Asymmetric hypergeometric laser beams

Abstract

Here we study asymmetric Kummer beams (aK-beams) with their scalar complex amplitude being proportional to the Kummer function (a degenerate hypergeometric function). These beams are an exact solution of the paraxial propagation equation (Schrödinger-type equation) and obtained from the conventional symmetric hypergeometric beams by a complex shift of the transverse coordinates. On propagation, the aK-beams change their intensity weakly and rotate around the optical axis. These beams are an example of vortex laser beams with a fractional orbital angular momentum (OAM), which depends on four parameters: the vortex topological charge, the shift magnitude, the logarithmic axicon parameter and the degree of the radial factor. Changing these parameters, it is possible to control the beam OAM, either continuously increasing or decreasing it.

Full text

Асимметричные лазерные гипергеометрические пучки Котляр В.В., Ковалёв А.А., Абрамочкин Е.Г.
Компьютерная оптика, 2019, том 43, №5 735
Асимметричные лазерные гипергеометрические пучки
В.В. Котляр1,2, А.А. Ковалёв 1,2, Е.Г. Абрамочкин3
1 ИСОИ РАН – филиал ФНИЦ «Кристаллография и фотоника» РАН,
443001, Россия, г. Самара, ул. Молодогвардейская, д. 151,
2 Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королёва,
443086, Россия, г. Самара, Московское шоссе, д. 34,
3 Самарский филиал федерального государственного бюджетного учреждения науки
Физического института имени П.Н. Лебедева Российской академии наук (СФ ФИАН), Самара, Россия
Аннотация
Рассмотрены асимметричные пучки Куммера (аК-пучки), скалярная комплексная ампли-
туда которых пропорциональна функции Куммера (вырожденной гипергеометрической
функции). Эти пучки являются точным решением параксиального уравнения распростране-
ния (уравнения типа Шредингера) и получаются из обычных симметричных гипергеомет-
рических пучков путём комплексного смещения координат. При распространении аК-пучки
слабо изменяют свою интенсивность и вращаются вокруг оптической оси. Эти пучки –
пример вихревых лазерных пучков с дробным орбитальным угловым моментом, величина
которого зависит от четырёх параметров: топологического заряда вихря, величины смеще-
ния, параметра логарифмического аксикона и степени радиального сомножителя. Изменяя
эти параметры, можно управлять орбитальным угловым моментом пучка: непрерывно уве-
личивать или уменьшать его.
Ключевые слова: оптический вихрь, асимметричный лазерный пучок, функция Куммера,
гипергеометрическая функция, логарифмический аксикон, орбитальный угловой момент.
Цитирование: Котляр, В.В. Асимметричные лазерные гипергеометрические пучки /
В.В. Котляр, А.А. Ковалёв, Е.Г. Абрамочкин // Компьютерная оптика. – 2019. – Т. 43, № 5. –
С. 735-740. – DOI: 10.18287/2412-6179-2019-43-5-735-740.
Введение
В [1] рассмотрено семейство гипергеометрических
лазерных пучков, комплексная амплитуда которых
описывается вырожденной гипергеометрической
функцией или функцией Куммера. Функции Куммера
активно используются в оптике [2]. Ранее авторы рас-
сматривали асимметричные лазерные пучки Бесселя
[3] и Лагерра–Гаусса [4], которые получаются с по-
мощью комплексного смещения аргументов функций
комплексного пропускания обычных пучков Бесселя
[5] и Лагерра–Гаусса [6]. Заметим, что все упомяну-
тые лазерные пучки являются примерами оптических
вихрей и обладают орбитальным угловым моментом
(ОУМ). Подход формирования асимметричных ла-
зерных вихревых пучков [3, 4] был позднее развит в
работах других авторов [7 – 10]. Асимметричные ла-
зерные пучки используются в квантовой информати-
ке для накачки нелинейных кристаллов и формирова-
ния методом спонтанной конверсии пары перепутан-
ных фотонов с широким ОУМ-спектром [11].
В этой работе получены аналитические выраже-
ния для комплексной амплитуды асимметричного
пучка Куммера, также имеющего вид полумесяца и
вращающегося при распространении, и для ОУМ,
нормированного на полную мощность. Математиче-
ски асимметричные пучки Куммера – это четырёхпа-
раметрическое семейство функций, являющихся точ-
ным решением параболического уравнения распро-
странения (параксиального уравнения Гельмгольца).
Поэтому ОУМ таких пучков зависит от четырёх па-
раметров, два из которых целые, а два других дей-
ствительные. Эти параметры позволяют варьировать
ОУМ пучка Куммера в широких пределах.
Заметим, что пучки с осевой симметрией (Бессе-
ля – Гаусса, Лагерра – Гаусса, Куммера) имеют одина-
ковый нормированный ОУМ, равный топологическо-
му заряду. Асимметричные же пучки, полученные из
этих симметричных пучков путём комплексного
смещения, имеют разные нормированные ОУМ при
одинаковых смещениях. С помощью изменения вели-
чины комплексного смещения можно управлять ве-
личиной ОУМ таких пучков, причём по-разному для
разных асимметричных пучков.
1. Смещённые пучки Куммера
Кратко напомним выражения для несмещённых
гипергеометрических пучков (пучков Куммера) [1].
Комплексная амплитуда в начальной плоскости (то
есть при z = 0) имеет вид:
2
2
(, , 0) exp ,
mi
rr
Er z in
ww
 

  
 
 
(1)
где (r, , z) – цилиндрические координаты, w – радиус
перетяжки Гауссова пучка, n – топологический заряд
оптического вихря (целое число), m,  – целое и дей-
ствительное числа, параметр  задаёт силу логариф-
мического аксикона, так как (r /w)i = exp [i  ln (r /w)].
Выражение для комплексной амплитуды при любом
z > 0 можно получить с помощью преобразования
Френеля [1]:
10()/2
2
/2 11
() 2
(, , ) ()
!2()
2
exp , 1, ,
22
n
mi
n
imniz
Er z q z
nzqz
ikr m n i
in x F n x
z





 







 




(2)

Асимметричные лазерные гипергеометрические пучки Котляр В.В., Ковалёв А.А., Абрамочкин Е.Г.
736 Компьютерная оптика, 2019, том 43, №5
где z0 = kw2/2, q(z) = 1 – iz0/z,
22
0
[ /(2 ( ))] [( / )( / )] / ( )
x
kwr z qz z z rw qz .
Для получения асимметричного пучка Куммера ар-
гументы комплексной амплитуды (x, y) надо сместить в
комплексную плоскость. Понятно, что смещение на
действительную величину не приведёт к изменению ви-
да пучка и его ОУМ. Ограничимся смещением вида:
x  x – aw, y  y – iaw, где a – безразмерная действи-
тельная величина. При таком смещении оптический
вихрь не изменяется: (x + iy)n = [(x – aw) + i (y – iaw)]n. То-
гда вместо (1) запишем комплексную амплитуду сме-
щённого пучка Куммера в начальной плоскости:


2
2
,, 0 exp ,
nmni
sn
xiy ss
Er z ww w



  
 
 
(3)
где s2 = (x – aw)2 + ( y – iaw)2.
Из (3) видно, что при  = 0 смещение в начальной
плоскости приводит к появлению двух точек фазовой
сингулярности: оптический вихрь с центром в точке
(0, 0) и с топологическим зарядом (m + n)/2 и оптиче-
ский вихрь с центром в точке (2aw, 0) и с топологиче-
ским зарядом (n – m)/2. При  ≠ 0 в этих же точках
возникают две амплитудные сингулярности, посколь-
ку ноль не может возводиться в мнимую степень.
Далее вместо (2) запишем комплексную амплиту-
ду смещённого пучка Куммера при любом z:
10()/2
0
2
11
()
(, , ) ()
!()
21
2()
2
exp , 1, ,
22
n
mi
s
n
iz
Er z q z
nzqz
mn i zr
zw qz
iks m n i
in F n
z



 





 








 




(4)
где s2 = r (r – 2awe i),  = [(z0 /z) (s/w)]2/q (z).
Из (4) видно, что амплитуда смещённого пучка
Куммера имеет в качестве сомножителя rn и поэтому
равна нулю при r = 0. То есть на оптической оси (r = 0)
имеет место n-кратно вырожденный ноль интенсивно-
сти, вокруг которого распространяется оптический
вихрь с топологическим зарядом n. Тем самым, несмот-
ря на смещение пучка Куммера, точка сингулярности
осталась в центре системы координат на оптической
оси. Для определения координат других (внеосевых)
нулей интенсивности асимметричного пучка Куммера
следует приравнять комплексный аргумент функции
Куммера в (4) к комплексному значению корня
p = ap + ibp, p = 1, 2, 3... (1F1(a, c, p) = 0). Асимптотика
корней функции Куммера получена в [12]:


2
21(2)/2
()
2ln2 ln ( 2)sgn
()2
ln
2( ) ,.
2
pip c a ip
ai
ca p c p
ca
p
aa c c Op
ip p
     


    





 



(5)
Здесь уместно напомнить, как связана функция
Куммера с присоединёнными многочленами Лагерра
и функциями Бесселя:
  
 


11
11
,1,,
212,2 1, 2 .
1
m
n
ix
nm
Lx F nm x
n
ex
J
xF ix









(6)
Из второго уравнения (6) и вещественности нулей
функции Бесселя следует, что при с = 2a корни функ-
ции Куммера 1F1(a, c, x) чисто мнимые.
Уравнение (6) показывает, что асимметричный
пучок Куммера является обобщением асимметричных
пучков Бесселя и Лагерра – Гаусса.
Итак, приравнивая аргумент функции Куммера в
(4) значению корня p, получим два уравнения для де-
картовых координат (xp, yp) изолированных нулей ин-
тенсивности асимметричного пучка Куммера:

22
0
22 0
1pp p
zs aib
zw iz z



,
где


222
2
p
ppp
s
xy awxiy  .
Тогда



20
22
2
0
2
p
ppp pp
wz z iz
x
yawxiy aib
z

    .
Приравнивая мнимые части, получим выражение
для yp, из которого далее (приравнивая вещественные
части) выводим формулу и для xp:
0
2
0
2
0
1/2
22
00
,
.
2
ppp
ppp
pp
zz
yab
akw z
zz
xawwa a b
zz
zz
ab
az z

 




   







 


 

 


(7)
Два знака в выражении для координат xp объясня-
ются тем, что при z = 0 из (3) следует, что у интенсив-
ности имеется два нуля на горизонтальной оси при
x = 0 и при x = aw. Из (7) следует, что в дальней зоне
дифракции (при больших z >> z0) нули асимметрично-
го пучка Куммера будут иметь координаты:
2
2
00
2
2
00
,
2
.
2
pp
p
pp
p
zb wb z
yakwz a z
zb wb z
x
ii
akwz a z





  


(8)
Но как сами нули смещённого пучка Куммера, так и
их координаты комплексные, и в распределении интен-
сивности эти нули проявляются в виде локальных ми-

Асимметричные лазерные гипергеометрические пучки Котляр В.В., Ковалёв А.А., Абрамочкин Е.Г.
Компьютерная оптика, 2019, том 43, №5 737
нимумов и не формируют дополнительных точек син-
гулярности. В дальней зоне аргумент  функции Кум-
мера в (4) стремится к нулю, а сама функция поэтому
стремится к единице. Из (4) видно, что в этом случае
остаётся только один ноль интенсивности – на оптиче-
ской оси (r = 0). Это означает, что при распространении
от начальной плоскости к дальней зоне два оптических
вихря с топологическими зарядами (m + n) / 2 и (n – m) / 2
преобразуются в один вихрь с суммарным зарядом n.
Из (8) видно, что координаты комплексных нулей
интенсивности (минимумов интенсивности) опреде-
ляются только мнимой частью bp комплексных кор-
ней функции Куммера p. Также из (8) следует, что
вся картина распределения интенсивности в попереч-
ном сечении асимметричного пучка Куммера повора-
чивается в дальней зоне дифракции против часовой
стрелки на 45 градусов.
На основе (4) запишем интенсивность асиммет-
ричного пучка Куммера:


2
22 22
00
22
2
0
2
2
11
1
,, 1
!
2exp 2 sin
2
exp arctg
2,1, .
2
nm
n
s
n
zz
Ir z zz
n
mn i k
awr
z
z
z
rmni
Fn
w




  
 
 


  




 





  

  
  
(9)
Так как аргумент у экспоненты и у функции Кум-
мера в (9) зависит и от r, и от , распределение ин-
тенсивности (9) не обладает осевой симметрией и
имеет вид полумесяца, растущего при a > 0 или убы-
вающего при a < 0. При z = 0 полумесяц интенсивно-
сти имеет симметрию относительно оси x и при уве-
личении z поворачивается против часовой стрелки.
2. Орбитальный угловой момент
асимметричного пучка Куммера
ОУМ параксиального пучка рассчитывается по
формуле:
 
*
Im , , d d ,
z
J
Exy y x E xy xy
xy

 






 (10)
где Im – мнимая часть числа, E* – сопряжение ком-
плекснозначной функции E, а полная мощность пучка
рассчитывается по формуле:

*
,,dd.WExyExyxy

 
 (11)
Так как и ОУМ, и мощность сохраняются при
распространении пучка, то их можно рассчитывать в
любой поперечной плоскости. Например, рассчиты-
вая ОУМ в начальной плоскости, получим:
12 34
22
() ,
z
J
aW W awW W
nawmnaw
WwWW W


   

 (12)
где
,1 ,
dd, dd,
mn mn
WMxyW xMxy
 
   

 
2,2
22 dd,
mn
y
WMxy
xy


 


3,2
22
1dd,
mn
WMxy
xy


 


4,2
22 dd,
mn
x
WMxy
xy


 






22
,22
()/2
22
22
22
22
12
exp 2
22
2
exp arctg .
2
mn m
mn
n
Mxawxy
ww
x awx y awy
awy
xy xawxy






  



 





Правая часть (12) имеет четыре слагаемых, каждое
из которых может быть как положительным, так и от-
рицательным, в зависимости от знаков (a > 0): n, , (m –
n). То есть у асимметричного пучка Куммера ОУМ мо-
жет быть как больше, так и меньше, чем у симметрич-
ного пучка (Jz /W = n). Из (12) следует, что при отсут-
ствии смещения (a = 0) нормированный на мощность
пучка Куммера ОУМ равен топологическому заряду n.
При m = n и  = 0 из (12) следует, что ОУМ равен


1
1
2222 22
222
2,
dd, dd,
2
2
exp .
z
nn
n
n
JaW
n
WwW
WxMxyWMxy
yaw
xaw xy
Mwww
 
   










  



  (13)
Оба интеграла в (13) находятся в явном виде. Пе-
реходя к полярным координатам и вычисляя интегра-
лы по полярному углу, получим:
2
21
0
22
0
2
22
11
22
0
224
exp d ,
224
exp d .
n
n
n
n
rar
WIrr
www
rar
WIrr
www




















(14)
Эти интегралы являются справочными и выража-
ются через функцию Куммера, которая при данных
параметрах сводится к полиномам Лагерра. Поэтому
вместо (13) нормированный ОУМ равен


12
2
02
2
22
n
z
n
La
Jna
WLa

 . (15)
Из (15) следует, что ОУМ при смещении увеличи-
вается пропорционально смещению a 2, а также про-
порционально первому моменту интенсивности. Вто-
рое слагаемое в (15) всегда положительно, причём

Асимметричные лазерные гипергеометрические пучки Котляр В.В., Ковалёв А.А., Абрамочкин Е.Г.
738 Компьютерная оптика, 2019, том 43, №5
при a ≠ 0 отношение полиномов Лагерра больше еди-
ницы, то есть ОУМ увеличивается со смещением как
минимум квадратично.
В более общем случае, когда вместо поперечных
смещений (aw, iaw) вдоль координат x и y использу-
ются произвольные комплексные смещения (a, b)w,
логарифмический аксикон отсутствует ( = 0), а
m = n + 2N (N – неотрицательное целое число), вывод
выражений для мощности пучка и его ОУМ громоз-
док, и здесь мы приводим их окончательный вид:



2,0
2
21 00
2
22
2
22
2!2 ,
2
Nl
k
Q
k
nN lk
lk
nNl
NN
We lkl
Q
nNl QL
 

 


 

 

  



(16)
где

22
2Im ImQab
(17)
и




 
 
2,
1,
2,
21,1
22, 1 ,
z
Jn pqWnN
QU n N
nN pqUnN
Q
Np qWn N
NpqUn N
Q

   

  




(18)
где

22
Re Im Im Re ,
Im Im ,
pabab
qa b

 (19)
  
 

2
2
12
1
221
21 1 21
00
2
1
21
21
00
2
21
21!
,1
1
222
21!
1,
22
2
,2
Nl k
Q k
nN l
nN k l l
lk
Nl kk
nN l
kl l
lk
Q
nN
NNnN l Q
UnN e L
llk Q
NNnN l Q
L
llk Q
WnN e


  







 


 
  
 
 



  

 

  


  




 

2
,0 22
00
2!2 .
2
2
Nl l
kk
nNl
k
lk
NN Q
nNl QL
lkl 

  
  
  


 

(20)
В отличие от (15), формулы (16) – (20) позволяют
рассчитывать ОУМ относительно произвольной точ-
ки, а не только относительно начала координат.
3. Численное моделирование
На рис. 1 и 2 показаны распределения интенсив-
ности и фазы двух асимметричных пучков Куммера
в начальной плоскости (z = 0) и после распростране-
ния в свободном пространстве. При расчётах ис-
пользовались следующие значения параметров: дли-
на волны  = 532 нм, радиус перетяжки Гауссова
пучка w = 500 мкм, топологический заряд оптическо-
го вихря n = 1, параметр асимметрии a = 0,2 (рис. 1) и
a = –0,2 (рис. 2), показатель амплитудной степенной
составляющей m = 3, параметр логарифмического ак-
сикона γ = 0, расстояние распространения в простран-
стве z = 2 м, расчётная область –R ≤ x, y ≤ R (R = 4 мм).
а) б) в) г)
Рис. 1. Распределения интенсивности (а, в) (негатив) и фазы (б, г) (чёрный цвет – 0, белый цвет – 2π) асимметричного
пучка Куммера (a = 0,2) в начальной плоскости z = 0 (а, б) и после распространения в свободном пространстве (в, г)
а) б) в) г)
Рис. 2. Распределения интенсивности (а, в) (негатив) и фазы (б, г) (чёрный цвет – 0, белый цвет – 2π) асимметричного
пучка Куммера (a = –0,2) в начальной плоскости z = 0 (а, б) и после распространения в свободном пространстве (в, г)
На вставке в рис. 1б и 2б видно, что в начальной
плоскости имеется два оптических вихря: вихрь с топо-
логическим зарядом (m + n) / 2 = 2 в центре и с топологи-
ческим зарядом (n – m) / 2 = –1 справа на рис. 1 (и слева на
рис. 2). На рис. 1в и 2в видно, что при распространении
полумесяц интенсивности повернулся на 45 градусов

Асимметричные лазерные гипергеометрические пучки Котляр В.В., Ковалёв А.А., Абрамочкин Е.Г.
Компьютерная оптика, 2019, том 43, №5 739
против часовой стрелки, как и предсказывалось теорией,
а на рис. 1г и 2г видно, что действительно два вихря с
топологическими зарядами +2 и –1 в дальней зоне пре-
образовались в один вихрь с зарядом +1.
Заключение
Получены точные выражения для комплексной ам-
плитуды и орбитального углового момента асиммет-
ричных пучков Куммера (аК-пучков), скалярная ком-
плексная амплитуда которых пропорциональна функ-
ции Куммера (вырожденной гипергеометрической
функции). Эти пучки являются точным решением па-
раксиального уравнения распространения (уравнения
типа Шредингера) и получаются из обычных симмет-
ричных гипергеометрических пучков путём комплекс-
ного смещения аргументов. При распространении аК-
пучки слабо изменяют свою интенсивность и вращают-
ся вокруг оптической оси. Эти пучки – пример вихре-
вых лазерных пучков с дробным ОУМ, величина кото-
рого зависит от 4 параметров: топологического заряда
вихря, величины смещения, параметра логарифмиче-
ского аксикона и степени радиального сомножителя.
Изменяя эти параметры, можно управлять ОУМ пучка:
непрерывно увеличивать или уменьшать его.
Благодарности
Работа выполнена при поддержке Российского
научного фонда (грант 18-19-00595) в части «Сме-
щённые пучки Куммера», Федерального агентства
научных организаций и Российского фонда фунда-
ментальных исследований (грант 18-29-20003)
в части «Орбитальный угловой момент асимметрич-
ного пучка Куммера», а также Министерства науки и
высшего образования РФ в рамках выполнения работ
по Государственному заданию ФНИЦ «Кристалло-
графия и фотоника» РАН (соглашение № 007-
ГЗ/Ч3363/26) в части «Численное моделирование».
Литература
1. Kotlyar, V.V. Family of hypergeometric laser beams /
V.V. Kotlyar, A.A. Kovalev // Journal of the Optical Socie-
ty of America A. – 2008. – Vol. 25, Issue 1. – P. 262-270. –
DOI: 10.1364/JOSAA.25.000262.
2. Janicijevic, L.J. Fraunhofer diffraction of a Gaussian beam
by a four-sector binary grating with a half period fringes
shift between adjacent sectors / L.J. Janicijevic,
S. Topuzoski, L. Stoyanov, A. Dreischuh // Optical and
Quantum Electronics. – 2019. – Vol. 51. – 71.
3. Kotlyar, V.V. Asymmetric Bessel modes / V.V. Kotlyar,
A.A. Kovalev, V.A. Soifer // Optics Letters. – 2014. – Vol. 39,
Issue 8. – P. 2395-2398. – DOI: 10.1364/OL.39.002395.
4. Kovalev, A.A. Asymmetric Laguerre-Gaussian beams /
A.A. Kovalev, V.V. Kotlyar, A.P. Porfirev // Physical Re-
view A. – 2016. – Vol. 93, Issue 6. – 063858. – DOI:
10.1103/PhysRevA.93.063858.
5. Durnin, J. Diffraction-free beams / J. Durnin, J.J. Miceli,
J.H. Eberly // Physical Review Letters. – 1987. – Vol. 58. –
P. 1499-1501.
6. Allen, L. Orbital angular momentum of light and the trans-
formation of Laguerre-Gaussian laser modes / L. Allen,
M.W. Beijersbergen, R.J.C. Spreeuw, J.P. Woerdman //
Physical Review A. – 1992. – Vol. 45. – P. 8185-8189.
7. Barcelo-Chong, A. Asymmetric Mathieu beams /
A. Barcelo-Chong, B. Estrada-Portillo, A. Canales-
Benavides, S. Lopez-Aguayo // Chinese Optics Letters. –
2018. – Vol. 16, Issue 12. – 122601.
8. Zhao, Q. Shaping diffraction-free Lommel beams with digital
binary amplitude masks / Q. Zhao, L. Gong, Y.M. Li // Applied
Optics. – 2015. – Vol. 54, Issue 25. – P. 7553-7558.
9. Anguiano-Morales, M. Self-healing properties of asym-
metric Bessel beams / M. Anguiano-Morales // Optical and
Quantum Electronics. – 2018. – Vol. 50. – 363.
10. Wu, Q. Study of the nonparaxial propagation of asymmetric
Bessel-Gauss beams by using virtual source method /
Q. Wu, Z. Ren // Optics Communications. – 2019. –
Vol. 432. – P. 8-12.
11. Alam, S.U. Nonlinear frequency doubling characteristics of
asymmetric vortices of tunable, broad orbital angular mo-
mentum spectrum / S.U. Alam, A.S. Rao, A. Ghosh,
P. Vaity, G.K. Samanta // Applied Physics Letters. – 2018.
– Vol. 112, Issue 17. – 171102.
12. Седлецкий, А.М. Асимптотика нулей вырожденной ги-
пергеометрической функции / А.М. Седлецкий // Матема-
тические заметки. – 2007. – Т. 82, Вып. 2. – С. 262-271.
13. Абрамовиц, М. Справочник по специальным функциям
/ М. Абрамовиц, И. Стиган. – М.: Наука, 1979.
Сведения об авторах
Сведения об авторах Котляр Виктор Викторович и Ковалёв Алексей Андреевич см. стр. 720 этого номера.
Абрамочкин Евгений Григорьевич, 1962 года рождения, в 1984 году окончил Куйбышевский государ-
ственный университет по специальности «Математическая физика». Доктор физико-математических наук (2006
год), работает ведущим научным сотрудником Самарского филиала ФГБУН Физического института имени
П.Н. Лебедева РАН. В списке научных работ около 50 статей. Научные интересы связаны с комплексным ана-
лизом, теорией специальных функций и уравнениями математической физики. E-mail: ega@fian.smr.ru .
ГРНТИ: 29.31.15
Поступила в редакцию 2 июля 2019 г. Окончательный вариант – 10 сентября 2019 г.
Asymmetric hypergeometric laser beams
V.V. Kotlyar 1,2, A.A. Kovalev 1,2, E.G. Abramochkin 3
1 IPSI RAS – Branch of the FSRC “Crystallography and Photonics” RAS,
Molodogvardeyskaya 151, 443001, Samara, Russia,

Асимметричные лазерные гипергеометрические пучки Котляр В.В., Ковалёв А.А., Абрамочкин Е.Г.
740 Компьютерная оптика, 2019, том 43, №5
2 Samara National Research University, Moskovskoye Shosse 34, 443086, Samara, Russia,
3 Samara Branch of P.N. Lebedev Physical Institute of Russian Academy of Sciences, Samara, Russia
Abstract
Here we study asymmetric Kummer beams (aK-beams) with their scalar complex amplitude
being proportional to the Kummer function (a degenerate hypergeometric function). These beams
are an exact solution of the paraxial propagation equation (Schrödinger-type equation) and ob-
tained from the conventional symmetric hypergeometric beams by a complex shift of the trans-
verse coordinates. On propagation, the aK-beams change their intensity weakly and rotate around
the optical axis. These beams are an example of vortex laser beams with a fractional orbital angu-
lar momentum (OAM), which depends on four parameters: the vortex topological charge, the shift
magnitude, the logarithmic axicon parameter and the degree of the radial factor. Changing these pa-
rameters, it is possible to control the beam OAM, either continuously increasing or decreasing it.
Keywords: optical vortex, asymmetric laser beam, Kummer function, hypergeometric function,
logarithmical axicon, orbital angular momentum.
Citation: Kotlyar VV, Kovalev AA, Abramochkin EG. Asymmetric hypergeometric laser
beams. Computer Optics 2019; 43(5): 735-740. DOI: 10.18287/2412-6179-2019-43-5-734-740.
Acknowledgements: The work was partly funded by the Russian Science Foundation under grant
#18-19-00595 ("Shifted Kummer beams"), the Russian Foundation for Basic Research under grant #
18-29-20003 ("Orbital angular momentum of the asymmetrical Kummer beam"), and the RF Minis-
try of Science and Higher Education within a state contract with the "Crystallography and Photonics"
Research Center of the RAS under agreement 007-ГЗ/Ч3363/26 ("Numerical simulation").
References
[1] Kotlyar VV, Kovalev AA. Family of hypergeometric laser
beams. J Opt Soc Am A 2008; 25(1): 262-270. DOI:
10.1364/JOSAA.25.000262.
[2] Janicijevic LJ, Topuzoski S, Stoyanov L, Dreischuh A.
Fraunhofer diffraction of a Gaussian beam by a four-sector
binary grating with a half period fringes shift between ad-
jacent sectors. Opt Quant Electr 2019; 51: 71.
[3] Kotlyar VV, Kovalev AA, Soifer VA. Asymmetric Bessel
modes. Opt Lett 2014; 39(8): 2395-2398. DOI:
10.1364/OL.39.002395.
[4] Kovalev AA, Kotlyar VV, Porfirev AP. Asymmetric La-
guerre-Gaussian beams. Phys Rev A 2016; 93(6): 063858.
DOI: 10.1103/PhysRevA.93.063858.
[5] Durnin J, Miceli JJ, Eberly JH. Diffraction-free beams.
Phys Rev Lett 1987; 58: 1499-1501.
[6] Allen L, Beijersbergen MW, Spreeuw RJC, Woerdman JP.
Orbital angular momentum of light and the transformation
of Laguerre-Gaussian laser modes. Phys Rev A 1992; 45:
8185-8189.
[7] Barcelo-Chong A, Estrada-Portillo B, Canales-Benavides
A, Lopez-Aguayo S. Asymmetric Mathieu beams. Chin
Opt Lett 2018; 16(12): 122601.
[8] Zhao Q, Gong L, Li YM. Shaping diffraction-free Lommel
beams with digital binary amplitude masks. Appl Opt
2015; 54(25): 7553-7558.
[9] Anguiano-Morales M. Self-healing properties of asymmet-
ric Bessel beams. Opt Quant Electr 2018; 50: 363.
[10] Wu Q, Ren Z. Study of the nonparaxial propagation of
asymmetric Bessel-Gauss beams by using virtual source
method. Opt Commun 2019; 432: 8-12.
[11] Alam SU, Rao AS, Ghosh A, Vaity P, Samanta GK. Non-
linear frequency doubling characteristics of asymmetric
vortices of tunable, broad orbital angular momentum spec-
trum. Appl Phys Lett 2018; 112(17): 171102.
[12] Sedletskii AM. Asymptotics of the zeros of degenerate hy-
pergeometric functions. Mathematical Notes 2007; 82(2):
229-237.
[13] Abramowitz M, Stegun IA, eds. Handbook of mathemati-
cal functions. New York: Dover Publications Inc; 1965.
Authors’ information
The information about authors Victor Victorovich Kotlyar and Alexey Andreevich Kovalev you can find on page
722 of this.
Eugeny Grigor'evich Abramochkin (b. 1962), graduated (1984) from Kuibyshev State University, majoring in
Mathematical Physics. He received his Doctor in Physics & Maths degree in 2006. He is a leading researcher of Samara
Branch of the P.N. Lebedev Physical Institute of Russian Academy of Sciences. He is a co-author of nearly 50 scientific
papers. His research interests are related with complex analysis, special functions, and theory of mathematical physics
equations. E-mail: ega@fian.smr.ru .
Received July 2, 2019. The final version – September 10, 2019.