Evolución de un pulso Gaussiano al reflejarse y transmitirse a través de una lámina dieléctrica sin pérdidas

Abstract

Los efectos no-geométricos de primer y segundo orden al reflejarse y trans mitirse un haz Gaussiano a través de una o varias superficies ha sido y sigue siendo estudiado con profundidad. Los haces limitados en el tiempo de dis tribución gaussiana de frecuencias presentan algunas características pecu liares que guardan algún paralelismo con las de los haces monocromáticos con distribución Gaussiana de amplitudes. Sin embargo, cuando se consid eran los primeros, los resultados de los efectos de primer y segundo orden complejos obtenidos analíticamente son más difíciles de interpretar y es tán claramente limitados por el principio de causalidad. En este trabajo se obtendrán analíticamente e interpretar an los efectos de primer y segundo orden para pulsos Gaussianos. Además del cambio de ancho en el pulso, se analizarán el retraso temporal, el corrimiento de la frecuencia media, cambio del punto de focalización y la aparición de un chirp aunque los medios no sean dispersivos.

Full text

Asociación Física Argentina
Evolución de un pulso Gaussiano al reflejarse y transmitirse a
través de una lámina dieléctrica sin pérdidas
Lucas M. Riobó 1,2Eduardo Acosta 1María T. Garea 1Liliana I. Perez 1,3
Francisco Ezequiel Veiras 1,2
1GLOmAe, Dpto. Física, Universidad de Buenos Aires
2CONICET, Buenos Aires
3INTECIN-CONICET-UBA
Resumen
Los efectos no-geométricos de primer y segundo orden al reflejarse y trans-
mitirse un haz Gaussiano a través de una o varias superficies ha sido y sigue
siendo estudiado con profundidad. Los haces limitados en el tiempo de dis-
tribución gaussiana de frecuencias presentan algunas características pecu-
liares que guardan algún paralelismo con las de los haces monocromáticos
con distribución Gaussiana de amplitudes. Sin embargo, cuando se consid-
eran los primeros, los resultados de los efectos de primer y segundo orden
complejos obtenidos analíticamente son más difíciles de interpretar y es-
tán claramente limitados por el principio de causalidad. En este trabajo se
obtendrán analíticamente e interpretar an los efectos de primer y segundo
orden para pulsos Gaussianos. Además del cambio de ancho en el pulso, se
analizarán el retraso temporal, el corrimiento de la frecuencia media, cambio
del punto de focalización y la aparición de un chirp aunque los medios no
sean dispersivos.
Modelo del Problema
La propagación, transmisión y la reflexión de un campo sobre una capa
material puede modelarse sigue:
donde,
r12 =
n1cos θ−n2r1−n1
n22sin2θ
n1cos θ+n2r1−n1
n22sin2θ
t0=n2d
cs1−n1
n22
sin2θ
En general, tanto R(ω)como T(ω)son sistemas cuya fase no es lineal
con ω. Esto significa que a la salida de dicho sistema la señal temporal
de entrada se deformará. Esto puede entenderse debido a que las
múltiples reflexiones entre las caras de la placa creará un patrón de
interferencia constructiva para algunas componentes en frecuencia de la
señal de entrada y destructiva para otras. El campo reflejado en la
interfaz de entrada se calcula cómo:
ER(t) = 1
2πZ∞
−∞
E(ω)R(ω)eiωtdω
donde podemos llegar a una expresión analítica, expresando a R(ω)
como exp ln[R(ω)] y desarrollando a segundo orden en ωalrededor de la
frecuencia de portadora ω0. Se opera en forma análoga para hallar el
campo transmitido, reemplazando a R(ω)por T(ω)y luego realizar la
misma operación. De esta forma, los campos reflejado y transmitido
sobre sus respectivas interfaces se expresan como:
ER(t) = ERr12ei[(ω0+∆ω)t+1
2ωct2][e−t2
2σ2−e−(t−tg)2
2σ2]
ET(t) = ET(1 −r2
12)ei[(ω0+∆ω)t+1
2ωct2]e−(t−tT)2
2σ2
Análisis del Pulso Transmitido
Como observamos de las ecuaciones anteriores, los pulsos transmitido y
reflejado, también son Gaussianos, sin embargo, existe un cambio en las
características de amplitud, la frecuencia media e instantánea de
propagación (Chirp), el retardo o tiempo en el cual ocurre el máximo de la
campana Gaussiana y su ancho:
T
Los coeficientes τRyτIprovienen del primer término del desarrollo de
Taylor, mientras que σ2
Ryσ2
Idel segundo. Ellos se expresan cómo:
τR=−2t0r2
12 sin(2ω0t0)
1−2 cos(2ω0t0) + r4
12
τI=2t0r2
12 cos(2ω0t0)−r2
12
1−2 cos(2ω0t0) + r4
12
σ2
R=4t2
0r2
12 2r2
12 −cos(2ω0t0)(1 + r4
12)
(1−2 cos(2ω0t0) + r4
12)2σ2
I=4t2
0r2
12 sin(2ω0t0)(r4
12 −1)
(1−2 cos(2ω0t0) + r4
12)2
Observemos como varían los parámetros de E(t)cuando un pulso
Gaussiano de un 1nS de duración incide sobre una placa de vidrio
(n=1.5) de 3cm:
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
0.95
1
1.05
1.1
3
2
1
0
1
2
x 10
8
2
1
0
1
2
x 10
17
30 90600
30 90600 30 90600
30 90600
Ángulo de Incidencia --
Conclusiones
Hemos analizado la evolución de un pulso Gaussiano al reflejarse y trans-
mitirse sobre una capa dieléctrica sin pérdidas. Observamos que ambos
también resultan ser Gaussianos, siempre y cuando se esté trabajando en
la condición σ2
0> σ2
R. A medida de que el ángulo de incidencia aumenta,
los efectos producidos se van acentuando. El análisis del pulso reflejado es
análogo.
http://www.fi.uba.ar/laboratorios/glomae/ lriobo@fi.uba.ar