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Revista Produção Online. Florianópolis, SC, v.17, n. 2, p. 592-619, 2017. 592
ESTUDO COMPARATIVO ENTRE OS MÉTODOS GRADIENTE REDUZIDO
GENERALIZADO E ALGORITMO GENÉTICO EM OTIMIZAÇÃO COM
MÚLTIPLAS RESPOSTAS
COMPARATIVE STUDY BETWEEN THE GENERALIZED REDUCED GRADIENT
AND GENETIC ALGORITHM IN MULTIPLE RESPONSE OPTIMIZATION
Fabrício Maciel Gomes*, ** E-mail: fmgomes@usp.br
Félix Monteiro Pereira* E-mail: felixmpereira@usp.br
Fernando Augusto Silva Marins** E-mail: fmarins@feg.unesp.br
Messias Borges Silva*, ** E-mail: messias@dequi.eel.usp.br
* Universidade de São Paulo (USP), Lorena, SP
** Universidade Estadual Paulista (UNESP), Guaratinguetá, SP
Resumo: Neste trabalho foi realizado um estudo comparativo entre as metodologias de otimização
Gradiente Reduzido Generalizado (GRG) e Algoritmo Genético (AG) para a otimização de processos
com múltiplas respostas. Para estimar os parâmetros que minimizam a função objetivo foram
utilizadas respostas geradas por planejamento de experimentos de forma aglutinada, as quais foram
incorporadas à função objetivo. Os estudos de caso utilizados foram baseados em trabalhos
selecionados na literatura e, para cada experimento selecionado, foi realizada a otimização dos
valores dos parâmetros do processo utilizando as duas metodologias, o GRG, por meio de uma
planilha do Microsoft Excel e o AG utilizando o software Scilab. Foram realizadas 10 replicações e
calculada a média dos resultados obtidos. A comparação entre os métodos foi realizada com base em
medidas de desempenho, por meio da distância média percentual. O AG apresentou melhores
resultados em comparação com o GRG.
Palavras-chave: Otimização. Múltiplas Respostas. Algoritmo Genético. GRG.
Abstract: In this paper we present a comparative study between the Generalized Reduced Gradient
(GRG) and Genetic Algorithm (GA) methods to optimize multiple-response processes. Results from
experiment design were used to compose the objective function to be minimized. The case studies in
this work were selected from literature. A Microsoft Excel spreadsheet was used for parameters
optimization using GRG, and the Scilab software was used to GA. Ten replicates were performed and
the mean of the results was obtained. To assess the methods was used performance measures based
on the mean percentage error. From the performance measures used, the AG showed better results
compared to the GRG, indicating that the AG can generate better responses than GRG.
Keywords: Optimization. Multiple Response. Genetic Algorithm. GRG.
1 INTRODUÇÃO
As variações de demanda dos clientes e os avanços tecnológicos tornam
complexa a determinação de uma melhoria de processo, pois, em geral, é
necessário considerar várias respostas a fim de se atingir uma melhoria global no
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processo. Dessa forma, a melhoria simultânea de múltiplas respostas é uma das
prioridades em vários ramos industriais (TSAI et al., 2010).
A melhoria de um processo consiste na busca pelas melhores condições de
ajuste para uma operação ou um conjunto de operações. O processo de busca pode
partir de uma solução inicial ou de um conjunto de soluções iniciais, realizar
melhoramentos progressivos até chegar a outro conjunto que contenha uma ou
todas as melhores soluções possíveis.
Os problemas utilizados na melhoria de processos podem ser formulados
genericamente como mostrado em (1).
1 2 3
Maximize ou Minimize ,
Sujeito ou nãoa:
- restrições de igualdade (na forma 0);
- restrições de desigualdade (na forma 0).
n
f(y)
y =(x , x , x ,..., x )
cz(y)=
cz(y)
(1)
A melhoria de um processo visa geralmente a redução de custos ou o
incremento de ganhos pela determinação de condições pertencentes a um conjunto
de variáveis y(x1, x2, x3, ..., xn) capaz de gerar melhores valores da função f(y),
considerando as restrições impostas.
Um modelo matemático capaz de descrever o comportamento de um
processo pode ser obtido por técnicas determinísticas ou estocásticas. Uma
ferramenta útil em estudos de otimização com múltiplas respostas é a metodologia
de superfície de resposta em sua versão multivariada (DÍAS-GARCÍA; BASHIRI,
2014). Com essa abordagem é possível determinar uma relação analítica entre a
resposta e as variáveis independentes utilizando uma quantidade menor de pontos
experimentais (KHURI; CORNELL, 1987).
Dependendo da forma de obtenção da função objetivo e/ou restrições, o
problema pode ser linear ou não linear. Além disso, as variáveis que compõem a
função objetivo podem assumir valores reais, inteiros ou ambos.
Em problemas de minimização, uma solução y* é chamada mínima global
quando não existir outra y, dentro do espaço de busca, que forneça um valor para a
função objetivo f(y) menor do que f(y*). Em problemas de maximização, o máximo
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global y* atende a condição f(y*) maior do que f(y) para qualquer x pertencente ao
espaço de busca, como pode ser observado na Figura 1.
Figura 1 – Exemplos de ponto de máximo e de mínimo em uma função
Fonte: adaptado de Weise (2009)
Quando uma solução y possui f(y) mínimo apenas dentro de uma
determinada região próxima a y, chamada de vizinhança de y, diz-se que o mínimo é
local. Mínimos locais podem vir a ser boas soluções, porém não são as melhores.
Dependendo do método de busca utilizado, esses pontos podem ser indesejáveis
por interromperem a busca por melhores soluções.
Para contornar este tipo de problema pode-se utilizar algoritmos heurísticos,
como o método do Gradiente Reduzido Generalizado (GRG) que, mesmo não sendo
capazes de garantir a obtenção do mínimo global, podem oferecer soluções
aceitáveis para problemas complexos com baixo custo computacional (IGNÍZIO;
CAVALIER, 1994). Outra forma eficaz é a utilização de meta-heurísticas, como os
algoritmos genéticos que propiciam a busca por pontos ótimos sem a necessidade
de calcular todas as soluções possíveis empregando conceitos de evolução
Darwiniana (HAMMOUCHE et al., 2010).
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Esta seção tem como objetivo apresentar, de maneira resumida, as técnicas
utilizadas neste trabalho.
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2.1 Otimização
A busca de um estado ideal é um dos princípios fundamentais da natureza.
Essa busca se inicia no microcosmo onde os átomos formam ligações que
minimizam a energia de seus elétrons (PAULING, 1960). As moléculas formam
corpos sólidos durante o processo de congelamento, tendendo a assumir estruturas
cristalinas com um estado de mínima energia. Estes processos resultam puramente
das leis da física.
Na história humana, a incessante busca por melhorias das condições de vida
pode também ser entendida como um processo de otimização.
Nas empresas, a produção deve ser otimizada a fim de se obter produtividade
e lucros máximos mantendo os custos em um mínimo possível.
Um processo de otimização nem sempre implica na determinação das
condições ótimas de operação, pois, em muitos casos, é impossível estabelecer uma
condição ótima de operação devido a uma quantidade ilimitada de variáveis que
impactam no processo. Nesses casos, o que se pode determinar são as condições
de melhoria por meio da seleção de pontos máximos dentro de um espaço de busca
pré-determinado (DEHURI; CHO, 2009).
2.2 Otimização de Múltiplas Respostas
Normalmente, os processos industriais e os produtos por eles gerados
possuem características de qualidade diversas, algumas mais importantes que
outras na proporção do valor que o cliente atribui a cada uma delas. Uma indústria
pode ter, dentre outras, as seguintes respostas sujeitas a otimização:
a) Minimizar o lead time;
b) Maximizar a produtividade;
c) Minimizar os custos de produção;
d) Maximizar a qualidade de seu produto;
e) Minimizar o impacto com o meio ambiente.
As respostas “d” e “e” são comumente conflitantes com a minimização de
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custos de produção. Os conflitos entre as respostas nem sempre são óbvios e
podem gerar uma série de complicações durante o processo de otimização (WEISE,
2009).
Na otimização de múltiplas respostas normalmente não há nenhuma solução
que seja ideal para todos os objetivos impostos. Dessa forma, qualquer solução
pode ser sempre melhorada em pelo menos um objetivo (BAZGAN et al., 2015).
Portanto, pode-se considerar que o resultado de uma otimização de múltiplas
respostas gere um conjunto de soluções ótimas, conhecido como soluções não-
dominadas.
Soluções não-dominadas são também chamadas de soluções Pareto-ótimas.
Todas as soluções que são Pareto-ótimas constituem o conjunto Pareto. Os valores
objetivos do conjunto de Pareto no espaço objetivo constituem a fronteira de Pareto
(SUDENG; WATTANAPONGSAKORN, 2015).
A resolução de problemas multiobjetivo é dividida, basicamente, em duas
etapas:
a) Determinação de soluções eficientes;
b) Etapa de decisão.
O primeiro aspecto diz respeito à determinação do conjunto de soluções
Pareto-ótimas dentro da região viável do conjunto de respostas. O segundo aspecto
se refere à determinação da melhor resposta dentre as relacionadas pelo conjunto
Pareto-ótimo. Este procedimento também é conhecido como decisor.
Segundo Veldhuizen e Lamont (2000), os métodos de resolução de
problemas com múltiplas respostas podem ser classificados em três categorias
distintas, de acordo com a combinação realizada entre o método de otimização e a
etapa de decisão:
a) Decisão antes do processo de procura: quando o decisor atribui os pesos
para cada objetivo que compõe o problema;
b) Decisão durante o processo de procura: é o procedimento que faz as
escolhas durante o processo de obtenção das soluções;
c) Decisão após o processo de procura: quando a determinação da melhor
solução é realizada após a determinação das soluções eficientes.
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A apresentação das decisões após a etapa de definição das soluções
eficientes é a mais lógica das três, isto porque as escolhas serão feitas de acordo
com as respostas finais encontradas. Ou seja, como já dito, com o conjunto Pareto-
ótimo definido torna-se possível conhecer o comportamento do problema em relação
aos objetivos analisados. Conhecendo-se as relações de dependência entre eles, a
escolha final é facilitada (AVILA, 2006).
2.3 Planejamento de Experimentos
O planejamento de experimentos consiste em um conjunto de ensaios
estabelecidos sob critérios estatísticos e científicos, com a finalidade de determinar a
influência de diversas variáveis sobre determinadas respostas (TORRES JÚNIOR;
QUININO, 2014).
O arranjo experimental mais comum é o fatorial completo para o qual o
número de experimentos é igual ao número de níveis experimentais elevado ao
número de fatores. Montgomery e Runger (2012) afirmam que “planejamentos
fatoriais” são frequentemente usados nos experimentos envolvendo vários fatores e
que “experimentos fatoriais” são a única maneira de descobrir interações entre
variáveis de processo.
Segundo Haridy et al. (2011), o Planejamento de Experimentos é um método
estruturado e organizado, utilizado na determinação do relacionamento de diferentes
fatores de entrada e saída do processo, envolvendo a definição do conjunto de
experimentos, nos quais todos os fatores relevantes são variados sistematicamente.
Por meio da análise dos resultados obtidos pode-se determinar o grau de
influência na variável resposta de cada fator utilizado, assim como as interações
entre os fatores e as condições ótimas.
Segundo Melo et al. (2013), o método do planejamento de experimentos
utilizado para otimização experimental proporciona resultados importantes que
auxiliam o engenheiro de produção ou de processo, na análise de diagnóstico do
processo de manufatura.
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2.4 Distância Percentual Média (DPM)
A função aglutinadora Distância Percentual Média (DPM), pode ser obtida
como uma função das variáveis de resposta (ŷi) e valores alvo (Ti) individuais, como
apresentado em (2), onde p é o número de parâmetros (xi) a serem otimizados
(GOMES et al., 2015).
pT
Ty
DPM
p
ii
ii
1
ˆ
(2)
Segundo Kim e Lin (2006), este é o método que tem obtido melhores
resultados quando aplicados na avaliação e na comparação dos métodos de
otimização.
2.5 Algoritmo Genético (AG)
A meta-heurística Algoritmo Genético (AG), introduzida por Holland em 1975,
faz parte de um conjunto de algoritmos mais abrangente, chamados de Algoritmos
Evolutivos. Nas décadas de 60 e 70 vários pesquisadores de diferentes pontos dos
Estados Unidos e da Europa convergiam para a ideia de mimetizar o mecanismo de
evolução biológica a fim de resolver problemas de diversas áreas, em especial o de
otimização. Dessas pesquisas resultaram diferentes abordagens e algoritmos, sendo
os principais representantes as estratégias evolutivas (RECHENBERG, 1973), a
programação evolutiva (FOGEL et al., 1966) e os algoritmos genéticos (HOLLAND,
1975; GOLDBERG, 1989).
Segundo Cheng et al. (2002), o AG demonstra um bom desempenho quando
utilizado para otimização de problemas com múltiplas respostas aglutinadas.
Para compreender o funcionamento dos algoritmos genéticos é necessário
realizar uma analogia com a teoria da evolução das espécies. Desse modo, o
funcionamento do AG possui as seguintes características:
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a) Inicialmente é gerada uma população formada por um conjunto aleatório de
indivíduos, que podem ser vistos como possíveis soluções do problema;
b) Durante o processo evolutivo, esta população é avaliada, sendo que para
cada indivíduo é atribuída uma nota, ou índice, que reflete sua habilidade de
adaptação a determinado ambiente;
c) Uma porcentagem dos indivíduos mais adaptados é mantida, enquanto os
outros são descartados;
d) Os membros mantidos pela seleção podem sofrer modificações em suas
características fundamentais por meio de cruzamentos, mutações ou
recombinação genética gerando descendentes para a próxima geração;
e) Este processo, chamado de reprodução, é repetido até que uma solução
satisfatória seja encontrada. Embora possam parecer simplistas do ponto de
vista biológico, estes algoritmos são suficientemente complexos para fornecer
mecanismos de busca adaptativos poderosos e robustos.
O Quadro 1 apresenta um pseudocódigo de um AG clássico.
Quadro 1 – Pseudocódigo da meta-heurística AG
Algoritmo AG (μ, pc, pm)
Gere a população inicial de tamanho μ
enquanto (critério de parada não for satisfeito) faça
selecione a população de pais
selecione o operador de recombinação com probabilidade pc
selecione o operador de mutação com probabilidade pm
avalie a população de filhos
selecione a nova população
fim-enquanto
fim-algoritmo
Fonte: adaptado de Reeves (2003)
2.5.1 Funcionamento de um AG
Para realizar transformações em uma população, os operadores genéticos
atuam de maneira que, a cada nova geração, os novos indivíduos sejam mais
capazes de se adaptar ao meio. Assim, os operadores genéticos contribuem para
que o processo de evolução ocorra de fato.
As etapas de um AG são as apresentadas a seguir, como descrito por
Mendes (2013):
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a) Inicialização
Um AG tem como primeira etapa a criação de uma população inicial que é
realizada de maneira aleatória, a esta função dá-se o nome de inicialização.
A geração de cromossomos que compõem a população inicial tem como
objetivo aumentar a diversidade genética da população inicial garantindo um maior
alcance no espaço de busca.
Caso a inicialização da população não ocorra de forma randômica, esta
poderá convergir prematuramente significando que, em um curto espaço de tempo, a
população possuirá indivíduos muito semelhantes, ou seja, com pouca diversidade
genética, o que dificultará na escolha da melhor solução possível para o problema
estudado.
Após a criação da população inicial, é necessário avaliar todos os
cromossomos gerados quanto a sua aptidão ao meio.
b) Função de Aptidão
Pela teoria da seleção natural, a aptidão é exercida pelo meio em que o
indivíduo vive. Quando um determinado indivíduo não se encontra apto para
sobreviver em um determinado meio, ele tem menor probabilidade de se recombinar
(crossover) e assim não transmitir a sua carga genética para as próximas gerações.
No AG, é desejável que a função aptidão mantenha os melhores resultados
de uma geração permitindo que os mesmos sejam replicados para a próxima
geração. Assim, ao gerar uma nova população, os melhores genomas “poderão ser
autorizados” a serem transmitidos de forma inalterada para a população futura. Este
método é conhecido como seleção elitista e esses genomas selecionados são
chamados de membros de elite da população mais antiga (FAGHIHI et al., 2014).
c) Seleção
A seleção é executada após a determinação da aptidão dos cromossomos
gerados. Este processo está baseado no fato de que indivíduos mais capazes de
sobreviver ao meio têm maior probabilidade de gerar descendentes, enquanto que
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indivíduos menos capazes têm menor probabilidade de gerar descendentes.
Portanto a operação de seleção não pode ser realizada de forma que somente o
indivíduo mais capaz possa gerar descendentes, pois existe a chance de um
indivíduo menos capaz contribuir com sua carga genética com as populações
futuras.
d) Cruzamento
O cruzamento (crossover ou recombinação) é efetuado logo após a seleção.
Nesta operação ocorre a troca de segmentos entre pares de cromossomos
selecionados dando origem a novos indivíduos que formarão a população da
geração seguinte.
O propósito da operação de cruzamento é repassar características dos
indivíduos mais aptos da população por meio da troca de segmentos de informações
entre si, originando novos indivíduos.
Os métodos mais comuns de cruzamento nos Algoritmos Genéticos são os de
ponto único, de ponto duplo e de pontos aleatórios:
Método de ponto único: um ponto de corte aleatório é escolhido, o material
genético dos pais é trocado dando origem a dois novos cromossomos
formados pela combinação das características genéticas dos pais, como
apresentado na Figura 2.
Figura 2 - Cruzamento em ponto único
Fonte: adaptado de Mendes (2013)
Método de ponto duplo: dois pontos de cruzamento aleatórios são escolhidos
ocorrendo a troca entre os materiais genéticos dos pais de forma intercalada,
como mostrado na Figura 3.
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Figura 3 - Cruzamento em ponto duplo
Fonte: adaptado de Mendes (2013)
Método de pontos aleatórios: utiliza como base máscaras (cromossomos
binários) onde, no local em que os alelos possuem o valor “1”, utiliza-se
inicialmente o material genético de um dos pais e, no local em que os alelos
possuem o valor “0”, o material do outro pai. Essa máscara pode ser invertida
dando início a um novo processo de cruzamento, como mostrado na Figura 4.
Figura 4 - Cruzamento em pontos aleatórios
Fonte: adaptado de Mendes (2013)
e) Mutação
A mutação é realizada após o cruzamento e tem o objetivo de realizar
modificações aleatórias em determinadas propriedades genéticas de uma
população. Esta operação possibilita a obtenção de propriedades genéticas que não
existiam ou que eram pouco encontradas na população atual.
A mutação permite a introdução e manutenção da diversidade genética da
população. Portanto, a execução do operador de mutação possibilita garantir que o
espaço de busca possivelmente não será igual a zero.
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A taxa de mutação deve acometer uma pequena parcela da população, pois,
caso essa taxa seja elevada, os indivíduos gerados pouco se assemelharão aos
seus pais.
Existem várias técnicas de mutação, dentre elas: mutação aleatória onde um
valor é sorteado para substituir o que sofrerá a mutação como mostrado na Figura 5;
mutação por troca, onde n pares de genes são sorteados e após o sorteio os pares
trocam valores entre si, como apresentado na Figura 6.
Figura 5 – Mutação aleatória.
Fonte: adaptado de Mendes (2013)
Figura 6 – Mutação por troca
Fonte: adaptado de Mendes (2013)
f) Atualização
A atualização consiste na substituição da população antiga por uma nova,
formada pelo cruzamento dos indivíduos selecionados da população anterior. As
formas mais conhecidas de atualização são: a estratégia soma, onde alguns
indivíduos da população anterior convivem com a população formada por seus filhos
(elitista); a estratégia vírgula, na qual a população anterior não convive com a
próxima população, perdendo-se então soluções boas encontradas.
g) Finalização
O operador de finalização determina se a execução do Algoritmo Genético
será concluída ou não, com base em uma condição de parada previamente
estabelecida. A condição de parada pode ser a quantidade gerações desenvolvidas
ou o grau de proximidade dos valores de aptidão de cada cromossomo da
população.
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2.6 Gradiente Reduzido Generalizado
O método do Gradiente Reduzido Generalizado (GRG) foi apresentado por
Abadie e Carpentier (1969) para solucionar problemas de programação matemática
com uma função objetivo não linear e restrições lineares. Este trabalho foi baseado
no método do Gradiente descrito por Rosen (1960) e no método do Gradiente
Reduzido descrito por Wolfe (1963).
Waren e Lasdon (1979) deram uma descrição detalhada do desempenho de
vários códigos computacionais, em uso na época, informando a qualidade
diferenciada do GRG. Posteriormente, Lasdon et al. (1980) efetuaram algumas
modificações no algoritmo e o batizaram de GRG2. Ressalta-se que estas
modificações foram realizadas no algoritmo computacional preservando-se o método
original.
Segundo Köksoy e Yalcinoz (2006), o GRG é o método mais empregado na
resolução de problemas com múltiplas respostas, fato este devido a sua facilidade
de implantação e de seu algoritmo estar disponibilizado no pacote Solver que
acompanha o software Microsoft Excel®. Entretanto, a maior limitação da utilização
do GRG provém do fato de que é necessário que a estimativa inicial dos parâmetros
seja próxima ao valor do ponto ótimo para que se tenha uma garantia de
convergência para o ponto ótimo.
3 MÉTODOS
O presente estudo tem como objetivo realizar uma avaliação comparativa
entre o desempenho da meta-heurística AG e da heurística GRG. Como base de
comparação para os métodos propostos foi utilizada a DPM como método de
aglutinação.
Para se proceder com este estudo, foram selecionados cinco trabalhos na
literatura que envolvem a solução de problemas com múltiplas respostas. Neste
trabalho, foram realizadas 10 replicações em cada um deles e calculada a média e o
desvio-padrão dos resultados obtidos.
Os casos selecionados na literatura para a execução deste estudo são
apresentados a seguir.
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3.1 Estudos de Casos
Os métodos aqui apresentados (AG e GRG) foram aplicados a 4 estudos de
casos descritos a seguir.
3.1.1 Caso 1 – Derringer e Suich (1980)
O problema descrito por Derringer e Suich (1980), consiste na otimização de
quatro índices de qualidade de pneus (ŷi) associados a três fatores de controle ou
variáveis de decisão (xi): ŷ1, índice de abrasão; ŷ2, módulo 200%; ŷ3, alongamento
de ruptura; ŷ4, dureza; x1, nível de sílica hidratada; x2, nível de silano com agente
ligante e x3, concentração de enxofre. As experiências foram realizadas com base
num desenho de compósito central com seis pontos centrais e as equações de
regressão das respostas de segundo grau obtidas são apresentadas em 3-6.
2 2 2
1 1 2 3 1 2 3 1 2
1 3 2 3
ˆ139,12 16,49 17,88 10,91 4,01 3,45 1,57 5,13
7,13 7,88
y x x x x x x x x
x x x x
(3)
2 2 2
2 1 2 3 1 2 3
1 2 1 3 2 3
ˆ1261,11 268,15 246,50 139,48 83,55 124,79 199,17
68,38 94,13 104,38
y x x x x x x
x x x x x x
(4)
2 2 2
3 1 2 3 1 2 3 1 2
1 3 2 3
ˆ400,38 99,67 31,40 73,92 7,93 17,31 0,43 8,75
6,25 1,25
y x x x x x x x x
x x x x
(5)
2 2 2
4 1 2 3 1 2 3 1 2
1 3 2 3
ˆ68,91 1,41 4,32 1,63 1,56 0,06 0,32 1,63
0,13 0,25
y x x x x x x x x
x x x x
(6)
Os alvos (Ti) para a otimização de cada resposta foram determinados pelos
autores do referido trabalho e são apresentados nas igualdades apresentadas em 7.
1 2 3 4
170; 1300; 500; 67,5T T T T
(7)
As restrições para este problema estão descritas em 8.
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1 2 3 1
2 3 4
ˆ
1,663 1,663; 1,663 1,663; 1,663 1,663; 120;
ˆ ˆ ˆ
1000; 400 600; 65 70
x x x y
y y y
(8)
A função objetivo, resultante da aglutinação das respostas para este estudo
de caso está descrito em 9.
3
1 2 4
ˆ
ˆ ˆ ˆ
500
170 1300 67,5
170 1300 500 67,5 100
4
y
y y y
DPM
(9)
3.1.2 Caso 2: Khuri e Conlon (1981)
O problema descrito por Khuri e Conlon (1981) tem como objetivo otimizar
quatro respostas distintas: ŷ1, dureza; ŷ2, coesividade; ŷ1, elasticidade; ŷ3,
compressão à água. Foram consideradas duas variáveis de decisão: x1, cisteína; x2,
clorato de cálcio. As equações de regressão das respostas de segundo grau obtidas
são apresentadas em 10-13.
22
1 1 2 1 2 1 2
ˆ1,526 0,575 0,524 0,171 0,098 0,318y x x x x x x
(10)
22
2 1 2 1 2 1 2
ˆ0,660 0,092 0,010 0,096 0,058 0,070y x x x x xx
(11)
22
3 1 2 1 2 1 2
ˆ1,776 0,250 0,078 0,156 0,079 0,010y x x x x x x
(12)
22
4 1 2 1 2 1 2
ˆ0,468 0,131 0,073 0,026 0,024 0,083y x x x x x x
(13)
Os alvos para a otimização de cada resposta são apresentados em 14.
1 2 3 4
2,68; 0,69; 1,90; 0,71T T T T
(14)
As restrições para este problema estão descritas em 15.
1 2 1 2
34
ˆˆ
1,414 1,414; 1,414 1,414 ; 0,37; 0,30;
ˆˆ
1,10; 0,23
x x y y
yy
(15)
Revista Produção Online. Florianópolis, SC, v.17, n. 2, p. 592-619, 2017. 607
A função objetivo, resultante da aglutinação das respostas para este estudo
de caso está descrito em 16.
3
1 2 4
ˆ
ˆ ˆ ˆ
1,90
2,68 0,69 0,71
2,68 0,69 1,90 0,71 100
4
y
y y y
DPM
(16)
3.1.3 Caso 3: Vining (1998)
O problema descrito por Vining (1998) tem como objetivo otimizar duas
respostas distintas: ŷ1, máxima conversão; ŷ2, atividade térmica. Foram
consideradas três variáveis de decisão: x1, tempo de reação; x2, temperatura de
reação; x3, quantidade de catalisador. Em 17 e 18, são apresentados os modelos
obtidos por regressão.
2 2 2
1 1 2 3 1 2 3 1 2
1 3 2 3
ˆ81,09 1,03 4,04 6,20 1,83 2,94 5,19 2,13
11,37 3,87
y x x x x x x x x
x x x x
(17)
2 1 3
ˆ60,23 4,26 2,23y x x
(18)
Os alvos para a otimização das respostas são apresentados em 19.
12
100; 57,5TT
(19)
As restrições para este problema são apresentadas em 20.
1 2 3
12
1,663 1,663; 1,663 1,663; 1,663 1,663;
ˆˆ
80; 55 60
x x x
yy
(20)
A função objetivo, resultante da aglutinação das respostas para este estudo
de caso está descrita em 21.
12
ˆˆ
100 57,5
100 57,5 100
2
yy
DPM
(21)
Revista Produção Online. Florianópolis, SC, v.17, n. 2, p. 592-619, 2017. 608
3.1.4 Caso 4 – Castillo et al. (1996)
O problema apresentado por Castillo et al. (1996), consiste na otimização de
seis índices de qualidade: ŷ1, temperatura máxima na posição A; ŷ2, temperatura
inicial da ligação na posição A; ŷ3, temperatura final da ligação na posição A; ŷ4,
temperatura máxima na posição B; ŷ5, temperatura inicial da ligação na posição B;
ŷ6, temperatura final da ligação na posição B. Foram utilizadas três variáveis de
decisão: x1, taxa de fluxo de nitrogênio; x2, temperatura do nitrogênio; x3,
temperatura do bloco de aquecimento. Em 22-27, são apresentados os modelos
obtidos por regressão.
1 2 3 2 3
ˆ174,93 23,38 3,62 19,00y x x x x
(22)
2 1 2 3
ˆ141,00 6,00 21,02 14,12y x x x
(23)
3 1 2 3
ˆ139,53 7,25 16,00 19,75y x x x
(24)
2
4 1 2 3 1 1 2
ˆ154,90 10,10 30,60 6,30 11,20 11,30y x x x x x x
(25)
2
5 1 2 3 1 1 2
ˆ139,29 4,63 19,75 16,13 5,41 7,00y x x x x x x
(26)
2
6 1 2 3 1 1 2
ˆ146,86 4,87 15,62 27,00 3,98 4,75y x x x x x x
(27)
Os alvos para a otimização das respostas são apresentados em 28.
1 2 3 4 5 6
190; 185; 185; 190; 185; 185T T T T T T
(28)
As restrições para este problema estão descritas em 29.
1 2 3 1
2 3 4 5 6
ˆ
1,000 1,000; 1,000 1,000 ; 1,000 1,000 ;185 195;
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
170 195; 170 195;185 195; 170 195; 170 195
x x x y
y y y y y
(29)
A função objetivo, resultante da aglutinação das respostas para este estudo
de caso está descrita em 30.
Revista Produção Online. Florianópolis, SC, v.17, n. 2, p. 592-619, 2017. 609
3 5 6
1 2 4
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
185 185 185
190 185 190
190 185 185 190 185 185 100
6
y y y
y y y
DPM
(30)
3.2 Formas de Aplicação do AG e do GRG
Nesta seção é apresentada a forma de implementação das técnicas utilizadas
(AG e GRG).
3.2.1 Algoritmo Genético (AG)
A implementação do AG, apresentada no Quadro 2, foi desenvolvida no
software Scilab v. 5.5.2. O Scilab é um software gratuito disponibilizado pela Scilab
Enterprises e conta com a função optim_ga que consiste em uma sub-rotina que
facilita a implementação do AG.
Dependendo dos valores utilizados nos parâmetros do AG, o resultado obtido
pode ser o valor desejado (ótimo global), um valor próximo ao desejado (ótimo local)
ou ainda um valor muito diferente.
A fim de padronizar os parâmetros do AG foram realizados um total de 10
testes utilizando o Caso 1 descrito na seção 3.1.1. Foram então determinados os
melhores valores para os parâmetros específicos do AG em função do resultado
obtido e do custo computacional envolvido.
Revista Produção Online. Florianópolis, SC, v.17, n. 2, p. 592-619, 2017. 610
Quadro 2 - Representação do método Algoritmo Genético utilizado para a melhoria de processos
Algoritmo Genético
N ← Número de gerações
i ←1
P ←Tamanho da população
Pc ← Probabilidade de Cruzamento
Pm ← Probabilidade de Mutação
C ← Probabilidade de cruzamento dos piores indivíduos
D ← incremento utilizado na criação da população
Min ← Valor mínimo das variáveis de decisão
Max ← Valor máximo das variáveis de decisão
Gere aleatoriamente uma população inicial x
enquanto (N>i) faça
Ranqueie a população de acordo com a aptidão
Sorteie membros da população para cruzamento ou eliminação em função do
resultado do ranking
enquanto (P > j) faça
Sorteie dois membros da população pré-selecionada
se (Pc> número aleatório) então
Realize cruzamento com um ponto de corte entre sorteados
senão
Mantêm os cromossomos inalterados na próxima geração
fim-se
se (Pm> número aleatório) então
Realize mutação no cromossomo
fim-se
fim-enquanto
Imprime x
fim-algoritmo
3.2.2 Gradiente Reduzido Generalizado (GRG)
O método GRG presente no software Microsoft Excel® versão 2013 por meio
do aplicativo Solver foi empregado na obtenção da solução dos problemas.
Este aplicativo conta com o GRG2 (segunda geração) já contendo melhorias
no algoritmo o tornando mais rápido e eficiente.
Para a aplicação deste método foram necessárias três etapas:
a) Implementação da Função Objetivo: foi obtida respeitando os alvos de cada
estudo de caso associada ao método de aglutinação DPM;
b) Variáveis de Decisão: os valores iniciais ficaram definidos como sendo iguais
a zero, a fim de se garantir o mesmo início para todas as situações. São as
Revista Produção Online. Florianópolis, SC, v.17, n. 2, p. 592-619, 2017. 611
variáveis a serem otimizadas a fim de encontrar o melhor arranjo
experimental;
c) Especificação das Restrições: foram implementadas de forma a restringir o
algoritmo a permanecer dentro da região viável de busca. As restrições foram
obtidas de acordo com as particularidades de cada caso especificado.
Após o estabelecimento destes parâmetros foi escolhida a utilização do GRG
como o algoritmo de busca a ser utilizado pelo Solver e selecionada a opção de
minimizar a função objetivo, que nesse trabalho consiste na aglutinação da DPM.
4 RESULTADOS E DISCUSSÃO
A seguir são apresentados os resultados obtidos na calibração dos
parâmetros da meta-heurística AG e na busca pelas melhores condições de
processo dos estudos de caso.
4.1 Calibração dos Parâmetros da Meta-Heurística Algoritmo Genético
O primeiro parâmetro calibrado da meta-heurística AG foi a quantidade de
gerações que é o que mais influencia no custo computacional deste algoritmo.
A quantidade de gerações foi variada entre 50 a 500 gerações, e o resultado
pode ser observado na Figura 7.
Figura 7 – Gráficos correlacionando a DPM (eixo das ordenadas) com o número de gerações (eixo
das abscissas) em função do número total de gerações realizadas
Revista Produção Online. Florianópolis, SC, v.17, n. 2, p. 592-619, 2017. 612
Os resultados apresentados na Figura 7 indicam que todos os valores
utilizados tendem a convergir para o mesmo valor de DPM, porém, com a utilização
de um menor número de gerações, é possível atingir este ponto com um custo
computacional menor. Para garantir uma boa convergência em uma gama maior de
problemas diferentes sem sacrificar o custo computacional optou-se por utilizar um
tamanho de população igual a 100.
O segundo parâmetro foi o tamanho da população. Os resultados obtidos são
apresentados na Figura 8.
Figura 8 – Gráficos correlacionando a DPM (eixo das ordenadas) com o número de gerações (eixo
das abscissas) em função do tamanho da população
Na Figura 8 pode-se observar que quanto maior o tamanho da população,
menor é a DPM alcançada na primeira geração, entretanto, todos os valores
utilizados atingem um valor próximo na última geração, e como o tamanho da
população também é um fator que incide diretamente no custo computacional do
algoritmo, optou-se em adotar o tamanho da população igual a 100 a fim de
equilibrar o desempenho do algoritmo com seu custo computacional.
O terceiro parâmetro calibrado foi o número de cruzamentos efetuados. Os
resultados estão apresentados na Figura 9.
Revista Produção Online. Florianópolis, SC, v.17, n. 2, p. 592-619, 2017. 613
Figura 9 – Gráficos correlacionando a DPM (eixo das ordenadas) com o número de
gerações (eixo das abscissas) em função do número de cruzamentos
Como mostrado na Figura 9, todos os valores testados convergem para a
mesma resposta, portanto, optou-se neste parâmetro pela escolha do valor 100 por
ser o que aparentemente tem uma convergência mais rápida.
O quarto parâmetro calibrado foi a probabilidade de mutação, variada em uma
faixa entre 0,15 e 0,75. Os resultados são apresentados na Figura 10.
Figura 10 – Gráficos correlacionando a DPM (eixo das ordenadas) com o número de gerações
(eixo das abscissas) em função da probabilidade de mutação
A Figura 10 indica que todas as probabilidades de mutação testadas
convergem para a mesma região de resposta, portanto o valor escolhido a ser
utilizado neste trabalho foi 0,45, pois entre todos os valores testados foi o que
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demonstrou uma convergência mais rápida.
Em função dos resultados obtidos, os parâmetros adotados para a Meta-heurística AG, em
todos os testes realizados neste estudo, encontram-se sumarizados na Tabela 1.
Tabela 1 – Parâmetros calibrados para a Meta-heurística Algoritmo Genético
Parâmetro
Valor adotado
Número de Gerações
Tamanho da População
Número de Cruzamentos
Probabilidade de Mutação
100
100
100
0,45
4.2 Busca pelas Melhores Condições de Processo dos Estudos de Caso
Os resultados obtidos na determinação das condições que acarretam em uma
melhoria dos processos apresentados nos estudos de caso estão sumarizados na
Tabela 2.
Tabela 2 – Resultados da busca pelas melhores condições dos processos para a comparação
entre os métodos GRG e AG
Variáveis
Estudo de Caso 1
Estudo de Caso 2
Estudo de Caso 3
Estudo de Caso 4
GRG
AG
GRG
AG
GRG
AG
GRG
AG
x1
-0,305
-0,215
-0,516
-0,516
-0,388
-0,391
-0,085
1,000
x2
0,866
0,055
-0,366
-0,366
1,668
1,668
1,000
0,864
x3
-1,130
-1,049
----
----
-0,484
-0,477
0,865
0,791
ŷ1
125,68
124,28
2,02
2,02
95,30
95,30
185,00
185,00
ŷ2
1300,00
1299,91
0,66
0,66
57,49
57,50
173,73
176,34
ŷ3
500,00
499,76
1,87
1,87
----
----
172,01
176,24
ŷ4
71,74
67,53
0,37
0,37
----
----
189,05
195,00
ŷ5
-----
-----
----
----
----
----
171,97
174,40
ŷ6
-----
-----
----
----
----
----
185,00
186,72
DPM
8,08
6,75
19,48
19,48
2,35
2,35
4,15
3,56
Os resultados demonstrados na Tabela 2 indicam que para os estudos de
casos 2 e 3, ambos os métodos utilizados neste trabalho (AG e GRG), convergiram
para a mesma região resultando em um ajuste de processo praticamente idêntico,
culminando num DPM igual nos dois casos, demonstrando que o método de busca
utilizado não influencia no processo de otimização.
Ao analisar os resultados obtidos para a otimização do estudo de caso 1 e o
estudo de caso 4, observa-se que os métodos de busca obtiveram ajustes diferentes
do processo, indicando a presença de ótimos locais que podem dificultar a
determinação do melhor ajuste do processo, favorecendo portando a implementação
do AG como mecanismo mais eficiente para a determinação de um ponto ótimo mais
Revista Produção Online. Florianópolis, SC, v.17, n. 2, p. 592-619, 2017. 615
robusto. Contudo, deve-se ressaltar que apesar da determinação de um ajuste
diferente no processo, os valores obtidos para o DPM não apresentam variações
superiores a 3% (Figura 11).
Figura 11 – Valores de DPM obtidos no processo de otimização
A Tabela 3 apresenta os valores de desvio-padrão e coeficiente de variação
calculados em função das dez repetições realizadas para a otimização empregando
o AG.
Tabela 3 – Medidas estatísticas de variação das respostas em DPM
Caso
Desvio-Padrão
Coeficiente de Variação (%)
1
0,012
0,18
2
0,000
0,00
3
9,9 x 10-5
4,2 x 10-3
4
0,090
2,503
Pode-se averiguar na Tabela 3 que, apesar de ser um método estocástico, o
AG apresenta baixa variabilidade nos estudos de caso realizados nesta pesquisa.
A implementação do AG como mecanismo de busca foi efetuada em todos os
estudos de caso abordados neste trabalho, utilizando os mesmos parâmetros de
calibração. Em função dos resultados obtidos, é possível se afirmar que a calibração
não consistiu de uma etapa limitadora do desempenho da meta-heurística nestes
casos. Tal fato, contribui ainda mais para a simplificação da implementação deste
método de busca na procura de parâmetros robustos na otimização de processos.
Revista Produção Online. Florianópolis, SC, v.17, n. 2, p. 592-619, 2017. 616
Os tempos computacionais gastos na utilização do AG foram, em média, 1,35
minutos acima do tempo gasto pelo GRG. Apesar desta diferença, o esforço
computacional empregado pelo AG não aparenta ser um fator de inibição a sua
utilização quando comparado ao GRG.
5 CONCLUSÕES
A aplicação da meta-heurística AG como mecanismo de busca para
otimização de processos com múltiplas respostas demonstrou ser eficiente quando
comparado com o desempenho apresentado pelo GRG que é o método atualmente
mais utilizado na prática.
A grande vantagem da utilização do AG é a sua capacidade de escapar de
ótimos locais, que estão presentes em alguns modelos de otimização de processos
com múltiplas respostas. As desvantagens ficam por conta de um maior tempo
computacional gasto, e na dificuldade de implementação quando comparado ao
GRG.
O fato da obtenção de um ajuste com maior precisão pode justificar a
utilização do AG, apesar das desvantagens presentes neste método.
REFERÊNCIAS
ABADIE, J.; CARPENTIER, J. Generalization of the Wolfe reduced gradient method to the
case of nonlinear constraints. In: Optimization, ed. R. Fletcher, Londres: Academic Press,
1969.
AVILA, S. L., Otimização multiobjetivo e análise de sensibilidade para concepção de
dispositivos. 2006. 148 f. Tese (Doutorado em Engenharia Elétrica) - Universidade Federal
de Santa Catarina. Florianópolis, 2006.
BAZGAN, C.; JAMAIN, F.; VANDERPOOTEN, D. Approximate Pareto sets of minimal size
for multi-objective optimization problems. Operations Research Letters, v. 43, n. 1, p. 1-6,
2015. http://dx.doi.org/10.1016/j.orl.2014.10.003
CASTILLO, E.; MONTGOMERY, D.; McCARVILLE, D. Modified desirability functions for
multiple response optimization. Journal of Quality Technology, v. 28, p. 337-345, 1996.
CHENG, C. B.; CHENG, C. J.; LEE, E. S. Neuro-fuzzy and genetic algorithm in multiple
response optimization, Computer and Mathematics with Applications, v. 44, n. 12, p.
1503-1514, 2002. http://dx.doi.org/10.1016/S0898-1221(02)00274-2
DERRINGER, G.; SUICH, R. Simultaneous optimization of several response variables.
Journal of Quality Technology, v. 12, n. 4, p. 214-219, 1980.
Revista Produção Online. Florianópolis, SC, v.17, n. 2, p. 592-619, 2017. 617
DEHURI, S.; CHO, S.B. Multi-criterion Pareto based particle swarm optimized polynomial
neural network for classification: A review and state-of-the-art. Computer Science Review,
v.3, p. 19-40, 2009. http://dx.doi.org/10.1016/j.cosrev.2008.11.002
DÍAS-GARCÍA, J.A.; BASHIRI, M. Multiple response optimization: An approach from
multiobjective stochastic programming. Applied Mathematical Modelling, v. 38, n. 7-8, p.
2015–2027, 2014. http://dx.doi.org/10.1016/j.apm.2013.10.010
FAGHIHI, V.; REINSCHMIDT, K.F.; KANG, J.H., Construction scheduling using genetic
algorithm based on building information model, Expert Systems with Applications, v. 41, n.
16, p. 7565-7578, 2014.
http://dx.doi.org/10.1016/j.eswa.2014.05.047
FOGEL, L. J.; OWENS, A. J.; WALSH, M. J. Artificial intelligence through simulated
evolution. New York: John Wiley, 1966.
GOLDBERG, D. E. Genetic algorithms, In Search: optimization and machine learning.
Berkeley: Addison-Wesley, 1989.
GOMES, F.M. ; PEREIRA, F.M. ; SILVA, M.B. ; MARINS, F.A S. . Aplicação da Meta-
heuristica Algoritmo Genético na Otimização de Problemas com Múltiplas Respostas. In:
Encontro Nacional de Engenharia de Produção ENEGEP, 2015, Fortaleza. Anais do
Encontro Nacional de Engenharia de Produção ENEGEP e ICIEOM, 2015.
HARIDY, S., GOUDA, S. A., WU, Z. An integrated framework of statistical process control
and design of experiments for optimizing wire electrochemical turning process. International
Journal of Advanced Manufacturing Technology, v.53, p. 191-207, 2011.
http://dx.doi.org/10.1007/s00170-010-2828-7
HAMMOUCHE, K.; DIAF, M.; SIARRY, P. A Comparative study of various meta-heuristic
techniques applied to the multilevel thresholding problem. Engineering Applications of
Artificial Intelligence, v. 23, p. 676-688, 2010.
http://dx.doi.org/10.1016/j.engappai.2009.09.011
HOLLAND, J. H. Adaptation in natural and artificial systems. Michigan: University of
Michigan Press, 1975.
IGNÍZIO, J.P., CAVALIER, T.M. Linear Programming. Englewood Cliffs: Prentice Hall,
1994.
KHURI A.; CONLON M. Simultaneous optimization of multiple responses represented by
polynomial regression functions. Technometrics, v. 23, n. 4, p. 363-375, 1981.
http://dx.doi.org/10.2307/1268226
KHURI, A.I.; CORNELL, J.A. Response Surfaces: Designs and Analyses. New York:
Marcel Dekker Inc., 1987.
KIM, K.J.; LIN, D.K.J. Optimization of multiple responses considering both location and
dispersion effects. European Journal of Operational Research, v. 169, p. 133–145, 2006.
http://dx.doi.org/10.1016/j.ejor.2004.06.020
Revista Produção Online. Florianópolis, SC, v.17, n. 2, p. 592-619, 2017. 618
KÖKSOY, O.; YALCINOZ, T. Mean square error criteria to multiresponse process
optimization by a new genetic algorithm. Applied Mathematics and Computation, v. 175, n.
2, p. 1657-1674, 2006. http://dx.doi.org/10.1016/j.amc.2005.09.011
LASDON, L. S.; WAREN, A. D.; RATNER, M. W. GRG2 Users’s Guide University ofTexas at
Austin, 1980.
MELO, A.; CATEN, C.S.T.; SANT’ANNA, A.M.O. Otimização dos parâmetros de usinagem
na manufatura do ferro fundido. Revista Produção Online, v.13, n. 1, p. 375-388, 2013.
http://dx.doi.org/10.14488/1676-1901.v13i1.1200.
MENDES, J. M. A comparative study of crossover operators for genetic algorithms to solve
the job shop scheduling problem. Wseas Transactions on Computers, v. 12, n. 4, p. 164-
173, 2013.
MONTGOMERY, C.D.; RUNGER, G.C. Estatística aplicada e probabilidade para
engenheiros, 5 Ed., LTC, 2012.
PAULING; L. The Nature of the Chemical Bond. Ithaca: Cornell University Press, 1960.
RECHENBERG, I. Evolutionsstrategie: Optimierung technischer systeme nach
prinzipien der biologischen evolution, Stuttgart: Frommann-Holzboog, 1973.
REEVES, C. Genetic algorithms. In: Handbook of Metaheuristics. New York: Springer,
2003.
ROSEN, J. B. The gradient projection method for nonlinear programming. Part I: Linear
constraints. Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics, v. 8, n. 1, p.
181-217, 1960.
SUDENG, S.; WATTANAPONGSAKORN, N. Post Pareto-optimal pruning algorithm for
multiple objective optimization using specific extended angle dominance. Engineering
Applications of Artificial Intelligence, v. 38, p. 221-236, 2015.
http://dx.doi.org/10.1016/j.engappai.2014.10.020
TORRES JÚNIOR, N.; QUININO, R. C. O jogo da catapulta para compreender o
planejamento e análise de experimentos: proposta de uma abordagem lúdica de ensino.
Revista Produção Online, v. 14, n. 3, p. 939-971, 2014.
http://dx.doi.org/10.14488/1676-1901.v14i3.1576
TSAI, C.; TONG, L.; WANG, C. Optimization of Multiple Responses Using Data Envelopment
Analysis and Response Surface Methodology. Tamkang Journal of Science and
Engineering, v. 13, n. 2, p. 197-203, 2010.
VELDHUIZEN, D.A.V.; LAMONT, G.B. Multiobjective evolutionary algorithms: analyzing the
state-of-the-Art. In: Evolutionary Computation, Cambridge: MIT Press, v. 8, n. 2, p. 125-
147, 2000.
VINING G. A compromise approach to multiresponse optimization. Journal of Quality
Technology, v. 30, n. 4, p. 309-313, 1998.
Revista Produção Online. Florianópolis, SC, v.17, n. 2, p. 592-619, 2017. 619
WAREN, A. D.; LASDON, L. S. The status of nonlinear programming software. Operations
Research, v. 27, n. 3, p. 431-56, 1979.
WEISE, T., Global Optimization Algorithms – Theory and Application, 2ª ed, (2009).
Disponível em: http://www.it-weise.de/projects/book.pdf=> acessado em 18 mar. 2015.
WOLFE, P. The Reduced Gradient Method. In: Recent Advances in Mathematical
Programming. New York: R. L. Graves and P. Wolfe, 1963.
Artigo recebido em 27/08/2016 e aceito para publicação em 12/05/2017
DOI: http://dx.doi.org/10.14488/1676-1901.v17i2.2566
