................... 49

Ki volt Wald Ábrahám?

A Kolozsváron született tudósok közül, Bolyai János után Wald Ábrahám a leg-

nagyobb hatású matematikus. Természetesen vitát kelthet az a megfogalmazás, hogy

legnagyobb hatású tudós, de tény, hogy az idő múltával Wald Ábrahám hatása csak

növekszik.

Wald Ábrahám 1902. október 31-én, született Kolozsváron, ortodox zsidó

(„hasszid”) családban. 2009-ben a román tudomány is „magáénak” mondta, ugyanis a

Revista română de statistică című folyóiratban egy tanulmány ismertette egyre nö-

vekvő jelentőségét a matematikai statisztikában és a döntéselméletben. Magyarorszá-

gon már majdnem negyven éve Filep László nyíregyházi matematikatörténész fel-

hívta a magyar közvélemény figyelmét Wald Ábrahám nemzetközi jelentőségére. Ezt

az amerikaiak már hetven éve folyamatosan hangsúlyozzák. Dr. Czeizel Endre Ma-

tematikusok, gének, rejtélyek című könyvében az ötödik helyen szerepel a legismer-

tebb magyar matematikusok listáján. Persze, egyesek mondhatják, hogy egy orvos-

genetikus ehhez nem ért. Nem Czeizel Endre állította össze az ötven legismertebb

magyar matematikus listáját, hanem Tusnády Gábor matematikus professzor, a Ma-

gyar Tudományos Akadémia rendes tagja. Tusnády professzor, aki a Rényi Alfréd

Matematikai Kutatóintézet munkatársa, az ötven legismertebb magyar matematikus

listáját a kollégái szavazatai alapján véglegesítette. Ezen a listán első helyen Bolyai

János, másodikon Neumann János, harmadikon Erdős Pál, negyediken Riesz Frigyes

és ötödiken Wald Ábrahám áll. (A kolozsváriak által nagyon tisztelt Farkas Gyula, a

Ferenc József Tudományegyetem volt elméleti fizikaprofesszora a 36. helyen van).

Azt is el kell mondani, hogy általában, a világ legismertebb matematikusait tartalma-

zó webhelyeken csak három-négy magyar matematikus szerepel: Bolyai János, Neu-

mann János, Riesz Frigyes és Erdős Pál.

Wald Ábrahám apja pék volt, nagyapja rabbi. Kolozsváron az ortodox zsidó elemi

iskolába járt, majd mint magántanuló végezte el a gimnáziumot a piaristáknál. Érett-

ségi után két-három évet az éppen akkortájt Magyarországról Kolozsvárra telepedett

Antal Márkhoz járt matematikát tanulni. A kolozsvári zsidó hitközség érdeme, hogy

az 1943-ban Weinberger Mózes által Kolozsváron kiadott Antal Márk emlékkönyv-

ben már szerepel Wald Ábrahám (New York, USA) mint Antal Márk legtehetsége-

sebb magántanítványainak egyike.

Wald Ábrahám 1926-ban Bécsbe ment matematikát tanulni. Eleinte németül sem

tudott tökéletesen, de nagyon gyorsan elsajátította a nyelvet. (Akik közelebbről is-

merték, megjegyezték, hogy élete végéig megőrizte magyar akcentusát). Bécsben a

Politechnikára iratkozott be, és nagyon gyorsan haladt, mert még a Kolozsvárról ho-

zott tudásával jól boldogult az elsőéves vizsgákon. Karl Menger matematikaprofesz-

szorral került közelebbi kapcsolatba. Eleinte geometriával foglalkozott, de aztán át-

váltott statisztikára és valószínűség-számításra.

A halálakor megjelent nekrológ szerint Kolozsváron végezte az egyetemet, ezt

azonban sokan kétségbe vonták (pl. Filep László matematikatörténész), mivel erről

nem volt megbízható információ. A kolozsvári I. Ferdinánd Király Tudományegye-

tem 1927/28-as évkönyve (amely ma már az interneten is hozzáférhető) azonban tar-

talmazza azt az információt, hogy ebben a tanévben Wald Ábrahám befejezte tanul-

mányait a matematika szakon. A levéltárban a matematika kar vizsgakönyvére is rá-

bukkantunk, ebben tíz vizsgájáról van adat (1. táblázat).

1. kép. A kolozsvári I. Ferdinánd Király Tudományegyetem 1927/28-as tanévre

szóló évkönyvének címlapja

2. kép. A kolozsvári I. Ferdinánd Király Tudományegyetem 1927/28-as

évkönyve 187. oldalán Wald Ábrahám harmadikként a végzősök között

Sor-

szám

Tantárgy neve

Vizsgáztató neve

Vizsga

dátuma

Eredmény

Analitikus geometria

Nicolae Abramescu

1925. jún. 29.

jó

Függvényelmélet I.

Aurel Angelescu

1925. okt. 6.

jó

Ábrázoló geometria

Nicolae Abramescu

1925. okt. 25.

elégséges

Racionális mechanika I.

Theodor Angheluță

1925 okt. 25.

halasztott

Matematikai analízis I.

Nicolae Abramescu

1926

kitűnő

Racionális mechanika I.

Theodor Angheluță

1926. jún. 15.

kitűnő

Matematikai analízis II.

Gheorghe Bratu

1926. jún. 12.

kitűnő

Függvényelmélet II.

–

1926. okt.19.

jó

Csillagászat

–

1927. febr.

elégséges

10.

Mechanika II.

–

1927. febr.

jó

1. táblázat. Wald Ábrahám vizsgái a kolozsvári egyetemen

Wald Ábrahám előadást tartott az Erdélyi Múzeum-Egyesület egyik rendezvé-

nyén A hilberti axiómarendszer kritikájáról címmel. Sajnos az összefoglaló nem kö-

zöl évszámot, csupán annyit, hogy az 1925–1934 időszakban négy matematikai tár-

gyú előadás hangzott el, és ezek egyike a Wald Ábrahámé volt.

A nagy gazdasági világválság idején, 1928–1933 között érthető, hogy minden

nagy gondolkodó figyelme a közgazdaságtan problémái felé irányult. Így tett Neu-

mann János és Wald Ábrahám is. Neumann János megalkotta egyetlen közgazdaság-

tani matematikai modelljét, amely később meghatározó lett a közgazdaság tudomá-

nyában. Ez durva megközelítésben azt a kérdést tette fel, hogy lehet-e egyensúly a

termelés és a fogyasztás között? Természetesen, a feladat megfogalmazása sokkal

precízebb matematikai egyenletekkel történt, és valamennyire idealizálta is a valósá-

got.

Ennek a modellnek egy kissé módosított változatára Wald Ábrahám adott egy eg-

zisztencia-bizonyítást, amely lényegében azt jelentette, hogy a modellnek, bizonyos

megszorításokkal, létezik megoldása, tehát létezhet általános egyensúly a gazdaság-

ban

. Ha egy kicsit filozofálnánk az eredményről, akkor ez azt jeleni, hogy igenis lé-

tezik egyensúly a gazdaságban, a nehéz kérdés viszont, hogy hogyan kell ezt megta-

lálni. Napjainkban sem tesznek egyebet a világ vezető közgazdászai, mint keresik ezt

Arrow és Debreu, akik Nobel-díjat kaptak, egy 1954-es, a Nobel díjuk odaítélése szempontjából fontos munkában,

hivatkoznak mind Neumann mind Wald eredményeire. Lásd: Kenneth J. Arrow and Gerard Debreu: Existence of an

Equilibrium for a Competitive Economy, Econometrica, Vol. 22, No. 3 (1954) pp. 265–290.

az egyensúlyt. Megnyugtató, hogy matematikailag bizonyított megoldás van, tehát az

egyensúly létezik. Természetesen az itt felvázoltak nagyon leegyszerűsítik Wald Áb-

rahám matematikai-közgazdaságtani munkáját, de abban a közgazdászok is egyetér-

tenek, hogy Neumann Jánostól és Wald Ábrahámtól kezdve beszélnek matematikai

közgazdaságtanról. Még igen jelentős Wald Ábrahám játékelméleti munkássága és a

matematikai statisztikában kifejtett tevékenysége (ma a statisztikában van egy Wald-

teszt nevű hipotézisellenőrzési technika) is.

Életrajzírói megemlítik, hogy 1929-ben vissza kellett térnie Romániába, hogy le-

töltse kötelező katonai szolgálatát, és csak 1930-ban térhetett vissza Bécsbe. Ezután

már viszonylag egyenesen ívelt fölfelé a pályája, 1931-ben doktorált, 1933-ban állást

kapott az Oskar Morgenstern vezette kutatóintézetben, 1939-ben költözött végleg az

Amerikai Egyesült Államokba. Valószínűleg román állampolgárként könnyebben ka-

pott útlevelet Kolozsváron, és román útlevéllel telepedett ki Amerikába.

Wald Ábrahám 1941-ben megnősült, felesége Lucille Lang. Két gyereke született:

lánya Betty 1943-ban, majd fia, Robert 1947-ben (aki fizikus lett, a chicagoi egyetem

nyugalmazott tanára).

Filep László írja: „1950-ben pályájának csúcsán meghívást kapott egy indiai elő-

adóútra. A meghívást elfogadta és feleségével együtt indult az útra. Útközben Rómá-

ban és Párizsban előadásokat tartott a játékelméletből. Indiában bekövetkezett a tra-

gédia: repülőgépük 1950. december 13-án a sűrű ködben beleütközött a dél-indiai

Tamil Nadu államban levő Nilgiri hegység egyik csúcsába. A gép lezuhant és minden

utasa meghalt”. Árván maradt gyermekeit felesége testvére nevelte fel.

Amerikában a következő matematikusok doktoráltak Wald Ábrahám irányításá-

val:

Meyer Girshick (1908–1955), Columbia University, 1947,

Herman Chernoff (1923–), Brown University, 1948 (formálisan James Krumhansl

volt a vezető tanára, de Walddal dolgozott),

Milton Sobel (1919–2002), Columbia University, 1951. Magyar emigránsok

gyermeke. Wald Ábrahám és Jacob Wolfowitz voltak az irányítói. Ő volt az első ma-

tematikus, aki matematikai statisztikából doktorált.

Charles Stein (1920– 2016), Columbia University, 1947. (Az MGP-ben

1953

szerepel, valószínűleg hibásan.)

Mathematics Genealogy Project, https://www.genealogy.math.ndsu.nodak.edu/id.php?id=36887

Wald Ábrahám jelentősége, az idő múlásával csak fényesebbé válik, mert a mo-

dern statisztikában és ökonometriában nagyon fontos és mély matematikai tételek

kapcsolódnak a nevéhez. Wald Ábrahám méltó lenne arra, hogy szülővárosa emlék-

táblával tisztelegjen nagysága és emléke előtt.

Wald Ábrahám matematikai munkássága

Wald Ábrahám kezdetben geometriával foglalkozott, majd Karl Schlesinger

(1889–1938) osztrák bankár és közgazdász hatására közgazdaságtani problémák felé

fordult. 1931 és 1937 között Bécsben 21 geometriai és 10 közgazdaságtani (ponto-

sabban ökonometriai) tudományos cikket közölt. Amikor 1938-ban Amerikába költö-

zött, egyre inkább statisztikával, azon belül szekvenciális analízissel kezdett foglal-

kozni.

Talán érdemes megemlíteni, hogy 1940-ben Kolozsváron Antal Márk, Wald volt

matematika magántanára figyelemmel kísérte tehetsége tanítványának a sorsát, és fel-

figyelt Wald kimagasló publikációs tevékenységére. Valószínű, hogy 1945 előtt Ma-

gyarországon nagyon kevesen tudták, hogy Wald Ábrahám is a híres magyar mate-

matikusok – a Bolyaiak, a Riesz-testvérek, Fejér Lipót, Haar Alfréd stb. – méltó utó-

da.

A szekvenciális analízis lehetővé teszi, hogy kevesebb adatból hasonló pontosság-

gal tudjunk következtetéseket levonni. Ehhez kapcsolódik a róla elnevezett Wald-

teszt.

A Wald-teszt

Ha egy valószínűségi változó nem teljesen független más változóktól, akkor azt

magyarázó változónak nevezzük. A Wald-teszt arra való, hogy el tudjuk dönteni egy

magyarázó változóról, hogy a modell számára szignifikáns-e (azaz lényeges-e), mert

ha nem, akkor kizárhatjuk a modellből. Felállítunk egy ún. nullhipotézist, amely sze-

rint egy paraméter értéke nulla és egy ellenhipotézist, hogy a paraméter értéke nem

nulla. Ha a nullhipotézist nem vetjük el, akkor a megfelelő magyarázó változó nem

szignifikáns, tehát kihagyható a modellből.

A Wald-teszt (melyet Wald khi-négyzet tesztnek is neveznek) megmondja, hogy

egy statisztikai modell mely változói befolyásolják lényegileg a modellt. A Wald-

teszt a valószínűségi arány (Likelihood Ratio) tesztjének közelítése, nagy minták ese-

tén a Wald-teszt egyenértékű a t-teszttel (Student teszttel). A Wald-teszt előnye, hogy

sokféle modellre alkalmazható, beleértve a bináris (két értékű diszkrét) és a folytonos

változókat is.

A Wald-tesztet az SPSS (Statistical Package for the Social Sciences) statisztikai

programcsomag is tartalmazza, és ez alátámasztja a mindennapi alkalmazhatóságát.

A Wald-egyensúly

Az alábbiakban röviden ismertetjük Wald Ábrahámnak a közgazdaságban és

ökonometriában betöltött szerepét az ún. Wald-egyensúly kapcsán.

A közgazdaságtanban piaci egyensúlyról akkor beszélhetünk, ha az adott piacon a

kereslet és a kínálat mennyisége megegyező. A kereslet és kínálat függvényének

ugyanazon koordináta-rendszerben való ábrázolása és metszéspontjának meghatáro-

zásával a piaci egyensúly jól szemléltethető, valamint leolvashatóvá válik ezáltal az

egyensúlyi ár, egyensúlyi mennyiség is. A piaci egyensúly mechanizmusát, szabály-

szerűségét illetve kialakulásának folyamatát már Adam Smith skót közgazdász is

vizsgálta, az általa bevezetett metafora a láthatatlan kéz.

Abban az esetben, ha a gazdaság összes piacán egyensúly van, akkor általános

egyensúlyt feltételezhetünk.

Az általános egyensúlyelmélet alapjait Léon Walras

dolgozta ki, akinek a törvé-

nye kimondja, hogy ha egy kivételével minden piac egyensúlyban van, akkor megha-

tározott feltételek mellett ez az utolsó piac is egyensúlyba fog kerülni.

1935-ben Wald Ábrahám elsőként bizonyította Walras modelljében az egyensúly

létezését. A termelésre, illetve cserére vonatkozóan is egy-egy általános egyensúlyi

modellt dolgozott ki.

Megoldásában azt a feltételt használta miszerint a termékek ára

csupán az általunk termelt mennyiségektől függnek, a versenytársak által termelt

mennyiségektől nem

A gazdasági versenyben az általános egyensúly legkorábbi tárgyalása Cassel

által

bemutatott rendszerhez kötődik. Cassel rendszerének négy alapelve van:

 az egyes végső javak iránti kereslet az összes végtermék árának függvénye;

https://en.wikipedia.org/wiki/Invisible_hand és https://hu.wikipedia.org/wiki/Láthatatlan_kéz

Marie-Ésprit Léon Walras (1834–1910) francia közgazdász.

https://hu.wikipedia.org/wiki/Piaci_egyensúly

Móczár József: Arrow–Debreu-modell és a Kornai-kritika harminc év után , Közgazdaságtani Szemle, LIII. évf.,

2006. február (175–194. o.)

Mellár Tamás: Szemben az árral: Rendhagyó közgazdaságtani előadások,. Akadémiai Kiadó, Budapest,

2015. ISBN 9789630596077

Karl Gustav Cassel (1886–1945) svéd közgazdász, a gazdasági egyensúly kutatása terén Walras modelljének tovább-

fejlesztője.

 nulla nyereség az összes termelő számára;

 rögzített technikai együtthatók, amelyek az elsődleges erőforrások felhasználá-

sát hasonlítják össze a végső áruk kibocsátásával;

 a kereslet és kínálat egyenlősége az egyes piacokon.

Legyen xi az i. végtermék iránti kereslet, pi az i végtermék ára.

Az aij a j. erőforrás elsődlegesen felhasznált mennyiségének az előállítása az i.

végtermék esetében.

 rj a j. erőforrás eredeti mennyisége,

 qj az aj erőforrás ára.

Ekkor

(*) 

 



Neisser megjegyezte, hogy a Cassel-rendszer megoldásként akár negatív értékeket

is adhat az árakra vagy a mennyiségekre. A negatív mennyiségek egyértelműen ér-

telmetlenek, és legalábbis a munkaerő és a tőke esetében a negatív árak nem tekinthe-

tők elfogadható megoldásnak, mivel ezeken az árakon a kínálat nulla lesz. Neisser azt

is megfigyelte, hogy a technikai együtthatók némi változékonysága sem lehet elegen-

dő az inkonzisztencia megszüntetésére. Stackelberg

rámutatott, hogy ha kevesebb

lenne az árucikk, mint az újraforrás, a (*) egyenletrendszer lineáris egyenletek hal-

mazát képezné, több egyenlettel, mint ismeretlennel, és ezért általában nincs megol-

dása. Helyesen megjegyezte, hogy ennek az ellentmondásnak a gazdasági jelentése az

volt, hogy a (*) rendszerben szereplő egyes egyenletek egyenlőtlenségekké válnak, a

megfelelő források pedig szabad javakká válnak. Azt állította, hogy ez bizonyos szá-

mú egyenlet elvesztését, és ezáltal a rendszer többi részének határozatlanságát jelenti.

Ehhez úgy vélte, hogy a rögzített együtthatók feltételezése nem tartható fenn, és el

kell ismerni a termelésben történő helyettesítés lehetőségét. Ez az érvelés helytelen;

az egyenlőtlenségekkel helyettesített (*) egyenletek elvesztését pontosan kiegyenlíti

egyenlő számú egyenlet hozzáadása, miszerint a megfelelő erőforrások árának nullá-

nak kell lennie.

Heinrich von Stackelberg (1905–1946) német közgazdász

Valójában ezt a javaslatot már Zeuthen

is megfogalmazta, bár nem a megoldá-

sok létezésével kapcsolatban. Azt állította, hogy a Cassel-rendszerben megjelenő for-

rások megfelelően csak a szűkös források voltak; de nem lehetett eleve ismertnek te-

kinteni, hogy mely új források szabadok és melyek nem. Ezért a (*) rendszer egyen-

leteit egyenlőtlenségekként kell átírni,





azzal a kiegészítő állítással, hogy ha bármelyik j esetében érvényes a szigorú egyen-

lőtlenség, akkor a megfelelő qj = 0. Schlesinger átvette Zeuthen módosítását, és állí-

totta, hogy ez kiküszöböli a Neisser és Stackelberg által tapasztalt nehézségeket. Eb-

ben a formában vizsgálta a problémát Wald is, különféle speciális feltételezések alap-

ján. Ezeket [23] foglalja össze és kommentálja.

Wald megadta az általános egyensúlyi probléma első igazi megoldását, hiszen

megoldása olyan modelleket alkot, melyekben a termelők és a fogyasztók kölcsönös

függősége meghatározott a magántulajdonban levő gazdasági rendszerek tekinteté-

ben. E mellett előre vetíti a gazdasági szereplők egymástól függetlenül hozott dönté-

seit. Megadja az árrendszer szerepét a gazdasági szereplők által hozott esetlegesen

konfliktusos döntések közvetítésében. Továbbá meghatározza azon szerkezetek ro-

busztusságát, amelyek megoldást nyújtanak az eddig felsorolt problémákra, kérdések-

re. 1937-ben az ugyancsak magyar származású Neumann János adott egy bizonyítást

az általános egyensúlyi problémára a Wald-féle megszorító feltétel nélkül.

A hiányzó lövedéknyomok

Miután Wald Ábrahám az Amerikai Egyesült Államokban telepedett le, egy kü-

lönleges programon dolgozott a Statisztikai Kutatócsoport tagjaként. E program kere-

tében számos amerikai statisztikus dolgozott, elméleti és gyakorlati modelleket dol-

goztak ki a háborúban való előnyszerzés érdekében.

Az alapszámítások elvégzésére fiatal amerikai nőket alkalmaztak, akik a Colum-

bia Alkalmazott Matematikai Csoport tagjaiként optimális repülési pályaíveket szá-

Frederik Ludvig Bang Zeuthen (1888–1959) dán közgazdász.

Kenneth J. Arrow and Gerard Debreu: Existence of an Equilibrium for a Competitive Economy, Econometrica,

Vol.22, No. 3 (1954) pp. 265–290. dolgozata alapján.

Zalai Ernő: Neumann János és a közgazdaságtan , Magyar Tudomány, 2003/12 1533. o.,

moltak a vadászgépek repülési technikájának fejlesztése érdekében, míg a princetoni

kutatók a bombázások menetrendjének stratégiáját próbálták optimalizálni. E kutató-

csoportok közül a statisztikai kutatócsoport rendelkezett a legtöbb taggal, illetve ez a

csoport számított a legbefolyásosabbnak is. E csoport nemcsak tagjai nagy számáról

volt híres, hanem azoknak magas szintű tudományos elismertségéről is. Úgymond a

tudomány nagyjaiból tevődött össze. Tagnak számított Leonard Jimmie Savage, a

döntéselmélet alapjainak kidolgozója, valamint Frederich Mosteller is, a Harvard

Egyetem Statisztikai Tanszékének megalapítója. Továbbá Wald kutatótársaként em-

líthetjük Norbert Wienert, a kibernetika atyját, valamint a Nobel-díjas Milton

Fiedmant, aki néha csak negyedik volt a csoport legokosabb tagjainak rangsorában. E

rangsorban Wald volt az első helyen, vagyis őt tartották a kutatócsoport legokosabb

tagjának.

Wald Ábrahám kutatásai inkább az absztrakció felé irányultak, ezért első pillan-

tásra munkája nem mindig tűnt eredményesnek. A közvetlen alkalmazások nem kö-

tötték le figyelmét, azonban a háborús előnyszerzés, valamint a megszerzett tudásnak

az ellenség ellen fordítása érdekében hajlott a közvetlen alkalmazások felé is. A kez-

deti ötletek matematikai képletekké való alakítása során Wald volt a legkiválóbb te-

hetség. Az általa kidolgozott alkalmazások nagy előrelépést jelentettek a hadi techni-

kában illetve stratégiában.

A vadászgépeket páncéllal látták el a golyók elleni találat védelmére, azonban a

páncél megnövelte a repülőgép összsúlyát. A többletsúly azonban hátrányt jelent, mi-

vel így nehezebb manőverezni a géppel, valamint megnövekszik az üzemanyag-

fogyasztás is, ami többletköltségeket generál. Háborús időkben azonban, mikor az

erőforrások még szűkösebbek, a költségek csökkentésére kell törekedni, miközben

növelni kellene az eredményességet. A páncélzat egyértelműen szükséges volt, azon-

ban ennek vastagsága adta a fő kérdést. Vagyis meg kellene találni egy optimális

szintet. Ezen optimum kidolgozása volt Waldék egyik fő feladata.

Ezen optimum megtalálása érdekében a katonaság által szolgáltatott adatokat

használták fel. A vizsgálat alapját az ütközetből visszatért gépek sérülései képezték.

A golyók által létrejött lyukak, sérülések eloszlása nem volt egyenletes a gépek felü-

letén. Az adatok vizsgálata során általános jellemző volt, hogy a törzset több találat

Lásd bővebben: Jordan Ellenberg: Hogy ne tévedjünk – A mindennapi élet rejtett matematikája. Fordította Freud

Róbert és Seres Iván, szakmai szempontból ellenőrizte Besenyei Ádám. Park Könyvkiadó, 2016.

http://park.libricsoport.hu/fooldal/konyvek/hogy-ne-tevedjunk-a-mindennapi-elet-rejtett-matematikaja/ Az emalap

egy nagyon érdekes kivonatot közöl Ellenberg könyvéből, amelyből megérthetjük Wald Ábrahám tudósi tevékenysé-

gének és hatásnak lényegét. http://www.ematlap.hu/index.php/konyvespolc-2017-03/443-hogy-ne-tevedjunk-wald-

abraham-es-a-hianyzo-lovedeknyomok

érte, mint a hajtóművet. Míg a hajtóműn át1agban 1,11 golyótalálat volt négyzetmé-

terenként, addig a törzsön ez az arány 1,73 volt, míg az üzemanyag tartályon 1,55, és

a gép más részein 1,8 találat volt egy négyzetméterenként. Vagyis a visszatért gépek

legsérültebb pontja maga a törzs volt. A tisztek a törzs páncélzatának megerősítését

javasolták, míg a kevesebb találatot érő részeken gyengíteni akarták a páncélzatot. A

páncélzat vastagságának megállapítására pedig Wald Ábrahámot vélték a legmegfele-

lőbbnek. Wald azonban más nézőpontból közelítette meg a problémát, ami ellentét-

ben állt a tisztek elméletével. Wald szerint ott kell erősíteni a páncélt, ahol kevesebb

a lyuk, vagyis a hajtóműre kell több páncél. Ugyanis az a gép, melynek hajtóművét

több találat érte, az lezuhant, vagyis az a gyenge pont. Míg az a gép, melynek a törzse

sérült, visszatért az ütközetből, vagyis harcképesebb.

E válasz kidolgozása során Wald a sérülések eloszlásából indult ki. A sérülések

eloszlása a visszatért gépeken nem egyenletes. Wald feltételezte, hogy a golyók által

ütött lyukak egyenletesen érik a gépek felszínét, vagyis azokat a lyukakat kereste,

amelyek által a találatok egyenletesen oszlanának meg. E hiányzó lyukak pedig azo-

kon a gépeken vannak, amelyek kimaradtak a vizsgálatból, mivel lezuhantak. Vagyis

a gépek azért tértek vissza, mert a találatok inkább a törzset érték, és nem a hajtómű-

vet, vagyis a törzsükön sérültek nagyobb túlélési eséllyel rendelkeztek. A hajtómű

tájékán sérült gépek viszont nem tértek vissza, mert lezuhantak, vagyis kisebb volt a

túlélési esélyük. A hajtómű tehát a fő gyenge pont, amit erősíteni kell.

Ezen elmélet matematikai bizonyítása igencsak egyszerű. Vegyünk néhány válto-

zót, melyek kezdeti értéke legyen nulla. E változók jelentsék annak valószínűségét,

hogy a gépet érő golyó a hajtóművet találják el, és amíg ez nulla, addig a gép a leve-

gőben marad. Azonban, ha egyetlen találat is éri a gépet, akkor ezen elmélet szerint

nyomban le is zuhan. Vagyis a le nem zuhant, úgymond visszatért gépek csak a haj-

tóművön nem lennének sérültek, minden más részük tele lenne találatokkal. Vagyis a

hajtómű a gép legsebezhetőbb része.

Wald elgondolását megvalósították , és olyannyira sikeresnek bizonyult, hogy ki-

terjesztették a hadihajókra is. E technikát még számos más háborúban alkalmazták a

későbbiekben, köztük a koreai és vietnami háborúban is. Wald ötlete által megnőtt a

visszatérő gépek száma, tehát számos emberi életet is megmentett ezáltal. A lezuhant

repülőgépek kisebb aránya előrejelzi a háború végkimenetelét, mivel a legtöbbször

azok az országok győznek, ahol 5%-kal kisebb a lezuhant vadászgépek aránya, vagy

5%-kal kisebb azok üzemanyag-fogyasztása.

Wald elméletének sikeressége matematikai képzettségében rejlik. A matematikus

mindig a feltételezésekből indul ki, illetve ezen feltételezések helyességéből. Míg a

tisztek azzal a feltételezéssel éltek, hogy a gépek túlélésének valószínűsége azonos

minden gép esetén, a valóságban azonban a golyó általi találatok elhelyezkedése ará-

nyos a túlélési eséllyel. Az absztrakcióra való hajlama is hozzásegítette az elmélet ki-

dolgozásához, el tudott vonatkoztatni a valóságos alkalmazásoktól, a valós esemé-

nyek számára paraméterek voltak, ezért könnyebb volt a modellek felépítése, illetve

azok vizsgálata.

A maximum likelihood módszer konzisztenciája

A módszer (magyarul a legnagyobb valószínűség módszere lehetne) a matemati-

kai statisztika nagyon gyakran használt becslési eljárása mérési eredmények, minták

kiértékelésére. Noha minden matematikai statisztikai kurzusnak tananyaga a maxi-

mum lilelihood módszer, egyáltalán nem közismert, hogy ennek a módszernek a

konzisztenciáját is Wald Ábrahám bizonyította be 1949-ben. És az ő bizonyítását is-

mertetik az összes egyetemi előadásokon.

A téma fontosságát és érdekességét igazolja, a következő tanulmány is: A maxi-

mum likelihood eposza (The Epic Story of Maximum Likelihood, Statistical Science.

2007. évi 22. évf. 4. sz. 598–620. old.) és magyar ismeretője a Statisztikai Szemle 87.

évfolyam 4. számában Hunyadi László egyetemi tanár által. Innen idézzük:

»A maximum likelihood, amely a modern statisztika legáltalánosabb, leggyakrab-

ban használt becslési módszere, közel két évszázados múltra tekint vissza. Ez a hosz-

szú időszak meglehetősen mozgalmas volt: békés korszakokat heves összecsapások

váltották fel, győzelmek és tragédiák követték egymást és a szereplők jelleme is oly-

kor egy homéroszi eposzra emlékeztet. Maga az elmélet is olykor szárba szökkent,

virágzott, majd sebet kapott, látszólag kimúlt, azután újjáéledt. Ezt a történetet meséli

el a neves elméleti statisztikus úgy, hogy központi gondolatának egy XIX. századi

történetet választ: angol természettudósok baráti beszélgetésében a tudományos tra-

gédiák okának azt tartották, amikor a szépen kidolgozott elméletet „egy csúnya kis

tény” halálra sebez. Ilyen „csúnya kis tény” a maximum likelihood történetében is

bőven akadt, és ezek megjelenései voltak azok a pontok, ahol az addigi elméletet fe-

Lásd bővebben: Jordan Ellenberg: Hogy ne tévedjünk – A mindennapi élet rejtett matematikája. Fordította Freud

Róbert és Seres Iván, szakmai szempontból ellenőrizte Besenyei Ádám. Park Könyvkiadó, 2016.

http://park.libricsoport.hu/fooldal/konyvek/hogy-ne-tevedjunk-a-mindennapi-elet-rejtett-matematikaja/

Sándor Zsolt egyetemi tanár szóbeli közlése alapján

lül kellett vizsgálni, újra kellett gondolni és úgy alakítani, hogy ezeka tények belefér-

jenek az általános keretbe.«

A tanulmány is megemlíti, hogy Wald matematikailag is bebizonyítja a módszer

helyességét, de nem emeli ki Wald 1949-es dolgozatának fontosságát és vitazáró sze-

repét!

„Fisher maximum likelihood elmélete az 1950-es évek elejére ismert, általánosan

al-kalmazott és népszerű lett. Az elmélet hiányosságait, illetve pontatlanságait egy

sor ma-tematikus, közöttük az amerikai Doob, a Bécsből Amerikába emigrált Wald, a

francia Duguéés a svéd Cramér igyekezett javítani, ugyanakkor – ez ilyen esetekben

nem ritka – többen felvetették azt, hogy az elmélet nem új, azaz nem Fisher tekinthe-

tő a maximum likelihood megteremtőjének.”

Úgy gondoljuk, hogy az a legjobb, ha az idézett dolgozat közvetkeztetéseivel zár-

juk le mi is ezt a maximum likelihood témát:

„Ma természetesen jobban ismerjük a módszer korlátait, mint megalkotóik, de

még mindig nem eléggé ahhoz, hogy garantálni tudjuk korrekt alkalmazását a manap-

ság felmerülő nagyméretű, bonyolult feladatok mindegyike esetén. A maximum

likelihood egy valóban szép elméletté nőtte ki magát, még akkor is, ha a határok

homályosak, és a tragédia lehetősége ott rejtőzik a homályban.”

Wald Ábrahám családja

Wald Ábrahám családtagjai, Herman öccse kivételével, mind elpusztultak a náci

lágerekben.

Amikor 2012-ben Oláh-Gál Róbert cikket írt a kolozsvári Szabadság c. napilap-

ban Wald Ábrahámról, amely már a címében arra szólított, hogy emléktáblával kelle-

ne megemlékezni a híres matematikus születésének 110. évfordulójáról, még nem

volt közismert a szülői ház helye, ezért megpróbáltunk utánajárni. A kolozsvári levél-

tári zsidó anyakönyvek nagyon hiányosak, csupán Wald Ábrahám egyik testvérének,

Wald Hermannak a születési bejegyzésére bukkantunk, de lakcím nincs megadva. Az

időszakosan, de nem rendszeresen kiadott lak- és címjegyzékeket áttanulmányozva a

család sok lakhelyére fény derült, de az 1902-es cím nem szerepel ezekben. A 2. táb-

lázatban összefoglaltuk ezeket, és beírtuk az 1902-es lakcímet is, amelyet hosszas

utánajárásra tudtunk csak megszerezni a polgármesteri hivatal anyakönyvi osztályá-

tól.

Év

Név és foglalkozás

Cím

Cím forrása

1899

Wald Menyhért kereskedő

Széchenyi tér 7.

lak- és címjegyzék

1902

Wald Menyhért

Széchenyi tér 17.

anyakönyvi hivatal

1904

Vald Menyhért bőrkereskedő

Magyar u. 19.

lak- és címjegyzék

1905

Wald Menyhért bőrkereskedő

Magyar u. 19.

lak- és címjegyzék

1905

Wald Menyhért kereskedő

Magyar u. 1.

Ellenzék, 1905. jan. 11.

választói jegyzék, II. ke-

rület (Külmagyar-tized)

1905

Wald Menyhért kereskedő

Széchenyi tér 17.

Ellenzék, 1905. jan. 12.

választói jegyzék, II. ke-

rület (Kérvízköz)

1906–1907

Wald Menyhért magánhiva-

talnok

Magyar u. 2.

lak- és címjegyzék

1914

Glasner Simon és Wald

Menyhért

(Wald Menyhért házbirtokos

pászkasütő)

Major u. 17.

lak- és címjegyzék

1943

Wald Menyhért magánzó

Rákóczi u. 6.

lak- és címjegyzék

2. táblázat. A Wald Menyhért családjának kolozsvári lakhelyei.

Ma: Széchenyi tér = Piața Mihai Viteazul; Magyar utca = Bdul 21 Decembrie 1989;

Major (később Mikes) utca = str. Croitorilor; Rákóczi utca = str. Grigorescu

Az egykori Széchenyi tér 17-es számú házának a helyét ma már nagyon nehéz

meghatározni a sokszori (nem mindig észszerű) átszámozás miatt. Valószínűleg a

mai téren lévő mozi épületének környékén lehetett, a Malomárok oldalán. Érdekes,

hogy a választók jegyzékében 1905-ben Wald Menyhért két címmel is szerepel.

3. kép. Florin Piersic (volt Republica) mozi a Széchenyi téren

4.kép. A Major/Mikes/Croitorilor utca 17. számú ház és udvara, ahol a pászkasütőde volt

Családjáról is próbáltunk adatokat keresni. Apja Wald Menyhért (Beregszász,

1872–1944/45) kereskedő volt, később kóser pékséget működtetett. Az 1914-es lak-

és címjegyzékben pászkasütőként szerepel. Anyja Glasner Dina/Dóra (1878)

, a hí-

res kolozsvári rabbi, Glasner Mózes (1856–1924) leánya.

A nekrológban az szerepel, hogy öt testvére volt, ezek a következők:

Wald Márton (1898–1944/45)

villamosmérnök, aki sokat segített testvérének a

tanulásban, mivel Ábrahám magántanulóként végezte tanulmányait a piarista gimná-

ziumban, hogy vallásos zsidóként ne kelljen szombaton iskolába mennie. Kolozsvár-

ról, a Fellegvári úton lévő 83. sz. alatti lakásából gettósították 1944 májusának elején

a feleségével, Wald Tónival együtt. 1944. június 9-én vették nyilvántartásba Ausch-

witzban, ahonnan június 24-én Buchenwaldba került.

Wald Teréz (1900– 1944/45)

tisztviselő.

Wald Herman (1904. szeptember 27. – 1983. április 1., utolsó lakhelye: Rego

Park, Queens County, NY 11374

) a családból egyedül menekült meg a lágerből. Fi-

zikus volt. Felesége Marmorstein Margit (1913–?) volt, akitől 1944-ben született meg

Kolozsvári Állami Levéltár, 136. fond (Colecţia Registre de Cetăţenie), 82/1924-es dosszié, 13. verso

Kolozsvári Állami Levéltár, 136. fond (Colecţia Registre de Cetăţenie), 82/1924-es dosszié, 13. recto

Wald Márton buchenwaldi nyilvántartó lapja, 1944. június 6. International Tracing Service Digital Archive, Bad

Arolsen, Zentrale Namenkartei, Nr. 7364978

Kolozsvári Állami Levéltár, 136. fond (Colecţia Registre de Cetăţenie), 82/1924-es dosszié, 13. recto

Moose Roots, http://death-records.mooseroots.com/l/102099572/Herman-Wald

Ervin nevű fia.

A második világháború alatt munkaszolgálatosként szolgált. 1944.

április 15-én került a nagybányai munkaszolgálatos századba, innen 1944 augusztu-

sában Törökbálintra, majd Budapestre került. 1944. november 7-én a budapesti SIPO

(Sicherheitspolizei) deportálta. Trockheimbe, majd 1945 januárjában Kauferingbe,

majd Dachauba került. 1945. augusztus 16-án került vissza Budapestre.

A második

világháború után Amerikában telepedett le (Hersey becenéven ismerték a családban),

ahol mérnökként dolgozott, egy mérési rendszerekkel kapcsolatos szabadalma is is-

mert. Rajta kívül, létezett még egy Wald Herman (1906–1970), aki unokatestvére

volt, és szintén Kolozsváron született, a Wald Jakab (Beregszász, 1870 – Kolozsvár,

1928) rabbi fia volt. A szobrászatot tanult Herman az 1930-es évek végén Dél-

Afrikába költözött, és híres szobrász lett. Monumentális kültéri szobrai vannak Jo-

hannesburgban, és más dél-afrikai városban. A szobrász Wald Hermannak hét testvé-

re volt: Antónia (1897), Fanni (1900), Marcus (1901), Malvina (1902), Ernő (1904),

Jolán (1908) és Edit (1914).

5. kép. Az 1910-es évekbeli árajánlat a pécsi hitközség számára

Kolozsvári Állami Levéltár, 136. fond (Colecţia Registre de Cetăţenie), 83/1924-es dosszié, 7. verso

Wald Herman adatlapja. International Tracing Service Digital Archive, Bad Arolsen, Zentrale Namenkartei, Nr.

87320889

Kolozsvári Állami Levéltár, 136. fond (Colecţia Registre de Cetăţenie), 82/1924-es dosszié, 11. verso

Wald Bella (1906–1944/45) francia–német nyelvtanár. Az 1934-35-ös tanévben

egyetemi diákként Die Freiheitskampf der Niederlande in der deutschen Literatur

címmel szemináriumi munkát mutatott be. 1936 februárjában végezte el a kolozsvári

Ferdinánd Egyetemet, 1940 és 1944 között a kolozsvári Zsidó Líceumban tanított.

Wald Renée (1909–1944/45) zenész, zongoratanárnő. Pongrácz

Ádámtól kezdett zongorázni tanulni. A Tarbut gimnáziumban

vég-

zett, majd Voileanu Ana tanítványa volt a román zeneakadémián. Szi-

gethy József 1939-ben megjelent könyvében nagyon dícsérőleg ír róla:

„Az 1936 évi záróvizsgán Liszt A-dúrját biztos és gyakorlott kézzel

oldotta meg, s meleg általános tetszésnyilvánítás mellett adta elő a

nagy mester zongoraversenyét. Ezen már az elismerés tapsvihara is felcsendült, s az

egész akadémia tanári kara szép jövőt jósolt a végzett zongoratanárnőnek.”

Diamantstein Ernővel kötött házasságát követően Marosvásárhelyen élt. Innen depor-

tálták 1944-ben Auschwitzba. Később Stutthofba került. A stutthofi nyilvántartó lapja

szerint 1944. november végén még életben volt.

Az 1943-as lak- és címjegyzékban a következő Wald családnevűek szerepelnek:

Wald Bella tanár, Rákóczi út 6.

Wald Béla, dr. orvos, Wesselényi út 19.

Wald Ernő

, rabbi, Árpád út 30–32.

Wald Hermann, tanár, Mikes u. 17.

Wald Jenő, felügyelő, Dézsma u. 44.

Wald Márton, dr. mérnök, Fellegvári út 83.

Wald Mátyás

, fodrász, Kócsag u. 1.

Wald Menyhért, magánzó, Rákóczi út 6.

Wald Teréz, tisztviselő, Rákóczi út 6.

Az Eötvös/Constanța és Hosszú/Ploiești utcák kereszteződésénél működött 1920 és 1927 között. Az elhagyatott

épületet a 2000-es évek elején bontották le.

Wald Renée stutthofi nyilvántartó lapja, 1944. november 24. International Tracing Service Digital Archive, Bad

Arolsen, Zentrale Namenkartei, Nr. 4450117

Az 1924-es kolozsvári állampolgársági lista szerint Kolozsváron született 1904-ben. Kolozsvári Állami Levéltár,

136. fond (Colecţia Registre de Cetăţenie), 83/1924-es dosszié, 8. recto

Az 1924-es kolozsvári állampolgársági lista szerint Nagybecskereken született 1894-ben. Kolozsvári Állami

Levéltár, 136. fond (Colecţia Registre de Cetăţenie), 83/1924-es dosszié, 16. recto

6. kép. Wald Ábrahám előadás közben 7. kép. A fiatal Wald Ábrahám

8. kép. A kolozsvári Tarbut iskola (1920–1927), és ami néhány év óta a helyén van

(Eötvös/Contanța és Hosszú/Ploiești utcák kereszteződésénél)

Wald Ábrahám középiskolai bizonyítványai

A Wald családról kevés dokumentum maradt fenn. Éppen ezért nagyon megör-

vendtünk, amikor új és megbízható dokumentumokra bukkantunk Wald Ábrahám

életéről. Először a Román Állami Levéltár Kolozs megyei kirendeltségében, ahol

megtaláltuk a piarista gimnázium anyakönyveit, melyekben Wald Ábrahám is szere-

pel mint magántanuló. Ebből megtudhatjuk, hogy magyar nyelvből és vallásból is je-

les volt, természettudományból kitűnő. De azt is, hogy VII. gimnazistaként német

nyelvből pótvizsgára ítéltetett. És mire VIII. gimnazista lett, megtörtént az impéri-

umváltás, Kolozsvár „román város” lett, és Wald román nyelvből is elégséges osz-

tályzatot kapott. Tehát megtanult annyira románul, hogy aztán beiratkozhatott a Fer-

dinánd Tudományegyetemre. Tudjuk, hogy kért egy román nyelvű érettségi igazol-

ványt a piaristáktól.

Ezek a matrikulai bejegyzések szerencsére visszakereshetőek a Román Nemezti

Levéltár Kolozsvári Hivatalában. Sajnos kevés eredeti okiratot találtunk, amelyeken

szerepel a Wald család említése. Ezért is kell megkülönböztetett fontosságot tulajdo-

nítani azoknak a kevés dokumentumoknak, amelyek még fellelhetőek. Továbbá el-

gondolkoztató, hogy Wald Ábrahám a piaristáknál német nyelvből eleinte elégtelen

osztályzatot kapott, de már 1934-ben német nyelven publikálta az általános egyen-

súly létezésének első matematikai bizonyítását. Két tanulság is levonható ebből. A

tanár soha se ítélkezzen elhamarkodottan tanítványa fölött egy sikertelen vizsga alap-

ján. És érdekes, hogy Waldék otthon magyarul beszéltek, és nem használták az ott-

honi kommunikációban a német nyelvet, holott általában a zsidó családokban az

osztrák-magyar monarchiában gyakrabban használták a németet, mint a magyart

kommunikációs nyelvként.

Bejegyzések tanulmányairól

Bejegyzés a pótvizsgáról

„A tanári testület záróértekezleti ítélete: Javító vizsgálatra határoztatik”

„Mint az 1918/19 tanévre beírt magántanuló, 1919. szeptember 18-án napján

pótló magánvizsgálatott tett.”

„Wald Ábrahám. Kolozsvárt, 1902. október 31., izr.

A középiskolai tanfolyamot elvégezte és pedig I–IV osztályt a Kolozsvári magyar

állami polgári fiúiskolában 1912/12-1915/16. Különbözeti vizsgálat kiállása után az

V. osztályt a Kolozsvári róm. Kath. Főgimnáziumban az 1917/18. tanév elején, a VI-

VII osztályt 1918/19-1919/20-ig ugyanott. Valamennyi gimn. osztályt, mint magán-

tanuló.”

„Wald Ábrahám

1919. szeptember 20.

Vallástan jeles

Magyar nyelv jó

Latin nyelv jó

Görög nyelv –

Görögpótló irodalom: jó

nyelv: elégséges

Német nyelv: elégtelen

Filozófia pedagógia: –

Történelem: elégséges

Földrajz: –

Természetrajz: –

Természettan: elégséges

Mennyiségtan: elégséges

Rajzoló geometria –

Szépírás: –

Szabadkézi rajz: –

Testgyakorlás: –

Ének: –

Egészségtan: –

Utoljára beoltatott: –

Írásbeli dolgozatok külső alakja: –

A tanévben elmulasztott órák száma: igazolt: –, igazolatlan: –

Magaviselet: –”

Az utolsó rubrikában szerepel, hogy 1921-ben érettségizett, és van egy pecsétes

bejegyzés arról, hogy románból is vizsgázott.

9. kép. Matrikulai bejegyzés a kolozsvári piarista gimnázium

anyakönyvében az érettségiről

Wald Ábrahám három magyar nyelvű levele Alexits Györgyhöz

Ahogy említettük, Wald Ábrahámtól nagyon kevés dokumentum maradt fenn, fő-

leg nagyon kevés magyar nyelvű okirat. Ezért örvendtünk, amikor észrevettük, hogy

az MTA Könyvtár és Információs Központ Kézirattárában őriznek három Wald Áb-

rahámtól származó levelet, melyet Wald, fiatalon, 32 éves korában, 1935-ben Bécs-

ből írt Alexits György matematikusnak. A levelek matematikai témát boncolgatnak,

azon belül klasszikus differenciál-geometriai tárgyat (euklideszi térgörbék torzióját és

görbületét), de van benne egy személyes vallomás is. Alexits elcsodálkozik, hogy ne-

ki Wald Bécsből keltezett levelében magyarul ír, mire Wald ezt válaszolja matemati-

kai tömörséggel:

„Végül, hogy kérdésére válaszoljak, a magyar tudásom onnan származik, hogy

kolozsvári születésű vagyok. – A pesti matematikusok közül senkit sem ismerek szemé-

lyesen. A mult évben megismerkedtem Szász Otto volt frankfurti tanárral, akit Ön is

talán ismerni fog, mivel gyakran megy Budapestre, ahol rokonai vannak.

Kiváló tisztelettel

Wald”.

1. levél

Nagys. Dr. Alexits G. urnak

Budapest V.

Alkotmány u. 21 (Fischer iroda)

Feladó: Abs. Dr. Wald Wien VII. Breite

g. 7.

Ms 2293/134. Wien, 1935. I. 11

Igen tisztelt Doktor Ur!

Menger professor úr közölte velem a torsiora vonatkozó érdekes megjegyzéseit. Az

Ön definitióját nagyon szépnek találom, azonban föltétlenül szükséges, hogy P = ρ

esetében is értelmezve legyen.

MTA KIK, Ms 2293/134

Breite gasse = az utca neve „széles sikátor”

Ezt Ön ugy gondolja elérni, hogy a B ívben a p q távolságot (p q)k = (1 + 

)p q-val

helyettesíti. Ilymodon tényleg egy ív Bk  Rn keletkezik, melyre nézve azonban szintén

Rk = rk érvényes lesz. Rk. fenti transformator egy hasonlosági tranformatio és így Rk

= (1 + 

)R ; rk=(1 + 

) r.

Remélem, hogy más úton a nehézséget mégis eliminálni fog lehetni. Megjegyezni

kívánom még, hogy Ön bizonyára elnézésből 

   

  

   

    -al teszi egyenlővé, holott a torsio definitioja

csak úgy helyes, ha a fenti determinánsban minden távolságot annak négyzetével he-

lyettesítünk.

Kiváló tisztelettel

Dr. Wald Abraham

Wien VII., Breite gasse 7.

2. levél

Wien, 2. V. 35

Igen tisztelt Doktor Ur!

Mindenek előtt elnézését kérem, hogy erős elfoglaltságom miatt szíves levelét csak

most válaszolom meg.

A torsio definiciója azt hiszem, hogy így már rendben volna. Amint sz. levelében

említi az

R(k) ív szintén euklidesi, ha az eredeti R ív euklideszi és pedig a  pont koordi-

nátái ξ1, ξ2,…, ξn, ξn+1=



  , ahol ξ1, ξ2,…, ξn a q pont és p1, …,pn a p pont

koordinátái. Ön a ξn+1, koordinátát, bizonyára elnézésből 



 -el teszi

egyelővé. Hogy az R(k) ív tetszőleges q(k)  p(k) pontjában pk nem egyenlő ρk-al és

hogy   bizonyra helyes, bár nem számítottam ki.

A felületi görbületről írt munkámból sajnos nincs külön lenyomatom, ellenben be

fogok Önnek küldeni egy kolloqvium füzetet, melyben ez megjelent. Ezen munkám

második része, melyben bebizonyítom, hogy egy kompakt metrikus tér, melynek min-

den pontjában metrikus felületi görbülete van, egy Gauss-féle felülettel kongruens,

MTA KIK Ms 2293/135

nemsokára meg fog jelenni. A Gauss féle felületek tehát az általános metrikus terek

között azáltal vannak jellemezve, hogy minden pontban metrikus felületi görbületük

van.

Végül, hogy kérdésére válaszoljak, a magyar tudásom onnan származik, hogy ko-

lozsvári születésű vagyok. – A pesti matematikusok közül senkit sem ismerek szemé-

lyesen. A mult évben megismerkedtem Szász Otto volt frankfurti tanárral, akit Ön is

talán ismerni fog, mivel gyakran megy Budapestre, ahol rokonai vannak.

Kiváló tisztelettel

Wald

3. levél

Wien, 1937 jun. 19.

Kedves Kolléga Ur!

Mindenekelött szíves elnézését kérem, hogy ilyen későn válaszolok b. levelére, de

az utobbi hetekben külömböző munkákkal annyira el voltam foglalva, hogy igazán

nem jutottam hozzá.

A „Windungsmass”-al kapcsolatban elért eredményei nagyon érdekesek. Nem ér-

tem azonban a következő tételét: „Ha a mittlere Krümmung

H(p)=0 az F  R3 felü-

let minden pontjában, akkor F a síkban fekszik.”

Ez a tétel nem érvényes, mert hiszen léteznek felületek melyeknek a H(p) identiku-

san = 0 és még sem fekszenek a síkban.

Ugy gondolom, hogy mindenekelőtt a Windungmass ω(p) és a klasszikus torzió

közötti összefüggéseket kell tisztázni. Paue-al beszéltem a dologról érdeklődik iránta

és a nyári szünet alatt fog vele foglalkozni. Egyébként üdvözletét küldi Önnek és majd

értesíteni fogja, ha valami eredményt elér.

A kéziratát „Über die Endpunkte regularer Kurven” szintén megkaptam. A publi-

kálás ügyében egyedül nem dönthetek, és így továbbítani fogom Mengernek. A Heft 9

leghamarabb ez év végén fog csak megjelenni, tekintettel arra, hogy a Heft 8 csak

most lett kész.

Kiváló tisztelettel és

szív. üdvözlettel Wald Abraham

MTA KIK, Ms 2293/136

mittlere Krümmung = középgörbület

Irodalom

1. Balogh Péter, Nagy Lajos, Ökonometria (Elméleti jegyzet), Debrecen 2013,

pp. 96–97. ISBN 978-615-5183-55-3.

2. Ferenc Márta, Lőrincz Annamária, Oláh-Gál Róbert: Adalékok Wald Ábrahám

életrajzához, Historia Scientiarium, 17, 2019. pp. 12–19.

http://ojs.emt.ro/index.php/hs/article/view/66/56

3. Filep László: Wald Ábrahám (1902–1950), Acta Academiae Paedagogicae

Nyíregyháziensis, 1982. pp. 125–135.

4. Filep László: Magyar matematika Erdélyben a két világháború között, Magyar

Tudomány, 2001. 5.sz. http://epa.oszk.hu/00700/00775/00030/603-610.html

5. Kása Zoltán: A kolozsvári Wald Ábrahám matematikus családja, in: Adalékok

a kolozsvári zsidóság múltjához III. Szerkesztette: Schwartz Róbert, Mega

Könyvkiadó, Kolozsvár, 2015. pp. 81–89..

http://www.comevcluj.ro/wp-content/uploads/2015/10/IE-HU.pdf

6. Lázár Ede: Regressziós modellek alkalmazása a kereslet alapú árkutatásban,

Doktori (PhD) értekezés, Gödöllő 2011, pp. 64–65.

7. Oláh-Gál Róbert: Állítsunk emléktáblát Wald Ábrahámnak!, Szabadság, 2012.

jan. 6.

8. Orlovits Zsanett, Lineáris regresszió számítás előadás 2018.

http://math.bme.hu/~orlovits/GPK_SZTOCH_EA_REG2.pdf

9. J. J. O'Connor, E. F. Robertson: Abraham Wald,

http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Wald.html

10. Bogdan Stanciu: Abraham Wald, un clujean care a revoluţionat statistica la

New York, Sinteza, 2017/10 https://www.revistasinteza.ro/abraham-wald-un-

clujean-care-revolutionat-statistica-la-new-york

11. Szigethy József: Monografia Clujului – Kolozsvár története, vol. 3, Kolozsvár,

1939.

12. Tibori Szabó Zoltán: Zsidlic. A Kolozsvári Zsidó Gimnázium története (1940–

1944), Mega Kiadó, Kolozsvár, 2012.

13. *** Anuarul Universităţii Regele Ferdinand I din Cluj pe anul şcolar

1927/28., Cluj 1929.

14. *** Az Erdélyi Múzeum-Egyesület háromnegyedszázados tudományos műkö-

dése 1859–1934. EME kiadása, Kolozsvár, 1937.

http://mek.oszk.hu/07900/07981/pdf/eme1.pdf

15. Colecţia Registre de Cetăţenie, Kolozsvári Állami Levéltár, 136. fond,

82/1924-es dosszié

16. International Tracing Service Digital Archive, Bad Arolsen

17. *** Kolozsvári cím- és lakjegyzékek 1899, 1904, 1905, 1907, 1914, 1943. Ko-

lozsvári Egyetemi Könyvtár és Kolozsvári Akadémiai Könyvtár.

18. *** Macesz árajánlat (1910-es évek) http://magyarzsido.hu/

19. *** Mathematics Genealogy Project

http://genealogy.math.ndsu.nodak.edu/id.php?id=36887

20. *** Registru de examene al facultăţii de matematică, Kolozsvári Állami Levél-

tár, Fond 798/74.

21. Wald, A., Über die eindeutige positive Lösbarkeit der neuen Produktions-

gleichungen, Ergebnisse eines mathematischen Kolloquiums, No. 6 (1933-4),

pp. 12–20.

22. Wald, A., Über die Produktionsgleichungen der ökonomischen Wertlehre,

Ergebnisse eines mathematischen Kolloquiums, No. 7 (1934-5), pp. 1–6.

23. Wald, A., Über einige Gleichungssysteme der mathematischen Ökonomie,

Zeitschrift fur Nationalökonomie, Vol. 7 (1936), pp. 637–670, angol változat:

On Some Systems of Equations of Mathematical Economics, Econometria,

Vol. 19, October 1951, pp. 368–403.

Köszönetnyilvánítás

Köszönetet mondunk Gidó Attilának és Horváth Annának, hogy segítettek abban,

hogy hozzájussunk a nehezen beszerezhető információkhoz. Köszönetet mondunk

Sándor Zsolt kollégánknak a szakmai lektorálásért.

The Unknown Abraham Wald

Who was Abraham Wald?

Among the scientists born in Kolozsvár (now Cluj-Napoca), Abraham Wald is the

most influential mathematician after János Bolyai. Of course, the wording that he is

the most influential scientist can be controversial, but the fact is that Wald’s influence

will only increase over time.

Abraham Wald was born on the 31st October 1902 in Kolozsvár, into an Orthodox

Jewish (“Hasidic”) family. In 2009, Romanian scientific circles also claimed him as

theirs, for a study in the journal Revista română de statistică described the growing

importance of his work in mathematical statistics and decision theory. Almost forty

years ago, László Filep, a mathematical historian from Nyíregyháza, drew the atten-

tion of the Hungarian public to Abraham Wald’s international significance. This has

been constantly emphasized by Americans for seventy years. Dr. Endre Czeizel's

book Matematikusok, gének, rejtélyek (Mathematicians, Genes, Mysteries) ranks

Wald fifth on the list of the best-known Hungarian mathematicians. Some may say

that a doctor-geneticist is not competent in mathematical issues. However, it was not

Endre Czeizel who compiled the list of the fifty best-known Hungarian mathemati-

cians, but Gábor Tusnády, a professor of mathematics and a full member of the Hun-

garian Academy of Sciences. Professor Tusnády, an employee of the Alfréd Rényi

Mathematical Research Institute, finalized the list of the fifty best-known Hungarian

mathematicians based on the votes of his colleagues. On this list, János Bolyai is the

first, John von Neumann is the second, Paul Erdős is the third, Frigyes Riesz is the

fourth, and Abraham Wald is in the fifth place. (Gyula Farkas, a highly respected

professor of theoretical physics at Franz Joseph University in Kolozsvár, is in the 36th

position.) In general, websites containing the best-known mathematicians in the

world list only three or four Hungarian mathematicians: János Bolyai, John von

Neumann, Frigyes Riesz, and Paul Erdős.

Abraham Wald 's father was a baker and his grandfather a rabbi. He attended the

Orthodox Jewish elementary school in Cluj and then graduated from the Piarists as a

private student. Two or three years after graduation, he went to Antal Márk, who had

just moved to Cluj from Hungary at the time (1920’s) to study mathematics. The

merit of the Jewish community in Cluj is that the memorial book of Antal Márk, pub-

lished by Mózes Weinberger in Kolozsvár in 1943, already includes Abraham Wald

(New York, USA) as one of Antal Márk's most talented private students.

According to the obituary appeared at the time of his death, he graduated from the

University of Cluj, a piece of information questioned by many (e.g. mathematician

László Filep) because there was no reliable data about it. However, the 1927/28 year-

book of King Ferdinand I University of Cluj (now available on the Internet) provides

information on Abraham Wald’s (Avram Wald in Romanian) completing his studies

in mathematics that academic year. In the archive we also found the exam book of the

faculty of mathematics containing data about ten exams (Table 1).

Figure 1. The front page of the 1927/28 yearbook of King Ferdinand I University of Cluj

Figure 2. On page 187 in the 1927/28 yearbook of King Ferdinand I University of Cluj,

Avram (Abraham) Wald’s name appears third on the list of graduates

No.

Course name

Examiner's name

Exam date

Result

Analytical geometry

Nicolae Abramescu

June. 29, 1925

good

Function theory I.

Aurel Angelescu

Oct 6, 1925

good

Descriptive geometry

Nicolae Abramescu

Oct. 25, 1925

sufficient

Rational mechanics I.

Theodor Angheluță

Oct. 25, 1925.

postponed

Mathematical analysis I.

(Calculus I)

Nicolae Abramescu

1926

excellent

Rational mechanics I.

Theodor Angheluță

June 15, 1926

excellent

Mathematical analysis II

(Calculus II).

Gheorghe Bratu

June 12, 1926

excellent

Function theory II.

–

Oct 19, 1926

good

Astronomy

–

Feb 1927

sufficient

Mechanics II.

–

Feb 1927.

good

Table 1. Exams taken by Abraham Wald at the University of Cluj

Abraham Wald gave a lecture in Hungarian at an event of the Transylvanian Mu-

seum Association entitled Critique of the Hilbert Axiom System. Unfortunately, the

summary does not state the year, only the fact that four lectures on mathematics were

given in the period between 1925–1934, one of which was held by Abraham Wald.

During the Great Depression, between 1928 and 1933, it was understandable that

the attention of all great thinkers was directed toward the problems of economics.

The same holds true for John von Neumann and Abraham Wald. John von Neumann

created his only mathematical model of economics, which later became decisive in

the science of economics. This work, in a rough approach, raised the question of

whether there could be a balance between production and consumption. Of course,

the formulation of the problem was done with much more precise mathematical equa-

tions and also a somewhat idealized reality.

For a slightly modified version of this model, Abraham Wald gave a proof of ex-

istence, which essentially meant that there was a solution to the model with some

limitations, so that there could be a general equilibrium in the economy.

If we were

to philosophize a little about the result, we would conclude that there is a balance in

Arrow and Debreu, who were awarded the Nobel Prize, refer to the achievements of both Neumann and Wald in a

1954 work important for the award of their Nobel Prize. See Kenneth J. Arrow and Gerard Debreu: Existence of an

Equilibrium for a Competitive Economy, Econometrica, Vol. 22, No. 3 (1954) pp. 265–290.

economy, but the difficult question is how to find it. Today, the world’s leading

economists do nothing more than seek for this balance. It is reassuring that there ex-

ists a mathematically proven solution confirming the existence of an equilibrium. Of

course, what is outlined here greatly simplifies Abraham Wald’s work in mathemat-

ics and economics, but economists also agree that discussions about mathematical

economics started with John Neumann’s and Abraham Wald’s contributions. Even

more significant is Abraham Wald’s work on game theory and his activity in mathe-

matical statistics (today there is a hypothesis testing technique called Wald test in sta-

tistics).

His biographers mention that he had to return to Romania in 1929 to complete his

compulsory military service and could only return to Vienna in 1930. He then had a

relatively straight upward career path obtaining his doctoral degree in 1931, getting a

job at the research institute led by Oskar Morgenstern in 1933, and moving perma-

nently to the United States in 1939. As a Romanian citizen he probably obtained his

passport more easily in Cluj and he settled in the United States with a Romanian

passport.

Abraham Wald married Lucille Lang in 1941. They had two children: their daugh-

ter Betty was born in 1943 and their son Robert in 1947 (the latter became a physi-

cist, now is a retired professor at the University of Chicago).

László Filep writes: “In 1950, at the peak of his career, he was invited to a lecture

tour in India. He accepted the invitation and set off with his wife. Along the way, he

gave lectures on game theory in Rome and Paris. The tragedy occurred in India: on

December 13, 1950, their plane crashed into one of the peaks of the Nilgiri Moun-

tains in Tamil Nadu, South India, in dense fog. The plane crashed and all its passen-

gers died.” His orphaned children were raised by his wife's brother.

In the US, the following mathematicians obtained their doctorates under Abraham

Wald’s direction:

Meyer Girshick (1908–1955), Columbia University, 1947,

Herman Chernoff (1923–), Brown University, 1948 (formally, his supervisor was

James Krumhansl but in reality he worked with Wald),

Milton Sobel (1919–2002), Columbia University, 1951. He was the child of Hun-

garian emigrants. The supervisors were Abraham Wald and Jacob Wolfowitz. He was

the first mathematician to obtain a doctorate in mathematical statistics.

Charles Stein (1920–2016), Columbia University, 1947.

Abraham Wald’s significance is increasing over time because very important and

profound mathematical theorems are associated with his name in the field of modern

statistics and econometrics.

It would be worthy to pay tribute to Abraham Wald's greatness and memory with

a plaque in his hometown.

Abraham Wald’s mathematical work

Initially, Abraham Wald was dealing with geometry, then he turned to economic

problems under the influence of Austrian banker and economist Karl Schlesinger

(1889–1938).

Between 1931 and 1937 he published 21 scientific articles in geometry and 10 in

economics (econometrics, to be more precise) in Vienna. When he moved to America

in 1938, he became increasingly involved in statistics, including sequential analysis.

Perhaps it is worth mentioning that in 1940 in Kolozsvár, Márk Antal, his former

private teacher of mathematics, was monitoring the destiny of his talented student

and noticed Wald's outstanding publishing activities. It is probable that before 1945

very few people in Hungary knew that Abraham Wald was also a worthy successor of

famous Hungarian mathematicians such as the Bolyais, the Riesz brothers, Lipót

Fejér, Alfréd Haar, etc.

Sequential analysis allows us to draw conclusions from fewer data with similar

accuracy. The Wald test, named after him, is related to this method.

The Wald test

If a probability variable is not completely independent of other variables, it is called

an explanatory variable. The Wald test decides on an explanatory variable whether it

is significant (i.e. relevant) to the model, because if not, we can exclude it from the

model. We set up a so-called null hypothesis according to which the value of a pa-

rameter is zero and an alternative hypothesis, namely that the value of the parameter

is different from zero. If the null hypothesis is not rejected, the corresponding ex-

planatory variable is not significant, so it can be omitted from the model.

The Wald test (also known as the Wald chi-square test) tells us which variables in

a statistical model substantially affect the model. The Wald test is a rough approxi-

mation of the Likelihood Ratio test, and for large samples, the Wald test is equivalent

to the t-test (Student’s test). The advantage of the Wald test is that it can be applied

to a wide variety of models, including binary (two-valued discrete) and continuous

variables.

The Wald test is also included in the Statistical Software Package for the Social

Sciences (SPSS), which proves its everyday applicability.

The Wald equilibrium

The following is a brief description of Abraham Wald’s role played in economics and

econometrics regarding the so-called Wald equilibrium.

In economics, we can talk about market equilibrium if the amount of supply and

demand in a given market is the same. By plotting the function of demand and supply

in the same coordinate system and determining their intersection, the market equilib-

rium can be well illustrated, and thus the equilibrium price and the equilibrium quan-

tity can be read. The mechanism, regularity, and process of market equilibrium have

already been studied by Scottish economist Adam Smith, the metaphor he introduced

being the invisible hand.

In the case where there is equilibrium in all the markets of the economy, we can

assume a general equilibrium.

The foundations of general equilibrium theory were developed by Léon Walras,

whose law states that if all but one market is in equilibrium, then under certain condi-

tions, this last market will also be in equilibrium.

In 1935, Abraham Wald was the first to prove the existence of equilibrium in

Walras' model. He also developed a general equilibrium model for production and

exchange. In his solution, he used the condition that the price of a certain product de-

pends only on its quantity, and not on the quantities of the rival products.

The earliest discussion of general equilibrium in economic competition is tied to

the system presented by Cassel.

Cassel's system has four principles:

• demand for individual final goods is a function of the price of all final products;

• zero profit for all producers;

• fixed technical coefficients that compare the use of primary resources with the

output of final goods;

• equality of supply and demand in each market.

https://en.wikipedia.org/wiki/Invisible_hand

Marie-Ésprit Léon Walras (1834–1910) French economist

https://en.wikipedia.org/wiki/Economic_equilibrium

Karl Gustav Cassel (1886–1945) Swedish economist, developer of Walras' model for economic equilibrium research

Let xi be the ith demand for the final product, pi is the price of the final product i.

aij is the production of the primary used quantity of in jth resource for the final

product i.

• rj the original amount of the jth resource,

• qj is the price of resource aj.

Then (*) 

 



Neisser mentioned that the Cassel system can even add negative values to prices or

quantities as a solution. Negative quantities are clearly meaningless and, at least in

the case of labor and capital, negative prices cannot be considered an acceptable solu-

tion, as supply at these prices will be zero. Neisser also observed that some variability

in technical coefficients may not be sufficient to eliminate the inconsistency. Stackel-

berg

pointed out that if there were fewer commodities than resources, the system of

equations (*) would be a set of linear equations with more equations than unknowns,

and therefore it usually has no solution. He rightly noted that the economic meaning

of this contradiction was that some equations in the (*) system would become ine-

qualities and the corresponding resources would become free goods. He argued that

this meant the loss of a certain number of equations, and thus the uncertainty of the

rest of the system. To this end, he considered that the assumption of fixed coefficients

could not be maintained and that the possibility of substitution in production should

be acknowledged. This argument is incorrect; the loss of equations (*) replaced by

inequalities is exactly offset by the addition of an equal number of equations, accord-

ing to which the price of the corresponding resources must be zero.

In fact, this proposal has already been made by Zeuthen,

although not in relation

to the existence of solutions. He argued that the resources appearing in the Cassel

system were properly scarce; but it was not possible to consider from the outset

which new sources were free and which were not. Therefore, the equations of system

(*) should be rewritten as inequalities





Heinrich von Stackelberg (1905–1946) German economist

Frederik Ludvig Bang Zeuthen (1888–1959) Danish economist

with the additional statement that if the strict inequality holds for any of j, then the

corresponding qj = 0. Schlesinger accepted Zeuthen's modification and argued that it

eliminated the difficulties experienced by Neisser and Stackelberg. In this form,

Wald also examined the problem, based on various special assumptions. These are

summarized and commented in [23].

Wald gave the first real solution to the general equilibrium problem, since his so-

lution consists of models in which the interdependence of producers and consumers is

determined with respect to privately owned economic systems. In addition, it antici-

pates the decisions made by economic operators independently of each other. It spec-

ifies the role of the price system in mediating potentially conflicting decisions made

by economic agents. It also determines the robustness of the structures that provide

solutions to the problems and issues listed so far. In 1937, John von Neumann, also of

Hungarian origin, provided proof of the general equilibrium problem without Wald's

constraint.

The missing bullet marks

“During World War II, the statistician Abraham Wald took survivorship bias into his

calculations when considering how to minimize bomber losses to enemy fire. The

Statistical Research Group at Columbia University, which Wald was a part of, exam-

ined the damage done to aircraft that had returned from missions and recommended

adding armor to the areas that showed the least damage, based on Wald’s reasoning.

This contradicted the US military's conclusions that the most-hit areas of the plane

needed additional armor. Wald noted that the military only considered the aircraft

that had survived their missions; any bombers that had been shot down or otherwise

lost had logically also been rendered unavailable for assessment. The holes in the re-

turning aircraft, then, represented areas where a bomber could suffer damage and still

return home safely. Thus, Wald proposed that the Navy reinforce areas where the re-

turning aircraft were unscathed, since those were the areas that, if hit, would cause

the plane to be lost. His work is considered seminal in the then-nascent discipline of

operational research.”

Wald’s idea was implemented and proved so successful that it was extended to

warships as well. This technique was later used in many other wars, including the

Korean and Vietnam Wars. Wald’s idea increased the number of returning crews, so

From Wikipedia: Survivorship bias#In the military

it saved many human lives as well. A lower proportion of crashed planes can predict

the end of the war, as countries with a 5% lower rate of crash fighters or a 5% lower

fuel consumption win in most cases.

The success of Wald's theory lies in his mathematical education. The mathemati-

cian always starts from assumptions and the correctness of these assumptions. While

officers assumed that the probability of survival of the crews was the same for all

crews, in reality, the location of the bullet hits was proportional to the chance of sur-

vival. His tendency to abstraction helped in developing the theory which he was able

to relate to real applications. He interpreted real events as parameters, so it was easier

for him to build models and examine them.

Consistency of the maximum likelihood estimation method

The method is a frequently used estimation method of mathematical statistics for

the evaluation of measurement results and samples. The method is applied for esti-

mating the parameters of a probability distribution by maximizing a likelihood func-

tion, so that under the assumed statistical model the observed data is the most proba-

ble.

Although the maximum likelihood method is covered by all mathematical statis-

tics courses, it is not widely known that the consistency of this method was also

proved by Abraham Wald in 1949, although his proof is presented in all university

lectures.

Stephen M. Stigler in a study of the method history emphasizes Wald’s role in the

development and application of the whole method.

Abraham Wald’s family

All of Abraham Wald’s family members, with the exception of his younger brother,

Herman, were killed in Nazi camps.

When in 2012 Róbert Oláh-Gál wrote an article in the daily newspaper Szabadság

(published in Cluj-Napoca) about Abraham Wald, already suggesting in the title to

commemorate the 110th anniversary of the famous mathematician’s birth with a

plaque, the location of the birth-house was not yet well known, so we tried to find it

out. The Jewish birth registers in the archives of Cluj-Napoca being very incomplete,

Stephen M. Stigler: The Epic Story of Maximum Likelihood, Statistical Science. 2007. Vol 22. No. 4. pp. 598–620.

we only found birth information about one of Abraham Wald's brothers, Herman

Wald, but no address was given. A study of the periodical but not regular lists of

houses and addresses revealed many of the family's residences, but the 1902 address

is not included. We summarized these addresses in Table 2 and also entered the home

address from 1902, which we could only obtain after considerable efforts from the

registry office of the city-hall.

Year

Name and occupation

Address

Source

1899

Menyhért Wald merchant

Széchenyi tér 7.

housing and address book

1902

Menyhért Wald

Széchenyi tér 17.

registry office

1904

Menyhért Vald leather merchant

Magyar u. 19.

housing and address book

1905

Menyhért Wald leather mer-

chant

Magyar u. 19.

housing and address book

1905

Menyhért Wald merchant

Magyar u. 1.

newspaper Ellenzék, Jan. 11,

1905. electoral roll, II. dis-

trict (Külmagyar-tized)

1905

Menyhért Wald merchant

Széchenyi tér

17.

newspaper Ellenzék, Jan. 12,

1905. electoral roll, II. dis-

trict (Kérvízköz)

1906–

1907

Menyhért Wald private official

Magyar u. 2.

housing and address book

1914

Simon Glasner and Menyhért

Wald (Menyhért Wald home-

owner kosher baker)

Major u. 17.

housing and address book

1943

Menyhért Wald private mer-

chant

Rákóczi u. 6.

housing and address book

Table 2. The residences of the Menyhért Wald family in Kolozsvár.

tér = square; u: = street

Today: Széchenyi tér = Piața Mihai Viteazul; Magyar utca = Bdul 21 Decembrie 1989;

Major (later Mikes) utca = str. Croitorilor; Rákóczi utca = str. Grigorescu

The location of former house number 17 on Széchenyi Square is very difficult to

determine now due to the many (not always reasonable) renumberings. It was proba-

bly around the cinema building on today’s square, maybe on the Millrace side of the

river. Interestingly, in 1905 Menyhért Wald (Abraham’s father) was included in the

electoral roll with two addresses.

Figure 3. Florin Piersic Cinema (former Republica) on Mihai Viteazul Square

Figure 4. House and courtyard at 17 Major/ Mikes/ Croitorilor Street, the location of the bakery.

We also tried to find data about Abraham’s family. His father was Menyhért Wald

(Beregszász/ Beregovo, 1872–1944/45), a merchant who later operated a kosher bak-

ery listed in the 1914 list of dwellings and addresses as a kosher bakery. His mother

was Dina/ Dóra Glasner (1878), the daughter of the famous Rabbi of Cluj, Moses

Glasner (1856–1924).

Abraham Wald’s obituary states that he had five brothers as follows:

Márton Wald (1898–1944/45)

an electrical engineer who helped his brother a

lot in learning, as Abraham studied as a private student at the Piarist grammar school

so that, as a religious Jew, he did not have to go to school on Saturday. He was ghet-

toized from his apartment (Fellegvári Street 83.) in early May 1944 with his wife,

Tony Wald. He was registered in Auschwitz on June 9 1944, from where he was

moved to Buchenwald on June 24.

Teréz Wald (1900– 1944/45)

public servant.

Herman Wald (September 27, 1904. – April 1, 1983, last place of residence:

Rego Park, Queens County, NY 11374

) escaped from the Nazi camp as the single

survivor of the whole family. He was a physicist. His wife was Margit Marmorstein

(1913–?), from whom his son Ervin was born in 1944.

He served as a labor ser-

viceman during World War II. On April 15, 1944, he entered the Nagybánya (now

Baia Mare) labor service squadron, from where he moved to Törökbálint and then to

Budapest in August 1944. He was deported on November 7, 1944 by the SIPO

(Sicherheitspolizei) in Budapest. He moved to Trockheim, then in January 1945 to

Kaufering, then to Dachau. He returned to Budapest on August 16, 1945. After

World War II, he settled in America (nicknamed Hersey in the family), where he

worked as an engineer, and his patent for measurement systems is also known. In ad-

dition to him, there was another Herman Wald (1906–1970) who was a cousin and

was also born in Kolozsvár, the son of Rabbi Jakab (Beregszász, 1870 - Cluj-Napoca,

1928). Herman, who studied sculpture, moved to South Africa in the late 1930s and

became a famous sculptor. He has monumental outdoor sculptures in Johannesburg

and other South African cities. The sculptor Herman Wald had seven brothers: Anto-

nia (1897), Fanni (1900), Marcus (1901), Malvina (1902), Ernő (1904), Jolán (1908)

and Edit (1914).

Cluj-Napoca State Archives, fond 136 (Colecţia Registre de Cetăţenie), file no. 82/1924, 13. recto

Márton Wald's Buchenwald register, June 6, 1944. International Tracing Service Digital Archive, Bad Arolsen,

Zentrale Namenkartei, Nr. 7364978

Cluj-Napoca State Archives, fond 136 (Colecţia Registre de Cetăţenie), file no. 82/1924, 13. recto

Moose Roots, http://death-records.mooseroots.com/l/102099572/Herman-Wald

Cluj-Napoca State Archives, fond 136 (Colecţia Registre de Cetăţenie), file 83/1924, 7. verso

Cluj-Napoca State Archives, fond 136 (Colecţia Registre de Cetăţenie), file 82/1924, 11. verso

Figure 5. A price offer for the Pécs community of the kosher bakery in 1910

Bella Wald (1906–1944/45) French-German language teacher. In the 1934-35 ac-

ademic year she presented a seminar paper entitled Die Freiheitskampf der Nieder-

lande in der deutschen Literatur as a university student. She graduated from Ferdi-

nand University in Cluj in February 1936, and taught at the Jewish High School in

Cluj-Napoca between 1940 and 1944.

Renée Wald (1909–1944/45) musician, piano teacher. She started

learning to play the piano from Ádám Pongrácz. She graduated from

the Jewish Tarbut High School and then was a student of Ana Voileanu

at the Romanian Academy of Music. In his book published in 1939,

József Szigethy writes of her in great praise: “Her performance raised a

storm of applause, and the entire teaching staff of the academy predict-

ed a beautiful future for the graduate piano teacher.” After her marriage to Ernő Dia-

mantstein, she lived in Marosvásárhely (now Târgu Mureş). From there she was de-

ported in 1944 to Auschwitz. She later moved to Stutthof. According to the Stutthof

record sheet she was still alive at the end of November 1944.

The 1943 home and address list includes the following persons with the surname

Wald:

Bella Wald, teacher, Rákóczi út 6.

dr. Béla Wald. physician, Wesselényi út 19.

Ernő Wald

, rabbi, Árpád út 30–32.

Hermann Wald, teacher, Mikes u. 17.

Jenő Wald, supervisor, Dézsma u. 44.

dr. Márton Wald, engineer, Fellegvári út 83.

Mátyás Wald

, hairdresser, Kócsag u. 1.

Menyhért Wald, private merchant, Rákóczi út 6.

Teréz Wald, public servant, Rákóczi út 6.

Figure 6. Abraham Wald during a lecture Figure 7. The young Abraham Wald

Renée Wald’s record sheet in Stutthof, November 24, 1944. International Tracing Service Digital Archive, Bad

Arolsen, Zentrale Namenkartei, Nr. 4450117

According to the 1924 list of citizenship of Cluj, he was born in Kolozsvár in 1904. Cluj-Napoca State Achives,

fond 136 (Colecţia Registre de Cetăţenie), file 83/1924, 8. recto

According to the 1924 list of citizens of Cluj, he was born in 1894 in Nagybecskerek. Cluj-Napoca State Achives,

fond 136 (Colecţia Registre de Cetăţenie), file 83/1924, 16. recto

Figure 8. The Tarbut School in Cluj (1920–1927) and the building which has been erected

on the same site (At the intersection of streets Eötvös Contanța and Hosszú/ Ploiești)

Abraham Wald’ high school certificates

Few documents have survived about the Wald family. That is why we were very

happy when we came across new and reliable documents about Abraham Wald’s life.

First, in the Cluj County department of the Romanian State Archives we found the

registers of the Piarist grammar school in which Wald Abraham is also listed as a

private student. From this we can learn that he was very good at Hungarian and reli-

gion, and excellent in science. At the same time as a seventh-grader he had to resit his

German exam. By the time he became an eighth-grade high school student, the em-

pire had changed, Cluj had become a “Romanian city,” and Wald had received a suf-

ficient passing grade in Romanian as well. So he learned so much Romanian that he

could then enroll in Ferdinand University. We know that he asked for a Romanian

language graduation certificate from the Piarists.

Fortunately, these registry entries can be found in the Cluj-Napoca department of

the Romanian National Archives. Unfortunately, we found few original documents

mentioning the Wald family. That is why special importance should be given to the

few documents that can still be found. Furthermore, it is thought-provoking that Wald

at first obtained an insufficient grade from the Piarists in German language, but as

early as 1934 he published the first mathematical proof of the existence of general

equilibrium in German. Two lessons can be learned from this. A teacher should never

hastily judge a student based on a failed exam. Interestingly, the Walds spoke Hun-

garian at home and did not use German in family discussions, although Jewish fami-

lies generally used German more often in the Austro-Hungarian monarchy than Hun-

garian as the language of communication.

Figure 9. Registry entry in the registers of the Piarist grammar school in Cluj

Entries for studies:

Registration for the supplementary exam:

"Judgment of the final meeting of the teaching board: It is decided that he should

take a corrective examination"

"As a private student enrolled in the 1918/19 school year he passed a supplemen-

tary exam on September 18, 1919."

“Wald Abraham. Kolozsvár, October 31, 1902, izr.

He completed the secondary school course and attended grades I – IV at the Hun-

garian State Civil Boys' School in Kolozsvár in 1912/19-1915. After passing a differ-

ential examination, he attended 5th grade in Kath. Gymnasium, Kolozsvár at the be-

ginning of school year 1917/18, and grades VI-VII at the same school until 1918/19-

1919/20. He was enrolled in all gimn. grades as a private student."

“Wald Abraham

September 20, 1919

Religious studies: excellent

Hungarian language: good

Latin{ good

Greek –

Greek replacement literature: good

Greek language: sufficient

German language: insufficient

Philosophy pedagogy: –

History: sufficient

Geography: –

Natural science: sufficient

Mathematics: sufficient

Descriptive geometry –

Calligraphy: –

Freehand drawing: –

Exercise:–

Music: –

Health:–-

Last vaccinated:–-

Penmanship:–

Number of hours missed during the school year: justified:–-, unjustified:–-

Behavior: – ”

Three letters from Abraham Wald to György Alexits

As mentioned above, very few documents survived from Abraham Wald, especial-

ly in Hungarian. That is why we rejoiced when we found three letters written by

Abraham Wald in the Manuscript Archive of the Library and Information Center of

the Hungarian Academy of Sciences, which were written by Wald in 1935 at the age

of 32, and sent from Vienna to mathematician György Alexits. The letters dissect a

mathematical theme, including a classical differential-geometric object (torsion and

curvature of Euclidean space curves), but it also contains a personal confession.

Alexits expressed his surprise over Wald’s having written to him in Hungarian from

Vienna, to which Wald reacted with mathematical conciseness:

“Finally, to answer your question, my Hungarian knowledge comes from the fact

that I was born in Kolozsvár. – Personally I don't know any of the mathematicians in

Pest. Last year I met Otto Szász, a former teacher from Frankfurt, whom you might

know, as he often goes to Budapest, where he has relatives.

With great respect

Wald ”.

The letters in Hungarian are on the pages 26–28.

References

1. Balogh Péter, Nagy Lajos, Ökonometria (Theoretical notes), Debrecen 2013,

pp. 96–97. ISBN 978-615-5183-55-3.

2. Ferenc Márta, Lőrincz Annamária, Oláh-Gál Róbert: Adalékok Wald Ábrahám

életrajzához, Historia Scientiarium, 17, 2019. pp. 12–19.

http://ojs.emt.ro/index.php/hs/article/view/66/56

3. Filep László: Wald Ábrahám (1902–1950), Acta Academiae Paedagogicae

Nyíregyháziensis, 1982. pp. 125–135.

4. Filep László: Magyar matematika Erdélyben a két világháború között, Magyar

Tudomány, 2001. 5.sz. http://epa.oszk.hu/00700/00775/00030/603-610.html

5. Kása Zoltán: A kolozsvári Wald Ábrahám matematikus családja, in: Adalékok

a kolozsvári zsidóság múltjához III. Edited by Schwartz Róbert, Mega Könyv-

kiadó, Cluj, 2015. pp. 81–89.

http://www.comevcluj.ro/wp-content/uploads/2015/10/IE-HU.pdf

6. Lázár Ede: Regressziós modellek alkalmazása a kereslet alapú árkutatásban,

(PhD Thesis), Gödöllő 2011, pp. 64–65.

7. Oláh-Gál Róbert: Állítsunk emléktáblát Wald Ábrahámnak!, Szabadság, 2012.

jan. 6.

8. Orlovits Zsanett, Lineáris regresszió számítás előadás 2018. (Lecture)

http://math.bme.hu/~orlovits/GPK_SZTOCH_EA_REG2.pdf

9. J. J. O'Connor, E. F. Robertson: Abraham Wald,

http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Wald.html

10. Bogdan Stanciu: Abraham Wald, un clujean care a revoluţionat statistica la

New York, Sinteza, 2017/10 https://www.revistasinteza.ro/abraham-wald-un-

clujean-care-revolutionat-statistica-la-new-york

11. Szigethy József: Monografia Clujului – Kolozsvár története, vol. 3, Kolozsvár,

1939.

12. Tibori Szabó Zoltán: Zsidlic. A Kolozsvári Zsidó Gimnázium története (1940–

1944), Mega Kiadó, Kolozsvár, 2012. (History of the Jewish Grammar School

in Kolozvár (1940–1944))

13. *** Anuarul Universităţii Regele Ferdinand I din Cluj pe anul şcolar

1927/28., Cluj 1929. (Yearbook of the King Ferdinand I University of Cluj for

the school year 1927/28.)

14. *** Az Erdélyi Múzeum-Egyesület háromnegyedszázados tudományos műkö-

dése 1859–1934. EME kiadása, Kolozsvár, 1937. (The three-quarter-century

scientific activity of the Transylvanian Museum Association in 1859–1934)

http://mek.oszk.hu/07900/07981/pdf/eme1.pdf

15. Colecţia Registre de Cetăţenie, Kolozsvári Állami Levéltár, (Citizenship

Registers Collection, State Archives, Cluj) Fond 136. File 82/1924.

16. International Tracing Service Digital Archive, Bad Arolsen

17. *** Kolozsvári cím- és lakjegyzékek 1899, 1904, 1905, 1907, 1914, 1943. Ko-

lozsvári Egyetemi Könyvtár és Kolozsvári Akadémiai Könyvtár. (Address and

housing registers in Cluj)

18. *** Macesz árajánlat (1910-es évek) http://magyarzsido.hu/

19. *** Mathematics Genealogy Project

http://genealogy.math.ndsu.nodak.edu/id.php?id=36887

20. *** Registru de examene al facultăţii de matematică, Kolozsvári Állami Levél-

tár, (Register of examinations of the faculty of mathematics, State Archives,

Cluj) Fond 798/74.

21. Wald, A., Über die eindeutige positive Lösbarkeit der neuen Produktionsglei-

chungen, Ergebnisse eines mathematischen Kolloquiums, No. 6 (1933–4), pp.

12–20.

22. Wald, A., Über die Produktionsgleichungen der ökonomischen Wertlehre,

Ergebnisse eines mathematischen Kolloquiums, No. 7 (1934–5), pp. 1–6.

23. Wald, A., Über einige Gleichungssysteme der mathematischen Ökonomie,

Zeitschrift fur Nationalökonomie, Vol. 7 (1936), pp. 637–670, angol változat:

On Some Systems of Equations of Mathematical Economics, Econometria,

Vol. 19, October 1951, pp. 368–403.

Acknowledgments

We thank Attila Gidó and Anna Horváth for helping us to access information that

is difficult to obtain. We would like to thank our colleague Professor Zsolt Sándor for

his professional proofreading.

ISBN 978-973-0-32931-5

ResearchGate has not been able to resolve any citations for this publication.

Über die Produktionsgleichungen der ökonomischen Wertlehre

Article

A. Wald

Über die eindeutige positive Lösbarkeit der neuen Produktionsgleichungen

Article

A. Wald

Über einige Gleichungssysteme der mathematischen Ökonomie

Article

Oct 1936

Abraham Wald

Jan 2013
96-97

Balogh Péter
Nagy Lajos

Balogh Péter, Nagy Lajos, Ökonometria (Elméleti jegyzet), Debrecen 2013, pp. 96-97. ISBN 978-615-5183-55-3.

A kolozsvári Wald Ábrahám matematikus családja, in: Adalékok a kolozsvári zsidóság múltjához III

Jan 2015
81-89

Kása Zoltán

Kása Zoltán: A kolozsvári Wald Ábrahám matematikus családja, in: Adalékok a kolozsvári zsidóság múltjához III. Edited by Schwartz Róbert, Mega Könyvkiadó, Cluj, 2015. pp. 81-89.

Regressziós modellek alkalmazása a kereslet alapú árkutatásban, Doktori (PhD) értekezés

Jan 2011
64-65

Lázár Ede

Lázár Ede: Regressziós modellek alkalmazása a kereslet alapú árkutatásban, Doktori (PhD) értekezés, Gödöllő 2011, pp. 64-65.

an electrical engineer who helped his brother a lot in learning, as Abraham studied as a private student at the Piarist grammar school so that, as a religious Jew, he did not have to go to school on Saturday. He was ghettoized from his apartment (Fellegvári Street 83

Márton Wald

Márton Wald (1898-1944/45) 42 an electrical engineer who helped his brother a lot in learning, as Abraham studied as a private student at the Piarist grammar school so that, as a religious Jew, he did not have to go to school on Saturday. He was ghettoized from his apartment (Fellegvári Street 83.) in early May 1944 with his wife, Tony Wald. He was registered in Auschwitz on June 9 1944, from where he was moved to Buchenwald on June 24. 43

After World War II, he settled in America (nicknamed Hersey in the family), where he worked as an engineer, and his patent for measurement systems is also known

Sep 1904

Herman Wald

Herman Wald (September 27, 1904. -April 1, 1983, last place of residence: Rego Park, Queens County, NY 11374 45 ) escaped from the Nazi camp as the single survivor of the whole family. He was a physicist. His wife was Margit Marmorstein (1913-?), from whom his son Ervin was born in 1944. 46 He served as a labor serviceman during World War II. On April 15, 1944, he entered the Nagybánya (now Baia Mare) labor service squadron, from where he moved to Törökbálint and then to Budapest in August 1944. He was deported on November 7, 1944 by the SIPO (Sicherheitspolizei) in Budapest. He moved to Trockheim, then in January 1945 to Kaufering, then to Dachau. He returned to Budapest on August 16, 1945. After World War II, he settled in America (nicknamed Hersey in the family), where he worked as an engineer, and his patent for measurement systems is also known. In addition to him, there was another Herman Wald (1906-1970) who was a cousin and was also born in Kolozsvár, the son of Rabbi Jakab (Beregszász, 1870 -Cluj-Napoca,

He has monumental outdoor sculptures in Johannesburg and other South African cities. The sculptor Herman Wald had seven brothers: Antonia (1897)

Jan 1900
47

Herman

Herman, who studied sculpture, moved to South Africa in the late 1930s and became a famous sculptor. He has monumental outdoor sculptures in Johannesburg and other South African cities. The sculptor Herman Wald had seven brothers: Antonia (1897), Fanni (1900), Marcus (1901), Malvina (1902), Ernő (1904), Jolán (1908) and Edit (1914). 47

International Tracing Service Digital Archive

Jun 1944

Márton Wald
s Buchenwald Register

Márton Wald's Buchenwald register, June 6, 1944. International Tracing Service Digital Archive, Bad Arolsen, Zentrale Namenkartei, Nr. 7364978

Az ismeretlen Wald Ábrahám. The Unknow Abraham Wald

Abstract and Figures

Recommended publications

Negyven éve hunyt el Gergely Jenő matematikus –Forty years after death of the mathematician Eugen Ge...

Ismerkedés az informatikával (Introductory Computer Science - in Hungarian)

About the fifth itinerant-assembly of the Hungarian doctors and natural scientists in 1844 at Cluj (...

order in disorder.pdf