Stability Analysis of Real-Time Simulation of a Power Transformer's Operating Conditions

Abstract

Real-time computer simulation of a power system's operating conditions requires the use of mathematical modelling algorithms that guarantee the execution of calculations in an assumed time and with an assumed precision. A power transformer is a power system's basic element, the mathematical model of which is relatively complex (magnetic couplings, non-linear magnetiza-tion characteristics). Computer simulation of a transformer's operating conditions is meant as a numerical representation of its operation. Simulation stability is another important issue in the context of the simulators' operation in real time. This paper presents a stability analysis of real-time simulation using the numerical integration trapezoid algorithm for mathematical modelling of power transformers.

Full text

31
Stability Analysis of Real-Time Simulation
of a Power Transformer’s Operating Conditions
Authors
Zbigniew Kłosowski
Sławomir Cieślik
Keywords
real-time simulator, simulation stability, mathematical model of transformer
Abstract
Real-time computer simulation of a power system’s operating conditions requires the use of
mathematical modelling algorithms that guarantee the execution of calculations in an assumed
time and with an assumed precision. A power transformer is a power system’s basic element, the
mathematical model of which is relatively complex (magnetic couplings, non-linear magnetiza-
tion characteristics). Computer simulation of a transformer’s operating conditions is meant as a
numerical representation of its operation. Simulation stability is another important issue in the
context of the simulators’ operation in real time.
This paper presents a stability analysis of real-time simulation using the numerical integration
trapezoid algorithm for mathematical modelling of power transformers.
DOI: 10.12736/issn.2300-3022.2018203
Received: 12.02.2017
Accepted: 14.07.2017
Available online: 8.02.2019
1. Introduction
Over the years, an uninterrupted development can be observed
of microprocessor and computer technology, consisting in
increasing computing power. Owing to this, digital platforms
that operate in real time could have been created. A character-
istic feature of a real-time simulator is the interoperability with
real devices, e.g. regulators or protections. A real-time simu-
lator is required to cooperate with its environment and to solve
mathematical model equations within a precisely dened time
quantum, while the implemented mathematical model should
be adequate, and the simulation should run stably within the
assumed time interval. This paper analyses the issue of real-time
simulation stability on the example of a relatively complex math-
ematical model of a power transformer, which includes magnetic
couplings and non-linear magnetization characteristics. The
issue of the stability of real-time simulation of power system’s
operating conditions is not suciently recognized and described
in the literature, there are few articles on the simulation stability
in computer games. The aim of this study is to describe a math-
ematical model of a 3-phase transformer, to describe a real-time
simulator operation, and to present the results of a test of the
real-time simulation stability in a developed simulator of trans-
former operating conditions.
2. Mathematical model of a power system
with a 3-phase transformer
Fig. 1 presents a schematic diagram of a power system consisting
of: equivalent generator (low voltage power system) in the form of
a 3-phase voltage source Uq with internal impedance Zq, 3-phase
transformer TR and load with impedance Zobc. Mathematical
model of the power system was developed using electric multi-
poles as structural elements. The system’s equivalent circuit as a
combination of three structural elements is shown in Fig. 2.
Structural element ES1 is the equivalent generator, the equiva-
lent circuit of which is made up of three branches (three phases),
consisting of serially connected ideal elements: voltage source,
resistor, and coil. The transformer is presented as structural
element ES2, and the load as structural element ES3. Equivalent
Fig. 1. Schematic diagram of the analysed power system
Z. Kłosowski, S. Cieślik | Acta Energetica 2/35 (2018) | 31–38

32
circuit of the 3-phase load is made up of three branches (three
phases) of serially connected ideal elements: resistor and coil.
The mathematical models of structural elements ES1 and ES3
were derived using the numerical integration trapezoid algorithm,
which has been described in detail in [1]. Further in this paper only
the mathematical model of a power transformer as a twelve-pole
device is presented. The mathematical model in phase coordinates
has been presented in [2]. In the power transformer mathematical
model’s development, the following elements were considered[2]:
core losses, non-linear magnetization characteristics and losses in
structural elements (Fig. 3.). Fig. 4 shows a diagram of a 3-phase
transformer in the form of a twelve-pole device.
The modelled transformer’s electric circuit is described by the
following matrix equation:
(1)
where:
– vector of uxes magnetically
coupled with the higher and lower voltage windings, including
stray eld uxes, n1 - transformer voltage ratio
– vector of magnetic uxes of the
stray elds associated with the higher voltage windings, for the
respective phases
Fig. 2. Equivalent circuit of the analysed power system with division into structural elements
Fig. 3. Equivalent circuit of one phase of the modelled power transformer
Fig. 4. Equivalent circuit of 3-phase transformer as a twelve-pole device
Z. Kłosowski, S. Cieślik | Acta Energetica 2/35 (2018) | 31–38

33
– vector of magnetic uxes of the stray
elds associated with the lower voltage windings, for the respec-
tive phases
– vector of main magnetic eld uxes
associated with individual transformer windings
– vector of currents in the transformer windings
– vector of currents in the transformer’s higher
voltage windings, in phases: A, B, and C, respectively
– vector of currents in the transformer’s lower
voltage windings, in phases: a, b, and c, respectively
– vector of voltages between terminals of the
transformer windings, meant as the dierence between instan-
taneous potentials of the individual higher and lower voltage
phases windings
R = diag(RA, RB, RC, Ra, Rb, Rc) – matrix of higher and lower voltage
winding resistances.
To complete the mathematical model of 3-phase transformer,
the matrix equation (1) should be supplemented with magnetic
circuit equations. Equivalent circuit of the magnetic circuit is
shown in Fig. 5. The following matrix equation was developed:
where:
– vector of magnetizing currents in respective
phases
– conductance matrix representing
power losses in the iron of the transformer magnetic circuit
– vector of currents causing iron losses,
which can be determined from the following equation
Rμ0 – reluctance of magnetic circuit made up of tank structure,
covers, beams, at bars and screws
Ψμ0 – magnetic ux representing the magnetic eld part that
causes losses in structural elements. The mathematical model
of a power transformer includes non-linearity of the magnetic
circuit in accordance with the algorithm presented in [3].
3. Adequacy of the mathematical model
Adequacy of the analysed power system’s mathematical model
was evaluated on the basis of comparative analysis of results of
a measurement experiment on a real object with results of the
computer simulation. For the computer simulation, the trans-
former’s parameters were adopted as determined based on its
idle test and measurement short-circuit. Whereas the equivalent
generator’s impedance chosen experimentally. The computer
simulation was carried out using the trapezoidal method with
integration step Δt = 10 µs. To assess the adequacy of the math-
ematical model of a 3-phase transformer a power transformer was
used with the following specications: S = 10 kVA, UNGN =380 V,
UNDN = 340 V.
Fig. 6 shows comparison of the phase current time waveforms in
the higher voltage windings obtained from the experiment and
the computer simulation at a transient state caused by switching
the transformer to a low voltage grid, with initial supply voltage
phase ψu = 213°.
Fig. 7 shows comparison of the phase current time waveforms in
the higher voltage windings obtained from the experiment and
the computer simulation at a transient state caused by switching
the transformer to a low voltage grid, with initial supply voltage
phase ψu = 288°.
It may be determined by comparison of the respective phase
current time waveforms from the experiment and the computer
simulation shown in Fig. 6 and 7, that the maximum relative dier-
ence in the successive phase current peaks in the does not exceed
30%. It may be noticed from the time waveforms, that the transient
process of switching the transformer on in its idle state, a physically
very complicated electromagnetic process, has been mapped with
a satisfactory degree of adequacy.
4. Real-time power system simulator
The real-time simulator (PwCR) is based on a classic personal
computer with a multi-core processor. Pictorial diagram of the
simulator structure is shown in Fig. 8. There are up to 16 input
and up to 32 output channels available in the simulator. The
PwCR simulator’s CPU is a 6-core 3.2 GHz Intel Core i7 processor.
The system bus speed is 1333 MHz. The maximum data transfer
between individual system elements can reach 4.8 GT/s.
External signals are input to the simulator via an Advantech PCI
1711 measurement card. The input time waveform is sampled at
Fig. 5. Equivalent circuit of the magnetic circuit of a 3-phase transformer
Z. Kłosowski, S. Cieślik | Acta Energetica 2/35 (2018) | 31–38

34
12-bit resolution via an A/C converter. The sampling rate is 100kS/s.
Signals are output from the simulator (e.g. to a real regulator’s
input terminal block) via Advantech PCI 1724 card. The C/A
converter operates with 14-bit resolution in direct mode. This
means that the sampling rate depends on the performance of
the digital platform used.
The power system’s mathematical model was implemented in
the Borland Builder C++ environment. The PwCR simulator was
used to test the stability of the power transformer operation’s
real-time simulation.
5. Simulation stability test results
Stability of the transformer operation’s real-time simulation was
tested for a discrete mathematical model with the trapezoidal
algorithm, integration step Δt = 50 μs, and the system of linear
equations was solved twice: by Jacobi’s iterative method and
by the Gaussian elimination method. The iterative method
algorithm was developed on the basis of [4], while the Gauss
elimination algorithm was based on [5]. The simulation stability
was tested by comparing instantaneous voltages in L1 phase
and phase currents in the higher voltage winding of the power
Fig. 6. Phase current time waveforms in transformer’s higher transformer windings when switched on idling, initial supply voltage phase of
ψu=213°
Fig. 7. Phase current time waveforms in transformer’s higher transformer windings when switched on idling, initial supply voltage phase of
ψu=288°
Z. Kłosowski, S. Cieślik | Acta Energetica 2/35 (2018) | 31–38

35
transformer in steady state. Values at time t1 were compared with
values at t1 + T · k, where T is the waveform period, and k is a coef-
cient of several hundred thousand. As the stability criterion, it
was adopted that the dierence between the respective instan-
taneous voltages in the same steady state cannot exceed 1% of
the maximum voltage (i.e. ca 3.3V), similarly for the dierences
between instantaneous currents in individual phases a value not
exceeding 1% of the maximum was adopted.
Fig. 9 shows voltage waveform in phase L1 and phase currents at
the moment of loss of stability of the simulation for the discrete
mathematical model with the trapezoidal algorithm and the
iterative method of solving linear equations. Stability was tested
after reducing the transformer load. It can be seen that reducing
the transformer load resulted in the appearance of undamped
oscillations in the voltage waveform. It may be concluded that
the simulation for this mathematical model using the Jacobi’s
iterative method is unstable, regardless of the number of correc-
tive iterations. Figures 10 and 11 show voltage time waveforms
in phase L1 and phase current in the winding of the power trans-
former’s the same phase. It may be read from the waveforms that
instantaneous currents and voltages at three dierent times from
the real-time simulator operation start for the Gauss elimination
method are practically the same. The waveform was recorded in
the steady states at three times. The rst time was t1 = 0 h, i.e.
the steady state after the transformer’s switching to the grid and
loading, the second time t2 = 1 h one hour after the transformer’s
loading, and the third waveform was recorded at t3 = 2 h after the
loading. The largest dierence between instantaneous L1 volt-
ages amounted to 0.2 V, and the dierence between the phase
currents amounted to 0.05 A.
After two hours of the PwCR simulator operation, the load was
increased and the dierences in the instantaneous voltage and
Fig. 8. Pictorial diagram of the 6-core processor personal computer based PwCR simulator
Fig. 9. L1 phase voltage and phase currents in power transformer’s winding after its load’s reduction at the moment of simulation stability loss for
Jacobi iterative method
Z. Kłosowski, S. Cieślik | Acta Energetica 2/35 (2018) | 31–38

36
Fig. 10. Current waveform in L1 phase winding for three PwCR simulator operation times for the steady state after power transformer loading
Fig. 11. L1 phase voltage waveform for three PwCR simulator operation times for the steady state after power transformer loading
Fig. 12. Current waveform in L1 phase winding for two PwCR simulator operation times for the steady state after power transformer load increase
Z. Kłosowski, S. Cieślik | Acta Energetica 2/35 (2018) | 31–38

37
the phase currents were measured again at two observation
times: t1 = 0 h (steady state after increasing the load) and after
two hours after increasing the load (t2 = 2 h). The largest dier-
ence between instantaneous L1 voltages amounted to 0.2 V, and
the dierence between the phase currents amounted to 0.08 A.
Figures 12 and 13 show voltage time waveforms in phase L1 and
phase current in the windings of the power transformer’s same
phase. It may be read from the waveforms that instantaneous
currents and voltages at two dierent times from the real-time
simulator operation start are practically the same.
6. Conclusions
The paper addresses the issue of a power transformer operation’s
real-time simulation stability. The simulation was performed in a
multi-core processor PC based PwCR simulator. Adequacy of the
transformer’s mathematical model was checked by comparing
results of the computer simulation with results of an experiment.
The adequacy was assessed as satisfactory in terms of mapping
electromagnetic processes. It has been shown that the method
of linear equations’ solving aects the simulation stability.
It has been demonstrated that for the mathematical model
with the trapezoidal integration algorithm and the non-iterative
methods of linear equations’ solving, the real-time simulation
was stable in a relatively long period of operation (several hours).
In the case of iterative methods of linear equations’ solving
systems (Jacobi’s method), the simulation was unstable, because
after changing the model parameters (the transformer load)
there appeared increasing undamped numerical oscillations in
the analysed power system’s potentials. The oscillations’ reduc-
tion (elimination) was not aected by the number of the solution
improving iterations.
REFERENCES
1. Cieślik S., “Obwodowe modele układów elektrycznych w cyfrowych
symulatorach pracujących w czasie rzeczywistym” [Circuit models
of electrical circuits in real-time digital simulators], Wydawnictwo
Politechniki Poznańskiej, Poznań 2013.
2. Cieślik S., “Modelowanie matematyczne i symulacja układów elek-
troenergetycznych z generatorami indukcyjnymi” [Mathematical
modeling and simulation of power systems with induction gene-
rators], Wydawnictwo Uczelniane Uniwersytetu Technologiczno-
Przyrodniczego, Bydgoszcz 2008.
3. Szczęsny R., “Komputerowa symulacja układów energoelektro-
nicznych” [Computer simulation of power electronics systems],
Wydawnictwo Politechniki Gdańskiej, Gdańsk 1999.
4. Rosłaniec S., “Wybrane metody numeryczne z przykładami zastoso-
wań w zadaniach inżynierskich” [Selected numerical methods with
examples of application in engineering tasks], Ocyna Wydawnictwa
Politechniki Warszawskiej, Warsaw 2008.
5. Kincaid D., Cheney W, “Analiza numeryczna w przekładzie i pod
redakcją Stefana Paszkowskiego“ [Numerical analysis, translated and
edited by Stefan Paszkowski], Wydawnictwo Naukowo Techniczne,
Warsaw 2002.
Fig. 13. L1 phase voltage waveform for two PwCR simulator operation times for the steady state after power transformer load increase
Z. Kłosowski, S. Cieślik | Acta Energetica 2/35 (2018) | 31–38

38
Zbigniew Kłosowski
University of Technology and Life Sciences in Bydgoszcz
e-mail: klosowski@utp.edu.pl
Graduated in electronics from the Faculty of Telecommunications and Electrical Engineering at the University of Technology and Life Sciences in Bydgoszcz (2009)
Since 2010 a research assistant at the Faculty of Telecommunications, Informatics and Electrical Engineering at the University of Technology and Life Sciences in
Bydgoszcz. Author of over 200 studies on the interoperability of generating units and power grid. In his research, he addresses issues of mathematical modelling
and simulation of complex electromechanical and power systems in real time, and issues of the interoperability of generating units and medium voltage power grid.
Sławomir Cieślik
University of Technology and Life Sciences in Bydgoszcz
e-mail: slavcies@utp.edu.pl
Graduated in electrical engineering from the Academy of Technology and Agriculture in Bydgoszcz (1995). He defended his doctorate at the Faculty of Electrical and
Control Engineering at the Gdańsk University of Technology (2000), and the postdoctoral degree at the Faculty of Electrical Engineering at the Poznań University of
Technology (2014). His research interests relate to mathematical modelling and computer simulation of complex electromechanical and electrical power systems,
including digital simulation of power systems in real time, and issues of power systems operation, particularly with distributed generation. Author or co-author of
over 120 articles and research papers and 3 scientic monographs. Author and consultant of nearly 500 studies associated with the connection of generating units to
power system.
Z. Kłosowski, S. Cieślik | Acta Energetica 2/35 (2018) | 31–38

3939
PL
Analiza stabilności symulacji stanów pracy
transformatora elektroenergetycznego w czasie rzeczywistym
Autorzy
Zbigniew Kłosowski
Sławomir Cieślik
Słowa kluczowe
symulator pracujący wczasie rzeczywistym, stabilność symulacji, model matematyczny transformatora
Streszczenie
Komputerowa symulacja stanów pracy systemów elektroenergetycznych wczasie rzeczywistym wymaga stosowania algo-
rytmów modelowania matematycznego, które będą gwarantowały wykonanie obliczeń wzałożonym czasie izokreśloną precyzją.
Transformator elektroenergetyczny jest jednym zpodstawowych elementów systemu elektroenergetycznego, którego model mate-
matyczny jest stosunkowo złożony (m.in.: sprzężenia magnetyczne, nieliniowość charakterystyki magnesowania). Symulacja
komputerowa stanów pracy transformatora jest rozumiana jako numeryczne odwzorowanie jego działania. Stabilność symulacji
jest kolejnym ważnym zagadnieniem wkontekście pracy symulatorów wczasie rzeczywistym.
Wartykule przedstawiono analizę stabilności symulacji realizowanej wczasie rzeczywistym zzastosowaniem algorytmu trapezów
całkowania numerycznego wmodelowaniu matematycznym transformatorów elektroenergetycznych.
Data wpływu doredakcji: 12.02.2017
Data akceptacji artykułu: 14.07.2017
Data publikacji online: 8.02.2019
1. Wstęp
Na przestrzeni lat można zaobserwować
nieprzerwany rozwój techniki mikroproce-
sorowej ikomputerowej, polegający m.in.
nazwiększeniu mocy obliczeniowej. Dzięki
temu można tworzyć platformy cyfrowe,
które pracują wczasie rzeczywistym. Cechą
charakterystyczną symulatora pracują-
cego wczasie rzeczywistym jest możliwość
współpracy zrzeczywistymi urządzeniami,
np. regulatorami lub zabezpieczeniami. Od
symulatorów pracujących wczasie rzeczy-
wistym wymaga się, aby ich współpraca
z otoczeniem oraz rozwiązanie równań
modelu matematycznego odbywały się
wściśle określonym kwancie czasu, azaim-
plementowany model matematyczny był
adekwatny oraz żeby symulacja przebiegała
stabilnie wzałożonym przedziale czasu.
W artykule zostanie przeanalizowane
zagadnienie stabilności symulacji wczasie
rzeczywistym na przykładzie stosun-
kowo złożonego modelu matematycz-
nego transformatora energetycznego,
wktórym uwzględniono m.in. sprzężenia
magnetyczne inieliniowość charakterystyki
magnesowania. Zagadnienie stabilności
symulacji stanów pracy układów elektro-
energetycznych wczasie rzeczywistym nie
jest wystarczająco rozpoznane i opisane
w literaturze, można znaleźć nieliczne
artykuły dotyczące stabilności symulacji
w grach komputerowych. Celem pracy
jest opis modelu matematycznego trans-
formatora 3-fazowego, opis symulatora
pracującego w czasie rzeczywistym oraz
przedstawienie wyników badania stabil-
ności symulacji w czasie rzeczywistym
wopracowanym symulatorze stanów pracy
transformatora.
2. Model matematyczny układu
elektroenergetycznego ztransformatorem
3-fazowym
Na rys. 1 przedstawiono schemat ideowy
układu elektroenergetycznego, który składa
się z: generatora zastępczego (system elek-
troenergetyczny niskiego napięcia) wpostaci
3-fazowego źródła napięcia UQ zimpedancją
wewnętrzną ZQ, transformatora 3-fazowego
TR oraz odbiornika o impedancji ZOBC.
Model matematyczny prezentowanego
układu elektroenergetycznego opracowano
z zastosowaniem wielobiegunników elek-
trycznych jako elementów strukturalnych.
Schemat zastępczy układu jako połączenie
trzech elementów strukturalnych pokazano
narys. 2.
Element strukturalny ES1 to generator
zastępczy, którego schemat zastępczy
stanowią trzy gałęzie (trzy fazy), składające
się z połączonych szeregowo elementów
idealnych: źródła napięcia, rezystora icewki.
Transformator przedstawiono w postaci
elementu strukturalnego ES2, natomiast
odbiornik energii elektrycznej jako element
strukturalny ES3. Schemat zastępczy 3-fazo-
wego odbiornika energii elektrycznej składa
się ztrzech gałęzi (trzech faz), w których
This is asupporting translation of the original text published in this issue of “Acta Energetica” on pages 31–38. When referring tothe article please refer tothe original text.
Rys. 1. Schemat ideowy analizowanego układu
elektroenergetycznego
Rys. 2. Schemat zastępczy analizowanego układu elektroenergetycznego zpodziałem naelementy strukturalne
Z. Kłosowski, S. Cieślik | Acta Energetica 2/35 (2018) | translation 31–38

4040
PL
połączono szeregowo elementy idealne:
rezystor icewkę.
Modele matematyczne elementów struktu-
ralnych ES1 iES3 zostały wyprowadzone
z wykorzystaniem algorytmu trapezów
całkowania numerycznego, co zostało
szczegółowo opisane w publikacji [1].
Wdalszej części artykułu zaprezentowano
tylko model matematyczny transformatora
elektroenergetycznego jako dwunastobie-
gunnika. Model matematyczny we współ-
rzędnych fazowych został zaprezentowany
w [2]. Tworząc model matematyczny
transformatora elektroenergetycznego,
uwzględniono[2]: straty wrdzeniu, nieli-
niową charakterystykę magnesowania
oraz straty welementach konstrukcyjnych
(rys. 3). Na rys. 4 przedstawiono schemat
3-fazowego transformatora w postaci
dwunastobiegunnika.
Obwód elektryczny modelowanego transfor-
matora opisano równaniem macierzowym:
(1)
gdzie:
– wektor strumieni magnetycznie sprzę-
żonych zuzwojeniami górnego i dolnego
napięcia, zuwzględnieniem strumieni dla
pól rozproszenia, n1 – przekładnia napię-
ciowa transformatora,
– wektor strumieni pól magnetycznych
rozproszenia skojarzonych z uzwojeniami
górnego napięcia, dla odpowiednich faz,
– wektor strumieni pól magnetycznych
rozproszenia skojarzonych z uzwojeniami
dolnego napięcia, dla odpowiednich faz,
– wektor strumieni głównego pola magne-
tycznego skojarzony z poszczególnymi
uzwojeniami transformatora,
– wektor prądów płynących
wuzwojeniach transformatora,
– wektor prądów płyną-
cych wuzwojeniach górnego napięcia trans-
formatora, odpowiednio dla faz: A, B iC,
– wektor prądów płyną-
cych wuzwojeniach dolnego napięcia trans-
formatora, odpowiednio dla faz: a,bic,
– wektor napięć panujących
między zaciskami uzwojeń transformatora,
rozumiany jako różnica wartości chwi-
lowych potencjałów zacisków uzwojeń
poszczególnych faz górnego i dolnego
napięcia,
– macierz
rezystancji uzwojeń górnego i dolnego
napięcia.
Pełny model matematyczny 3-fazowego
transformatora wymaga uzupełnienia
równania macierzowego (1) równaniami
opisującymi obwód magnetyczny. Schemat
zastępczy obwodu magnetycznego przed-
stawiono na rys. 5. Zapisano równanie
macierzowe:
(2)
gdzie:
– wektor prądów
magnesujących dla odpowiednich faz,
– macierz konduktancji reprezentujących
straty mocy wżelazie obwodu magnetycz-
nego transformatora,
– wektor prądów
powodujących straty w żelazie, który
można wyznaczyć znastępującej zależności
– reluktancja obwodu magnetycz-
nego tworzonego przez elementy, m.in.:
konstrukcji kadzi, pokrywy, belki, płasko-
wniki iśruby,
– strumień magnetyczny reprezentujący
część pola magnetycznego, która powoduje
straty welementach konstrukcyjnych.
Wmodelu matematycznym transformatora
elektroenergetycznego uwzględniono nieli-
niowość obwodu magnetycznego zgodnie
zalgorytmem przedstawionym w[3].
Rys. 3. Schemat zastępczy jednej fazy modelowanego transformatora elektroenergetycznego
Rys. 4. Schemat zastępczy obwodu elektr ycznego 3-fazowego transformatora wpostaci dwunastobiegunnika
Rys. 5. Schemat zastępczy obwodu magnetycznego transformatora 3-fazowego
This is asupporting translation of the original text published in this issue of “Acta Energetica” on pages 31–38. When referring tothe article please refer tothe original text.
Z. Kłosowski, S. Cieślik | Acta Energetica 2/35 (2018) | translation 31–38

4141
PL
3. Adekwatność modelu matematycznego
Adekwatność prezentowanego modelu mate-
matycznego analizowanego układu elek-
troenergetycznego oceniono napodstawie
analizy porównawczej wyników zekspe-
rymentu pomiarowego naobiekcie rzeczy-
wistym z wynikami symulacji kompu-
terowej. Do symulacji komputerowej
przyjęto parametry transformatora wyzna-
czone napodstawie próby stanu jałowego
i pomiarowego stanu zwarcia tego trans-
formatora. Natomiast impedancję gene-
ratora zastępczego dobrano ekspery-
mentalnie. Symulację komputerową
zrealizowano z wykorzystaniem metody
trapezów zkrokiem całkowania Δt = 10µs.
Do oceny adekwatności modelu matema-
tycznego 3-fazowego transformatora wyko-
rzystano transformator omocy S = 10 kVA,
UNGN = 380 V, UNDN = 340 V.
Na rys. 6 przedstawiono porównanie
przebiegów czasowych prądów fazowych
wuzwojeniach górnego napięcia, uzyska-
nych zeksperymentu izsymulacji kompu-
terowej podczas stanu przejściowego
spowodowanego załączeniem transforma-
tora dosieci niskiego napięcia, gdzie faza
początkowa napięcia zasilającego wynosiła
ψu = 213°.
Na rys. 7 przedstawiono porównanie
przebiegów czasowych prądów fazowych
wuzwojeniach górnego napięcia, uzyska-
nych zeksperymentu izsymulacji kompu-
terowej podczas stanu przejściowego
spowodowanego załączeniem transforma-
tora dosieci niskiego napięcia, gdzie faza
początkowa napięcia zasilającego wynosiła
ψu = 288°.
Porównując odpowiednie przebiegi czasowe
prądów fazowych zeksperymentu isymu-
lacji komputerowej, które zostały przed-
stawione na rys. 6 i 7, można określić,
żemaksymalna względna różnica wartości
kolejnych wierzchołków w przebiegach
prądów fazowych nie przekracza 30%.
Z zaprezentowanych przebiegów można
zauważyć, żeproces przejściowy załączenia
transformatora wstanie jałowym, fizycznie
bardzo skomplikowany proces elektroma-
gnetyczny, został odwzorowany zzadowala-
jącym stopniem adekwatności.
4. Symulator układu
elektroenergetycznego pracujący wczasie
rzeczywistym
Symulator pracujący wczasie rzeczywistym
(symulator PwCR) oparty jest naklasycznym
komputerze osobistym z procesorem
wielordzeniowym. Schemat poglądowy
struktury symulatora przedstawiono
narys.8. Wsymulatorze istnieje możliwość
wykorzystania do16 kanałów wejściowych
i32 kanałów wyjściowych. W symulatorze
PwCR wykorzystano procesor 6-rdzeniowy
firmy Intel (typu Core i7) oczęstotliwości
taktowania 3,2GHz. Prędkość magistrali
systemowej wynosi 1333 MHz. Maksymalny
transfer danych pomiędzy poszczególnymi
elementami systemu może osiągnąć
4,8GT/s.
Do wprowadzenia sygnałów z otoczenia
dosymulatora wykorzystano kartę pomia-
rową PCI 1711 firmy Advantech. Przebieg
wejściowy próbkowany jest z rozdzielczo-
ścią 12-bitową przez przetwornik A/C.
Częstotliwość próbkowania wynosi 100 kS/s.
Do wyprowadzenia sygnałów z symula-
tora dootoczenia (np. dozacisków listwy
sygnałów wejściowych rzeczywistego
regulatora) wykorzystano kartę PCI 1724
firmy Advantech. Przetwornik C/Apracuje
zrozdzielczością 14-bitową wtrybie bezpo-
średnim. Oznacza to, żeprędkość próbko-
wania zależy odwydajności zastosowanej
platformy cyfrowej.
Rys. 6. Przebiegi czasowe prądów fazowych wuzwojeniach górnego napięcia transformatora podczas jego załączenia
nabiegu jałowym, faza początkowa napięcia zasilającego ψu = 213°
Rys. 7. Przebiegi czasowe prądów fazowych wuzwojeniach górnego napięcia transformatora podczas jego załączenia
nabiegu jałowym, faza początkowa napięcia zasilającego ψu = 288°
Rys. 8. Schemat poglądowy symulatora PwCR opartego nakomputerze osobistym zprocesorem 6-rdzeniowym
This is asupporting translation of the original text published in this issue of “Acta Energetica” on pages 31–38. When referring tothe article please refer tothe original text.
Z. Kłosowski, S. Cieślik | Acta Energetica 2/35 (2018) | translation 31–38

4242
PL
Model matematyczny układu elektroenerge-
tycznego zaimplementowano wśrodowisku
Borland Builder C++. Opisany symulator
PwCR wykorzystano dobadania stabilności
symulacji stanów pracy transformatora elek-
troenergetycznego wczasie rzeczywistym.
5. Wyniki badań stabilności symulacji
Badanie stabilności symulacji stanów
pracy transformatora wczasie rzeczywi-
stym przeprowadzono dla dyskretnego
modelu matematycznego z algorytmem
trapezów, zkrokiem całkowania Δt = 50µs,
adorozwiązywania układu równań linio-
wych stosowano dwie metody: metodę itera-
cyjną Jacobiego imetodę eliminacji Gaussa.
Algorytm metody iteracyjnej został opraco-
wany napodstawie publikacji [4], natomiast
algorytm eliminacji Gaussa napodstawie
publikacji [5]. Stabilność symulacji
badano, porównując wartości chwilowe
napięcia wfazie L1 oraz prądów fazowych
wuzwojeniu górnego napięcia transforma-
tora elektroenergetycznego, pracującego
wstanie ustalonym. Porównywano wartości
wchwili t1 zwartościami wchwili t1 + T·k,
gdzie T jest okresem przebiegu, a k jest
współczynnikiem wynoszącym kilkaset
tysięcy. Jako kryterium stabilności przyjęto,
żeróżnica pomiędzy odpowiednimi warto-
ściami chwilowymi napięcia tego samego
stanu ustalonego nie może przekroczyć 1%
wartości maksymalnej napięcia (to jest
ok. 3,3 V), podobnie dla różnic wartości
chwilowych prądu wposzczególnych fazach
przyjęto wartość nieprzekraczającą 1%
wartości maksymalnej.
Na rys. 9 przedstawiono przebieg napięcia
wfazie L1 i prądów fazowych wmomencie
utraty stabilności symulacji dla dyskretnego
modelu matematycznego z algorytmem
trapezów iiteracyjną metodą rozwiązywania
układu równań liniowych. Stabilność badano
po zmniejszeniu obciążenia transformatora.
Widać, żezmniejszenie obciążenia transfor-
matora spowodowało pojawienie się oscy-
lacji nietłumionych wprzebiegu napięcia.
Można stwierdzić, żesymulacja dla tego
modelu matematycznego zwykorzystaniem
metody iteracyjnej Jacobiego jest niestabilna,
niezależnie odilości iteracji poprawiających.
Na rys. 10 i 11 przedstawiono przebiegi
czasowe napięcia wfazie L1 iprądu fazowego
w uzwojeniu tej samej fazy transforma-
tora elektroenergetycznego. Z przebiegów
można odczytać, że wartości chwilowe
prądu inapięcia dla trzech różnych czasów
odpoczątku pracy symulatora pracującego
wczasie rzeczywistym dla metody eliminacji
Gaussa są praktycznie takie same. Zapis
przebiegu odbywał się wstanie ustalonym
dla trzech czasów. Pierwszy czas przyjęto
t1 = 0 h, jest tostan ustalony po załączeniu
transformatora dosieci i po obciążeniu
transformatora, drugi czas obserwacji po
godzinie od obciążenia transformatora
t2 = 1 h, natomiast po dwóch godzinach
od obciążenia transformatora zapisano
kolejny raz przebiegi, dla t3 = 2 h. Największa
różnica pomiędzy wartościami chwilowymi
dla napięcia L1 wynosi 0,2 V, natomiast dla
prądu fazowego 0,05 A.
Po dwóch godzinach pracy symulatora
PwCR zwiększono obciążenie i również
badano różnice wartości chwilowych
napięcia i prądów fazowych dla dwóch
czasów obserwacji: t1=0h (stan ustalony po
zwiększeniu obciążenia) ipo dwóch godzi-
nach po zwiększeniu obciążenia (t2= 2h).
Największa różnica pomiędzy wartościami
chwilowymi dla napięcia L1 wynosi 0,2V,
natomiast dla prądu fazowego 0,08 A.
Rys. 9. Przebieg czasowy napięcia wfazie L1 iprądów fazowych wuzwojeniu transformatora elektroenergetycznego
po zmniejszeniu obciążenia transformatora elektroenergetycznego wmomencie utraty stabilności symulacji dla
metody iteracyjnej Jacobiego
Rys. 10. Przebieg czasowy prądu wuzwojeniu fazy L1 dla trzech czasów pracy symulatora PwCR dla stanu ustalonego
po obciążeniu transformatora elektroenergetycznego
Rys. 11. Przebieg czasowy napięcia fazy L1 dla trzech czasów pracy symulatora PwCR dla stanu ustalonego po obcią-
żeniu transformatora elektroenergetycznego
This is asupporting translation of the original text published in this issue of “Acta Energetica” on pages 31–38. When referring tothe article please refer tothe original text.
Z. Kłosowski, S. Cieślik | Acta Energetica 2/35 (2018) | translation 31–38

4343
PL
Na rys. 12 i 13 przedstawiono przebiegi
czasowe napięcia wfazie L1 i prądu fazo-
wego wuzwojeniach tej samej fazy trans-
formatora elektroenergetycznego. Zprze-
biegów można odczytać, że wartości
chwilowe prądu i napięcia dla dwóch
różnych czasów odpoczątku pracy symu-
latora pracującego wczasie rzeczywistym są
praktycznie takie same.
6. Wnioski
Wartykule poruszono kwestię stabilności
symulacji stanów pracy transformatora
elektroenergetycznego wczasie rzeczywi-
stym. Symulacja była realizowana wsymula-
torze PwCR opartym nakomputerze osobi-
stym PC zprocesorem wielordzeniowym.
Sprawdzono adekwatność zastosowanego
modelu matematycznego transformatora
przez porównanie wyników z symulacji
komputerowej zwynikami zeksperymentu.
Adekwatność oceniono jako zadowalającą
wzakresie odwzorowania procesów elek-
tromagnetycznych. Pokazano, że metoda
rozwiązywania układów równań liniowych
ma wpływ nastabilność symulacji.
Wykazano, że dla prezentowanego modelu
matematycznego zzastosowaniem algo-
rytmu całkowania trapezów oraz nieite-
racyjnych metod rozwiązywania układów
równań liniowych symulacja w czasie
rzeczywistym przebiegała stabilnie
wstosunkowo długim okresie pracy (kilka
godzin). Wprzypadku iteracyjnych metod
rozwiązywania układów równań liniowych
(metoda Jacobiego) symulacja przebiegała
niestabilnie, gdyż po zmianie parametrów
wmodelu (zmiana obciążenia transforma-
tora) pojawiały się rosnące nietłumione
oscylacje numeryczne wpotencjałach anali-
zowanego układu elektroenergetycznego.
Na zmniejszenie (wyeliminowanie) oscy-
lacji nie miała wpływu liczba iteracji popra-
wiających rozwiązanie.
Bibliografia
1. Cieślik S., Obwodowe modele układów
elektrycznych w cyfrowych symulato-
rach pracujących wczasie rzeczywistym,
Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej,
Poznań 2013.
2. Cieślik S., Modelowanie matematyczne
isymulacja układów elektroenergetycz-
nych z generatorami indukcyjnymi,
Wydawnictwo Uczelniane Uniwersytetu
Technologiczno-Przyrodniczego,
Bydgoszcz 2008.
3. Szczęsny R., Komputerowa symu-
lacja układów energoelektronicznych,
Wydawnictwo Politechniki Gdańskiej,
Gdańsk 1999.
4. Rosłaniec S., Wybrane metody nume-
ryczne z przykładami zastosowań
w zadaniach inżynierskich, Oficyna
Wydawnictwa Politechniki Warszawskiej,
Warszawa 2008.
5. Kincaid D., Cheney W., Analiza nume-
ryczna w przekładzie i pod redakcją
Stefana Paszkowskiego, Wydawnictwo
Naukowo-Techniczne, Warszawa 2002.
Rys. 12. Przebieg czasowy prądu wfazie L1 dla dwóch czasów prac y symulatora PwCR dla stanu ustalonego po zwiększeniu obciążenia transformatora elektroenergetycznego
Rys. 13. Przebieg czasowy napięcia fazy L1 dla dwóch czasów pracy symulatora PwCR dla stanu ustalonego po zwiększeniu obciążenia transformatora elektroenergetycznego
This is asupporting translation of the original text published in this issue of “Acta Energetica” on pages 31–38. When referring tothe article please refer tothe original text.
Z. Kłosowski, S. Cieślik | Acta Energetica 2/35 (2018) | translation 31–38

4444
PL
Zbigniew Kłosowski
mgr inż.
Uniwersytet Technologiczno-Przyrodniczy wBydgoszczy
e-mail: klosowski@utp.edu.pl
Studia nakierunku elektrotechnika ukończył naWydziale Telekomunikacji iElektrotechniki Uniwersytetu Technologiczno-Przyrodnicznego wBydgoszczy
(2009). Od 2010 roku pracuje nastanowisku asystenta naWydziale Telekomunikacji, Informatyki iElektrotechniki naUniwersytecie Technologiczno-
-Przyrodniczym wBydgoszczy. Jest autorem ponad 200 opracowań dotyczących współpracy jednostek wytwórczych zsiecią elektroenergetyczną. Wswoich
pracach naukowych zajmuje się zagadnieniami modelowania matematycznego isymulacji złożonych układów elektromechanicznych ielektroenergetycznych
wczasie rzeczywistym oraz zagadnieniami dotyczącymi współpracy jednostek wytwórczych zsiecią elektroenergetyczną średniego napięcia.
Sławomir Cieślik
dr hab. inż.
Uniwersytet Technologiczno-Przyrodniczy wBydgoszczy
e-mail: slavcies@utp.edu.pl
Studia nakierunku elektrotechnika ukończył wAkademii Techniczno-Rolniczej wBydgoszczy (1995). Doktorat obronił naWydziale Elektrotechniki
iAutomatyki Politechniki Gdańskiej (2000), astopień naukowy doktora habilitowanego uzyskał naWydziale Elektrycznym Politechniki Poznańskiej (2014).
Jego zainteresowania naukowe dotyczą modelowania matematycznego isymulacji komputerowej złożonych układów elektromechanicznych ielektroener-
getycznych, wtym symulatorów cyfrowych układów elektroenergetycznych pracujących wczasie rzeczywistym, oraz zagadnień funkcjonowania systemów
elektroenergetycznych, szczególnie zgeneracją rozproszoną. Autor lub współautor ponad 120 artykułów ireferatów naukowych oraz 3 monografii naukowych.
Jest autorem ikonsultantem blisko 500 opracowań związanych zprzyłączaniem jednostek wytwórczych dosystemu elektroenergetycznego.
This is asupporting translation of the original text published in this issue of “Acta Energetica” on pages 31–38. When referring tothe article please refer tothe original text.
Z. Kłosowski, S. Cieślik | Acta Energetica 2/35 (2018) | translation 31–38