Content uploaded by Emil Sobhy Shoukralla
Author content
All content in this area was uploaded by Emil Sobhy Shoukralla on Dec 12, 2018
Content may be subject to copyright.
(Green's Theorem)
(Green Gourg, 1793 – 1841)
3▪Green's Theorem
E. S. Shoukralla
ـــ ـــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــ
34
3.1
(surfaces)
(volumes) (areas)
(curves)
3▪Green's Theorem
E. S. Shoukralla
ـــ ـــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــ
35
3.2
Green's Theorem
C
xy −
( )
0 on zC=
C
( ) ( )
( )
,x t y t
C
t
a
b
C
(positively
oriented)
(negatively oriented) (3.1)
3.1
(simple closed)
1
C
(3.1)
x
x
y
y
1
C
2
C
2
D
1
C
1
D
3▪Green's Theorem
E. S. Shoukralla
ـــ ـــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــ
36
1
D
1
C
2
C
2
D
2
C
.
Green's Theorem
C
xy −
D
C
( ) ( ) ( )
, , ; :x x t y y t z z t t a b= = = →
3.1
3▪Green's Theorem
E. S. Shoukralla
ـــ ـــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــ
37
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
R i j ;
R i j ;
t x t y t a t b
t x t y t a t b
→
→
= +
= +
t
a
b
C
D
( ) ( ) ( )
12
F , , i , jx y F x y F x y
→ → →
=+
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 2
, , , , , , ,F x y F x y F x y F x y
yx
D
(3.1)
21
F
CD
FF
dxdy
xy
→
=−
C
C
☺☺☺☺
( )
F F .R
CC
t dt
→ → →
==
3▪Green's Theorem
E. S. Shoukralla
ـــ ـــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــ
38
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
12
, i , j .
C
F x t y t F x t y t
→→
=+
( ) ( )
. i jx t y t dt
+
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
12
, i , j .
C
F x t y t F x t y t
→→
=+
( ) ( )
. i j
dd
x t y t dt
dt dt
+
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
12
,,
C
F x t y t dx t F x t y t dy t=+
(3.2)
21
12
CD
FF
F dx F dy dxdy
xy
+ = −
3.1
( ) ( )
2
F , i jx y x y x y
→ → →
= + +
C
( ) ( )
cos , sin ; :0 2x t y t t
= = →
( ) ( )
sin , cosdx t dt dy t dt= − =
3▪Green's Theorem
E. S. Shoukralla
ـــ ـــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــ
39
( ) ( )( )
22
12
0
cos sin sin
C
F dx F dy t t t
+ = − +
( ) ( )
( )
( )
3
cos sin cos 4
t t t dt
+ + =
21
D
FF
dxdy
xy
−
21
,
FF
xy
( ) ( )
cos , sin ,0 1,0 2x r y r r
= =
( )
22
21,
Fx y x y x
x x y
= + = =
( )
2
21 1
DD
FF
dxdy x dxdy
xy
− = −
( )
( )
21 22
00
3
1 cos 4
r rdrd
= − =
3▪Green's Theorem
E. S. Shoukralla
ـــ ـــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــ
40
32
F
C
→
( )
( )
22
F i 2 jx y xy
→
= + +
C
(3.2)
C
4
1i
i
CC
=
=
(3.2)
D
3.2
x
( )
0,0
D
y
( )
0,1
( )
1,0
( )
1,1
1 2 3 4
C C C C C=
1
C
4
C
3
C
2
C
3▪Green's Theorem
E. S. Shoukralla
ـــ ـــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــ
41
( )
( )
22
2
F
CD
xy
xy dxdy
xy
→
+
= − =
( )
11
00
2 2 0y y dxdy−=
33
F
C
→
3
F 5 i jxy x
→
=+
C
2, 2y x y x==
( )
0,0
( )
2,4
C
2
1i
i
CC
=
=
(3.3)
D
( )
( )
35
F
CD
xxy dA
xy
→
= − =
3▪Green's Theorem
E. S. Shoukralla
ـــ ـــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــ
42
( )
2
22 2
0
28
35 15
x
x
x x dydx− = −
3.3
3.3
INDEPENDENT OF PATH
x
y
2yx=
2
yx=
( )
0,0
( )
2,4
1
C
2
C
3▪Green's Theorem
E. S. Shoukralla
ـــ ـــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــ
43
(Potential Function)
xy −
Potential Function In The Plane
(region)
xy −
F
→
( ) ( )
12
F , i , jF x y F x y
→ → →
=+
(scalar)
( )
,xy
( )
,xy
( )
F,xy
→=
3.1
3▪Green's Theorem
E. S. Shoukralla
ـــ ـــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــ
44
D
(1)
D
(continuous)
)2(
D
Theorem
( ) ( ) ( )
12
F , , i , jx y F x y F x y
→
=+
D
F
C
→
( ) ( )
F , ,x y f x y
→=
( )
,f x y
)lara(sc
1.1
3▪Green's Theorem
E. S. Shoukralla
ـــ ـــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــ
45
(1)
( ) ( ) ( )
12
F , , i , jx y F x y F x y
→
=+
( ) ( )
F , ,x y f x y
→=
( )
,f x y
)lara(sc
(potential function)
( ) ( )
12
,,
and
f x y f x y
FF
xy
==
2)(
F
C
→
12
FF
yx
=
1.1
( )
( ) ( )
32
F , 2 3 4x y x y i xy j
→= + + +
C
F
32
12
2 , 3 4F x y F xy= + = +
( )
,f x y
32
2 , 3 4
ff
x y xy
xy
= + = +
3▪Green's Theorem
E. S. Shoukralla
ـــ ـــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــ
46
3
2
fxy
x
=+
( ) ( )
23 1
,f x y x y x C y= + +
y
( ) ( )
21
,
3
f x y xy C y
y
=+
2
3 4
fxy
y
=+
( ) ( )
1 1 2 2
4 4 ; constantC y C y y C C
= = + −
( )
23 2
,4f x y x y x y C= + + +
Ff
→=
1.1
F
C
→
( ) ( )
22
F i 3 jx y xy
→
=+
3▪Green's Theorem
E. S. Shoukralla
ـــ ـــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــ
47
22
12
,3
FF
xy
yx
==
12
FF
yx
F
C
→
1.1
EXERCISES
F
C
→
( ) ( )
F i jx y x y
→
= + + −
C
are)squ(
( ) ( ) ( ) ( )
0,0 , 0,1 , 1,0 , 1,1
FF
CC
→→
−
=−
22
F i jxy
→
=+
C
22
1
94
xy
+=
3▪Green's Theorem
E. S. Shoukralla
ـــ ـــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــ
48
F
C
→
(i)
( ) ( )
22
F x y i x y j= + −
C
( ) ( ) ( )
1 ; 0 1R t t i t j t= + −
(ii)
( ) ( ) ( )
F x i y j z k= − +
C
( ) ( ) ( )
cos sin ; 0,2
t
R t t i t j k t
= + +
CF
(i)
( )
( )
22
2F xy i x y j= + +
C
22
1
94
xy
+=
(ii)
( )
( )
221
tan
x
F e y i x y j
−
= + + +
C
( ) ( ) ( ) ( )
1,2 , 5,2 , 5,4 , 1,4
3▪Green's Theorem
E. S. Shoukralla
ـــ ـــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــ
49
(iii)
( ) ( )
22
F x y i xy j= + +
C
2, y x y x= = −
( )
0,0
( )
1, 1−
C
F
( )
( )
2.3
0.1
F
( ) ( )
32
2 3 4F x y i xy j= + + +
( ) ( )
22
F x y i x y j= + −
22
1xy+=