Опаленов Ю.В., Потапов А.А. Радиофизическая интерпретация радоновских представлений // Сб. докладов XI Междунар. НТК “Радиолокация, навигация, связь” (Воронеж, 12 – 14 апреля 2005 г.).- Воронеж: НПФ “Саквоее”, 2005. Т. III. С. 1709 – 1723.

Full text

РАДИОФИЗИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ РАДОНОВСКИХ
ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
Ю.В. Опаленов, А.А. Потапов
Рассмотрены радиофизические неконтактные методы контроля на
базе радоновских представлений функций обратного рассеяния
зондируемой области.
RADIOPHYSICAL INTERPRETATION OF RADON REPRESENTATION
Yu.V. Opalenov, A.A. Potapov
The classification of Radon representation used in radio physics for
recovery of revert projections of investigated plants is proposed.
Введение
Восстановление функций, заданных интегралом по некоторому многообразию,
относится к классу некорректных обратных задач математической физики [1]. Формальное
требование единственности решения никогда не было актуальным для практических
разработок. Для восстановления функций важнейшим является требование «радоновости»
такого представления. Это особенно актуально в радиолокации, когда расслоение
зондируемого (евклидова) пространства обладает римановой топологией и слои не
конгруэнтны. Ниже рассматриваются некоторые особенности радоновских интерпретаций,
наиболее часто применяемых в радиофизических исследованиях.
1. Томография
На рис. 1 схематично представлена лучевая интерпретация классического
преобразования Радона в двумерном случае. Томографическая модель предполагает
направленное просвечивание исследуемого объекта
)(xg
с помощью стабилизированного
по мощности излучателя и регистрацию энергии, прошедшей сквозь объект за
фиксированный интервал времени [2]. Результат характеризует интегральную
прозрачность исследуемого образца. Если систему координат выбрать так, что
направление зондирования (просвечивания) совпадает векторным ракурсом

, а
положение луча ориентировано вдоль вектора

и смещено относительно начала
координат на расстояние
p
, то для достаточно узкого (теоретически бесконечно узкого)
луча регистрируемая прозрачность
),( pRg
может быть записана в следующих
эквивалентных формах:

  

n
Rxp
gdxxgdxxpxgpR
,
)()(),()(),(
. (1.1)
Входящая во вторую формулу мера
)(dx
определяется из условия Лерея
)(),( dxpxddx 
, (1.2)
при этом дифференциал от многообразия плоскостей следует брать по любой, но одной
координате.
Набор сечений, индексируемых аргументом
p
, называют проекцией Радона.
Проекция может быть получена параллельным просвечиванием вдоль набора лучей, либо
последовательным зондированием с колиниарным перемещением системы излучатель-
приемник ортогонально вектору ракурса

. Преобразование Радона формируют
повторными измерениями проекций Радона повторными зондирования с разных ракурсов.
Формула обращения для функций, заданных в
n
-мерном пространстве, представлена ниже
как среднее сферическое парциальных обратных проекций и с точностью до постоянного
множителя имеет следующий вид:
 







 ddpdepReHyg pi
g
yi
n),()()( ,
1
1
(1.3)
 



dyHRFF gp ),)}(()}({{
1
1
В рассматриваемом примере параметр
2n
, а индекс

, присвоенный обратной
проекции, связан приближением, обусловленным коэффициентом регуляризации
-n, –n+1,…,-1,0,1,…,p,…,n
Томографические приемники
Облучатель
Томографические лучевые
каналы
Томографическая форма
радоновского представления


px
gdxxgpR
,
)()(),(
1
Рис. 1.
Томографическая
интерпретация
преобразования
Радона.

спектральной стабилизирующей функции
)(

H
, введенной в алгоритм для обеспечения
его устойчивости. 2. Дистанционное зондирование
Под термином «дистанционное зондирование» будем понимать активный или
пассивный энергетический обмен [3] с обзором, гарантирующим правомерность
радоновского обращения. В этом методе пространственная локализация луча основана на
боковом обзоре в плоскости проходящей через линейную траекторию движения носителя
РЛС и коллинеарный траектории путь следа луча на реальной или виртуальной (в
активном варианте) исследуемой поверхности.
2.1. Пассивные радоновские РСА
Радоновские РЛС с пассивным синтезом искусственной апертуры антенны (пассивные
РСА) широко применяются в картографировании Земли из космоса, в радиоастрономии, в
радиолокационной фотограмметрии и в других областях, где применимо зондирование
надир, либо скользящее зондирование без радиального структурирования следа луча.
Радоновский пассивный синтез апертуры антенны предполагает такое барражирование над
поверхностью галсами, при котором регистрируемая энергия принимается от
последовательности следов луча, лежащих на исследуемой поверхности с перекрытием
как вдоль строк, так и по галсам (вдоль столбцов). Строчный синтез осуществляется по
каждому галсу. После того как весь исследуемый фрагмент поверхности будет покрыт
строками с синтезированным разрешением вдоль них, осуществляют аналогичный синтез
по столбцам. В силу аналогии этих преобразований достаточно рассмотреть строчный
синтез при боковом обзоре, схематично изображенный на рис. 2.
),( 21 xxL
След луча
)(xg
Исследуемая
полоса
Рис. 2. Пассивный синтез
искусственной апертуры на базе
радоновского представления
функций.
Радиометр

Исследуемая область
)(xg
представляет собой полосу, ориентированную вдоль оси
1
x
, а след луча на ней описывается финитной функцией
),( 21 xxL
, скользящей при обзоре
вдоль полосы. При сделанных предположениях регистрируемый сигнал является
проекцией двумерного радоновского представления:
dxxpxLxgpR
R
g),()()1,( 21
2
 
. (2.1.1)
В рассматриваемом случае формула апертурного синтеза может иметь следующий
вид:
 



deHRFyg yi
gp 1
)()}({)( 1
(2.1.2)
))}(()}({{ 1
1yHRFF gp  


. (2.1.3)
В отличие от формулы (1.3), алгоритм обращения для пассивного радоновского
РСА не содержит сферического усреднения, а оператор отображения носит точечный
характер. Поэтому, вычисляемая парциальная обратная проекция (2.1.3) локализует
неопределенность только вдоль оси
1
y
.
2.2. Активные радоновские РСА
Активные радоновские РСА могут применяться наряду с пассивными и отличаются
скользящим зондированием (а не надир) с применением радиальной селекции сследуемого
фрагмента луча. Активный вариант синтеза приведен на рис. 3.
Рис. 3. Активный синтез искусственной апертуры на
базе радоновского представления функций.
),( 21 xxL
След луча
)(xg
Исследуемая
полоса
r
-ый радиальный канал
РЛС

Он отличается от предыдущего тем, что в расположенном на полосе
)(xg
следе
)(xL
локализован радиальный канал
rx 
2
, так что след является финитной
функцией
),( 1rxL
и регистрируемый сигнал описывается выражением:
  

dxrpxLrxgdxrxxpxLxgpR
R
g),(),()(),()()1,( 221
2
(2.2.1)
dxpxLxg rr )()(  


.
Применение радоновского формализма предполагает евклидову топологию
радиального фрагмента следа, чтобы гарантировать конгруэнтность. В зависимости от
интерпретации равенства (2.2.1) могут быть различные алгоритмы реконструкции
обратной проекции. Если рассматривать его как обычную свертку, и предположить, что
форма сечения следа
)(xLr
известна, а спектр его
)}({
rx LF
не обращается в нуль при
любых значениях

, то при отсутствии возмущений получим точное решение
dye
LF gF
yg yi
rx
rx
r

 

)}({)}({
)(
. (2.2.2)
На практике регистрируемый сигнал (2.2.1) всегда искажен шумом, поэтому
целесообразно интерпретировать его как радоновское представление функции
)(xgr
.
Стабилизированная формула обращения, как и в предыдущем случае, реализует
вычисление для каждой дальности
r
парциальной обратной проекции:
))}(()}({{)( 1yHRFFyg r
gpr  

. (2.2.3)
Алгоритм реконструкции требует прямолинейности траектории проекции луча и
согласованности дальности
r
с шириной диаграммы направленности антенной системы,
чтобы топология сечения
)(xLr
была квазиевклидовой. Темп регистрации должен
обеспечить перекрытие следов, т.к. пространственный шаг наложения следов является
предельной величиной неопределенности локализации.
3. Радиолокационная радонометрия
Рассматриваемые ниже радоновские представления принципиально отличаются от
приведенных выше как структурой многообразия, так и ориентацией слоев относительно
направления зондирования. Во всех рассмотренных случаях многообразие лучей или
следов располагалось вдоль траектории движения, и каждое сечение содержалось в
индивидуальном луче, так что проекция формировалась последовательным набором
лучевых каналов. Радиолокационная интерпретация характеризуется римановой
топологией многообразия и содержанием всех сечений проекции в одном зондирующем
луче. 3.1. Радиальное расслоение
Двумерная модель применения преобразования Радона в ракурсном синтезе
радиолокационного изображения схематично приведена на рис. 4.
Радиолокационная интерпретация отличается от томографической модели не
только топологией расслаивающего многообразия, но и компоновкой его вдоль линии

визирования. Энергия регистрируемого сигнала
),( pWin
связана с радоновским
представлением изотропного компонента функции обратного рассеяния зондируемой
области
)(xg
:
Рис. 4. Радиолокационная интерпретация преобразования Радона.
)()(),( dxxgp
px
g 
, (3.1.1)
)()( dxpxddx 
(3.1.2)
k
g
g
k
in p
p
p
p
pW 2424 0),(
),(),( 




. (3.1.3)
В случае ракурсного обхода по окружности единичного радиуса обратная проекция
может быть восстановлена по следующей формуле:
 






 ddeHdpepyg yi
ip
g)(),()(
1
(3.1.4)
Если диаграмма направленности антенной системы и радиолокационная дальность
согласованы так, что изодаль в луче может быть аппроксимирована прямой линией, то
РЛС
Радиолокационная форма
радоновского представления


px
gdxxgp )()(),(

p
2R
Радиолокационная
парциальная
обратная проекция
Радона
Радиолокационные
изодали

(3.1.4) формально переходит в формулу (1.3), но преобразуемые сигналы в этих формулах
несут в себе принципиально различную физическую интерпретацию, определяющую
методику формирования парциальных обратный проекций Радона.
Томографическая модель исследована в монографии И.Н. Троицкого [8], однако
результаты этой работы не учитывают принципиальных особенностей радиолокационного
зондирования.
Ниже приводятся результаты статистического анализа радиолокационного
радонометра. Рассмотрим трехмерный случай (
1k
) и предположим, что полезный сигнал
допускает узкополосное представление
))(cos(),()( 0
2/32/12/1
0ppppps sg 
. (3.1.5)
и наблюдается на фоне аддитивного нормального шума
)(pn
, имеющего аналогичное
представление и дисперсию
2

. Синтез прообраза функции
)(xg
предполагает
демодуляцию входного процесса и амплитудное детектирование его
l
nsgl pppnpppptu ))(cos()())(cos(),(),( 00
2/12/1
0
. (3.1.6)
Одномерная плотность распределения вероятностей мощности узкополосного
нормального процесса представляет собой обобщенную плотность Релея и в принятых
обозначениях имеет вид:
0
),(
),( 22
2/12/1
0
0
2
),(
22
22
0
2















U
p
pU
Ie
p
U
tUW g
p
pU g
. (3.1.7)
Моменты огибающей (3.1.6), подчиняющейся закону (3.1.7), выражаются
известным равенством:












22
0
11
2/22 2
),(
;1;2/)2/1()2(
){),(
p
p
lFlp
UMpm
g
l
l
l
. (3.1.8)
Среднее значение демодулированного сигнала на выходе квадратичного детектора
),(2),( 0
22
2 pppm g
(3.1.9)
и четвертый момент его
),(),(88),( 22
00
2244
4 pppppm gg
(3.1.10)
определяют дисперсию шума на выходе квадратичного детектора
),(44
)()(),(
0
2244
2
24
2


ppp
pmpmp
g
out
. (3.1.11)
Предположим, что частотная характеристика регуляризирующего фильтра задана
функцией
 
2/exp)( 22

H
(3.1.12)
Среднее значение сигнала на выходе реконструктора определяет параметрическую
тенденцию восстановленного прообраза. Присутствие на выходе полезного компонента
является необходимым условием, оправдывающим целесообразность дальнейшего анализа.
Формула обращения для рассматриваемого трехмерного случая имеет следующий вид:

 



dpdpxqmphxWout ),),(()(
8
1
)( 2
1
. (3.1.13)
Из (3.1.9) и (3.1.13) следует, что при
M
-кратном зондировании восстановленный
прообраз содержит полезный компонент
)(
0xg

и шумовой фон, определяемый
дисперсией шума, постоянный для фильтра с бесконечной памятью
21
04)()(  
MxgxWout
(3.1.14)
и имеющий радиальный окрас для физически реализуемого фильтра













 

2
21
022
)()( x
MxgxWout
. (3.1.15)
Мощность (3.1.15), усредненная по зондируемому объему в виде шара, имеющего
радиус
R
, дает возможность исследовать качественную зависимость шумового
компонента от величины зондируемого объема













 5
3
22
)()( 2
21 R
MRQRWout
. (3.1.16)
Из формулы следует, что при увеличении

сигнальный компонент (полезная
мощность)
)(RQ
нивелируется растущим фоном, а при увеличении числа зондирований
M
фильтруется шум. Фоновый компонент имеет локальный минимум, зависящий от
размера зондируемой области
R
. Со стороны малых значений параметр
R
, подобно
ракурсной базе
M
, проявляет фильтрующее по отношению к шуму действие. Увеличение

и

сдвигает оптимум в область больших значений
R
.
Приведенные в табл. 1, 2 и 3 результаты моделирования зависимости интегральной
меры сходства прообраза с оригиналом, качественно подтверждают теоретические выводы.
Применение результатов моделирования и анализа к активным и пассивным радоновским
РСА говорит о том, что увеличение искусственной апертуры (в РСА - число зондирований)
эквивалентно росту параметра
R
(размер зондируемой области) в приведенном
исследовании. Поэтому чрезмерное увеличение апертуры радоновских РСА будет
увеличивать ошибку (расфокусировку).
3.2. Тангенциальное расслоение
На базе радоновского представления с радиальным расслоением и радоновсеого
активного РСА может быть построен алгоритм с тангенциальным структурированием при
коническом сканировании относительно местной вертикали (рис. 5). При коническом
сканировании диаграммы направленности антенной системы мощность
радиолокационного отраженного сигнала, принимаемая с дальности
p
, представляет
собой периодическую функцию по сканирующему аргументу

:
)2()(  rr
. (3.2.1)

Таблица 1
Радиус
области R
Число зондирований M
8
16
32
64
128
256
512
300
-
-
0.337
0.294
0.278
0.270
0.268
150
-
-
0.264
0.213
0.182
0.170
0.162
75
-
-
0.352
0.269
0.204
0.171
0.149
38
-
-
0.354
0.275
0.222
0.197
0.172
19
-
-
0.335
0.284
0.244
0.229
0.211
10
-
-
0.313
0.280
0.310
0.279
0.273
Результаты экспериментальных измерений интегральной ошибки при
вариации ракурсной базы
M
и размера зондируемой области
R
. Расстояние
от РЛС до центра зондируемой области
600
, входное отношение
сигнал/шум
17q
дБ, коэффициент регуляризации
02.0
, ракурсный
диапазон
 0
.

Таблица 2
Радиус
области R
Число зондирований M
8
16
32
64
128
256
512
300
-
-
-
-
-
-
1.032
150
-
-
-
-
-
0.572
0.420
75
-
-
-
0.622
0.459
0.333
0.255
38
-
-
0.421
0.299
0.258
0.217
0.190
19
0.519
0.393
0.308
0.296
0.241
0.230
0.213
10
0.410
0.341
0.310
0.281
0.274
0.264
0.265
Результаты экспериментальных измерений интегральной ошибки при вариации
ракурсной базы
M
и размера зондируемой области
R
при отсутствии
стабилизации (
0
). Расстояние от РЛС до центра зондируемой области
600
, входное отношение сигнал/шум
дБq20
, ракурсный диапазон
 0
.

Таблица 3
Радиус
области R
Число зондирований M
8
16
32
64
128
256
512
300
-
-
0.524
0.478
0.457
0.450
0.444
150
-
-
0.329
0.275
0.250
0.237
0.231
75
-
-
0.379
0.290
0.226
0.189
0.167
38
-
-
0.359
0.376
0.222
0.197
0.172
19
-
-
0.344
0.288
0.250
0.222
0.215
10
-
-
0.317
0.306
0.253
0.258
0.266
Результаты экспериментальных измерений интегральной ошибки при
вариации ракурсной базы
M
и размера зондируемой области
R
. Расстояние
от РЛС до центра зондируемой области
300
, входное отношение
сигнал/шум
дБq17
, коэффициент регуляризации
02.0
, ракурсный
диапазон
 0
.

Если начало системы координат совместить с проекцией РЛС на зондируемую
поверхность и сечение диаграммы направленности антенной системы исследуемой
поверхностью и сферой радиуса
p
обозначить функцией
)(
p
L
, то энергия принимаемого
сигнала, отраженного бесконечно узкой кольцевой областью поверхности картинной
Границы Селектируемый
След исследуемого радиальный
луча кольца канал
Рис. 5. Коническое сканирование относительно
местной вертикали.

плоскости, характеризуемой энергетической функцией обратного рассеяния
)(xg
, может
быть представлен в виде одномерной циклической свертки:
)()()()(
)cos,sin()()(
2
2
0
2
0







gLdgL
dppgL
pp
pg

(3.2.2)
Выражение (3.2.2) можно интерпретировать как одномерное преобразование Радона
функции обратного рассеяния
)cos,sin(  rrfr
, заданной в картинной плоскости,
ортогональной оси
3
x
на окружности радиуса
r
, по многообразию дуг
L
,
модулированных диаграммой направленности
)(
r
g
. Финитное преобразование Фурье
принимаемого сигнала (3.2.2) выражается произведением циклических спектров функции
обратного рассеяния
)))(cos,sin({ 
rrfF r
и диаграммы направленности
))}(({ 
r
gF
:
)}({)}({))}(({   rrr gFfFF
. (3.2.3)
Если предположить, что проекция диаграммы направленности антенной системы
РЛС на картинную плоскость известна и спектр ее аппроксимирован огибающей, нигде не
обращающейся в нуль
0))}(({ 
r
gF
для

, (3.2.4)
то формула (3.2.3) может быть решена относительно спектра энергетической функции
обратного рассеяния зондируемой области:
))}(({/))}(({))}(({   rfr gFFfF r
. (3.2.5)
Выполнив обратное преобразование Фурье обеих частей равенства (3.2.5), получим
одномерную формулу обращения, директивно стабилизированную спектральной функцией
1
)])}(({[ 

r
gF
. Это утверждение вытекает из
n
-мерной формулы обращения,
представляющей собой сферическое среднее фильтрованных проекций Радона
)),(( xQ
:


1
1)()),(()( dxQxf nr
(3.2.6)
где вектор

12211221
321211
sin.sin..sinsincos.sin..sinsin...
...cossinsincossincos
 

nnnn
(3.2.7)
определяется координатами
121 ,...,,
 n
, а
)(  d
- элемент поверхности
n
-мерной
сферы, определяемый условием Лерея (3.1.2). В трехмерном случае
21211 sinsincossincos 
, (3.2.8)
в рассматриваемом двумерном –
11 sincos 
. (3.2.9)
На практике радиолокационный сигнал наблюдается на фоне аддитивного шума.
Так как обратное преобразование Радона неустойчиво к возмущающим воздействиям, то
для обеспечения устойчивости необходимо применить параметрически управляемую
стабилизацию (3.1.12). В результате такой подстановки получим следующее
приближенное значение функции обратного рассеяния:

))}(}({)]}({{[
))}(}({)({),(
11
1










gp
g
FLFF
FHFpg
. (3.2.10)
Для изодали радиуса
p
отображение результатов вычисления (3.2.10) в видеобуфер
)(xV
индикатора осуществляется следующей подстановкой:
),(),(cos,sin 2121  pgxxVpxpx
(3.2.11)
Применив формулы (3.2.10) и (3.2.11) к каждой изодали, получим синтезированное
радиолокационное изображение с улучшенной угловой разрешающей способностью.
В случае секторного сканирования, с целью ослабления искажений,
регистрируемый сигнал перед обработкой следует продолжить нулевыми значениями. Для
восстановления функции в данном случае, как и при коническом сканировании, при
обращении спектра достаточно вычислять только вещественную часть и отбросить
отсчеты, искаженные краевым эффектом.
3.3. Радиальное синтезирование
Метод конического сканирования может быть применен для повышения
радиальной разрешающей способности РЛС. В этом случае селектирующую роль
диаграммы направленности
)(g
выполняет дальностный строб
)()()(  pthpthtLp
, (3.3.1)
где
)(th
- функция Хевисайда,

- длительность зондирующего импульса,
t
- время.
Сигнал, принимаемый с дальности
p
, можно представить в виде свертки функций
p
t
gLgdtptLtgp 



 )()()(
, (3.3.2)
или как радоновское представление на многообразии интервалов протяженностью

. Для
получения радиального сверхразрешения в алгоритме (3.2.10) следует заменить
циклический спектр диаграммы направленности спектром дальностного строба (3.3.1), а
циклический спектр сигнала (3.2.2) спектром радиальной функции (3.3.2).
Применение описанной методики синтеза дает желаемый результат лишь в том
случае, когда регистрируемые значения отраженного сигнала сильно коррелированны, т.е.
получены с перекрытием диаграмм направленности или дальностных стробов в соседних
отсчетах. Величина относительного смещения диаграмм направленности от зондирования
к зондированию или дальностных стробов в соседних отсчетах определяет потенциальную
разрешающую способность по фильтруемому параметру.
Метод применим в радиолокационной картографии, а также в геофизических
исследованиях сред поверхностным, подповерхостным и объемным зондированием.
Заключение
В работе показано, что в обратных задачах «радоновского» типа определяющим
моментом является интерпретация исходного радоновского представления. Широта
применения преобразования Радона в радиофизике и радиолокации будет определяться
многообразием интерпретаций данного интегрального преобразования.

Литература
1. Рыжков Г.А., Троян В.Н. Томография и обратные задачи дистанционного
зондирования. – СПб: Изд. СПбГУ, 1994. 220 с.
2. A.G. Ramm, A.I. Katsevich. The Radon Transform and Local Tomography. – Boca Raton
New York, London, Tokyo: CRC Press, 1996. 480 p.
3. Караваев В.В., Сазонов В.В. Статистическая теория пассивной локации. – М.: Радио
и связь, 1987. 240 с.
4. Антипов В.Н. и др. Радиолокационные станции с цифровым синтезированием
апертуры антенны. – М.: Радио и связь, 1988.
5. Опаленов Ю.В., Потапов А.А. Радиолокационная радонометрия и фрактальная
топология // Труды X Межд. Конф. по Спиновой Электронике и Гировекторной
Электродинамике. – М.: МЭИ (ТУ), 2001. С. 226 - 258.
6. Опаленов Ю.В., Потапов А.А. Способ синтеза радиолокационного изображения и
устройство для его осуществления // Патент № 2211461 на изобретение по заявке №
2001116248/09(017637), приоритет от 18.06.2001.— Бюллетень Изобретений. 2003. № 24. Ч.
3. С. 791.
7. Опаленов Ю.В. Радиолокационная радонометрия на изодалях с римановой
топологией. // Электромагнитные волны и электронные системы. 2003. Т. 8, № 3. С. 9 - 15.
8. Троицкий И.Н. Статистическая теория томографии. – М.: Радио и связь. 1989.
9. Опаленов Ю.В. О ракурсной радиолокационной радонометрии. // Нелинейный мир.
2003. Т. 1, № 1 - 2. С. 55 - 58.
Сведения об авторах
Опаленов Юрий Васильевич (1937 г.р.) –
канд. техн. наук,
старш. науч. сотр. ЗАО НПП «Алмаз».
Научные интересы: статистическая
радиолокация, стохастические вычислительные
системы, радиолокационная радонометрия.
Потапов Александр Алексеевич (1951 г.р.) -
доктор физ.-мат. наук (1994),
чл.-корр. Академии инженерных наук им. А.М.
Прохорова,
чл.-корр. РАЕН,
главный научный сотрудник ИРЭ РАН.
Научные интересы: радиофизика, рассеяние и
дифракция электромагнитных волн, радиолокация,
распознавание и обработка изображений,
детерминированный хаос, современная топология,
фрактальный анализ.