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AIEM - Avances de Investigación en Educación Matemática. - ????, Nº ??, ?? – ??
Análisis cognitivo de estudiantes universitarios acerca del
concepto matriz de cambio de base en álgebra lineal
XXX
XXX
XXX
Recibido el x de mayo de 2019; aceptado el x de septiembre de 201x
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Análisis cognitivo de estudiantes universitarios acerca del concepto matriz de cambio de base
en álgebra lineal
Resumen
Debido a la abstracción de los conceptos del álgebra lineal, su aprendizaje resulta ser endeble. Este
artículo muestra un análisis cognitivo de estudiantes de licenciatura en matemáticas, sobre el concepto
matriz de cambio de base en álgebra lineal. Con fundamento en la teoría APOE (Acciones, Procesos,
Objetos, Esquemas) como marco teórico y metodológico se describen las estructuras y mecanismos
mentales para obtener una descomposición genética a partir de las concepciones que los estudiantes
tienen sobre dicho concepto. Se aplicó un test a 28 estudiantes (18-21 años de edad) de la Universidad
Industrial de Santander, Bucaramanga, Colombia y también se realizaron entrevistas semi-estructuradas.
Los resultados muestran al menos dos vías para el aprendizaje del concepto de estudio, las cuales se
diferencian en la interiorización de las acciones mentales.
Palabras clave. Descomposición genética; abstracción reflexiva; álgebra lineal.
Análise cognitiva de estudantes universitários sobre o conceito básico de matriz de mudança
de base em álgebra linear
Resumo
Devido a abstração dos conceitos de álgebra linear, sua aprendizagem é fraca. Este artigo mostra
uma análise cognitiva de estudantes de licenciatura em matemática a respeito do conceito de matriz de
mudança de base em álgebra linear. Fundamentada na teoria APOE (Ações, Processos, Objetos,
Esquemas) como marco teórico e metodológico se descrevem as estruturas e mecanismos mentais para
obter uma decomposição genética a partir das concepções que os estudantes têm a respeito deste
conceito. Aplicou-se um teste a 28 estudantes (18 - 21 anos de idade) da Universidade Industrial de
Santander, Bucaramanga, Colômbia e também realizou-se entrevistas semi-estruturadas. Os resultados
mostram pelo menos duas vias para a aprendizagem do conceito de estudo, as quais se diferenciam na
interiorização das ações mentais.
Palavras chave. Decomposição genética, abstração reflexiva, álgebra linear.
Cognitive analysis of university students about the basic change matrix concept in linear
algebra
Abstract
Autores –Separados con comas y representados con Inicial de nombre, Apellido
AIEM, número ??, mes de año
Due to the abstraction of the concepts of linear algebra, their learning turns out to be weak. This
article shows a cognitive analysis of undergraduate students in mathematics, on the concept of the basic
change matrix in linear algebra. Based on the APOE theory (Actions, Processes, Objects, Schemes) as a
theoretical and methodological framework, the structures and mental mechanisms are described to obtain
a genetic decomposition based on the conceptions that students have about said concept. A test was
applied to 28 students (18-21 years of age) from the Industrial University of Santander, Bucaramanga,
Colombia and semi-structured interviews were also conducted. The results show at least two ways of
learning the concept of study, which differ in the internalization of mental actions.
Keywords. Genetic decomposition, reflexive abstraction, linear algebra.
Analyse cognitive d'étudiants universitaires sur le concept de base de matrice de changement
en algèbre linéaire
Résumé
En raison de l'abstraction des concepts de l'algèbre linéaire, leur apprentissage s'avère faible. Cet
article présente une analyse cognitive d'étudiants de premier cycle en mathématiques, sur le concept de
matrice de changement de base en algèbre linéaire. Basés sur la théorie APOE (Actions, Processus,
Objets, Schémas) en tant que cadre théorique et méthodologique, les structures et les mécanismes
mentaux sont décrits pour obtenir une décomposition génétique basée sur les conceptions que les
étudiants ont de ce concept. Un test a été appliqué à 28 étudiants (âgés de 18 à 21 ans) de l'Université
industrielle de Santander, Bucaramanga, Colombie, et des entretiens semi-structurés ont également été
réalisés. Les résultats montrent au moins deux manières d'apprendre le concept d'étude, qui diffèrent par
l'internalisation des actions mentales.
Paroles clés. Décomposition génétique, Abstraction réfléchissante, Algèbre linéaire.
1. Introducción
Los procesos de enseñanza y aprendizaje del álgebra lineal son complejos debido a
la naturaleza misma de los conceptos matemáticos que son su objeto de estudio, entre
ellos, matrices, vectores, sistemas de ecuaciones lineales, espacios vectoriales,
transformaciones lineales. Un factor para la obtención de éxito en la asignatura por los
estudiantes es la parte emocional, ya que las experiencias emocionales de los estudiantes
están basadas en la apreciación que hacen de los sucesos en términos de logros
académicos de persecución activa y de rendimiento escolar (Martínez-Sierra y García,
2014). Otros factores son los obstáculos epistemológicos relativos al álgebra lineal, en
este sentido, Hillel (2000) identificó al menos dos: el primero, relativo al pensamiento
geométrico que proviene de la familiaridad de los estudiantes con la geometría y las
coordenadas estándar y, el segundo relativo al aprendizaje de nociones específicas de
. Un ejemplo específico sobre el primer obstáculo epistemológico es considerar a los
vectores y transformaciones en un contexto geométrico ya que ello obstaculiza el
concepto de base y el cambio de base en álgebra lineal. Asimismo, un ejemplo para el
segundo obstáculo epistemológico es encontrar la solución de problemas directa o
indirectamente por medio de los sistemas de ecuaciones lineales en ya que ello hace
que el modo algebraico se convierta en un obstáculo para aprender la teoría general y
los estudiantes rechazan la idea de vector como un elemento de un espacio vectorial
cualquiera (funciones, polinomios, matrices, etc.).
Un modelo cognitivo que permite describir como los estudiantes construyen un
concepto en matemáticas, se encuentra en la teoría APOE. Desde este enfoque, la
investigación de Trigueros, Maturana, Parraguez y Rodríguez (2015) propone una
descomposición genética del teorema de la matriz asociada a una transformación lineal
Autores –Separados con comas y representados con Inicial de nombre, Apellido
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(TMATL), y la de Parraguez, Lezama y Jiménez (2016) propone una descomposición
genética para construir el teorema de cambio de base de vectores (TCBV). En ambos
teoremas, se involucra a la matriz de cambio de base (MCB). En el primero como un
caso particular, es decir, considerando la transformación lineal como la identidad sobre
el mismo espacio vectorial y dos bases distintas y, en el segundo mostrando la relación
que existe entre las coordenadas de un vector en dos bases diferentes.
Otras investigaciones reportan una endeble comprensión de la MCB (Selby, 2016;
Montiel, Wilhelmi, y Vidadkovic, 2012), debido a una mala encapsulación como objeto
de la MCB es causa de interpretar erróneamente cómo hacer el cambio de coordenadas
de un vector. Por ello en este artículo se propone una descomposición genética sobre el
concepto MCB en álgebra lineal, por lo que se describen las estructuras y mecanismos
mentales tienen los estudiantes de licenciatura asociados al concepto MCB. Los
resultados muestran al menos dos vías para el aprendizaje del concepto de estudio, las
cuales se diferencian en la interiorización de las acciones mentales que corresponde a la
experiencia y la manipulación por parte de los estudiantes respecto al concepto.
2. Teoría APOE como marco teórico
APOE considera que el mecanismo principal en la construcción del conocimiento
es la abstracción reflexiva (Dubinsky, 1991; Arnon et al., 2014), es usada como un
modelo cognitivo para describir cómo pueden ser aprendidos los conceptos matemáticos
y para entender cómo se construye el conocimiento matemático. Uno de sus constructos
es la descomposición genética, la cual se define como un modelo hipotético que describe
las estructuras y mecanismos mentales que un estudiante necesita para aprender un
concepto matemático (Arnon et al., 2014). Considera que se deben reconocer las
relaciones y los procesos entre conceptos de la matemática misma para construir nuevo
conocimiento matemático (Dubinsky, 1991; Trigueros, 2005; Roa-Fuentes y Oktaç,
2012). Destaca que las habilidades para organizar, construir o reconstruir conocimiento
matemático se realizan a través de estructuras mentales como acciones, procesos,
objetos y esquemas. Asiala et al., (1996) mencionan que:
“El conocimiento matemático de un individuo es su tendencia a responder a las situaciones
matemáticas problemáticas reflexionando sobre ellas en un contexto social y construyendo
o reconstruyendo acciones, procesos y objetos matemáticos y organizando esquemas con el
fin de manejar las situaciones” (Asiala et al., 1996, p.7).
Las estructuras mentales subsisten en un individuo para construir significados en
una determinada demanda cognitiva y los mecanismos mentales -interiorización,
coordinación, encapsulación, reversión y tematización- tienen como función principal
motivar la construcción de las estructuras y permitir a un individuo transite entre una y
otra o revertirla, cuando está frente a una situación matemática.
Tabla 1. Caracterización de estructuras mentales
Estructura
mental
Caracterización
Acción
Un concepto es concebido primero como una acción, es decir, como una
transformación dirigida externamente de un objeto u objetos previamente
concebida. Una acción es externa en el sentido de que cada paso de la
transformación debe realizarse de forma explícita y guiada por instrucciones
externas; adicionalmente, cada paso debe introducir al siguiente, es decir, los
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pasos de la acción no pueden todavía ser imaginados y ninguno se puede saltar.
(Arnon et al., 2014, p.19).
Proceso
Cuando una acción se repite y el individuo reflexiona sobre ella, puede ser
interiorizada en un proceso mental. Un proceso es una estructura mental que lleva
a cabo la misma operación acción que se interioriza, pero totalmente en la mente
del individuo, permitiendo así a él o ella para imaginar la realización de la
transformación sin tener que ejecutar cada pasó de forma explícita. Así, por
ejemplo, una persona con una comprensión de los procesos de la función
construirá un proceso mental para una función determinada y pensar en términos
de entradas, posiblemente no especificados, y las transformaciones estas entradas
producen salidas”. (Dubinsky, Weller, McDonald, y Brown, 2005a, p.339).
Objeto
Si uno se da cuenta del proceso en su totalidad, se da cuenta de que las
transformaciones pueden actuar en esa totalidad, y realmente puede construir
tales transformaciones (explícita o en la imaginación de uno), entonces se dice
que el individuo ha encapsulado el proceso en un objeto cognitivo. Para el
concepto de función, la encapsulación permite aplicar transformaciones de
funciones tales como la formación de un conjunto de funciones, definir las
operaciones aritméticas sobre dicho conjunto, dotándola de una topología, etc.”
(Dubinsky et al., 2005a, p.339)
Esquema
Se caracteriza por su dinamismo y su reconstrucción continua. Los esquemas
están determinados por la actividad matemática que involucra el individuo en
situaciones matemáticas particulares. La coherencia de un esquema está
determinado por la capacidad del individuo para determinar si se puede utilizar
en una situación matemática particular. Una vez que el esquema se construye
como una colección coherente de estructuras (acciones, procesos, objetos, y otros
esquemas) y las conexiones que se establecen entre esas estructuras, que pueden
transformarse en una estructura estética (objeto) y/o utilizado como una
estructura dinámica que asimila otros objetos relacionados o esquemas.” (Arnon
et al., 2014, p.25)
Figura 1. Estructuras y mecanismos mentales para la construcción de conocimiento
matemático (adaptada de Arnon et al., 2014, p.18)
3. Metodología
Se consideraron las componentes del ciclo de investigación: análisis teórico,
colección y análisis de datos (Arnon et al., 2014). Para el análisis teórico, se realizó una
revisión de libros de texto de álgebra lineal, específicamente se analizó cómo se propone
la MCB para su enseñanza; asimismo se entrevistó a expertos en la enseñanza del
álgebra lineal para conocer cómo podría ser construido el concepto MCB por los
estudiantes. De este análisis teórico se obtuvo una Descomposición Genética Hipotética
(DGH). Con base en la DGH se diseñaron dos actividades, primero una prueba
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diagnóstico y segundo una entrevista semi-estructurada para obtener así una
descomposición genética (DG) del concepto MCB.
El diagnóstico se aplicó a 28 estudiantes, quienes habían tomado por lo menos un
curso de álgebra lineal. La aplicación duró 120 minutos. Después del diagnóstico se
programaron las entrevistas únicamente para 6 estudiantes elegidos, quienes cumplieron
el requisito de tener las estructuras previas necesarias para la construcción del concepto
MCB, las entrevistas fueron video grabadas y transcritas, su duración fue de 130 minutos
por estudiante. Finalmente se realizó una triangulación en el análisis de datos.
4. Análisis teórico de la MCB
Se revisaron los siguientes libros de texto: Álgebra lineal (Grossman, 2008),
Introducción al álgebra lineal (Anton, 1980), Álgebra lineal (Hoffman y Kunze, 1973),
Fundamentos de álgebra lineal y aplicaciones (Florey, 1980), Álgebra lineal: Una
introducción moderna (Poole, 2011). Se identificó, cómo se presenta el concepto MCB,
incluidas su definición, sus nombres, y un teorema asociado a su existencia y unicidad
(Tabla 2).
Tabla 2. MCB en textos de álgebra lineal
(Poole, 2011, p.
483) z
(Hoffman y
Kunze, 1973,
p. 52)
(Grossman,
2008, p. 369)
(Anton, 1980, p.
237)
(Florey, 1980,
p. 271)
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Sean
y
bases
para un espacio
vectorial . La
matriz de x
cuyas columnas
son los vectores
coordenados
de los vectores en
con respecto a
se denota y
e llama matriz de
cambio de base
a . Esto es,
Teorema. Sea
un espacio
vectorial de
dimensión
sobre el
cuerpo , y
sean y
bases
ordenadas de
. Entonces
existe una
única matriz
x,
necesariament
e invertible,
con elementos
de , de modo
que
(i)
(ii)
Para todo
vector de
Las columnas
de están
dadas por
.
La Matriz de
x cuyas
columnas están
das por (8) se
llama matriz de
transición de la
base a la
base . Esto
es,
Nota. Si se
cambia el orden
en el que se
escriben los
vectores de la
base, entonces
también debe
cambiarse el
orden de las
columnas en la
matriz de
transición.
Definición. Si
y
son
bases de un
espacio
vectorial ,
entonces la
matriz de
transición de
a es la
matriz de x
Donde
,
Definición 6.13.
Sean
y
bases ordenadas
para el espacio
vectorial , y
sea la
trasformación
identidad. La
matriz
Se llama la
matriz de
cambio de base
de a
(porque
).
Se observó también que, en general, la definición del concepto de MCB se presenta
después de la definición del concepto de base ordenada y coordenadas de un vector.
También se le llama Matriz de transición. Es única, salvo el orden de los vectores de la
base inicial. Se identificaron también dos estructuras previas, base ordenada y
coordenadas de un vector. Para estos dos conceptos, la caracterización del tipo de
concepción se hizo a partir de la descomposición genética del concepto base reportada
en Kú, Trigueros y Oktaç (2008) y la definición de base ordenada en Hoffman y Kunze
(1973).
Concepción proceso de base ordenada. Está caracterizada porque el estudiante
puede reflexionar sobre el orden de la base , decidir cuál será dicho orden y establecer
si el vector dado , o cualquier conjunto de vectores del espacio vectorial puede
escribirse como una combinación lineal de los elementos de .
Concepción objeto de las coordenadas de un vector: Si el individuo concibe al
vector como un vector del espacio vectorial sobre el cual puede aplicar
acciones específicas (operaciones binarias). Estos tipos de conceptos y concepciones
deben de estar presentes en los estudiantes para construir el concepto MCB.
Como resultado se identificaron las estructuras asociadas a la construcción del
concepto MCB de manera hipotética. (Tabla 3)
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Tabla 3. Descripción de las estructuras asociadas al concepto MCB de manera hipotética
Acción
Esta concepción está caracterizada por el conjunto de transformaciones que un
individuo realiza de manera externa para calcular la matriz cambio de base;
esto es, dadas dos bases ordenadas y del espacio vectorial , el
estudiante podrá calcular la matriz cambio de base de a o de a
mediante las acciones específicas que logre establecer para construir cada
columna de la matriz buscada. Esta estructura, Acción, está directamente
asociada con la concepción proceso del concepto de base ordenada.
Proceso
Una concepción proceso se alcanza cuando el estudiante logre interiorizar las
acciones específicas. Es decir, cuando puede reflexionar y calcular la MCB
omitiendo algunas de éstas (el caso cuando la nueva base sea la base canónica)
y alcanzar una respuesta correcta. La interiorización de las acciones mentales
debe permitir que el estudiante reconozca y use características y propiedades
de la MCB para calcularla correctamente considerando además características
relacionadas con las bases asociadas, como por ejemplo el orden de los
vectores de las bases. En esta estructura el trabajo se considera además el
trabajo sobre cualquier espacio vectorial de dimensión finita y no sólo en
.
Objeto
El proceso de matriz cambio de base se encapsula en un objeto, cuando el
estudiante considera la matriz cambio de base como un elemento del conjunto
de matrices x invertibles, donde depende de la dimensión del espacio
vectorial. Esto se da cuando el estudiante se debe enfrentar a situaciones en
donde necesite aplicar acciones sobre MCB, por ejemplo al determinar la
matriz inversa, para encontrar otra MCB.
5. Análisis de datos
A partir de la prueba diagnóstico se determinó el tipo de estructuras previas que un
individuo debe tener para construir el concepto MCB. Los ítems propuestos fueron
adaptaciones de problemas que aparecen los libros de texto revisados, sólo se
consideraron los espacios y sobre el campo. Con fundamento en el análisis teórico se
propusieron siete ejercicios en esta entrevista. En los ejercicios se consideraron espacios
y subespacios vectoriales de sobre , subespacios vectoriales de dimensión finita
() y un espacio vectorial cualquiera de dimensión finita. El análisis de la
entrevista nos permitió definir cuáles de las estructuras hipotéticas se evidencian en las
respuestas de los estudiantes; además de identificar cuáles estructuras y/o mecanismos
no se tuvieron en cuenta y son fundamentales en la construcción del concepto MCB. La
codificación usada puede verse en la Tabla 4.
Tabla 4. Codificación usada
Notación
Significado
S20
Estudiante número 20
QI3
Ejercicio tres de la entrevista
I
Entrevistador
S20.QI3.i)
Estudiante número 20, ejercicio 3, inciso i
Se omiten fragmentos de la entrevista
[…]
Se omiten frases en la oración de la entrevista
5. 1 Concepción acción de la MCB
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Las estructuras específicas que emergieron acerca de la concepción acción de la
MCB se evidencian a continuación. Relativo a S15 se observó lo siguiente (ver Tabla
5).
Tabla 5. Fragmento de entrevista a S15y S28 en el ejercicio 1
Ejercicio 1. Sea el espacio vectorial definido sobre el cuerpo y
sean:
,
,
, bases ordenadas de
.
i) Encuentre la matriz
ii) Encuentre la matriz
iii) Encuentre la matriz
iv) ¿La base es igual a la base ? Justifica tu respuesta.
v) ¿La matriz es igual a la matriz ? Justifica tu
respuesta.
Diálogo
Representaciones
S15: Entonces quiero la Matriz de cambio de a
, entonces la matriz que voy a colocar
aquí es y aquí . Ahora lo que tengo que
hacer es llevar esta matriz a la forma
escalonada reducida ¿sí? Y lo que me queda
aquí es la matriz de transición de a
(Escribe y señala Figura. 2).
I: Ok. Entonces vas llevar esto a la identidad ¿Y lo
qué te quedará de este lado (señala, Figura.
3) qué va a ser?
S15: La matriz de transición de a , (Figura
3).
Figura 2. Acción específica
Figura 3. Cálculo de una MCB
S28: Bueno aquí nos piden la matriz de transición
de la base a la base .
I: Ok.
S28: Entonces lo que tendría que hacer es expresar
los vectores de la base en términos de la
base, (Figura 4).
I: ¿Entonces?
S28: Necesito expresar a estos en términos de esta
base [].
I: Ok, haber ¿qué dijiste? Necesitas expresar estos
.
S28: En términos de esta base, y fue todo lo
contrario a lo que hice.
I: Ok.
S28: Voy a escribir la correcta (escribe, Figura
5).
Figura 4. Procedimiento de S28.QI.i)
Figura 5. Procedimiento de S28.QI.i)
Las acciones específicas que evidenció el S15 son: considerar los vectores de las
base, colocarlos en una forma de matriz para ambas bases; construir una matriz
ampliada; aplicar operaciones elementales para reducirla, Figura 6.
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Figura 6. Procedimiento del S15.QI.i)
Asimismo el S28 mencionó escribir los vectores de la base en términos de la base
, pero expresó los vectores de la base en términos de la base (Figura 5), acepta
que la acción específica que realizó la estaba haciendo de forma equivocada. Al corregir
el procedimiento muestra evidencia de tener una concepción Acción. Otra acción
específica que se observó es la expresión de los vectores de la base inicial como
combinación lineal de la base nueva para calcular la MCB. El S28 nos da evidencia de
ésta, Figura 5.
Los resultados muestran que hay dos vías que caracterizan a la concepción Acción
(acciones específicas): Vía 1, identificar la sucesión en la base, para tener una forma de
decidir qué vector va primero, qué vector va segundo y así sucesivamente, luego
considerar los vectores de las bases dadas como columnas, es decir, escribir las
coordenadas de un vector como matriz de coordenadas, construir una matriz ampliada
con los vectores de las bases dadas como columnas y aplicar eliminación Gaussiana para
reducir una matriz a su forma escalonada reducida; Vía 2, identificar la sucesión en la
base para decidir qué vector va primero, qué vector va segundo y así sucesivamente,
obtener cómo escribir cada vector de la base inicial como combinación lineal de los
vectores de la nueva base, es decir, calcular los coeficientes de dicha combinación lineal,
escribir las coordenadas obtenidas (los coeficientes de la combinación lineal) como
matriz de coordenadas.
5.2 Interiorización de la estructura acción a la estructura proceso
La interiorización se alcanzó cuando algunos estudiantes identificaron que las
columnas de la MCB estaban relacionadas con la escritura de los vectores de la base
inicial como combinación lineal de los vectores de la base nueva. Una consecuencia que
se presentó en algunos casos, es que reconocieron el tamaño de la matriz sin resolver el
problema, prevén que el tamaño de la matriz depende del número de los elementos de la
base y la relación que guarda el producto de matrices y reconocieron el efecto que causa
el orden en las bases. (Ver Tabla 6).
Tabla 6. Fragmento de entrevista del S20 en el ejercicio 2
Ejercicio 2. Sean las bases y bases ordenadas
del espació vectorial , definido sobre. Donde
a) Encuentre la matriz cambio de base a
b) Encuentre el vector de coordenadas de con y con ello calcule
.
Diálogo
Figuras
S20: Listo, sin tener que escribir esto
(señala los vectores de la base ).
Monto los que son, además me están
diciendo que son bases esto genera
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(señala la base ). Todos los
polinomios de en de segundo grado
y son independientes, todas esas
cuestiones. Esta también genera a
todos los polinomios de segundo
grado en y también son linealmente
independientes listo (señala la base
). Son tres componentes entonces
hay tres cositos acá y tres cositos acá,
esto es de tamaño… tres por uno y
este es tres por uno también…por lo
tanto ¿qué tendría que ser esto para
que me de tres por uno?… este es tres
obligatoriamente (escribe, Figura 7).
S20: Bueno ya no es dos por dos como la
anterior ahora es tres por tres, Figura
7.
Figura 7. Reconocimiento del tamaño de una
matriz para el subespacio
S20 predice el tamaño de una MCB sin calcular dicha matriz, esto derivado de la
interiorización de acciones específicas y la multiplicación de matrices. Una vez que un
individuo logra interiorizar las acciones puede alcanzar una estructura proceso; éste se
caracteriza por todas aquellas que le permiten reflexionar y reconocer las características
de la matriz, por ejemplo, qué representa cada una de las columnas, la diferencia entre
y , que el orden de las columnas depende del orden de los vectores de la
base inicial, que el conjunto de dichas columnas son linealmente independientes, más
aún, que son una base para el espacio vectorial , siendo , el campo sobre el cual
se ha definido el espacio vectorial. Mostramos evidencia de esta estructura en el
siguiente fragmento de la entrevista realizada al S15 (Tabla 7).
Tabla 7. Fragmento de entrevista del S15 en el ejercicio 3
Ejercicio 3. Sean y bases ordenadas para un espacio
vectorial y suponga que , y .
a) Encuentre la matriz de cambio de base de a .
b) Encuentre para .
(Lay, 2005, p. 276)
Diálogo
Figuras
I: […] ¿Qué significa que lo puedas escribir como
?
S15: Que el vector está en términos de , o sea,
este vector que acabo de escribir ¡hay sí, ya
miré! Este es el vector que pertenece a A
¿Sí?
I: ¿Sí?
S15: Y está en combinación lineal con y que
son vectores de . Entonces este vector uno
está en combinación lineal de , pues sí es
obvio, no pero si es evidente porque es base.
Igual pasa para y entonces como
está en términos de , también y
también, me están queriendo decir que si yo
colocó los vectores de coordenadas como
Figura 8: El S15 señaló los vectores
de coordenadas de , en términos
de como columnas
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columnas estoy hallando la matriz de
transición es decir este vector (señala la
primera columna de la matriz de la figura 8).
Es el vector de coordenadas de en términos
de , y este es el vector de coordenadas de
en términos de (señala la segunda de la
matriz dela Figura 8)… ¿Sí?... A bueno,
entonces lo escribo (el estudiante escribe su
respuesta, Figura 8).
En la Figura 8 y Figura 9 se observó que el S15 interiorizó las acciones específicas,
reconoció que cada columna de la MCB es una matriz de coordenadas; el orden de las
columnas de la MCB depende del orden en base inicial. Una vez interiorizadas las
acciones específicas, se alcanzó una estructura proceso de la MCB, no importa si las
bases ordenadas son de un espacio vectorial euclidiano. Está estructura se podría
describir en función de sus columnas las cuales son una matriz de coordenadas (Figura
9). Tiene que realizar esto para cada vector de la base inicial.
Figura 9. El S15 reconoció que las columnas de una MCB son una matriz de coordenadas
5.3 Concepción proceso de la MCB
Se muestra la estructura proceso que manifestó S9, ver Tabla 8.
Tabla 8. Fragmento de entrevista del S9 en el ejercicio 3
Ejercicio 3. Sean y bases ordenadas para un espacio vectorial
y suponga que , y .
c) Encuentre la matriz de cambio de base de a .
d) Encuentre para .
(Lay, 2005, p. 276)
Diálogo
Figuras
Autores –Separados con comas y representados con Inicial de nombre, Apellido
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S9: Esa sería la del primer punto, ya que
ya me están dando la combinación
lineal de cada elemento ordenado
a la otra base (escribe, Figura 10).
I: Eso lo puedes escribir.
S9: Sí, “ya que sé las combinaciones
lineales de cada elemento de la
base A de los elementos de la base
entonces su representación
serán los coeficientes en su orden”
(Escribe, Figura 11).
Figura 10. Respuesta del S9 al ejercicio 3
Figura 11. Solución del S9.QI3.a)
La forma inmediata de proceder del S9 evidenció haber interiorizado la acción
específica; que representa cada columna de la MCB; el orden de las columnas de la MCB
depende del orden de los vectores de la base inicial. Más aun, el trabajo que realiza lo
hace sin importarle el espacio vectorial el cual estaba dado en forma general, esto
describe un control sobre su estructura proceso.
5.4. Encapsulación del proceso a la estructura objeto
Este mecanismo se ejemplifica a partir de la entrevista a S9 (Tabla 9) respecto al
ejercicio 6 y posteriormente se precisa con lo S15 (Tabla 10).
Tabla 9. Fragmento de entrevista que se aplicó al S9 en el ejercicio 6
Ejercicio 6. Consideremos el espacio vectorial de todos los polinomios de grado menor o igual
a ( y dos bases ordenadas y de dicho espacio vectorial. Si se quiere construir
la matriz de cambio de base ¿Qué tamaño tendrá la matriz? ¿Por qué?
Diálogo
Figuras
S9: Al ser un polinomio de grado
cada vector va tener
elementos. … Y luego pues el
cambio ¿Qué tamaño tendrá la
matriz? (escribe, Figura 12)
I: ¿Cómo sabes?
S9: Porque un polinomio de esta
forma (escribe, Figura 13).
Entonces si empezamos en cero
va tener hasta , va a tener
.
I: Ok, ya tienes .
S9: Ahora si empezamos de uno
entonces sería.
I: ¿Tendrías qué?
S9: Elementos o coeficientes (señala,
Figura 13).
I: Ya, por lo tanto te quedaría […].
S9: El tamaño total sería al
cuadrado.
Figura 12. Respuesta del S9 al ejercicio 6
Figura 131. El S9 Señaló los coeficientes de un
polinomio de grado menor o igual a
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S9 evidenció la relación del tamaño de la MCB con la dimensión del espacio
vectorial involucrado. Lo realizado por S9 (Figura 14) y S15 (Figura 15) también es
evidencia de la concepción proceso respecto a la MCB (Tabla 10).
Tabla 10. Concepción de S9 y S15 respecto a la MCB
Ejercicio 7. ¿Qué entiendes por matriz cambio de base? Escribe tu definición de este concepto.
¿Dadas dos bases de un espacio vectorial de dimensión finita, siempre es posible definir la
matriz cambio de base?
¿Dada una matriz cuadrada cualquiera , siempre representa una matriz cambio de base?
Diálogo
Figuras
S9: “Me permite representar
elementos en espacio de
llegada de una de
salida”.
Figura 142: El S9 entendió por una MCB como una
posible función
S15: “Sea
donde
para algunos , que
generan es decir. Sea
una ,
lineal
donde
. Una
matriz de
transformación es una
matriz que al
multiplicarla por un
elemento de me da un
único elemento en
donde
es
de x” (Figura 14).
Figura 153: Respuesta del S15 en la prueba diagnóstico,
ejercicio 5
S9 y S15 fueron capaces de hablar de una posible función asociada, sin embargo no
precisan su dominio, contradominio ni la regla de correspondencia (Figura 14 y Figura
15).
Estas ideas se precisaron matemáticamente afín de caracterizar el mecanismo
encapsulación, el cual se lograría cuando un individuo considerara a la matriz MCB
como una matriz cuadrada, en donde su tamaño está asociado con la dimensión del
espacio vectorial involucrado, además cuando el individuo establezca cómo están
relacionadas dos coordenadas en diferentes bases por medio de la MCB mediante la
siguiente función en donde o
en donde , es decir, , reciben como entrada matrices de
coordenadas en una base y regresa matrices de coordenadas en otra base.
5.5. Concepción objeto de la MCB
S9 aplicó acciones específicas sobre el concepto MCB, puesto que consideró a la
matriz como un todo cuando calculó su inversa y posterior a ello es capaz de revertir el
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proceso que lo generó y vuelve a considerar la MCB en función de sus columnas para
encontrar la base ordenada . Esto se evidencia en el próximo fragmento de la
entrevista respecto al siguiente ejercicio 4 (Tabla 11).
Tabla 11: Fragmento de entrevista del S9 en el ejercicio 4
Ejercicio 4. Consideremos la base ordenada de formada por los
polinomios:
1, y y sea la matriz:
.
Encuentre los polinomios de la base ordenada , tal que sea la matriz
cambio de base de a .
Diálogo
Figuras
I: ¿Cómo lo estás resolviendo?
S9: Pues yo sé que la matriz
tomándola como cambio de base,
serían los elementos de la base
visto en la base .
I: Ok, ahí los tienes. ¿Eso te ayuda?
S9: Sí, es una multiplicación de
matrices sólo que estoy tratando
de deducirla… se supone que
[…].
S9: Por voy obtener . Entonces
sería por la inversa del
cambio de base y ya. (Señala
Figura 16).
S9: Ahora la inversa del cambio de
base pues es (escribe Figura 16).
S9: […] Esto sería esto (escribe Figura
17).
Figura 164. El S9 trató a la MCB como un objeto
Figura 17. El S9 determinó la matriz inversa de
S9 tuvo la necesidad de considerar la MCB como un todo y aplicar una acción
específica. Otra acción que se aplicó a la MCB es la expuesta por parte del S9 (Figura
10) y por S15 (Figura 18).
Figura 18. S15 aplicó una acción específica a la MCB
5.6. Desencapsulación
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Una vez aplicada la acción específica sobre encuentra el S9. Se le
cuestiono qué representan las columnas, esto con el fin de saber si regresa al proceso de
la MCB. En el siguiente fragmento mostramos evidencia de dicha situación (Tabla 12).
Tabla 12: Fragmento de entrevista del S9 en el ejercicio 4
Ejercicio 4. Consideremos la base ordenada de formada por los
polinomios:
1, y y sea la matriz:
.
Encuentre los polinomios de la base ordenada , tal que sea la matriz cambio
de base de a .
Diálogo
Figuras
I: De la matriz de cambio de base
que encontraste ahorita ¿Qué te
representa cada columna?
S9: A bueno pues, digamos
(escribe, Figura 19).
S9: es el elemento uno de la base
ordenado en la base
(escribe, Figura 20).
I: ¿El elemento qué perdón?
S9: Uno de la base ordenado a la
base .
Figura 19: El S9 desencapsuló la MCB
Figura 205: El S9 estableciendo la matriz de
coordenadas
A pesar de que el estudiante cometió errores aritméticos al calcular la inversa de la
matriz y por ello no llega a la respuesta correcta, da evidencia de haber
encapsulado el objeto MCB, y aplicar una acción específica sobre ese objeto (el cálculo
de la matriz inversa de para obtener ). Después de calcular la MCB,
desencapsula el objeto y considera a la MCB en función de las columnas. S9 regresa
sobre el proceso y tiene que pensar en en función de las columnas. Dichas
columnas ahora representan la matriz de coordenadas de los vectores de respecto a
.
6. Conclusiones
Las estructuras y mecanismos mentales asociados a la MCB encontrados se
concentran en la Tabla 13 como una de las conclusiones de esta investigación.
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Tabla 13 Estructuras y mecanismos asociados a la MCB
Acción:
Se caracteriza esta concepción por el
conjunto de transformaciones que un
individuo realiza de manera externa
para calcular la MCB; esto es, dadas
dos bases ordenadas y del
espacio vectorial él podrá
calcular la MCB de base de a o
de a mediante las acciones
específicas que logre establecer para
construir cada columna de la matriz
buscada. Esta estructura, Acción,
está directamente asociada con la
concepción proceso del concepto de
base ordenada.
Acciones específicas posibles:
-Identificar la sucesión en la
base, para tener una forma de
decidir que vector va primero,
que vector va después y así
sucesivamente.
-Considerar los vectores de las
bases dadas como columnas.
-Construir una matriz ampliada
con los vectores de las bases
dadas como columnas.
-Aplicar operaciones
elementales para reducir una
matriz a su forma escalonada
reducida.
-Identificar la sucesión en la
base: para decidir que vector va
primero, que vector va después
y así sucesivamente.
-Escribir como combinación
lineal los vectores de una base
respecto a otra base.
-Escribir como una columna el
vector de coordenadas.
Interiorización:
Surge a partir de la reflexión del individuo sobre las componentes de la
MCB, es decir, cuando asimilan que cada columna de la matriz está
relacionada con la escritura de los vectores de salida como combinación
lineal de los vectores de llegada; esto se asocia directamente con las
relaciones que establece con las estructuras previas de base y vector de
coordenadas; el estudiante entiende que representa cada columna de la
matriz, se puede predecir el tamaño de la matriz y se es consciente del
efecto que causa el orden en las bases.
En el caso de considerar las -tuplas de las bases dadas como
columnas, se debe interiorizar que dichos vectores se escriben en una
tercera base (usualmente la base canónica del espacio vectorial de
dimensión finita dado), además de interiorizar qué matrices construidas
van de cada lado (Figura 5) para posteriormente aplicar el método de
Gauss-Jordan.
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AIEM, número ??, mes de año
Proceso:
Una concepción proceso se alcanza cuando el
individuo logre interiorizar las acciones
específicas. Es decir, cuando puede
reflexionar y calcular la MCB omitiendo
algunas de éstas y alcanzar una respuesta
correcta. La interiorización de las acciones
debe permitir que el individuo reconozca y
use características y propiedades de la MCB
para calcularla correctamente, considerando
además características relacionadas con las
bases asociadas, como por ejemplo el orden
de los vectores de las bases. En esta estructura
se considera además el trabajo sobre
cualquier espacio vectorial de dimensión
finita y no sólo en .
Se interiorizan las
acciones específicas
anteriores y además
hay reflexión respecto
a que representa cada
columna de una MCB.
Encapsulación:
Puede ser generado por un individuo cuando considera la MCB como
una matriz cuadrada y establece que su tamaño está relacionado con el
espacio vectorial de dimensión finita dado. Más aun, cuando logra
concebir una función o definida como el producto de la MCB por
una matriz de coordenadas (recibe como entrada las coordenadas de un
vector respecto a una base y devuelve coordenadas de un vector
respecto a otra base) esto es, en donde
o en donde
.
Objeto:
El individuo considera la MCB como un elemento del conjunto de
matrices invertibles, donde depende de la dimensión del espacio
vectorial. Esto se da cuando el individuo enfrenta situaciones en donde
necesite aplicar acciones sobre la MCB, por ejemplo al determinar la
matriz inversa, utilizar a la MCB para obtener las coordenadas de un
vector respecto a otra base (puesto que vea a la matriz como una regla
de correspondencia entre un mismo espacio vectorial), entre otras.
Desencapsulación:
Consideramos que el Objeto se regresa en el Proceso que lo
generó, cuando se considera a la MCB respecto a que representan sus
columnas, después de determinar una MCB.
Se encontraron además dos vías para construir una MCB y en ambas construcciones
para lograr una estructura objeto, es necesario en un individuo tenga las estructuras
previas de base ordenada como un proceso y vector de coordenadas como objeto, matriz
como proceso (considera a la matriz como una secuencia de columnas verticales).
6.1. Primera vía para la construcción de la MCB
Para la construcción de la MCB el estudiante inicia estableciendo el orden en las
bases dadas, este orden se presenta como un objeto o proceso: el primero refiere a
considerar la sucesión dada en la base y tomar el orden establecido; el segundo se da
cuando el estudiante establece qué vector se antepone al siguiente y así sucesivamente
hasta ordenar las bases.
Si es un espacio vectorial sobre el campo de dimensión finita , y sean
y bases ordenadas, entonces el estudiante con una
concepción proceso de base ordenada puede escribir el vector de la base como
combinación lineal de los elementos de la base , es decir, asume la existencia de los
Autores –Separados con comas y representados con Inicial de nombre, Apellido
AIEM, número ??, mes de año
, con y tal que . El estudiante
coordina el proceso de vector de coordenadas y el proceso de combinación lineal para
generar las coordenadas de respecto a la base y almacena la información que
otorga cada componente de dicho vector teniendo como resultado el proceso
(, esto es encapsulado cuando se queda con la información de los
componentes para considerar al vector como una matriz de coordenadas
una vez construido este objeto, tiene que regresar sobre el proceso de la matriz de
coordenadas
. Con el cuantificador generaliza que tiene que construir para cada
con los -procesos de las matrices de coordenadas
.
Una vez que tenga los -procesos de las matrices de coordenadas de los vectores
de la base de en términos de la base , estos se coordinan con el proceso de matriz
para considerarla como una secuencia de columnas verticales
la cual es encapsulada en el objeto MCB de la base a () cuando considera a
dicha matriz como un elementó del conjunto de matrices cuadradas e invertibles y logra
concebir una función definida como el producto de la MCB por una matriz de
coordenadas (Figura 21).
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AIEM, número ??, mes de año
Figura 21. Primera vía de construcción de la MCB como Objeto
6.2. Segunda vía para la construcción de la MCB
Se establece el orden en las bases dadas, este orden se presenta como un objeto o
proceso: el primero refiere a considerar a las bases como conjuntos ordenados y tomar
el orden establecido, el segundo cuando establece que vector se antepone al siguiente y
así sucesivamente hasta ordenar las bases. En términos matemáticos diremos que el
estudiante podrá identificar y ordenar la sucesión finita de vectores linealmente
independientes en cualquiera que sea el caso. Si es un espacio vectorial sobre el
campo de dimensión finita , y sean y y
bases ordenadas de , entonces el estudiante con una concepción
proceso de base ordenada puede escribir el vector , de la base y
respectivamente como combinación lineal de los elementos de la base , es decir,
asume la existencia de los , , con y tal que
y . Coordina el proceso de
combinación lineal y el proceso de vector de coordenadas, para obtener los procesos
vector de coordenadas respecto a la base , es decir, y
y esto es encapsulado por parte del estudiante cuando se queda con la información de
los componentes para considerar los vectores como una matriz de coordenadas
Matriz
Proceso
Vector de coordenadas
Objeto
Base de
Proceso
Base ordenada de
= 1,2,,
Proceso
Base ordenada de
1={1,2,n}
Proceso
Asume la existencia de , con
=1,, y =1 tal que
1=111++1n
El vector 1 visto como
combinación lineal
111++1n
Proceso
Se coordinan el
proceso de
coordenadas de un
vector con el proceso
de combinación lineal
(1,2,,)
Vector de coordenadas
del vector 1.
Proceso
Desencapsula la matriz
de coordenadas
11
21
1
Proceso
Vector de coordenadas
desencapsulado
(1,2,,)
Proceso
Se encapsula el proceso en
la matriz de coordenadas
11x1
Objeto
Generaliza con y construye cada
nuevo proceso para cada vector de la base
11
21
1, 12
22
2, …, 1n
2n
Proceso Proceso Proceso
Se coordinan los proceso de matriz de
coordenadas y el proceso de matriz para
generar la matriz de cambio de base
1=11 12 1n
21 22 2n
1
2
Proceso
Se encapsula el proceso en la
Matriz de Cambio de Base
cuando ve a la matriz como
un elemento del conjunto de
matrices cuadras e
invertibles o es vista como
una transformación lineal en
un mismo espacio.
[]=[]
Objeto
Autores –Separados con comas y representados con Inicial de nombre, Apellido
AIEM, número ??, mes de año
, y una vez construido este objeto, tiene que regresar sobre el proceso de la matriz
de coordenadas
y
. Con el cuantificador coordina que tiene que construir
para cada y con los -procesos de las matrices de
coordenadas
y
. Una vez que tenga los -
procesos de las matrices de coordenadas de los vectores n vectores de la base de ,
en términos de la base , estos se coordinan con el proceso de Matriz para considerar
dos matrices como una secuencia de columnas verticales
y
. A su vez estos dos procesos se vuelven a coordinar
parar formar una matriz ampliada como una secuencia de columnas verticales, esto es:
.
Se encapsula en el objeto matriz ampliada en el objeto matriz de a la cual se
le puede aplicar el método de Gauss-Jordán, por lo que se obtendría del lado izquierdo
, y del lado derecho se obtiene , Figura 22 y Figura 23, primera parte y
segunda parte respectivamente.
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AIEM, número ??, mes de año
.
Figura 22. Segunda vía de construcción de la MCB como objeto, primera parte
Asume la existencia de , , con ,=1,, tales que
=11+ 21+n
=11+ 21+n
Los vectores i, vistos
como combinación lineal
11+ 21+n
11+ 21+n
Proceso
Se coordinan el proceso de
coordenadas de un vector
con el proceso de
combinación lineal
(1,2,,)
(1,2,,)
Vectores de coordenadas de
los vectores ,.
Proceso
Generaliza con
1 y construye cada nuevo proceso
para cada vector de la base y 1.
11
21
1, 12
22
2, …, 1n
2n
Proceso Proceso Proceso
11
21
1, 12
22
2, …, 1n
2n
Proceso Proceso Proceso
Desencapsula las
matrices de coordenadas
1i
2i
,
1j
2j
Proceso
Se encapsula el
proceso en la matriz
de coordenadas
, x1
Objeto
Base de
Proceso
Matriz
Proceso
Base ordenada de
= 1,2,,
Proceso
Base ordenada de
1={1,2,n}
Proceso
Vector de coordenadas
Objeto
Base ordenada de
={1,2,n}
Proceso
Vector de coordenadas
(1,2,,)
Proceso
Autores –Separados con comas y representados con Inicial de nombre, Apellido
AIEM, número ??, mes de año
Figura 23. Segunda vía de construcción de la MCB como objeto, segunda parte
La diferencia entre ambas vías de construcción, radica en la forma de interiorizar
las acciones específicas. Respecto a las estructuras Acción, Proceso, Objeto que
proponemos de la MCB en ambas construcciones son las mismas.
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Se coordinan los proceso de matriz de coordenadas y el proceso de
matriz para generar dos matrices como una secuencia de columnas
=11 12 1n
21 22 2n
1
2
, 1=11 12 1n
21 22 2n
1
2
Proceso
A su vez estos dos procesos se vuelven a coordinar
parar formar una matriz ampliada como una secuencia
de columnas verticales, en donde 1 le corresponde la
parte izquierda y la parte derecha esto es:
11 12 1n
21 22 2n
1
2
11 12 1n
21 22 2n
1
2
Proceso
Se encapsula en el objeto matriz ampliada en el objeto
matriz de x2, la a la cual se le puede aplicar el
método de Gauss-Jordán, por lo que se obtendría del lado
izquierdo x, y del lado derecho se obtiene 1
1 0 0
0 1 0
00
1 11 12 1n
21 22 2n
1
2
Proceso de matriz de cambio de base
Se encapsula el proceso en la Matriz de Cambio de Base
cuando ve a la matriz como un elemento del conjunto de
matrices cuadras e invertibles o es vista como una
transformación lineal en un mismo espacio.
[]=[]
Objeto
Autores –Separados con comas y representados con Inicial de nombre, Apellido
AIEM, número ??, mes de año
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Referencias de los autores
XXX
Autores –Separados con comas y representados con Inicial de nombre, Apellido
AIEM, número ??, mes de año
XXX
XXX
Cognitive analysis of university students about the basic
change matrix concept in linear algebra
XXX
XXX
XXX
Due to the abstraction of the concepts of linear algebra, their learning turns out to
be weak. This article shows a cognitive analysis of undergraduate students in
mathematics, on the concept of the basic change matrix in linear algebra. Based on the
APOE theory (Actions, Processes, Objects, Schemes) as a theoretical and
methodological framework, the structures and mental mechanisms are described to
obtain a genetic decomposition based on the conceptions that students have about said
concept. A test was applied to 28 students (18-21 years of age) from the Industrial
University of Santander, Bucaramanga, Colombia and semi-structured interviews were
also conducted. The results show at least two ways of learning the concept of study,
which differ in the internalization of mental actions.
