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UNIVERSIT´
E DU QU´
EBEC `
A MONTR´
EAL
COMBINATOIRE DE N-MODULES CATALAN
M´
EMOIRE
PR´
ESENT´
E
COMME EXIGENCE PARTIELLE
DE LA MAˆ
ITRISE EN MATH´
EMATIQUES
FONDAMENTALES
PAR
JOS´
E EDUARDO BLAˇ
ZEK
JANVIER 2015
`
A ma famille.
le livre de la nature est ´ecrit en langage math´ematique
Galileo Galilei
Il Saggiatore
Rome, octobre 1623
iv
REMERCIEMENTS
En tout premier lieu, je tiens `a remercier mon directeur de maˆıtrise : Fran¸cois Bergeron.
Vous avez cru en moi d`es le d´ebut et je vous en serai toujours reconnaissant. J’ai eu la
grande chance de vous connaˆıtre dans un cours du baccalaur´eat et vous m’avez ouvert
la porte non seulement au LACIM mais aussi `a mon avenir.
Je dois aussi remercier tout le groupe du LACIM, aux ´etudiants du cycle sup´erieur et
les stagiaires qui sont l`a, sp´ecialement `a deux personnes qui m’avez soutenu.
Dans la partie acad´emique au stagiaire postdotoral Alejandro Morales avec lequel j’ai
pass´e plus heures travaillant sur diff´erents aspects des probl`emes.
Dans la partie technique `a J´erˆome Tremblay qui a soutenu, avec beaucoup de patience,
toutes mes questions par rapport `a LATEX et SAGE.
On ne dit jamais trop merci.
Merci beaucoup `a tous !
TABLE DES MATI`
ERES
LISTE DES FIGURES ................................ ix
LISTE DES TABLEAUX ............................... xi
R´
ESUM´
E........................................ xiii
INTRODUCTION ................................... 1
CHAPITRE I
NOTIONS DE BASE ................................. 3
1.1 Module sur N................................... 3
1.2 N-module affine et son compl´ement ....................... 4
1.3 Probl`eme de Frobenius .............................. 7
1.4 Une g´en´eralisation du Probl`eme de Frobenius ................. 12
1.5 Repr´esentation Cart´esienne ........................... 15
CHAPITRE II
CAS RELATIVAMENT PREMIER DES CHEMINS DE DYCK ......... 19
2.1 Introduction .................................... 19
2.2 Ensemble des N-modules affines et Dm.................... 23
2.3 Construction d’une bijection entre Da,b et Ya,b ................ 25
2.4 Construction de la bijection en terme du mot associ´e ............. 29
2.5 Partage associ´e et Diagramme de Ferrers ................... 30
2.6 Treillis de Young et de Kr´ew´eras ........................ 31
2.7 L’aire d’un chemin de Dmet le polynˆome q-´enum´erateur. .......... 33
2.8 (a, b)-Cœur .................................... 35
CHAPITRE III
CAS NON-RELATIVAMENT PREMIER DES CHEMINS DE DYCK . . . . . 45
3.1 Introduction .................................... 45
3.2 L’inclusion de treillis ............................... 47
3.3 Polynˆome q-´enum´erateur ............................. 50
3.4 M´ethode de comparaison de diagrammes de Ferrer .............. 53
viii
3.5 Les chemins de D4,k ............................... 57
3.6 Les chemins de D6,6n+4 ............................. 60
3.7 Les chemins de D8,8n+6 ............................. 63
3.8 Les chemins de D4,4n+2 ............................. 65
3.9 Les chemins de D6,6n+2 ............................. 66
3.10 Lemmes ...................................... 68
3.11 Conjectures .................................... 71
CHAPITRE IV
CONCLUSION .................................... 73
APPENDICE A
DES EXPRESSIONS ALG´
EBRIQUES ....................... 77
A.1 Relations avec Partie enti`ere .......................... 78
A.2 Construction de l’inverse de η.......................... 78
A.3 Quelques propri´et´es des N-modules affines ................... 79
A.3.1 Propri´et´es de l’op´eration addition des ensembles ........... 79
A.3.2 N-module et N-module affines ...................... 82
A.3.3 Le compl´ement de ha, bi......................... 83
A.3.4 Le semi-anneau hai............................ 86
A.4 Calcul de Coeur Maximal ............................ 87
APPENDICE B
CODE SAGE ..................................... 91
B.1 Le Chemin de Christoffel ............................ 91
B.2 Les Treillis de Young et de Kr´ew´eras ...................... 95
B.3 Chemins de Dyck ................................. 100
INDEX TERMINOLOGIQUE ............................ 113
R´
EF´
ERENCES ..................................... 115
LISTE DES FIGURES
Figure Page
1.1 Pi`ece de monnaie de 2 et 5 centimes d’Euro. ................ 7
1.2 Timbre pour la poste a´erienne de 1946. .................. 12
1.3 Repr´esentation de h3,5iet de h3,5i..................... 15
1.4 Repr´esentation de (3,5)-rectangle et h3,5i................. 16
1.5 (3,6)-rectangle ................................ 16
2.1 Un chemin de Dyck dans le rectangle 3 ×5. ................ 20
2.2 D3,5et leurs codages. ............................. 20
2.3 Chemin 01011011 dans (3,5)-rectangle ´etiquet´e. .............. 22
2.4 Tous les chemins de Dyck dans le (3,5)-rectangle ´etiquet´e. ........ 22
2.5 Chemin 00110111 et repr´esentation de A3,5
{4,7}................ 23
2.6 Bijection entre Y3,5et D3,5......................... 24
2.7 Diagramme de ϕet ψ............................. 25
2.8 L’ensemble Cγ................................. 26
2.9 schema de R(α) . ............................... 27
2.10 Construction des sous-mots. ......................... 29
2.11 Construction des paires ordonn´ees ..................... 29
2.12 Chemin 01011011 et son partage [3,1]. ................... 30
2.13 Les partages associ´es `a D3,5.......................... 30
2.14 Partage [3,1] `4. ............................... 31
2.15 Treillis de Young jusqu’au niveau 5. .................... 32
2.16 Treillis de Kr´ew´eras du partage [3,1]. .................... 33
2.17 Les op´erations sur un diagramme. ..................... 33
x
2.18 L’inclusion de D3,5dans D4,5......................... 34
2.19 Lien entre les polynˆomes et les aires dans D3,5............... 36
2.20 Repr´esentation du partage λ......................... 37
2.21 Partage [5,4,3,3,2,1] `18. ......................... 37
2.22 Construction d’un cœur. ........................... 38
2.23 Chemin de Dick et le cœur associ´e. ..................... 38
2.24 Des cœurs conjugu´es. ............................. 39
2.25 Le sch´ema d’inclusion de N-module affine ................. 42
2.26 La taille d’un cœur. ............................. 43
3.1 L’inclusion de D3,5dans D3,6......................... 47
3.2 L’inclusion de D4,6dans D4,7......................... 49
3.3 Relation entre les treillis et Catm(q)..................... 51
3.4 Les coefficients des polynˆomes q-´enum´erateurs. .............. 52
3.5 Diff´erences avec de diagrammes plus grands. ................ 53
3.6 Diff´erences avec de diagrammes plus petits. ................ 54
3.7 R`egle 1. .................................... 54
3.8 R`egle 2, plus d’une case. ........................... 55
3.9 La relation entre diagrammes D4,6⊂D4,7.................. 57
3.10 Chemins non contenus dans D4,4n+2 .................... 58
3.11 Le sch´ema D6,6n+4 et D6,6n+5......................... 60
3.12 Le sch´ema D8,8n+6 et D8,8n+7 ........................ 63
3.13 Le sch´ema D4,4n+1 et D4,4n+2 ........................ 65
3.14 Le sch´ema D6,6n+1 et D6,6n+2 ........................ 66
LISTE DES TABLEAUX
Tableau Page
1.1 Nombre de Frobenius pour trois valeurs .................. 11
2.1 Rotations cycliques du mot 11110010 .................. 21
2.2 Catn(q). .................................... 35
2.3 (3,5)-cœur vers Y3,5............................. 39
2.4 (3,5)-cœur,Y3,5et leurs conjugu´es. .................... 40
2.5 (3,7)-cœur,Y3,7et leurs conjugu´es. .................... 41
3.1 Comparaison des diagrammes de D3,5et D3,6............... 48
3.2 Comparaison de diagrammes. ........................ 49
3.3 Comparaison des diagrammes de D4,4n+2 et D4,4n+3............ 58
3.4 les Valeurs de ir
4.............................. 61
3.5 Les Valeurs de ir
5.............................. 62
R´
ESUM´
E
Dans ce m´emoire de maˆıtrise, nous allons nous int´eresser aux liens entre les ensembles de
compl´ements de N-modules et les chemins de Dyck. Nous commencerons par pr´esenter
des notions pr´eliminaires sur les N-modules, les N-modules affines, leurs compl´ements, et
les conditions pour que ces compl´ements soient finis. Puis, en consid´erant tous les outils
d´evelopp´es, nous aborderons des questions li´ees au probl`eme de Frobenius. Ensuite,
nous explorerons les liens entre chemins de Dyck et compl´ements de N-modules. Nous
´etudierons diff´erentes approches pour obtenir des formules explicites.
MOTS-CL´
ES: N-module, N-module affine, nombre de Frobenius,
chemin de Dyck, treillis de Young, treillis de Kr´ew´eras.
INTRODUCTION
Le point de d´epart de notre ´etude est la notion de N-module. Nous consid´erons le cas de
N-modules engendr´es par un ensemble fini, et les conditions pour que leur compl´ement
soit fini. Plus particuli`erement, on ´etudie en d´etail le cas d’un N-module engendr´e par
deux nombres relativement premiers. On d´eveloppe les concepts de N-module affine et de
(a, b)-rectangle pour avoir de perspectives diff´erentes sur le probl`eme. Nous consid´erons
des op´erations sur les N-modules affines, pour en d´ecrire des expressions plus simples.
Ensuite, nous ´etudions les chemins de (a, b)-Dyck et les partitions associ´ees. On consid`ere
sur ceux-ci les structures de treillis de Young, et de treillis de Kr´ew´eras, ainsi que
diff´erentes repr´esentations en lien avec l’ensemble des compl´ements d’un N-module. `
A
la fin nous montrons des m´ethodes et d’expressions pour certains cas de (a, b)-Dyck non
relativement premiers.
CHAPITRE I
NOTIONS DE BASE
Le but de ce chapitre est de d´efinir les notions de base, et les liens entre elles, ainsi
que de donner plusieurs repr´esentations des objects consid´er´es. Celles-ci donnent cha-
cune un point de vue nouveau permettant d’am´eliorer la compr´ehension. On d´eveloppe
les structures alg´ebriques de N-module, de N-module affine, leur compl´ement et leur
repr´esentation cart´esienne. Ces derni`eres nous permettront plus tard d’introduire des
objets combinatoires associ´es, et de d´egager leurs propri´et´es de base. Le chapitre se
termine avec un aper¸cu du contexte dans lequel on va travailler.
1.1 Module sur N
On consid`ere le N-module engendr´e par un sous-ensemble fini de N, d´enot´e pour l’ex-
pression hmi=hm1, m2, . . . , mki, c’est-`a-dire le plus petit sous-ensemble de Ntel que :
1. 0 ∈ hmi,
2. mi∈ hmi, 1 ≤i≤k,
3. Si a, b ∈ hmialors a+b∈ hmi,
4. Quel que soit n∈Net a∈ hmi,n·a∈ hmi.
Par exemple, pour m={3,5}on obtient h3,5i={0,3,5,6,8,9,10,11,12,13,14,15, . . .}
et pour m={7,10}on a que h7,10i={0,7,10,14,17,20,21,24,27,28,30, . . .}.
4
Consid´erant la notion de norme sur Nk, pour v= (v1, . . . , vk) d´efinie par |v|m=
k
X
i=1
mivi, on a donc,
hmi={z∈N|z=|v|m,v∈Nk}.
1.2 N-module affine et son compl´ement
On s’inspire de la th´eorie des anneaux et id´eaux pour d´evelopper la notion d’id´eal
positif que nous appelons N-module affine. Pour bien la d´efinir, nous introduisons
l’op´eration de somme d´enot´ee +, sur les sous-ensembles de N, que l’on va particula-
riser sur les N-modules.
Soient A, B ⊆Ndeux sous-ensembles de N. On pose :
A+B:= {x+y|x∈Aet y∈B}.
En particulier, A+∅=∅. Dans le cas d’un ensemble a un seul ´el´ement, nous all´egeons
la notation de la mani`ere suivante. Soit x∈Net A⊆N, alors,
A+x={x+y|y∈A}.
´
Evidemment A+ 0 = A.
L’abr´eviation Am
Bpour le N-module affine hmi+B(voir [17]) sera parfois utile. Bien
entendu, on ´ecrit Am
xpour hmi+x.
Grˆace `a la proposition A.2, nous avons une fa¸con r´ecursive de construire les N-module
(voir ´eq.A.2). Si q∈ hmialors, hm, qi=hmi, par contre, si q6∈ hmic’est-`a-dire que
pgcd(m, q) = 1, on calcule la plus grande valeur ltelle que l=max{j∈N|jq 6∈ hmi}.
On a alors :
hm, qi=
l
[
j=0
Am
jq ,
o`u Am
jq =hmi+jq.
5
Nous nous restreignons maintenant au cas particulier, k= 2, c’est donc dire `a l’id´eal
m={a, b}et au N-module ha, bi. Si a<b,aet bpremiers entre eux, on peut ´ecrire,
ha, bi=
l
[
j=0
Aa
jb ,
o`u Aa
jq =hai+jb.
Dans ce cas, le calcul de l=max{j∈N|jb 6∈ hai} donne l=a−1. De plus les
N-modules affines sont disjoints deux `a deux Aa
jb ∩Aa
ib =∅`a condition que j6=i. Nous
avons donc,
ha, bi=
a−1
X
j=0
Aa
jb ,
o`u on d´enote la r´eunion disjointe comme une somme d’ensembles.
Notre objectif est de trouver une expression pour le compl´ement de ha, bi, c’est `a dire
ha, bi=N\ ha, bi,
ha, bi:= {z∈N|z6∈ ha, bi.}
En utilisant la description affine d’un N-module, et definissant S∗
a,b(j) = Aa
i\Aa
jb o`u
i=jb mod(a), le compl´ement s’´ecrit comme :
ha, bi=
a−1
X
j=1
S∗
a,b(j),voir ´eq.A.3
L’avantage de cette description est que les ensembles S∗
a,b(j) sont plus faciles `a ´enum´erer.
Des proposition A.7 et A.8, nous obtenons que :
S∗
a,b(j) = z=jb −ar 1≤r≤jb
a,
et que :
|S∗
a,b(j)|=jb
a.
6
Cela nous m`ene `a la description suivante du compl´ement, dans le cas aet brelativement
premier :
ha, bi=z=jb −ar 1≤j≤a−1,1≤r≤jb
a,
et on a que :
|ha, bi| =
a−1
X
j=1
S∗
a,b(j)
,
=
a−1
X
j=1 S∗
a,b(j),car ils sont disjoints
=
a−1
X
j=1 bt
a,
=(a−1)(b−1)
2.car pgcd(a, b) = 1, eq.1.1
Le probl`eme de trouver le nombre d’´el´ements du compl´ement dans un cas plus g´en´eral,
ainsi que le probl`eme de trouver la valeur plus grande de cet ensemble (s’il existe), sont
li´es au probl`eme de Frobenius que nous pr´esentons dans la section §1.3.
D’autre part, on peut construire les ´el´ements 1de ha, bi`a partir des ensembles S∗
a,b(j)
dans le cas o`u aet bsont relativement premiers. Pour le consid´erer d’une fa¸con plus
claire et pour le g´en´eraliser, nous utiliserons une repr´esentation cart´esienne dans la
section §1.5.
1. Cela repr´esente les ´el´ements de l’ensemble de Frobenius pour aet b.
7
1.3 Probl`eme de Frobenius
Probl`eme des pi`eces de monnaie
Le probl`eme des pi`eces de monnaie, ´egalement appel´e probl`eme de Frobenius en
l’honneur du math´ematicien Ferdinand Frobenius, consiste `a d´eterminer le montant le
plus ´elev´e l’on ne peut pas obtenir en utilisant uniquement des pi`eces de monnaie de
valeurs fix´ees. La solution du probl`eme pour un ensemble de pi`eces de monnaie donn´e
est appel´ee le nombre de Frobenius de cet ensemble. Un bon exemple est le syst`eme
europ´een qui utilise de pi`eces de 2 et 5 centimes (voir figure 1.1 2). Avec ces deux pi`eces,
on peut exprimer tout montant, sauf 1 et 3 centimes.
Figure 1.1: Pi`ece de monnaie de 2 et 5 centimes d’Euro.
Plus formellement, le probl`eme s’´enonce comme suit. ´
Etant donn´e un ensemble d’entiers
positifs 3m={m1, m2, . . . , mn}, relativement premiers entre eux, d´eterminer le plus
grand entier qui n’est pas une combinaison lin´eaire `a coefficients entiers positifs ou nuls
de ces entiers. Autrement dit, on cherche le plus grand entier qui n’est pas de la forme :
k1m1+k2m2+· · · +knmn.
La condition que les nombres m1, m2, . . . , mnsoient premiers entre eux est n´ecessaire
pour assurer l’existence du nombre de Frobenius. En effet, toute combinaison lin´eaire de
ces entiers est divisible par leur pgcd. Donc, un entier qui n’est pas multiple de ce pgcd
ne peut pas ˆetre exprim´e de cette mani`ere, et il en existe d’arbitrairement grands. Par
contre, si les nombres m1, m2, . . . , mnsont premiers entre eux, un th´eor`eme de Schur
assure que tout nombre assez grand est combinaison lin´eaire `a coefficients positifs ou
2. L’image a ´et´e faite de la composition de deux images s´epar´ees trouve´es dans le site Wikipedia
3. Dans la d´efinition m={m1, m2,...,mn}on suppose que mi< mjsi i < j.
8
nuls de ces entiers. Dans ce cas, le nombre de Frobenius existe donc bien.
En terme des notations de la section pr´ec´edente le nombre de Frobenius est :
g(m) := max
z∈hmi
{z}.
Le probl`eme de Frobenius est difficile en g´en´eral. Par contre, le cas de n= 2 est bien
connu , et c’est celui qui nous importe le plus pour la suite de notre travail. On a la
valeur suivante :
g(a, b) = max
z∈ha, bi
{z}=b(a−1) −a,
pour a < b relativement premiers. Cette formule a ´et´e donn´ee par James Joseph
Sylvester (voir [18]). Sylvester montre aussi que le nombre d’entiers qui ne sont pas
repr´esentables comme combinaison lin´eaire de aet b, c’est-`a-dire le cardinal du compl´ement,
est :
|ha, bi| =(a−1)(b−1)
2.(1.1)
Lorsque n > 2, on a la formule simple suivante dans le cas des ensembles d’entiers d’une
suite arithm´etique (voir [16]).
g(a, a +d, a + 2d, . . . , a +sd) = a−2
s+ 1a+ (d−1)(a−1) −1,(1.2)
o`u a, d, s ∈N, avec pgcd(a, d) = 1. De mˆeme, il y a une formule pour des ensembles
d’entiers d’une suite g´eom´etrique (voir [15]).
g(mk, mk−1n, . . . , nk) = nk−1(mn −m−n) + m2(n−1)(mk−1−nk−1)
m−n,(1.3)
o`u m, n, k ∈N, et pgcd(m, n) = 1.
Concernant le nombre de Frobenius pour n= 3 en g´en´eral, voici des r´esultats partiels.
On trouve facilement que si aet bsont relativement premiers alors,
g(a, b, c) = g(a, b) si c∈ ha, bi
g(a, b, c)≤g(a, b) sinon
.
9
On continue avec l’´equation 1.2. Prenons s= 2, comme pgcd(d, a) = 1 implique que
pgcd(a, a +d) = 1, consid´erons a= 2k+r, o`u k≥1 et r < 2, donc,
g(a, a +d, a + 2d) = 2k+r−2
2+ 1a+ (d−1)(a−1) −1,
=2(k−1) + r
2+ 1a+d(a−1) −(a−1) −1,
=k+jr
2ka+d(a−1) −a,
=ja
2ka+d(a−1) −a+
+a(a−1) −a(a−1),
=(a+d)(a−1) −a−a(2k+r−1−k),
=g(a, a +d)−a(k+r−1) .
S´eparant les cas pair et impair, on obtient :
g(a, a +d, a + 2d) =
g(a, a +d)−aa
2−1si aest pair
g(a, a +d)−aa
2sinon
.(1.4)
En travaillant de fa¸con semblable l’´equation 1.3, nous avons que pgcd(m, n) = 1 alors
pgcd(m2, n2) = 1, donc,
g(m2, mn, n2) = n(mn −m−n) + m2(n−1),
=mn2−mn −n2+m2n−m2,
=mn2−mn −n2+m2n−m2+m2n2−m2n2,
=mn2−mn +m2n−m2+n2(m2−1) −m2n2,
=g(m2, n2) + mn2−mn +m2n−m2n2,
=g(m2, n2) + mn(n−1 + m−mn),
=g(m2, n2) + mn(−n(m−1) + m−1),
=g(m2, n2)−mn(g(m, n) + 1).
10
Nous pouvons aussi donner la forme suivante `a l’´equation ci-dessus :
g(m2, mn, n2) = n2m−mn −n2+m2(n−1),
=n2(m−1) −nm +m2(n−1),
=g(m, n2) + m−nm +m2(n−1),
=g(m, n2) + m(m−1)(n−1).(1.5)
Cette expression nous a men´e `a une g´en´eralisation. Apr`es avoir ´etudi´e de nombreux
exemples, nous avons r´eussi `a trouver une formule du nombre de Frobenius pour :
g(a, b, c) = g(d, c)+(k−1)a,
o`u a=kd,b= (k+ 1)d,pgcd(c, d) = 1 et k≥1.
Prenons par exemple, d=m,k=m a =m2,b=m(m+ 1) et c= (m+ 1)2, donc,
g(kd, (k+ 1)d, c) = g(m2, m(m+ 1),(m+ 1)2).
Appliquant la conjecture, nous avons :
g(a, b, c) = g(d, c)+(k−1)a,
=g(m, (m+ 1)2)+(m−1)m2.
Cela est ´egal `a l’´equation 1.5 :
g(m2, m(m+ 1),(m+ 1)2) = g(m, (m+ 1)2) + m(m−1)(m+ 1 −1),
=g(m, (m+ 1)2)+(m−1)m2.
11
En r´esume, les r´esultats pour le nombre de Frobenius sont pr´esent´es dans le Tableau
1.1 :
Tableau 1.1: Nombre de Frobenius pour trois valeurs
q=a
2
g(a, a +d, a + 2d)g(a, a +d)−a(q+r−1) pgcd(a, d)=1
r=amod(2)
m<n
g(m2, mn, n2)g(m, n2) + m(m−1)(n−1) pgcd(m, n)=1
d < c, k ≥14
g(kd, (k+ 1)d, c)g(d, c)+(k−1)kd pgcd(d, c)=1
conjecture
Nous apportons une preuve pour le cas k= 2 dans l’appendice (voir proposition A.1). Il
reste `a donner une d´emonstration compl`ete de la conjecture qu’on esp`ere explorer dans
de travaux `a venir. Dans la section suivante, nous d´etaillons une autre g´en´eralisation
du probl`eme de Frobenius.
4. Dans le cas que k= 1, nous retrouvons le r´esultat qu’on a d´ej`a vu g(d, 2d, c) = g(d, c).
12
1.4 Une g´en´eralisation du Probl`eme de Frobenius
Nous avons d´ej`a vu le probl`eme des pi`eces de monnaie. Dans cette section nous en
consid´erons une g´en´eralisation. On motive notre d´emarche en consid´erant la valeur des
timbres postaux. En 1946, le Correo Central de la ville de Buenos Aires, a ´emis
une s´erie de deux timbres pour la poste a´erienne avec des valeurs 15 et 25 centavos
(voir [12, pag. 521]). Nous avons d´ej`a soulign´e que dans le cas o`u aet bne sont pas
relativement premiers, le cardinal du compl´ement ha, bidans Nest infini. Alors, nous
allons changer un peu l’´enonc´e. Nous allons plutˆot chercher `a d´eterminer le montant le
plus ´elev´e, parmi les multiples de 5, que l’on ne peut pas obtenir en utilisant les timbres
donn´es.
Figure 1.2: Timbre pour la poste a´erienne de 1946.
Comme pgcd(15,25) = 5, alors h15,25i ⊆ h5ipar un argument classique (voir le pro-
position A.3). De plus, on montre facilement que h15,25iest un h5i-module (voir le
proposition A.3). L’op´eration ∗(voir d´efinition A.3.1) fournit un isomorphisme de
semi-anneau ψavec N(voir le proposition A.9). Nous avons que si z∈ h15,25icomme
h5i-module, il existe x, y ∈ h5itel que z= 15 ∗x+ 25 ∗y,
13
ψ(z) = ψ(15 ∗x+ 25 ∗y),
=ψ(15)ψ(x) + ψ(25)ψ(y),car ψest un isomorphisme
= 3ψ(x)+5ψ(y),car ψ(k) = k
5
= 3x0+ 5y0.car x, y ∈ h5i
Donc, ψ(h15,25i) = h3,5i. Alors, nous avons que max
z∈h3,5i
{z}=g(3,5) = 7. Donc la plus
grande valeur dans h5i, est calcul´ee par l’isomorphisme inverse ϕ,
ϕ(7) = 35.
De plus, le compl´ement du h15,25icomme h5i-module nous l’obtenons `a partir du h3,5i.
h3,5i={1,2,4,7},
ϕ(h3,5i) = ϕ({1,2,4,7}),
={ϕ(1), ϕ(2), ϕ(4), ϕ(7)},
={5,10,20,35}.
De mani`ere plus formelle, le probl`eme s’´enonce comme suit. ´
Etant donn´e des entiers
positifs 5non relativement premiers entre eux, autrement dit pgcd(m) = d, on cherche
`a d´eterminer le plus grand entier multiple de d > 1 qui n’est pas une combinaison
lin´eaire `a coefficients entiers positifs ou nuls de ces entiers. C’est-`a-dire, on cherche le
plus grand entier qui n’est pas de la forme :
k1∗m1+k2∗m2+· · · +kn∗mn,
o`u ∗satisfait la d´efinition A.3.1.
Nous pouvons d´efinir le nombre de Frobenius sur le hdi-module ghdi(m) comme :
ghdi(m) := ϕ(g(m)),
5. Comme `a la section pr´ec´edente, les mide m={m1, m2,...,mn}sont ordonn´es de fa¸con crois-
sante.
14
et grˆace `a l’isomorphisme, nous avons que,
ghdi(m) = d·g(m).
De fa¸con analogue, le compl´ement sur hdi-module hmihdi,
hmihdi:= ϕhmi.
15
1.5 Repr´esentation Cart´esienne
Dans cette section nous introduisons une repr´esentation parmi les plus utilis´ees dans les
travaux sur les chemins de Dyck. Pour a, b fix´es, on obtient comme suit une repr´esentation
cart´esienne du N-module ha, bi(voir [13]). En utilisant la convention usuelle, (l’axe
positif des xvers la droite, et l’axe positif des yvers la haut), on ´etiquette les cases de
Z×Z(η:Z×Z→Z) en additionnant alorsqu’on se d´eplace vers la gauche et blorsqu’on
se d´eplace vers le bas en passant η(0,0) = 0. Ainsi le N-module est repr´esent´e par la
partie fonc´ee comme illustr´e dans la figure 1.3. De plus le compl´ement h3,5i={1,2,4,7}
est repr´esent´e en rouge.
+3
-15
-10
-5
0
5
-12
-7
-2
3
8
-9
-4
1
6
11
-6
-1
4
9
14
-3
2
7
12
17
0
5
10
15
20
3
8
13
18
23
6
11
16
21
26
9
14
19
24
29
12
17
22
27
32
...
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
.
.
..
.
..
.
..
.
..
.
....
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
+5
Figure 1.3: Repr´esentation de h3,5iet de h3,5i.
Plus sp´ecifiquement la valeur pour chaque case est donn´ee par la fonction suivante
η(x, y) = −by −ax η :Z×Z→Z. (1.6)
Si nous restreignons l’image de la fonction η6`a N, on remarque qu’il y a plusieurs couples
(x, y) pour lesquels η(x, y ) = 0. Ils sont dispos´es de fa¸con p´eriodique et la distance entre
deux valeurs cons´ecutives est exactement la longueur de la diagonale du rectangle (0,0)
et (b, a). Par d´efinition le (a, b)-rectangle est la partie de notre graphique contenue
[1, b]×[0, a −1] et pour raison de simplicit´e on le note a×b.
6. La fonction ηest bijective si img(η) = ha, bi(voit A.2)
16
0
5
10
15
20
3
8
13
18
23
6
11
16
21
26
9
14
19
24
29
12
17
22
27
32
-3
2
7
12
17
-6
-1
4
9
14
-9
-4
1
6
11
-12
-7
-2
3
8
-15
-10
-5
0
5
7 4 1 -2 -5
2-1 -4 -7 -10
-3 -6 -9 -12 -15
Figure 1.4: Repr´esentation de (3,5)-rectangle et h3,5i.
Nous verrons les avantages de cette d´efinition lors de notre ´etude de la relation entre les
rectangles, l’ensemble des compl´ements, et les chemins de Dyck dans la section suivante.
Observons que tous les nombres qui apparaissent dans l’´etiquetage sont multiples de
d=pgcd(a, b) comme illustr´e `a la figure 1.5.
0
6
12
18
24
30
3
9
15
21
27
33
6
12
18
24
30
36
9
15
21
27
33
39
12
18
24
30
36
42
15
21
27
33
39
45
-3
3
9
15
21
27
-6
0
6
12
18
24
-9
-3
3
9
15
21
-12
-6
0
6
12
18
-15
-9
-3
3
9
15
-18
-12
-6
0
6
12
9 6 3 0 -3 -6
3 0 -3 -6 -9 -12
-3 -6 -9 -12 -15 -18
Figure 1.5: (3,6)-rectangle
On remarque que le nombre d’´el´ements positifs dans chaque ligne est jbj
ako`u 1 ≤j≤
a−1, qui correspond `a la pente discr`ete de l’´equation de la diagonale et nous pouvons
construire ces ´el´ements avec la formule de cette droite bj −ak o`u 1 ≤k≤jbj
ak.
17
Nous construisons les ensembles S∗
a,b(j) comme suit :
S∗
a,b(j) := η(r, −j)1≤r≤jb
a.(1.7)
Pour calculer Qa,b le nombre de cases ´etiquet´ees avec une valeur positive ou z´ero qui
sont plac´ees sous la diagonale de notre diagramme, on utilise |S∗
a,b(j)|car cela nous
donne ce nombre pour chaque ligne, donc on obtient :
Qa,b =
a−1
X
j=1 S∗
a,b(j),
=
a−1
X
j=1 bj
a,
=(a−1)(b−1) + pgcd(a, b)−1
2.voir Appendice A.1 (1.8)
Nous obtenons la formule pour le nombre total de cases dans le cas g´en´eral qui se
r´eduit `a de la formule de Sylvester (voir l’´equation 1.1) dans le cas de aet bpremiers
entre eux.
CHAPITRE II
CAS RELATIVAMENT PREMIER
DES CHEMINS DE DYCK
`
A cause des consid´erations soulev´ees dans le chapitre pr´ec´edant, nous ´etudions d’abord
les chemins de Dyck dans le rectangle a×b, o`u aet bsont relativement premiers.
En effet, ceux-ci apparaissent comme s´eparateurs entre N-modules affines et leurs
compl´enents . Dans le cadre des treillis de Young et de Kr´ew´eras, nous utilisons les
op´erations bien connues sur ceux-ci pour comprendre les relations entre les chemins de
Dyck, les partages, leur mot associ´e et les N-modules affines. Ap`es un survol des notions
d’aire et polynˆome q-´enum´erateur, nous arrivons `a la notion de cœur . Nous mon-
trerons des liens directs d´ej`a connus entre ceux-ci, les chemins de Dyck et N-modules
affines. Certaines de ces consid´erations peuvent s’´etendre au cas non-relativement pre-
mier comme nous le verrons au chapitre qui suit.
2.1 Introduction
Rappelons qu’un chemin de Dyck est une suite de points dans le rectangle a×b
qui reste sous la diagonale , et constitu´es de pas verticaux descendants ou de pas
horizontaux vers la droite. Techniquement, un pas est un couple (xi, yi)→(xi+1, yi+1)
o`u
20
(xi+1, yi+1) =
(xi, yi) + (1,0)
ou
(xi, yi)−(0,1)
.
Figure 2.1: Un chemin de Dyck dans le rectangle 3 ×5.
Par exemple, on a le chemin de la figure 2.1 donn´e la suite :
(0,3) →(0,2) →(1,2) →(1,1) →(2,1) →(3,1) →(3,0) →(4,0) →(5,0).
Pour simplifier, on code un chemin comme un mot constitu´e de 0et 1, repr´esentant
respectivement le d´eplacement vertical et le d´eplacement horizontal (mot de Dyck). Pour
l’exemple ci-dessus le codage est 01011011. On d´enote par Da,b l’ensemble de tous les
chemins de Dyck dans le rectangle a×b. Par exemple, la figure 2.2 pr´esente tous les
chemins de D3,5et le codage correspondant.
(a) 00011111 (b) 00101111 (c) 00110111 (d) 01001111
(e) 00111011 (f) 01010111
(g) 01011011
Figure 2.2: D3,5et leurs codages.
Dans le cas o`u a, b sont relativement premier le nombre de chemins de Da,b est donn´e
21
par la formule de Catalan g´en´eralis´e :
Cata,b =1
a+ba+b
a.
Pour obtenir cette formule, on utilise un argument cyclique sur l’ensemble La,b de
mots contenant acopies de 0et bcopies de 1. Rappelons que :
|La,b|=a+b
a.
On agit par rotation cyclique sur ces mots et on montre que chaque orbite contient
un seul mot de (a, b)-Dyck. Par exemple les rotations cycliques du mot 11110010 sont :
Tableau 2.1: Rotations cycliques du mot 11110010
111110010 500101111
201111001 610010111
310111100 711001011
401011110 811100101
L’unique mot associ´e `a un chemin de (3,5)-Dyck de la rotation cyclique du mot 11110010
est 00101111.
Commen¸cons par ´etiqueter les cases du rectangle a×bcomme `a la section §1.5. Nous
observons que tous les chemins de Dyck ont sous le chemin des cases avec des ´etiquettes
de valeur positive. Par exemple, pour le chemin 01011011 nous avons les ´etiquettes que
montre la figure 2.3.
22
−3
+5
-3
2
7
-6
-1
4
-9
-4
1
-12
-7
-2
-15
-10
-57 4 1
2
-3
2
7
-6
-1
4
-9
-4
1
-12
-7
-2
-15
-10
-5
Figure 2.3: Chemin 01011011 dans (3,5)-rectangle ´etiquet´e.
-3 -6 -9 -12 -15
2-1 -4 -7 -10
7 4 1 -2 -5
(a) 00011111
-3 -6 -9 -12 -15
2-1 -4 -7 -10
7 4 1 -2 -5
(b) 00101111
-3 -6 -9 -12 -15
2-1 -4 -7 -10
7 4 1 -2 -5
(c) 00110111
-3 -6 -9 -12 -15
2-1 -4 -7 -10
7 4 1 -2 -5
(d) 01001111
-3 -6 -9 -12 -15
2-1 -4 -7 -10
741-2 -5
(e) 00111011
-3 -6 -9 -12 -15
2-1 -4 -7 -10
741-2 -5
(f) 01010111
-3 -6 -9 -12 -15
2-1 -4 -7 -10
7 4 1 -2 -5
(g) 01011011
Figure 2.4: Tous les chemins de Dyck dans le (3,5)-rectangle ´etiquet´e.
La construction de la figure 2.4 et la repr´esentation de la figure 2.5 sugg`erent comment
´etablir un lien entre l’ensemble Da,b des chemins de Dyck et les compl´ements d’un N-
module. Nous reviendrons sur la fa¸con d’´etablir cette relation dans la section §2.2, en
utilisant Ya,b, l’ensemble de tous les N-modules affines construit `a partir du compl´ement
de ha, bi.
23
0
5
10
15
20
3
8
13
18
23
6
11
16
21
26
9
14
19
24
29
12
17
22
27
32
-3
2
7
12
17
-6
-1
4
9
14
-9
-4
1
6
11
-12
-7
-2
3
8
-15
-10
-5
0
5
7 4 1 -2 -5
2-1 -4 -7 -10
-3 -6 -9 -12 -15
Figure 2.5: Chemin 00110111 et repr´esentation de A3,5
{4,7}.
2.2 Ensemble des N-modules affines et Dm
Il y a plusieurs d´efinitions de l’ensemble Ym(voir [11] et [5]). Nous utilisons la suivante :
Ym={Am
B|B ∈ P∗(hmi)},1
o`u Am
B=hmi+Best le N-module affine engendr´e pour m. Dans ce chapitre on utilise
P∗(hmi) = (P(hmi)∪ {0})\ ∅ pour incluire le cas B={0}, et donc Am
{0}=hmi. Nous
pouvons r´eduire le nombre d’´el´ements, |Ym|= 2|m|, car il y a plusieurs Bqui donnent
le mˆeme Am
B, nous verrons dans la section §2.3 un m´ethode pour choisir un ensemble
minimal.
Par exemple, ´etant donn´e m={3,5}et h3,5i={1,2,4,7}, les N-modules affines
associ´es aux ensembles {1},{1,4},{1,7}et {1,4,7}sont ´egaux. Dans cet exemple,
nous avons que l’ensemble Y3,5contient sept ´el´ements, comme il est indiqu´e ci-dessous,
qui correspondent aux sept chemins de Dyck D3,5.
Y3,5={A3,5
{0},A3,5
{7},A3,5
{2},A3,5
{4},A3,5
{1},A3,5
{2,4},A3,5
{1,2}},
ou simplement :
Y3,5={{0},{7},{2},{4},{1},{2,4},{1,2}}.
1. Attention !, le P∗(hmi) = (P(hmi)∪ {0})\ ∅.
24
`
A partir d’une proposition bien connue (voir [11]), nous avons que pour tout aet b
relativement premiers il existe une bijection entre l’ensemble Ya,b et l’ensemble Da,b .
Dans la figure 2.6 on donne un exemple qui met en ´evidence la bijection entre l’ensemble
Ya,b et l’ensemble Da,b.
Par exemple
-3 -6 -9 -12 -15
2-1 -4 -7 -10
7 4 1 -2 -5
(a) {0} 7→00011111
-3 -6 -9 -12 -15
2-1 -4 -7 -10
7 4 1 -2 -5
(b) {7} 7→00101111
-3 -6 -9 -12 -15
2-1 -4 -7 -10
7 4 1 -2 -5
(c) {4} 7→00110111
-3 -6 -9 -12 -15
2-1 -4 -7 -10
7 4 1 -2 -5
(d) {2} 7→01001111
-3 -6 -9 -12 -15
2-1 -4 -7 -10
741-2 -5
(e) {1} 7→00111011
-3 -6 -9 -12 -15
2-1 -4 -7 -10
741-2 -5
(f) {2,4} 7→01010111
-3 -6 -9 -12 -15
2-1 -4 -7 -10
7 4 1 -2 -5
(g) {1,2} 7→01011011
Figure 2.6: Bijection entre Y3,5et D3,5
Remarque : Comme la repr´esentation n’est pas unique nous pouvons prendre l’en-
semble des tableaux Young qui est d´etermin´e sous la courbe. Par exemple :
Y3,5={{0},{7},{2,7},{4,7},{1,4,7},{2,4,7},{1,2,4,7}}
25
2.3 Construction d’une bijection entre Da,b et Ya,b
Voici une description explicite d’une bijection entre Da,b et Ya,b, pour a<brelativement
premiers. Pour les besoins de la construction, on consid`ere le rectangle a×bde la forme
[1, b]×[0, a −1]. Les valeurs z∈ ha, bisatisfont la relation :
z=η(x, −y) = by −ax ≥0 o`u (x, y)∈[1, b]×[0, a −1].
On d´efinit l’ensemble Ya,b comme :
Ya,b ={Aa,b
B|B ∈ P∗(ha, bi)}.
La construction consiste `a trouver une injection ϕde Da,b vers P∗(ha, bi) et une sur-
jection ψde P∗(ha, bi) vers Ya,b tels que ψ|img(ϕ)soit injective et img(ψ◦ϕ) = Ya,b.
La premi`ere condition implique que la composition ψ◦ϕest injective, et la deuxi`eme
qu’elle est surjective. Donc ψ◦ϕest bijective.
Da,b ϕ//
q
ψ◦ϕ
####
P∗(ha, bi)
ψ
Ya,b
Figure 2.7: Diagramme de ϕet ψ.
D´efinition 2.3.1. On d´efinit les ensembles suivants pour faciliter l’´ecriture. Soit a, b ∈
N,a<brelativement premiers, α∈ ha, biet B ∈ P(ha, bi):
R(α) := {r∈ ha, bi|η−1(r)∈[1, xα]×[yα, a −1]},
Ly(B) := {x|(x, y)∈η−1(B)},
C(B) := η(x, y)|x=max(Ly(B)),(x, y)∈η−1(B).
26
Etape 1 : Construction de ϕ.
On identifie l’injection ϕ`a la fonction qui assigne `a chaque γ∈Da,b, l’en-
semble Cγ∈P∗(ha, bi) correspondant aux valeurs plac´ees le plus `a droite de
chaque ligne du profil de la courbe comme le montre la figure 2.8 :
γ
αi
αi−1
αi+1
Figure 2.8: L’ensemble Cγ.
Il est clair qu’il y a un bijection entre une courbe et son profil, c’est-`a-dire
´etant donn´e deux courbes γ16=γ2on a Cγ16=Cγ2, donc ϕest injective.
Etape 2 : Construction de ψ.
Il existe une surjection ψ:P∗(ha, bi)→ Ya,b, par definition de Ya,b , en
assignant un ´el´ement B ∈ P∗(ha, bi) au correspondant Aa,b
B,ψ(B) = Aa,b
{B}.
Etape 3 : Injectivit´e de ψ|img(ϕ).
Soient γ1, γ2∈Da,b et Cγ1,Cγ2∈img(ϕ). Si ψ(Cγ1) = ψ(Cγ2) alors Aa,b
Cγ1=
Aa,b
Cγ2. Par le lemme 2.3.1 nous avons que Aa,b
Cγ1=Aa,b
Cγ2si et seulement si
Cγ1=Cγ2, donc ψ|img(ϕ)est injective.
Etape 4 : Surjectivit´e, img(ψ◦ϕ) = Ya,b .
Il est clair que la d´efinition de C(B) est ´egal `a Cγ. Donc, ´etant donn´e Aa,b
B, par
le lemme 2.3.1 il existe C(B) tel que Aa,b
B=Aa,b
C(B). Par d´efinition, il existe
γ∈Da,b tel que C(B) = Cγ, ce qui implique que quel que soit Aa,b
B∈ Ya,b il
existe γ∈Da,b tel que Aa,b
B=Aa,b
Cγ. Comme Aa,b
Cγ=ψ(Cγ) et Cγ=ϕ(γ) nous
27
avons que pour tout Aa,b
B∈ Ya,b il existe γ∈Da,b tel que Aa,b
B=ψ◦ϕ(γ)
donc ψ◦ϕest surjective.
Le lemme suivant a ´et´e utilis´e ci-dessus. Il introduit une relation d’´equivalence dans
l’ensemble P∗(ha, bi) tel que l’ensemble quotient pour cette relation est en bijection
avec Ya,b.
Lemme 2.3.1. Soient a, b ∈N,a<b relativement premiers, et α, β ∈ ha, bi.
i) Alors, Aa,b
{β}⊆Aa,b
{α}si est seulement si β∈ R(α).
ii) Soit B ∈ P∗(ha, bi). Alors, Aa,b
B=Aa,b
{α}si est seulement si B ⊆ R(α)et α∈ B.
iii) Soient B1,B2∈P∗(ha, bi). Alors, Aa,b
B1=Aa,b
B2si est seulement si C(B1) =
C(B2).
α
(x1, y1)
β
(x2, y2)
Figure 2.9: schema de R(α) .
D´emonstration. i) Soit z∈Aa,b
{β}il existe q1, q2∈Ntels que z=bq1+aq2+β, on
a aussi que α=η(xα, yα), β=η(xβ, yβ) et β=α+b(yβ−yα)−a(xβ−xα), donc on
obtient :
z=bq1+aq2+β
=bq1+aq2+α+b(yβ−yα)−a(xβ−xα)
=b(q1+yβ−yα) + a(q2−xβ+xα) + α.
Alors, z∈Aa,b
{α}si et seulement si q1+yβ−yα≥0 et q2−xβ+xα≥0, ce qui implique
que −xβ+xα≥0 et yβ−yα≥0, et alors 1 ≤xβ≤xαet yα≤xβ≤a−1, donc
β∈ R(α).
28
D´emonstration. ii) Pour tout r∈ B,rv´erifie les condition de la partie i) du lemme
implique Aa,b
B⊆Aa,b
{α}donc Aa,b
{α}=Aa,b
Bsi et seulement si α∈ B.
D´emonstration. iii) Soient B1,B2∈P∗(ha, bi). Supposons que C(B1)6=C(B2)
C(B1)6=C(B2)⇔
∃β0∈ C(B1) et β06∈ C(B2)⇔sans perte de g´en´eralit´e
∃β00 ∈ C(B2) tel que yβ0=yβ00 et xβ0> xβ00 ⇔car C(B2) est
maximal pour chaque y
R(β00)(R(β0)⇔
β06∈ R(β)∀β∈ B2⇔
β06∈ B2et B2([
β∈B1
R(β)⇔
Aa,b
B26=Aa,b
B1par ii) et par d´efinition Aa,b
B1
29
2.4 Construction de la bijection en terme du mot associ´e
Nous pouvons aussi construire la bijection de la section §2.3 `a partir wmot associ´e
`a un chemin de Dyck. Nous divisons wen sous-mots wiqui commencent `a l’origine et
finissent dans chaque changement de 1vers 0comme dans la figure 2.10 :
. . . 0. . . 000011
|{z}
w1
0111
| {z }
w2
01
| {z }
w3
0. . . 0011
| {z }
wn+1
11 . . . 1. . .
Figure 2.10: Construction des sous-mots.
On note |w|0et |w|1le nombre de 0et 1que contient wrespectivement. Soit (xi, yi) =
(|wi|1,|wi|0) le paire ordonn´ee associ´ee `a chaque sous-mot wide w, comme l’illustre la
figure 2.11 :
w1= 00011 →(x1, y1),
w2= 000110111 →(x2, y2),
w3= 00011011101 →(x3, y3),
.
.
.→.
.
. ,
wn+1 = 00011011101 . . . 1→(xn+1 , yn+1).
Figure 2.11: Construction des paires ordonn´ees
Chaque paire ordonn´ee correspond `a la coordonn´ee du profil de la courbe, alors nous
avons construire l’ensemble Cγ(voir d´efinition 2.3.1), `a partir de w, donc nous assignons
Cw:= Cγ. De la mˆeme fa¸con on dit que ϕ(w) := Cwet finalement, la bijection est
ψ◦ϕ(w) = Aa,b
Cw.
30
2.5 Partage associ´e et Diagramme de Ferrers
Un partage d’un entier n≥0 est une d´ecomposition de cet entier en une somme
d’entiers strictement positifs, `a l’ordre pr`es des termes, Pk
i=1 λi=n, o`u nous appelons
nla taille et kla longueur. Par convention, le seul partage de 0 est 0. Une telle partage
est en g´en´eral repr´esent´e par la suite rang´ee par ordre d´ecroissant. On dit que λest un
partage de nen notant λ`n. On note Λnl’ensemble de tous les partages de n. Par
exemple, Λ5est l’ensemble de suites suivantes :
Λ5={[5] ,[4,1] ,[3,2] ,[3,1,1] ,[2,2,1] ,[2,1,1,1] ,[1,1,1,1,1]}.
On obtient ainsi une bijection entre les chemins de (a, b)-Dyck et les partages sous la
diagonale. Par exemple
0
1
3
-3
2
7
-6
-1
4
-9
-4
1
-12
-7
-2
-15
-10
-57 4 1
2
-3
2
7
-6
-1
4
-9
-4
1
-12
-7
-2
-15
-10
-5
Figure 2.12: Chemin 01011011 et son partage [3,1].
-3 -6 -9 -12 -15
2-1 -4 -7 -10
7 4 1 -2 -5
0
0
0
(a) ∅ 7→00011111
-3 -6 -9 -12 -15
2-1 -4 -7 -10
7 4 1 -2 -5
1
0
0
(b) [1] 7→00101111
-3 -6 -9 -12 -15
2-1 -4 -7 -10
741-2 -5
2
0
0
(c) [2] 7→00110111
-3 -6 -9 -12 -15
2-1 -4 -7 -10
7 4 1 -2 -5
1
1
0
(d) [1,1] 7→01001111
-3 -6 -9 -12 -15
2-1 -4 -7 -10
741-2 -5
3
0
0
(e) [3] 7→00111011
-3 -6 -9 -12 -15
2-1 -4 -7 -10
7 4 1 -2 -5
2
1
0
(f) [2,1] 7→01010111
-3 -6 -9 -12 -15
2-1 -4 -7 -10
7 4 1 -2 -5
3
1
0
(g) [3,1] 7→01011011
Figure 2.13: Les partages associ´es `a D3,5.
31
Un diagramme de Ferrers est une collection finie de cases organis´ee en lignes align´ees
`a gauche, avec la propri´et´e que les longueurs des lignes croissent au sens large (chaque
ligne est aussi longue ou plus longue que la pr´ec´edente). La suite des longueurs des
lignes donne un partage λde l’entier nqui est le nombre total de cases du diagramme.
Plus techniquement, un diagramme de Ferrers est un ensemble de cases c:= (i, j) de
coordonn´ees i, j ≥0, tel que si c0:= (i0, j0) avec i0≤iet j0≤j, alors, c0appartient
aussi `a l’ensemble.
1
3
Figure 2.14: Partage [3,1] `4.
La figure 2.14 montre le diagramme associ´e au partage [3,1]. Le partage λest appel´e la
forme du diagramme. Dans ce qui suit, nous ne ferons pas de distinction entre partage
et diagramme de Ferrers.
2.6 Treillis de Young et de Kr´ew´eras
Un treillis est un ensemble partiellement ordonn´e dans lequel chaque couple d’´el´ements
admet une borne sup´erieure et une borne inf´erieure. On parle aussi d’espace r´eticul´e. Un
treillis est dit born´e s’il poss`ede un maximum et un minimum. Dans un treillis born´e,
toute partie finie poss`ede une borne sup´erieure et une borne inf´erieure. En particulier,
nous ´etudions le cas du (a, b)-Diagramme et d´efinissons sur lui des chemins avec des
propri´et´es particuli`eres. L’inclusion d’un diagramme de Ferrers dans un autre d´efinit
une structure de treillis, c’est le Treillis de Young (voir figure 2.15).
Si nous colorions les partages qui correspondent aux chemins de Dyck, nous obtenons
un sous-treillis `a l’int´erieur du treillis de Young qui s’appelle Treillis de Kr´ew´eras
(voir figure 2.16).
32
Ø
Figure 2.15: Treillis de Young jusqu’au niveau 5.
Si nous utilisons le codage qui repr´esente un chemin de Dyck comme un mot de 0et 1
il y a une paire d’op´erations Uet Dqui nous permettent de parcourir le treillis vers
le haut ou vers le bas. Pour monter, on utilise des transpositions sur les z´eros du mot
et pour descendre des transpositions sur les uns (voir figure 2.17).
Dans la figure on fait la transposition de . . . 11010111 . . . `a . . . 11001111 . . . , de cette
fa¸con si nous prenons le chemin plus proche sous la diagonale (chemin de Christoffel) et
nous appliquons des transpositions sur les uns, nous obtenons tous les chemins de Dyck
(voir figure 2.16 Treillis de Kr´ew´eras). Dans la figure 2.18, nous observons l’inclusion de
treillis de Kr´ew´eras de D3,5dans D4,5.
L’avantage de la repr´esentation du Treillis de Kr´ew´eras est de pouvoir trouver les che-
mins de Dyck pour tous les cas, mˆeme dans le cas o`u aet bne sont pas relativement
premiers, car il existe des injections sur les diagrammes qui le sont. Nous verrons plus
de d´etails dans le chapitre §3
33
Ø
Figure 2.16: Treillis de Kr´ew´eras du partage [3,1].
(a) L’op´eration D(b) L’op´eration U
Figure 2.17: Les op´erations sur un diagramme.
2.7 L’aire d’un chemin de Dmet le polynˆome q-´enum´erateur.
Nous faisons un survol sur des objets li´es aux chemins de Dyck qui sont souvent utilis´es.
Ces objets peuvent nous donner des points de vue diff´erents pour nos questions.
L’aire d’un chemin de Dyck α∈Dm,n est d´efinie comme le nombre de cases enti`eres
qu’il y a entre le chemin αet le chemin plus proche sous la diagonale (chemin de
Christoffel). Soit α= (a1, . . . , a2) un chemin de Dyck et δ= (d1, . . . , dn) le chemin de
Christoffel, nous avons :
aream(α) =
n
X
i=1
di−ai.
`
A partir de cela nous pouvons obtenir le polynˆome q-´enum´erateur avec l’aire de la
34
Ø
•
• •
•••
•••
•••
•
Figure 2.18: L’inclusion de D3,5dans D4,5.
fa¸con suivante :
Catm(q) = X
α∈Dm
qaream(α).
Par exemple pour m= (n+ 1, n), nous ´ecrivons Catn(q) pour raison de simplification
au lieu de Catn+1,n(q), nous obtenons :
Si nous calculons Cat(m,n)(q) pour q= 1 on retrouve :
Cat(m,n)(1) = Cat(m,n).
La figure 2.19 fait remarquer le lien entre les monˆomes du polynˆome Cat(m,n)(q) et les
aires correspondantes, dans le treillis de Kr´ew´eras pour le cas D3,5.
Nous verrons, dans la section §3.3, de possibles extensions dans les cas non relativement
premiers de ces notions.
35
Tableau 2.2: Catn(q).
Cat0(q) 1
Cat1(q) 1
Cat2(q) 1 + q
Cat3(q) 1 + 2q+q2+q3
Cat4(q) 1 + 3q+ 3q2+ 3q3+ 2q4+q5+q6
q0q1q1q2q3
2.8 (a, b)-Cœur
Passons maintenant `a un autre mode de repr´esentation. Les a-cœurs apparaissent dans
plusieurs travaux de combinatoire et de topologie alg´ebrique entre autres. Par exemple,
dans l’article [7] on pr´esente l’ensemble des a-cœurs comme orbites de l’action du groupe
sym´etrique affine sur le partage vide. En g´eom´etrie affine, dans l’´etude des vari´et´es
grassmanniennes, les cœurs indexent les vari´et´es de Schubert. Dans l’´etude des groupes
de Coxeter, les cœurs sont li´es `a la longueur minimale de certaines classes `a gauche [4].
Dans les articles [2] et [3] on ´etablit un lien entre bicœurs et chemins de Dyck. Un article
r´ecent (voir [1]) ´etudie les liens entre multi-cœurs, posets, et chemins dans un treillis.
Dans cette section nous utilisons les r´esultats et notations de [3] qui relient les cœurs
aux chemins appartenant `a un treillis, et nous ´enon¸cons une partie de leurs propri´et´es.
Soit λ= (λ1≥λ2≥ · ·· ≥ λk)`n, un partage de l’entier n∈N, de longueur est k,
nous pouvons le repr´esenter comme le diagramme de la figure 2.20.
36
Ø7→ q4
•
7→ q3
•7→ q2•
7→ q2
•7→ q1•7→ q1
•7→ q0
Figure 2.19: Lien entre les polynˆomes et les aires dans D3,5.
Par exemple, voici le partage [5,4,3,3,2,1] `18,
On appelle cœur, le tableau construit `a partir du diagramme de Ferrers, remplissant
les cases de λpar la valeur de la longueur de l’´equerre correspondante `a chaque case.
Ceci est illustr´e `a la figure 2.22.
Pour chaque case c∈λdans le partage, nous associons sa longueur de l’´equerre
h(c), qui est le nombre de cellules directement en dessous et directement `a droite de c
(y compris celle-mˆeme ). Par exemple, ci-dessus nous avons marqu´e chaque case par sa
longueur d’´equerre. Nous pouvons ´ecrire la longueur de l’´equerre de c= (i, j) comme
suit :
h(c) := #{(i, j0)|j0≥j}∪{(i0, j)|i0≥i}.
Nous disons qu’un diagramme de Ferrers λest un a-cœur si aucune de ses cases n’a de
longueur d’´equerre ´egale `a a.
37
λk. . .
λk−1. . . . . .
.
.
.
.
.
..
.
.
λ2. . .
λ1. . .
Figure 2.20: Repr´esentation du partage λ.
1
2
3
3
4
5
Figure 2.21: Partage [5,4,3,3,2,1] `18.
Maintenant, nous consid´erons les diagrammes de Ferrers λqui sont un a-cœur et un
b-cœur simultan´ement. On dit alors que λest un (a, b)-cœur. Selon Anderson (voir
[2]), le nombre total de (a, b)-cœurs d’un partage est fini si et seulement si aet bsont
relativement premiers, et celui est le nombre de Catalan :
Cata,b =1
a+ba+b
a.
Remarquons qu’un diagramme λest compl`etement d´etermin´e par les longueurs des
´equerres des cases dans sa premi`ere colonne c={c1, c2, . . . , ck}. Ceci permet de d´eterminer
une bijection entre (a, b)-cœurs et chemins de Dyck Da,b. Commen¸cons pour ´etiqueter
les cases du rectangle a×bcomme dans la section §1.5 (en additionnant avers la
gauche et bvers le bas). La bijection est d´etermin´ee en prenant comme premi`ere co-
lonne c, les cases positives entre le chemin et la diagonale de fa¸con d´ecroissante (voir
[3]). Par exemple, le diagramme λ`a c={1,2,5,6}est un (4,7)-cœur correspondant `a
D7,9comme on puet l’observer dans la figure 2.23.
38
1
3
531
(a) L’´equerre
1
3 1
531
642
8641
10 8 6 4 1
(b) Le cœur
Figure 2.22: Construction d’un cœur.
1
2
521
632
(a) Le Cœur associ´e
−4
+7
17 13 9 5 1 -3 -7
10 6 2 -2 -6 -10 -14
3-1 -5 -9 -13 -17 -21
-4 -8 -12 -16 -20 -24 -28
(b) Chemin de Dyck 01001101111
Figure 2.23: Chemin de Dick et le cœur associ´e.
Nous avons d´ej`a vu que si aet bsont relativement premiers, il existe une bijection entre
les chemins de Dyck Da,b et les N-modules affines Ya,b dans la section §2.2. Nous avons
aussi une bijection entre les chemins de Dyck et les (a, b)-cœurs. Alors, nous pouvons
´etablir une bijection directe entre les N-module affine Ya,b et les (a, b)-cœurs.
39
En utilisant la repr´esentation des ensembles du compl´ement et la premi`ere colonne, nous
avons par exemple pour a= 3 et b= 5 :
Tableau 2.3: (3,5)-cœur vers Y3,5
(3,5)-cœur Y3,5
∅ {1,2,4,7}
1{2,4,7}
2 1 {1,4,7}
1
2{4,7}
1
421 {2,7}
1
2
4 1
{7}
1
2
4 1
7 4 2 1
∅
Le tableau 2.3 nous sugg`ere comment construire la bijection ente les (3,5)-cœurs et les
A3,5
Ben prenant B=h3,5i \ co`u cest la premi`ere colonne et Best un sous-ensemble
non vide de h3,5i.
D´efinition 2.8.1 (voir [3]).Le conjugu´e d’un diagramme λest d´efini comme le
diagramme λ0qui correspond `a sa r´eflexion qui est ´equivalente `a la r´eflexion du cœur
associ´e. Donc on dit aussi le conjugu´e d’un cœur.
Par exemple, dans la figure 2.24, nous voyons λavec c={1,4}et son conjugu´e λ0avec
c={1,2,4}:
1
4 2 1 ↔
1
2
4 1
Figure 2.24: Des cœurs conjugu´es.
40
Nous observons que λest un (a, b)-cœur si et seulement si λ0est un (a, b)-cœur.
Comme les cœurs sont en bijection avec les ´el´ements de Ya,b, nous pouvons trouver de
fa¸con semblable une relation entre les N-modules affines dans Ya,b. Nous avons aussi
des ´el´ements qui sont auto conjugu´es, c’est-`a-dire les cœurs qui sont sym´etriques par
rapport `a la r´eflexion.
Proposition 2.1 (voir [9]).Si aet bsont relativement premiers alors le nombre de
(a, b)-cœurs auto conjugu´es est :
a
2+b
2
a
2,b
2=a
2+b
2!
a
2!b
2!.
Par exemple si a= 3 et b= 5 nous avons 1+2
1,2=3!
1!2! = 3 auto conjugu´es,
Tableau 2.4: (3,5)-cœur,Y3,5et leurs conjugu´es.
Y3,5(3,5)-cœur conjugu´e Y3,5
{1,2,4,7} ∅ ∅ {1,2,4,7}
{2,4,7}1 1 {2,4,7}
{1,4,7}2 1 1
2{4,7}
{4,7}1
22 1 {1,4,7}
{2,7}1
4 2 1
1
2
4 1
{7}
{7}1
2
4 1
1
4 2 1 {2,7}
∅
1
2
4 1
7 4 2 1
1
2
4 1
7 4 2 1
∅
et si a= 3 et b= 7 nous avons 1+3
1,3=4!
1!3! = 4 auto conjugu´es.
41
Tableau 2.5: (3,7)-cœur,Y3,7et leurs conjugu´es.
Y3,7(3,7)-cœur conjugu´e Y3,7
{1,2,4,5,8,11} ∅ ∅ {1,2,4,5,8,11}
{2,4,5,8,11}1 1 {2,4,5,8,11}
{1,4,5,8,11}2 1 1
2{4,5,8,11}
{4,5,8,11}1
22 1 {1,4,5,8,11}
{2,5,8,11}1
4 2 1
1
2
4 1
{5,8,11}
{5,8,11}1
2
4 1
1
4 2 1 {2,5,8,11}
{1,4,8,11}2 1
5 4 2 1
1
2
4 1
5 2
{8,11}
{8,11}
1
2
4 1
5 2
2 1
5 4 2 1 {1,4,8,11}
{4,8,11}1
2
5 2 1
1
2
5 2 1
{4,8,11}
{4,11}
1
2
5 2 1
8 5 4 2 1
1
2
4 1
5 2
8 5 2 1
{11}
{11}
1
2
4 1
5 2
8 5 2 1
1
2
5 2 1
85421
{4,11}
∅
1
2
4 1
5 2
8 5 2 1
11 8 5 4 2 1
1
2
4 1
5 2
8 5 2 1
11 8 5 4 2 1
∅
`
A partir des tableaux de cœurs conjugu´es et Ya,b, nous construisons le sch´ema d’inclusion
illustr´e `a la figure 2.25. Chaque fl`eche indique l’inclusion de N-module. La ligne de
couleur verte indique la conjugaison, les ´el´ements en rouge sont auto conjugu´es et la
ligne pointill´ee verte indique la situation o`u on a conjugaison, mais pas inclusion.
42
A3,5
{1,2,4,7}
A3,5
{1,4,7}
;;
A3,5
{2,4,7}
cc
A3,5
{4,7}
OO55
A3,5
{2,7}
OO
A3,5
{7}
cc;;
h3,5i
OO
(a) Y3,5
A3,7
{1,2,4,5,8,11}
A3,7
{1,4,5,8,11}
88
A3,7
{2,4,5,8,11}
ff
A3,7
{1,4,8,11}
OO
A3,7
{4,5,8,11}
ff88
A3,7
{2,5,8,11}
OO
A3,7
{4,8,11}
OO88
A3,7
{5,8,11}
OO
A3,7
{4,11}
OO
A3,7
{8,11}
OO
ff
A3,7
{11}
ff88
h3,7i
OO
(b) Y3,7
Figure 2.25: Le sch´ema d’inclusion de N-module affine
Il serait tr`es int´eressant de mieux comprendre la relation entre les cœurs conjugu´es en
termes de N-modules affines.
Une autre propri´et´e int´eressante concerne la taille d’un cœur, c’est-`a-dire le nombre de
cases qu’il contient. `
A partir de cette propri´et´e, nous v´erifierons des r´esultats obtenus
dans la section A.4 ainsi que nous donnons le r´esultat d’une somme quadratique de
parties enti`eres (voir lemme A.4.1).
Comme nous avons d´ej`a vu, un cœur est bien d´efini `a partir de sa colonne premi`ere.
Soit C ∈(a,b)-cœur et soit c={c1, c2, . . . , ck}sa premi`ere colonne. La figure 2.26 nous
aide `a visualiser le cœur par rapport `a sa taille.
43
c1c1. . .
c2−1c2. . . . . .
.
.
.
.
.
..
.
.
ck−1−(k−2) ck−1. . .
ck−(k−1) ck. . .
Figure 2.26: La taille d’un cœur.
Donc, on peut calculer la taille comme :
|C| =
k
X
i=1
(ci−i+ 1),
=
k
X
i=1
ci−k(k−1)
2,
=
k
X
i=1
ci−k
2.[14, pag. 92]
On ´etudie la plus grande taille que peut avoir un C ∈(a,b)-cœur (voir [3]). Ce cœur a
comme premi`ere colonne tous les ´el´ements de ha, bi.
Alors, soit c=ha, biet n=|ha, bi|, la taille de Cmax est :
|Cmax|=X
z∈ha, bi
z−n(n−1)
2.
En appliquant des r´esultats obtenus, nous trouvons l’expression suivante :
|Cmax|=
a−1
X
t=1 bt
abt −a
2bt
a−(a−1)2(b2−1)
8.voir eq.A.5
Pour le cas Da,a+1, elle se r´eduit `a l’expression :
|Cmax|=a+ 2
4.voir eq.A.6
Nous pouvons v´erifier ce r´esultat appliquant la formule obtenue dans l’article [14,
pag. 98],
|Cmax|=(a2−1)(b2−1)
24 .(2.1)
44
Si nous sommes dans le cas b=a+ 1, l’expression se r´eduit `a :
|Cmax|=(a2−1)((a+ 1)2−1)
24 ,
=(a+ 1)(a−1)a(a+ 2)
24 ,
=a+ 2
4.
De plus, de la formule g´en´erale ´eq.2.1, nous avons v´erifi´e la conjecture sur la valeur de
l’expression quadratique dans l’appendice (voir ´eq.A.7).
`
A partir des outils d´evelopp´es dans ce chapitre, nous aborderons, dans le suivant, le
probl`eme de faire l’extension au cas sans contrainte.
CHAPITRE III
CAS NON-RELATIVAMENT PREMIER
DES CHEMINS DE DYCK
3.1 Introduction
Nous avons d´ej`a vu la formule de Catalan g´en´eralis´ee pour calculer le nombre de
chemins de (a, b)-Dyck dans un rectangle a×bo`u aet bsont relativement premiers.
Nous savons aussi que dans le cas o`u b=ak on peut obtenir le nombre de chemins `a
partir de la formule de Fuss-Catalan :
Cat(a,k)=1
ak + 1(k+ 1)a
a.
Cette formule ´equivaut `a l’expression suivante :
Cat(a,b)=1
a+b+ 1a+b+ 1
a.
En particulier, dans le cas o`u aest un nombre premier p, il y a seulement deux possi-
bilit´es : que bsoit relativement premier ou que bsoit multiple de a. De cette fa¸con le
nombre de chemins de Dyck s’exprime comme :
Cat(p,b)=
1
p+bp+b
psi pgcd(p, b)=1,
1
p+b+1 p+b+1
psi b=kp.
La question d’´etendre les r´esultats du chapitre pr´ec´edent au cas non relativement pre-
mier est plus d´elicate. Dans celui-ci nous ne pouvons utiliser ni la formule de Catalan
46
g´en´eralis´ee ni la formule de Fuss-Catalan. Pour cette raison, dans ce chapitre nous
´etudierons certains cas particuliers sans contrainte. Dans cette situation, la formule
pour l’´enum´eration de Dm,n prend la forme d’un somme de termes index´es par le par-
tage du plus grand commun diviseur de met n.
Soient m=da,n=db et d=pgcd(m, n), nous d´efinissons :
B(a,b)
k=1
a+bka +kb
ka o`u k∈N
Ba,b
λ=B(a,b)
λ1B(a,b)
λ2· · · B(a,b)
λlo`u λ= (λ1, λ2, . . . , λl)
Alors, l’expression trouv´ee par Bizley nous donne l’´enum´eration de Dm,n :
|Dm,n|=X
λ`d
1
zλ
B(a,b)
λpreuve voir [6]
o`u zλest li´ee au nombre de cycles de la permutation de type λ. Alors, si λadkparties
de taille k, nous avons :
zλ=Y
k
kdkdk!
´
Egalement, nous avons la fonction g´en´eratrice suivante :
∞
X
d=1
|Dad,bd|xd=e
X
k≥1
1
kB(a,b)
kxk
.
`
A partir de cette fonction nous obtenons des formules pour des cas particuliers (voir
[5]), par exemple :
|D2a,2b|=1
2B(a,b)
12+1
2B(a,b)
2si d= 2,(3.1)
|D3a,3b|=1
6B(a,b)
13+1
2B(a,b)
1B(a,b)
2+1
3B(a,b)
3si d= 3.(3.2)
Bien entendu, dans le cas o`u met nsont relativement premiers, nous retrouvons la
formule de Catalan g´en´eralis´ee.
Un de nos buts est de trouver des r´ecurrences simples pour le nombre de chemins de
Dyck dans des cas plus g´en´eraux. Pour mieux d´egager des m´ethodes g´en´erales, nous
´etudierons les notions d’inclusion de diagrammes et polynˆomes q-´enum´erateurs, pour
47
les cas non relativement premiers. Nous consid´ererons aussi deux conjectures sur le
nombre de chemins de D2k,2k(n+1)−2et D2k,2kn+2 `a partir de l’´etude d´etaill´ee des cas
sp´eciaux de D4,n,D6,6n+4,D8,8n+6 et D6,6n+2.
3.2 L’inclusion de treillis
Dans la section §2.6, nous avons vu l’inclusion de treillis de Kr´ew´eras dans le cas
relativement premier, mais on peut aussi l’appliquer dans le cas non premier entre eux.
Pour tout k > j fixons i, on a que Di,j ⊆Di,k. Comme exemple on prend D3,5⊆D3,6
(voir figure 3.1) et D4,6⊆D4,7(voir figure 3.2). Dans le premier exemple, on ´etude
l’inclusion d’un treillis relativement premier dans un autre non relativement premier.
Nous fixons la hauteur et prenons le treillis, qui a une diff´erence de largeur d’une case
avec le premier. Nous comparons le nombre de diagrammes (voir tableau 3.1) pour
trouver le nombre de chemins de Dyck.
Ø
•
• •
• •
•
(a) D3,5et |D3,5|= 7
Ø
•
• •
• •
•••
• •
•
(b) D3,6et |D3,6|= 12
Ø
•
• •
• •
•••
• •
•
(c) D3,5⊆D3,6
Figure 3.1: L’inclusion de D3,5dans D3,6.
48
Tableau 3.1: Comparaison des diagrammes de D3,5et D3,6
Diagramme D3,5Diagramme D3,6
1Ø Ø
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Nous trouvons que |D3,6|= 12 = 7 + 5, nous pouvons associer ces nombres au nombre
de chemins de certains treillis relativement premiers comme suit :
|D3,6|= 7 + 3 + 2,
=Cat(3,5) +Cat(2,5) +Cat(2,3).
Nous ´etudions de fa¸con analogue le deuxi`eme exemple, `a savoir l’inclusion d’un treillis
non relativement premier dans un autre relativement premier (voir figure 3.2). Nous
fixons la hauteur et prenons le treillis, qui a une diff´erence de largeur d’une case avec le
premier. Nous comparons le nombre de diagrammes (voir tableau 3.2) pour trouver le
nombre de chemins de Dyck.
49
Ø
•
• •
• • •
• • • •
• • • •
• • • •
• • •
•
(a) D4,6et |D4,6|= 23
Ø
•
• •
• • •
• • • •
•••••
•••••
•••••
• • •
•
(b) D4,6⊂D4,7et |D4,7|= 30
Figure 3.2: L’inclusion de D4,6dans D4,7.
Tableau 3.2: Comparaison de diagrammes.
D4,6D4,7
1Ø Ø
2
3
4
5
6
7
8
D4,6D4,7
9
10
11
12
13
14
15
16
D4,6D4,7
17
18
19
20
21
22
23
24
D4,6D4,7
25
26
27
28
29
30
Nous trouvons que |D4,6|= 23 = 30−7. De fa¸con semblable `a l’exemple pr´ec´edent, nous
pouvons associer le r´esultat aux nombres de chemins de certains treillis relativement
premiers comme suit :
|D4,6|= 30 −7,
=Cat(4,7) −Cat(3,5).
Ces r´esultats semblent arbitraires, mais nous en donnerons des raisons dans les sections
50
o`u nous ´etudions en d´etail les cas sp´eciaux.
3.3 Polynˆome q-´enum´erateur
Nous reprenons l’id´ee de la section §2.7 pour le cas g´en´eral. Pour tout Dmnous pouvons
trouver le polynˆome q-enumerateur `a partir de l’aire comme suit :
Dm(q) = X
α∈Dm
qaream(α).
Par exemple, pour D(4,6) on obtient :
D(4,6)(q) = q8+q7+ 2q6+ 3q5+ 4q4+ 4q3+ 4q2+ 3q+ 1,
D(4,6)(1)=1+1+2+3+4+4+4+3+1,
= 23.
Si nous utilisons le r´esultat obtenu dans la section §3.2 et consid´erons la diff´erence entre
les aires de D(4,7) et D(4,6), nous obtenons :
Cat4,7(q)−Cat3,5(q) = q9+q8+ 2q7+ 3q6+ 4q5+ 4q4+ 4q3+ 3q2+q,
=q(q8+q7+ 2q6+ 3q5+ 4q4+ 4q3+ 4q2+ 3q+ 1),
=qD(4,6)(q).
Cette relation se remarque dans la figure 3.3. On peut g´en´eraliser l’expression comme
suit (voir section §3.5) :
qD(4,4k+2)(q) = Cat(4,4k+3) (q)−Cat(3,3k+2)(q).
51
Ø7→ q9
•
7→ q8
•7→ q7•
7→ q7
•7→ q6•7→ q6•
7→ q6
•7→ q5•7→ q5•7→ q5•7→ q5
•7→ q4•7→ q4•7→ q4•7→ q4•7→ q4
•7→ q3•7→ q3•7→ q3•7→ q3•7→ q3
•7→ q2•7→ q2•7→ q2•7→ q2•7→ q2
•7→ q1•7→ q1•7→ q1
•7→ q0
(a) D(4,7)(q) = Cat(4,7) (q)
Ø7→ q8
•
7→ q7
•7→ q6•
7→ q6
•7→ q5•7→ q5•
7→ q5
•7→ q4•7→ q4•7→ q4•7→ q4
•7→ q3•7→ q3•7→ q3•7→ q3
•7→ q2•7→ q2•7→ q2•7→ q2
•7→ q1•7→ q1•7→ q1
•7→ q0
(b) qD(4,6)(q) = Cat(4,7) (q)−Cat(3,5)(q)
Figure 3.3: Relation entre les treillis et Catm(q).
Il est int´eressant de trouver la distribution des coefficients du polynˆome Dm(q) pour
chaque qj, car cela repr´esente le nombre des chemins d’aire ´egale `a j. Les courbes
combinatoires sont construit en repr´esentant la puissance jdans l’axe xet la valeur du
coefficient correspondant dans l’axe y. Chaque graphique comporte plusieurs courbes
chacune correspondant au q-polynˆome d’un treilles de hauteur fix´ee et de longueur n
comme illustr´e `a la figure 3.4.
(a) D(6,n)(q)1
52
(b) D(7,n)(q)2
(c) Dn(q)3
Figure 3.4: Les coefficients des polynˆomes q-´enum´erateurs.
On observe une ressemblance marqu´ee avec une loi de Poisson, qui est peut-ˆetre d´ej`a
explor´ee, mais nous n’avons pas trouv´e de r´ef´erence explicite. D´eterminer explicitement
celle-ci est typique des probl`emes consid´er´es dans le domaine de l’analyse en moyenne
d’algorithmes. Ce sujet a ´et´e abord´e par P. Flajolet [8] et D. Knuth entre autres.
1. O`u –est pgcd(6, n) = 1 et –est pgcd(6, n)6= 1.
2. On consid`ere seul le cas pgcd(7, n) = 1.
3. On prend 1 ≤n≤11.
53
3.4 M´ethode de comparaison de diagrammes de Ferrer
Nous continuons avec l’´etude de la section §3.2 en utilisant l’id´ee du rectangle a×b.
Soient les rectangles a×bet a×ctels que, a∈ h2iet b > a premier entre eux, et cpeut
prendre la valeur c=b−1 ou c=b+ 1.
Par exemple, prenons D4,6⊂D4,7et D8,14 ⊂D8,15 pour le cas de c=b−1, et D6,7⊂D6,8
et D8,9⊂D8,10 pour le cas de c=b+ 1. Comparons les diff´erences de cases du dia-
gramme sous-diagonal maximal 4de chaque rectangle avec le rectangle correspondant re-
lativement premier 5. Nous obtenons que pour D4,6⊂D4,7et D8,14 ⊂D8,15 la diff´erence
est d’une et de trois cases de moins respectivement. Et pour D6,7⊂D6,8et D8,9⊂D8,10
de trois et de quatre cases de plus. Ces diff´erences de cases nous donnent une fa¸con de
compter les chemins que nous devrons soustraire ou additionner au rectangle relative-
ment premier. Pour raison de simplicit´e, nous ´etudierons les cas o`u ces diff´erences sont
plac´ees sur la borne du diagramme sous-diagonal maximal (voir figures 3.5 et 3.6).
(a) D4,6⊂D4,7(b) D8,14 ⊂D8,15
Figure 3.5: Diff´erences avec de diagrammes plus grands.
4. Le diagramme sous-diagonale maximale corresponde au diagramme de Ferrer associ´e au chemin
de Christoffel dans le rectangle a×b.
5. On dit qu’un rectangle a×best relativement premier lorsque aet ble sont.
54
(a) D6,7⊂D6,8(b) D8,9⊂D8,10
Figure 3.6: Diff´erences avec de diagrammes plus petits.
Soit Ta,b le diagramme de Ferrer associ´e au chemin de Christoffel dans a×b. Afin
d’´etablir les principaux r´esultats dont nous avons besoin de compter les cases en exc`es
entre les chemins de Christoffel en rectangles a×bet a×c, pour toute c > b. Nous
d´eveloppons une m´ethode pour ce faire en ´eliminant les cases d´epassant entre Ta,b et
Ta,c. En utilisant les fonctions Qa,b et ∆a,b(l), notre m´ethode de comparaison donnent
les r`egles suivantes :
R`egle 1 : Si ∆a,b,c(i) = 1, il y a une seule case dans Ta,c qui n’appartient pas au
Ta,b. Soit Ta1,b1et Ta0
1,b0
1les diagrammes de Ferrer obtenus en supprimant le
plus grand rectangle qui contient α, comme illustr´e `a la figure 3.7(b).
λn
λn−1
λn−2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
λiα
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
λ2
λ1
(a) Comparaison Ta,b et Ta,c
λn
λn−1
λn−2
.
.
.
λiα
.
.
.
.
.
.
λ2
λ1
(b) Ta1,b1et Ta0
1,b0
1
Figure 3.7: R`egle 1.
Ces diagrammes de Ferrer ne sont pas associ´es `a un chemin Christoffel en
g´en´eral. Soit
Ja1,b1⊆Da1,b1,et Ja0
1,b0
1⊆Da0
1,b0
1
55
les ensembles de chemins de Dyck contenues dans le Ferrer diagrammes Ta1,b1
et Ta0
1,b0
1, respectivement. Nous avons :
|Da,c|−|Da,b|=|Ja1,b1| · |Ja0
1,b0
1|,
Il est clair que si la case est plac´ee sur la ligne de bas (l=a−1), l’´equation
se r´eduite `a :
|Da,c|−|Da,b|=|Ja1,b1|.
R`egle 2 : Quand ∆a,b,c =k, nous avons kcases qu’il faut faire intervenir (voir
la figure 3.8), nous construisons une suite d’ensembles disjoints `a partir de
la suite suivante. Nous consid´erons soit Ajl’ensemble de tous les chemins
qui font intervenir la case αjet ne font pas intervenir les cases αi, pour
chaque i>jo`u 1 ≤j≤k, soit Bjl’ensemble de tous les chemins qui font
intervenir la case αjet ne font pas intervenir les cases αi, pour chaque i < j
o`u 1 ≤j≤k.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
α1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
α2
αk
Figure 3.8: R`egle 2, plus d’une case.
Cette strat´egie nous donne des ensembles disjoints qui pr´eservent l’union
totale (voir lemme 3.10.1), donc en utilisant la r`egle 1pour chaque Ajou
Bj, nous obtenons :
|Da,c|−|Da,b|=
k
X
j=1
(|Jaj,bj| · |Ja0
j,b0
j|),
o`u Jaj,bj⊆Daj,bjet Ja0
j,b0
j⊆Da0
j,b0
j.
56
Clairement, la difficult´e de la m´ethode est de trouver les rectangles qui rendent le calcul
plus facile. C’est la raison pour laquelle nous ´etudierons D4,k ,D6,6n+4 et D8,8n+6 pour
g´en´eraliser les cas de diff´erences avec diagrammes plus grands. Ensuite, nous ´etudierons
D4,4n+2 et D6,6n+2 pour g´en´eraliser les cas de diff´erences avec ceux plus petits. Nous
avons choisi les cas afin que tous les rectangles soient relativement premiers et que les
diagrammes soient sous-diagonaux maximaux, c’est-`a-dire Jaj,bj=Daj,bjet Ja0
j,b0
j=
Da0
j,b0
j.
57
3.5 Les chemins de D4,k
On commence pour les chemins de Dyck sur le rectangle 4 ×k, lorsque k= 4n+ 1 ou
k= 4n+ 3 on est en pr´esence d’entrant relativement premier, et pour k= 4non a la
formule de Fuss-Catalan. La seule situation nouvelle est donc lorsque k= 4n+ 2 pour
laquelle nous n’avons que la formule de Bizley. Dans cette section nous consid´erons ce
cas plus en d´etail. Nous commen¸cons par ´evaluer le nombre de chemins dans un petit
cas pour pouvoir mieux g´en´eraliser.
Consid´erons l’exemple de D4,6⊂D4,7. Les plus grands chemins au sens de Kr´ew´eras
sont et respectivement. La diff´erence se r´eduit `a une seule case apparaissant
sur la ligne du bas (voir figure 3.9).
Figure 3.9: La relation entre diagrammes D4,6⊂D4,7.
Nous pouvons appliquer la m´ethode de comparaison de diagramme (r`egle 1). De plus,
la case de diff´erence apparait `a la derni`ere ligne. Ceci correspond donc `a tous les chemins
qui sont contenus au diagramme , `a savoir les chemins de D3,5. Cette expression donne
une r´ecurrence pour |D4,6|.
|D4,6|=|D4,7|−|D3,5|,
=Cat(4,7) −Cat(3,5),
= 30 −7 = 23.
Nous pouvons g´en´eraliser ce processus au cas de D4,4n+2, par les observations suivantes.
Rappelons de la section §1.2 la construction des ensembles S∗
m(t) (voir formule 1.7).
Comme nous l’avons d´ej`a observ´e, ceux-ci nous donnent un moyen de trouver le dia-
gramme dans le cas g´en´eral. Soit λ= (λa−1, . . . , λ2, λ1) le diagramme sous-diagonal
maximal dans le rectangle a×b, le nombre de cases pour chaque ligne λjdans notre
58
diagramme correspond au cardinal des ensembles S∗
m(t).
λj=|S∗
a,b(j)|=jb
a,pour 1 ≤j≤a−1.
Le tableau 3.3 permet de comparer les diff´erences pour le diagramme sous-diagonal
maximal de D4,4n+2 et de D4,4n+3 qui est clairement relativement premier.
Tableau 3.3: Comparaison des diagrammes de D4,4n+2 et D4,4n+3.
j λjsi b= 4n+ 2 λjsi b= 4n+ 3
1n+1
2=n n +3
4=n
2 2n+2
2= 2n+ 1 2n+6
4= 2n+ 1
3 3n+3
2= 3n+ 1 3n+9
4= 3n+ 2
On observe qu’il y a une case de plus dans la derni`ere ligne pour le cas b= 4n+ 3
par rapport au cas b= 4n+ 2. Cette situation est g´en´erale. Le nombre de chemins de
D4,4n+3 qui ne sont pas contenus dans D4,4n+2, s’obtient de la fa¸con suivante :
n···
2n+1 ···
3n+2 ···
−3n+2 ··· =n···
2n+1 ···
Figure 3.10: Chemins non contenus dans D4,4n+2
Pour appliquer la r`egle 1, nous devons trouver le rectangle 3×btel que son diagramme
sous-diagonal maximal correspond `a λ= (2n+ 1, n). Soit b= 3n+ro`u r < 3, on doit
satisfaire les ´equations 3n+r
3=net j2(3n+r)
3k= 2n+ 1. La premi`ere ´equation est
toujours vraie, car r < 3, et de la deuxi`eme nous obtenons :
2n+ 1 = 2(3n+r)
3,
=2n+2r
3,
= 2n+2r
3.
59
On conclut donc que 2r
3= 1 donc r= 2.
De cette fa¸con, nous avons r´eussi `a ´ecrire |D4,4n+2 |en terme de |D4,4n+3|et |D3,3n+2|.
Donc, le nombre de chemins de D4,4n+2 est :
|D4,4n+2|=|D4,4n+3|−|D3,3n+2|,
=Cat(4,4n+3) −Cat(3,3n+2).
En r´esum´e, le nombre de chemins de D4,k o`u k= 4n+rest tel que :
|D4,4n+r|=
Cat(4,4n+1) si r= 0
Cat(4,4n+r)si r= 1 ou r= 3
Cat(4,4n+3) −Cat(3,3n+2) si r= 2
.
60
3.6 Les chemins de D6,6n+4
Dans cette section, on fait une analyse semblable `a ce qu’elle pr´ec`ede. Nous ´etudions
D6,6n+4 par rapport `a D6,6n+5 , on verra qu’il satisfait les conditions pour appliquer la
m´ethode de comparaison d´ecrite dans la section §3.4. Utilisant l’´equation 1.8, nous obte-
nons que la diff´erence du nombre total de cases sous-diagonales est Q6,6n+5−Q6,6n+4 = 2.
Pour trouver les lignes o`u elles sont plac´ees ∆(l), nous ´ecrivons l’´equation suivante :
∆(l) = |S∗
6,6n+5(l)|−|S∗
6,6n+4(l)|,
=(6n+ 5)l
6−(6n+ 4)l
6,
=ln +5t
6−ln +4l
6,
=5l
6−4l
6.
On remarque que ∆(l) est z´ero sauf dans les lignes l= 4 ou l= 5 dans ces cas ∆(4) =
∆(5) = 1 (voir figure 3.11).
n···
2n+1 ··· ···
3n+2 ··· ··· ··· ···
4n+2 ··· ··· ··· ··· ··· ··· α1
5n+3 ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· α2
Figure 3.11: Le sch´ema D6,6n+4 et D6,6n+5.
En appliquant la r`egle 2, nous avons que A1={chemins qui font intervenir la case α1et non α2}
et A2={chemins qui font intervenir la case α2}. En appliquant la r`egle 1aux en-
sembles A1et A2, nous avons les calculs suivants.
61
Cas 1 : Pour A1, nous devons trouver les rectangles 4 ×b1et 2 ×b0
1tels que leur
diagramme sous-diagonal maximal est respectivement λ= (3n+ 2,2n+ 1, n)
et λ0= (n). Soit b1= 4n+ro`u r < 4, on doit satisfaire les ´equations :
4n+r
4=n,
2(4n+r)
4= 2n+ 1,
3(4n+r)
4= 3n+ 2.
Cela est ´equivalent `a trouver la valeur de rqui satisfait r
4= 0, 2r
4= 1 et
3r
4= 2. Le r´esultat est trouv´e de fa¸con claire, voir le tableau 3.4
Tableau 3.4: les Valeurs de ir
4
rr
4 2r
4 3r
4
1 0 0 0
2 0 1 1
3 0 1 2 solution
Donc b1= 4n+ 3. Pour b0
1la valeur est clairement b0
1= 2n+ 1. Nous obtenons
que :
|A1|=|D4,4n+3||D2,2n+1|.
Cas 2 : Pour A2, nous devons trouver seulement le rectangle 5 ×b2qui correspond
`a λ= (4n+ 3,3n+ 2,2n+ 1, n). Soit b2= 5n+rnous avons que :
5n+r
5=n,
2(5n+r)
5= 2n+ 1,
3(5n+r)
5= 3n+ 2,
4(5n+r)
5= 4n+ 3.
62
De fa¸con ´equivalente au pr´ec´edent, ces conditions se r´eduisent `a trouver rtel
que r
5= 0, 2r
5= 1, 3r
5= 2 et 4r
5= 3. Le r´esultat est dans le tableau
3.5.
Tableau 3.5: Les Valeurs de ir
5
rr
5 2r
5 3r
5 4r
5
1 0 0 0 0
2 0 0 1 1
3 0 1 1 2
4 0 1 2 3 solution
Donc, b2= 5n+ 4, et on obtient que :
|A2|=|D5,5n+4|.
Finalement, comme toutes les valeurs des rectangles sont relativement premi`eres, nous
obtenons que :
|D6,6n+4|−|D6,6n+5|=−Cat(5,5n+4) −Cat(4,4n+3)Cat(2,2n+1).
Donc, le nombre de chemins de D6,6n+4 est :
|D6,6n+4|=Cat(6,6n+5) −Cat(5,5n+4) −Cat(4,4n+3)Cat(2,2n+1).
63
3.7 Les chemins de D8,8n+6
Comme dans les sections pr´ec´edentes, nous ´etudions D8,8n+6 par rapport `a D8,8n+7
et l’application de la m´ethode de comparaison. Nous obtenons que la diff´erence du
nombre total de cases sous-diagonalesd est Q8,8n+6 −Q8,8n+7 = 3. Nous trouvons de
l’´equation ∆(l) = 7l
8−6l
8qu’elle est z´ero sauf pour les valeurs l= 5,6,7. Dans ces
cas ∆(5) = ∆(6) = ∆(7) = 1 comme illustr´e `a la figure 3.12.
n···
2n+1 ··· ···
3n+2 ··· ··· ··· ···
4n+3 ··· ··· ··· ··· ··· ···
5n+3 ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· α1
6n+4 ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· α2
7n+5 ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· α3
Figure 3.12: Le sch´ema D8,8n+6 et D8,8n+7
Nous consid´erons les ensembles suivants :
A1={tous les chemins qui font intervenir α1et non α2au α3}}
A2={tous les chemins qui font intervenir α2et non α3}
A3={tous les chemins qui font intervenir α3}
En faisant des calcules semblables aux pr´ec´edents, nous avons :
Cas 1 : Pour A1, nous trouvons les rectangles 5×b1et 3 ×b0
1tels que leur diagramme
sous-diagonal maximal est respectivement λ= (4n+ 3,3n+ 2,2n+ 1, n) et
λ0= (2n+ 1, n). Donc,
|A1|=|D5,5n+4||D3,3n+2|.
Cas 2 : Pour A2, nous trouvons les rectangles 6×b2et 2 ×b0
2tels que leur diagramme
sous-diagonal maximal est respectivement λ= (5n+ 4,4n+ 3,3n+ 2,2n+ 1, n)
et λ0= (n). Donc,
|A2|=|D6,6n+5||D2,2n+1|.
64
Cas 3 : Et pour A3, nous devons trouver seulement le rectangle 7×b3qui correspond
`a λ= (6n+ 5,5n+ 4,4n+ 3,3n+ 2,2n+ 1, n). Donc,
|A3|=|D7,7n+6|.
Comme toutes les valeurs des rectangles sont relativement premi`eres, nous obtenons
que :
|D8,8n+6|=Cat(8,8n+7) −(Cat(7,7n+6) +Cat(6,6n+5)Cat(2,2n+1) +Cat(5,5n+4)Cat(3,3n+2)).
Nous remarquons que toutes les valeurs suivent la r´ecurrence a(n+ 1) −1. Cela nous
induit `a consid´erer la notation suivante :
Cat(−)
a,n := Cat(a,a(n+1)−1),
bien entendu Cat(−)
(1,n)= 1. Nous pouvons donc r´eduire l’expression du nombre de
chemins de D8,8n+6 `a :
|D8,8n+6|=Cat(−)
(8,n)−
3
X
j=1
Cat(−)
(8−j,n)Cat(−)
j,n .
Cette expression nous conduit `a la conjecture 1.
65
3.8 Les chemins de D4,4n+2
Dans cette section et dans la prochaine, nous ´etudierons des exemples o`u le rectangle
relativement premier est plus petit. Comparons D4,4n+2 avec D4,4n+1, nous obtenons
que la diff´erence du nombre total de cases sous-diagonales est Q4,4n+2 −Q4,4n+1 = 2.
Nous trouvons de l’´equation ∆(l) = 2l
4−l
4qu’elle est z´ero sauf pour les valeurs
l= 2,3. Dans ces cas, ∆(2) = ∆(3) = 1 comme illustr´e `a la figure 3.13.
n··· ···
2n+1 ··· ··· ··· α1
3n+1 ··· ··· ··· ··· ··· ··· α2
Figure 3.13: Le sch´ema D4,4n+1 et D4,4n+2
Nous consid´erons les ensembles suivants :
B1={tous les chemins qui font intervenir α1},
B2={tous les chemins qui font intervenir α2et non α1}.
Nous avons que :
Cas 1 : Pour B1, nous trouvons les rectangles 2×b1et 2×b0
1tels que leur diagramme
sous-diagonal maximal est respectivement λ= (n) et λ0= (n). Donc,
|B1|=|D2,2n+1||D2,2n+1|.
Cas 2 : Et pour B2, nous devons trouver seulement le rectangle 3×b2qui correspond
`a λ= (2n+ 1, n). Donc,
|B2|=|D3,3n+1|.
Donc, nous obtenons une autre expression pour le nombre de chemins de D4,4n+2.
|D4,4n+2|=Cat(4,4n+1) +Cat(3,3n+1) +Cat(2,2n+1)Cat(2,2n+1).
66
3.9 Les chemins de D6,6n+2
Maintenant, nous ´etudions le cas de D6,6n+2 par rapport `a D6,6n+1. De l’´equation1.8,
nous obtenons que la diff´erence totale est :
Q6,6n+2 −Q6,6n+1 = 3,
et de l’´equation :
∆(l) = 2l
6−l
6,
nous trouvons qu’elles sont plac´ees dans les lignes l= 3,4,5 (voir la figure 3.14).
n···
2n··· ···
3n··· ··· ··· ··· α1
4n··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· α2
5n··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· α3
Figure 3.14: Le sch´ema D6,6n+1 et D6,6n+2
Nous consid´erons les ensembles suivants :
B1={tous les chemins qui font intervenir α1},
B2={tous les chemins qui font intervenir α2et non α1},
B3={tous les chemins qui font intervenir α3et non α1au α2}.
Nous avons :
Cas 1 : Pour B1, nous trouvons les rectangles 3×b1et 3×b0
1tels que leur diagramme
sous-diagonal maximal est respectivement λ= (2n, n) et λ0= (2n, n). Donc,
|B1|=|D3,3n+1||D3,3n+1|.
Cas 2 : Pour B2, nous trouvons les rectangles 4×b2et 2×b0
2tels que leur diagramme
sous-diagonal maximal est respectivement λ= (3n, 2n, n) et λ0= (n). Donc,
|B2|=|D4,4n+1||D2,2n+1|.
67
Cas 3 : Et pour B3, nous devons trouver seulement le rectangle 5×b3qui correspond
`a λ= (4n, 3n, 2n, n). Donc,
|B3|=|D5,5n+1|.
Alors, nous devons additionner les chemins. Nous avons :
|D6,6n+2|=Cat(6,6n+1) +Cat(5,5n+1) +Cat(4,4n+1)Cat(2,2n+1) +Cat(3,3n+1)Cat(3,3n+1).
Nous remarquons que toutes les valeurs suivent la r´ecurrence an + 1. Cela nous induit
`a consid´erer la notation suivante :
Cat(+)
a,n := Cat(a,an+1),
bien entendu Cat(+)
(1,n)= 1, nous pouvons r´eduire l’expression du nombre de chemins
de D6,6n+2 `a :
|D6,6n+2|=Cat(+)
(6,n)+
3
X
j=1
Cat(+)
(6−j,n)Cat(+)
j,n .
Cette expression nous conduit `a la conjecture 2.
68
3.10 Lemmes
Les trois lemmes suivants sont la base qui nous conduit aux conjectures 1et 2.
Lemme 3.10.1. Soit αiune case dans le borne d’un diagramme de Ferrer, o`u 1≤i≤
k.Nous consid´erons :
1. soit Ajl’ensemble de tous les chemins qui font intervenir la case αjet ne font
pas intervenir les cases αi, pour chaque i>j o`u 1≤j≤k,
2. soit Bjl’ensemble de tous les chemins qui font intervenir la case αjet ne font
pas intervenir les cases αi, pour chaque i<j o`u 1≤j≤k.
Donc, chaque famille des ensembles consid´er´e est disjoint.
D´emonstration. On preuve la propri´et´e pour la famille de Ajcar pour la famille de Bj
on utilise des arguments semblables. Soit j1< j2par construction tout chemin c∈Aj1
ne fait pas intervenir la case αj2alors, c6∈ Aj2. Donc Aj1et Aj2sont disjoints.
D´efinition 3.10.1. Soit a<b<c∈Net 1≤l≤a−1. On d´efinit la fonction suivante :
∆a,c,b(l) := cl
a−bl
a.
Si c=b−1, on note simplement :
∆a,c(l) := cl
a−(c−1)l
a.
La fonction ∆a,b(l) repr´esente la diff´erence de cases pour chaque ligne entre les dia-
grammes de Ferrer des rectangles a×bet a×(b−1) respectivement. Nous sommes
int´eress´es par le cas a= 2ket b= 2k(n+ 1) −1.
Lemme 3.10.2. Soit a= 2k,b= 2k(n+ 1) −1et 1≤l≤2k−1. Nous avons :
∆2k,2k(n+1)−1(l) =
0si 1≤l≤k,
1si k+ 1 ≤l≤2k−1.
69
Du lemme 3.10.2, nous avons qu’il y a k−1 cases de diff´erence totale entre ces deux
diagrammes de Ferrers et qu’ils sont plac´es un dans chaque ligne, `a partir de la plus
basse cons´ecutivement.
D´emonstration. Comme a= 2ket b= 2k(n+ 1) −1 nous avons que ∆a,b(l) est :
∆a,b(l) = (2k(n+ 1) −1)l
2k−(2k(n+ 1) −2)l
2k,
= (n+ 1)l+−l
2k−(n+ 1)l−−2l
2k,
=−l
2k−−l
k,
=−l
2k+l
k,
=l
k−1,car l < 2k
Nous avons que :
Cas 1 : l < k implique que l
k= 1, alors,
∆a,b(l) = 0.
Cas 2 : l=kimplique que l
k= 1, alors,
∆a,b(l) = 0.
Cas 3 : k+ 1 ≤l≤2k−1 implique que l
k= 2, alors,
∆a,b(l) = 1.
Donc,
∆2k,2k(n+1)−1(l) =
0 si 1 ≤l≤k,
1 si k+ 1 ≤l≤2k−1.
70
Lemme 3.10.3. Soit a= 2k,b= 2kn + 2 et 1≤l≤2k−1. Nous avons :
∆2k,2kn+2(l) =
0si 1≤l≤k−1,
1si k≤l≤2k−1.
Du lemme 3.10.3, nous avons qu’il y a kcases de diff´erence totale entre ces deux dia-
grammes de Ferrers et qu’ils sont plac´es un dans chaque ligne, `a partir de la plus basse
cons´ecutivement.
D´emonstration. Comme a= 2ket b= 2kn + 2 nous avons que ∆a,b(l) est :
∆a,b(l) = (2kn + 2)l
2k−(2kn + 1)l
2k,
=nl +2l
2k−nl +l
2k,
=l
k−l
2k,
=l
k,car l < 2k
Donc,
∆2k,2kn+2(l) =
0 si 1 ≤l≤k−1,
1 si k≤l≤2k−1.
71
3.11 Conjectures
Nous pouvons g´en´eraliser les r´ecurrences pour les cas de Dyck que nous avons ´etudi´ees
ci-dessus de la fa¸con suivante.
Conjecture 1. Si m1= 2ket m2= 2k(n+ 1) −2alors :
|D2k,2k(n+1)−2|=Cat(−)
(2k,n)−
k−1
X
j=1
Cat(−)
(2k−j,n)Cat(−)
j,n ,
o`u Cat(−)
a,n := Cata,a(n+1)−1.
Conjecture 2. Si m1= 2ket m2= 2kn + 2 alors :
|D(2k,2kn+2)|=Cat(+)
(2k,n)+
k
X
j=1
Cat(+)
(2k−j,n)Cat(+)
j,n ,
o`u Cat(+)
a,n := Cata,an+1.
Nous pouvons faire certaines v´erifications avec la formule de Bizley (voir [5]). Dans le
cas pair, nous avons l’´equation 3.1 :
|D2a,2b|=1
21
a+ba+b
a2
+1
21
a+b2a+ 2b
2a.
Prenons a= 2 et b=kn + 1, nous sommes sur la conjecture 2.
Ainsi par k= 2 nous avons :
|D(4,4n+2)|=Cat(+)
(4,n)+
2
X
j=1
Cat(+)
(4−j,n)Cat(+)
j,n ,
=Cat(4,4n+1) +Cat(3,3n+1) +Cat2
(2,2n+1).
Utilisant la formule de Bizley, nous obtenons :
|D4,4n+2|=1
21
2n+ 32n+ 3
22
+1
21
2n+ 34n+ 6
4,
=1
2Cat2
(2,2n+1) +1
21
2n+ 34n+ 6
4,car pgcd(2,2n+ 1) = 1.
72
Nous montrerons que les expressions sont ´egales. Pour cela, on ´ecrit :
γ:= Cat(4,4n+1) +Cat(3,3n+1) +1
2Cat(2,2n+1)Cat(2,2n+1).
Appliquant la d´efinition, nous avons :
γ=Cat(4,4n+1) +Cat(3,3n+1) +1
2Cat(2,2n+1)Cat(2,2n+1),
=(4n+ 4)(4n+ 3)(4n+ 2)
4! +(3n+ 3)(3n+ 2)
3! +(n+ 1)2
2,
=(n+ 1)(4n+ 3)(2n+ 1)
3+(n+ 1)(3n+ 2)
2+(n+ 1)2
2,
= (n+ 1) 2(4n+ 3)(2n+ 1) + 3(3n+ 2) + 3(n+ 1)
6,
= (n+ 1) 2(4n+ 3)(2n+ 1) + 3(4n+ 3)
6,
=(n+ 1)(4n+ 3)(4n+ 5)
6,
=(4n+ 4)(4n+ 3)(4n+ 5)
4! ,
=1
4n+ 64n+ 6
4,
=1
21
2n+ 34n+ 6
4.
Donc les deux expressions sont ´egales.
Les conjectures ont ´et´e aussi v´erifi´ees par le calcul en SAGE, dans un grand nombre de
cas. Les proc´edures utilis´ees, ainsi que d’autres outils, se trouvent dans l’appendice B.
CHAPITRE IV
CONCLUSION
Nous avons d´evelopp´e les notions de N-modules dans les cas de N-module engendr´e
pour un ensemble fini. Avec l’aide de l’op´eration + nous avons facilit´e l’´ecriture et la
manipulation des N-module affines et ses compl´ements. Nous avons montr´e les liens entre
ces notions et plusieurs repr´esentations : cart´esienne, (a, b)-rectangles, configurations de
Frobenius, et chemins de Dyck. Ceci nous a donn´e un point de vue nouveau permettant
d’am´eliorer notre compr´ehession dans le cas relativement premier, et mˆeme dans le cas
non-relativement premier.
L’approche alg´ebrique nous a permis d’´etudier les chemins de Dyck dans des cas plus
g´en´eraux, ainsi que de munir d’une structure de semi-anneau aux N-modules, `a partir
de laquelle on a fait une g´en´eralisation du nombre de Frobenius.
Utilisant la m´ethode de comparaison de diagrammes, nous avons r´eussi `a ´ecrire le nombre
de chemins de Dyck dans certains cas non-relativement premiers comme combinaison
des nombres de Catalan relativement premiers. Ces r´esultats nous ont men´es `a des
conjectures encore plus g´en´erales.
Via l’analyse de propri´et´es des cœurs et leurs liens avec de chemins de Dyck, nous avons
trouv´e des structures int´eressantes sur l’ensemble des N-modules affines, qu’on esp`ere
explorer dans des travaux `a venir.
Pour mieux explorer ces objets math´ematiques, nous avons d´evelopp´e des outils en
SAGE, qui sont disponibles sur le site web http://thales.math.uqam.ca/~jeblazek/
74
Sage_Combinatory.html.
Il y a nombreuses questions `a ´etudier en liaison aux structures alg´ebriques, et leurs
relations avec les objets combinatoires. Il sera int´eressant de trouver une m´ethode plus
g´en´erale pour compter les chemins, ainsi que de compter les intervalles du treillis. `
A la
suite de nombreux articles sur les cœurs, il semble int´eressant d’´etudier les liens entre
les chemins de (a, b, c)-Dyck (dans un treillis tridimensional) et tri-cœurs g´en´eralisant
les liens entre chemins de (a, b)-Dyck et bi-cœurs.
75
APPENDICE A
DES EXPRESSIONS ALG´
EBRIQUES
Dans cet appendice, nous avons ajout´e les d´eveloppements, les formules et les propri´et´es
que nous avons cru int´eressantes pour compl´eter les id´ees exprim´ees dans les m´emoire.
Quelques d´emonstrations ont ´et´e donn´ees mˆeme si les r´esultats sont bien connus.
78
A.1 Relations avec Partie enti`ere
On peut montrer la formule A.1 pour a<b∈N. Cette formule est une g´en´eralisation
de la formule de Sylvester pour compter le nombre de cas sous la diagonale d’un chemin
de (a,b)-Dyck.
a−1
X
j=1 bt
a=(a−1)(b−1) + pgcd(a, b)−1
2(A.1)
Dans le cas particulier o`u aet bsont relativement premiers, pgcd(a, b) = 1, on retrouve
la formule d´ej`a connue
a−1
X
k=1 kb
a=(a−1)(b−1)
2
A.2 Construction de l’inverse de η
On a la fonction η(x, −y) = by −ax sur [1, b]×[0, a −1]. Pour trouver l’inverse on r´esout
le probl`eme de trouver x, y ∈N´etant donn´e α∈ ha, bi:
α=η(x, −y).
Pour trouver yon utilise la division euclidienne donc b=aq +ret en substituant dans
η. On obtient facilement que ry =αmod(a). Comme ret asont relativement premiers,
car aet bsont aussi premiers entre eux, il existe r−1∈Za, donc y=αr−1mod(a).
Finalement, yest unique car y < a.
Alors, de l’expression α=by −ax nous obtenons la valeur de :
x=by −α
a.
Donc nous pouvons d´efinir `a partir des ´equations ci-desus l’application inverse de η
comme η−1:ha, bi → N2,
η−1(α) = (x, y),
o`u y=αr−1mod(a), x=by−α
a,y < a et r=b−ab
a.
79
A.3 Quelques propri´et´es des N-modules affines
Maintenant, nous donnons des notations utiles pour am´eliorer la compr´ehession et
r´eduire l’´ecriture : soit a, b ∈N,a≤b, on note des intervalles de la fa¸con suivante,
[a, b] := {x∈N|a≤x≤b},
et pour l’intervalle fini des multiples de m > 0,
m[a, b] := {mx |x∈N|a≤x≤b},
bien entendu [a, a] = {a}.
A.3.1 Propri´et´es de l’op´eration addition des ensembles
Nous avons d´efini avec +l’addition d’ensembles dans la sectio §1.2 nous pouvons
montrer facilement les propri´et´es utiles suivantes :
Propri´et´e A.1.
1. L’ensemble (P(N),+) est un semi-groupe commutatif.
2. La distribution par rapport `a l’union,
(A∪B) + C= (A+C)∪(B+C).
3. La distribution par rapport `a l’intersection,
(A∩B) + C= (A+C)∩(B+C).
4. L’ensemble (P(N),∪,+) est un semi-anneau.
5. Ncomme reunion de N-modules affines. Soit d∈N,hdile N-module engendr´e,
alors,
N=[
y∈Id−1
hai+y,
N=hai+ [0, d −1].
80
L’expression peut s’´ecrire en termes de N-modules affines comme :
N=[
y∈[0,d−1]
Ad
y,
o`u Ad
0=hdi.
6. Le compl´ement du N-module hdicomme r´eunion de N-modules affines. Soit
a∈N,hdile N-module engendr´e, alors,
hdi=[
y∈[1,d−1]
Ad
y,
hdi=hdi+ [1, d −1].
7. Soit d∈N,hdile N-module et a∈ hdi, alors,
Ad
a⊆ hdi,
8. Soit a, d ∈N,hdile N-module, alors,
Ad
a= (hdi+a)∪[0, a −1].
9. Le N-module de l’intersection.
(a) Soit a, b ∈Nrelativement premiers, haiet hbiles N-modules engendr´es
alors,
hai∩hbi=habi.
(b) Soit hmiile N-module engendr´e par mi∈No`u 1 ≤i≤ket pgcd(mi, mj) =
1 si i6=j, alors,
k
\
i=1
hmii=h
k
Y
i=1
mii.
Proposition A.1. Soient d, c ∈Npremiers entre eux. Le nombre de Frobenius de
2d, 3det cest :
g(2d, 3d, c) = g(d, c)+2d.
81
D´emonstration. Nous avons que h2d, 3di=Ad
2d∪ {0}donc,
h2d, 3d, ci=h2d, 3di+hci,
=Ad
2d∪ {0}+hci,
=Ad
2d+hci∪({0}+hci),
=Ad,c
2d∪ hci,
cela implique que h2d, 3d, ci=Ad,c
2d∩ hci.
Soit γ=g(d, c)+2d, il faut montrer que γ /∈Ad,c
2d,γ /∈ hciet pour tout r≥1,
γ+r∈Ad,c
2d.
Comme g(d, c)/∈ hd, ciimplique qu’il n’existe pas α, β ∈Ntels que g(d, c) = αd +βc,
alors il n’existe pas α, β ∈Ntels que g(d, c)+2d=αd +βc + 2d. Donc γ /∈Ad
2d.
Supposons que γ∈ hci. Par d´efinition nous avons :
γ=g(d, c)+2d,
=c(d−1) −d+ 2d,
=c(d−1) + d.
De plus, comme γ=ck, nous avons de l’´equation ci-dessus que ck =c(d−1) + d, donc
c(k−d+1) = d. Comme pgcd(d, c) = 1 nous avons que c|1 et alors c= 1, contradiction.
Donc γ /∈ hci.
Nous avons montr´e que γ∈ h2d, 3d, ci, il reste `a montrer que γest le maximum. Comme
nous avons pour tout r≥1, g(d, c) + r∈ hd, ci, alors il existe α, β ∈Ntels que
g(d, c) + r=αd +βc. Il s’ensuit que g(d, c) + r+ 2d=αd +β c + 2det alors γ+r∈Ad,c
2d.
Donc, pour tout r≥1, γ+r /∈ h2d, 3d, ci, c’est-`a-dire γest la valeur maximale. Nous
avons montr´e que :
g(2d, 3d, c) = g(d, c)+2d.
Proposition A.2. Soient hmi,hpideux N-modules engendr´es par m={m1, . . . , mk}
et p={p1, . . . , pl}respectivement. Alors,
hmi+hpi=hm,pi,
82
o`u hm,piest le N-module engendr´e par {m1, . . . , mk, p1, . . . , pl}.
Propri´et´e A.2. De la proposition A.2 nous avons que :
1. si hmiet hnisont deux N-modules engendr´es par m={p1, . . . , pk}et n=
{p1, . . . , pk, q}respectivement, alors,
hni=hmi+hqi
2. tout N-module engendr´e pour un ensemble fini peut s’´ecrire comme :
hmi=hm1i+· · · +hmki=
k
X
i=1
hmii(A.2)
A.3.2 N-module et N-module affines
Les ´enonc´es suivants ne sont pas difficiles `a monter.
Proposition A.3. Soit m={m1, . . . , mk}et hmile N-module engendr´e par m.
Si le pgcd(m) = dnous avons que :
1. hmi ⊆ hdi.
2. hmiest un hdi-module.
Proposition A.4. Soit k≥2,m={m1, . . . , mk}premiers entre eux, hmile N-module
engendr´e par m,g(m)le nombre de Frobenius de m,q∈Ntel que pgcd(m, q) = 1 et
n=jg(m)
qk.
Alors nous avons que :
hm, qi=hmi+q[0, n],
o`u en termes de N- modules affines,
hm, qi=[
x∈q[0,n]
Am
x,
o`u q[0, n] = {z=jq |0≤j≤n}.
83
Proposition A.5. Dans le cas des N-modules engendr´es par un seul ´el´ement a, nous
avons que
1. Aa
j⊆Aa
isi i≤jet i=jmod(a).
2. Aa
j∩Aa
i=φsi et seulement si i6=jmod(a).
3. Aa
d∩Ab
c=Aab
k
o`u k=bq +cet q=min
q0∈N{bq0+c=dmod(a)}
A.3.3 Le compl´ement de ha, bi
`
A partir de l’expression suivante d’un N-module engendr´e par {a, b}relativement pre-
miers.
ha, bi=
a−1
X
j=0
Aa
jb ,
nous voulons calculer son compl´ement
ha, bi=N\
a−1
X
j=0
Aa
jb
=
a−1
\
j=0 N\Aa
jb
=
a−1
\
j=0
Aa
jb
On remarque que Aa
0=haiet N=
a−1
X
i=0
Aa
i, donc le compl´ement total devient :
ha, bi=N\
a−1
X
j=0
Aa
jb
= a−1
X
i=0
Aa
i!\
a−1
X
j=0
Aa
jb
=
a−1
X
i=0
Aa
i\
a−1
X
j=0
Aa
jb
84
Alors, nous avons que :
Aa
i\
a−1
X
j=0
Aa
jb
=Aa
i∩
a−1
X
j=0
Aa
jb
=Aa
i∩
a−1
\
j=0
Aa
jb
On remarque que si Aa
i∩Aa
jb =φalors Aa
i∩Aa
jb =Aa
i. Donc, nous avons par le
proposition A.5 que si Aa
i∩Aa
jb 6=φalors i=jb mod(a).
Donc, si i= 0 l’intersection est vide, par contre si i6= 0 et i=jb mod(a), on a que :
Aa
i∩
a−1
\
j=0
Aa
jb
=Aa
i∩Aa
jb ,
et l’expression du compl´ement se r´eduit `a :
ha, bi=
a−1
X
i=1
S∗
a,b(i) (A.3)
o`u S∗
a,b(i) = Aa
i\Aa
jb et i=jb mod(a).
Proposition A.6. Soit a∈N,haiun N-module engendr´e par un seul ´el´ement, a≤b
relativement premiers et 1≤i, j ≤a−1tels que i=jb mod(a).
Si z∈S∗
a,b(i)alors z < j b.
D´emonstration. ´
Etant donn´e que S∗
a,b(i) = Aa
i\Aa
jb et par le proposition A.5 nous
avons que Aa
jb ⊆Aa
iet si z∈Aa
jb alors, z=aq +jb quel que soit q∈N. De plus nous
savons que Aa
jb a un ´el´ement minimal car il est sous-ensemble de N, et aussi qu’il est
bien ordonn´e. Donc z0=jb est le minimum de Aa
jb . Si z∈Aa
iet z≥jb on a que :
z≥jb
aq +i≥jb car z∈Aa
i
aq +i≥aq0+i, car i=jb mod(a)
85
alors, q≥q0, autrement dit qu’il existe r > 0 tel que q=r+q0donc,
z=aq +i
=a(r+q0) + i
=ar +aq0+i
=ar +jb.
Alors z∈Aa
jb , donc si z∈Aa
i\Aa
jb implique que z < jb
Proposition A.7. Avec les hypoth`eses de la proposition A.6 nous avons que S∗
a,b(i)est
fini et que |S∗
a,b(i)|=jj b
ak.
D´emonstration. Comme S∗
a,b(i) est un sous-ensemble de Navec un ´el´ement maximal,
il est fini. Si z∈S∗
a,b(i), z∈Aa
iet z < jb, en fixant jon a que jb =aq0+iet z=aq +i
donc,
z < jb
aq +i < jb car z∈Aa
i
aq +i < aq0+i, car i=jb mod(a)
alors, il existe r > 0 tel que q=q0−r > 0 donc,
q=q0−r
aq =aq0−ar
aq +i=aq0+i−ar
z=jb −ar
On a que zdevient de la forme z=jb −ar, alors on va calculer toutes les valeurs
86
possibles pour rcar 0 ≤z < jb.
0≤jb −ar < jb
−jb ≤ −ar < 0
jb ≥ar > 0
jb
a≥r≥1 car r∈N
Donc |S∗
a,b(i)|=jj b
ak.
Proposition A.8. Comme cons´equence directe de la proposition A.7 nous avons une
caract´erisation de l’ensemble S∗
a,b(j).
S∗
a,b(j) = z=jb −ar 1≤r≤jb
a (A.4)
A.3.4 Le semi-anneau hai
On peut v´erifier facilement les propri´et´es de semi-anneau sur l’ensemble de N-modules
engendr´es par un seul ´el´ement. Ensuite on d´efinit une op´eration multiplicative.
D´efinition A.3.1. Soit haile N-module engendr´e par l’´el´ement a∈N.
On d´efinit ∗:hai→haicomme :
x∗y:= jxy
ak
Proposition A.9.
1. L’ensemble (hai,+,0) est un semi-groupe commutatif.
2. L’ensemble (hai,∗, a)est un semi-groupe.
3. L’ensemble (hai,+,∗,0, a)est un semi-anneau.
4. il existe un isomorphisme de semi-anneau entre (hai,+,∗,0, a)et (N,+,·,0,1).
87
A.4 Calcul de Coeur Maximal
La formule de la taille du cœur maximal pour aet ben un cas g´en´eral est :
|Cmax|=
a−1
X
t=1
|S∗
a,b(t)|
X
j=1
(bt −aj)−|ha, bi|(|ha, bi| − 1)
2.
On sait que |ha, bi| =(a−1)(b−1)
2et |S∗
a,b(t)|=bt
adonc,
|ha, bi|(|ha, bi| − 1)
2=(a−1)(b−1)(ab −b−a−1)
8,
et,
a−1
X
t=1
bbt
ac
X
j=1
(bt −aj) =
a−1
X
t=1
bbt
ac
X
j=1
bt −
a−1
X
t=1
bbt
ac
X
j=1
aj
=
a−1
X
t=1
bt bt
a−
a−1
X
t=1
a
2bt
abt
a+ 1
=
a−1
X
t=1
bt bt
a−
a−1
X
t=1
a
2bt
a2
−a
2
a−1
X
t=1 bt
a
=
a−1
X
t=1 bt
abt −a
2bt
a−a(a−1)(b−1)
4
De calcule partiel nous avons,
(a−1)(b−1)(ab −b−a−1)
8+a(a−1)(b−1)
4=(a−1)(b−1)(ab −b−a−1+2a)
8,
=(a−1)(b−1)(ab −b+a−1)
8,
=(a−1)(b−1)(a(b+ 1) −(b+ 1))
8,
=(a−1)(b−1)(a−1)(b+ 1)
8,
=(a−1)2(b2−1)
8.
88
Nous arrivons `a l’expression suivante :
|Cmax|=
a−1
X
t=1 bt
abt −a
2bt
a−(a−1)2(b2−1)
8.(A.5)
Alors, dans le cas que b=a+ 1 nous obtenons que :
|Cmax|=a+ 2
4.(A.6)
D´emonstration. Comme b=a+ 1 nous avons que |h(a, a + 1)i| =1
2a(a−1) et
j(a+1)t
ak=t+t
acomme t<a,j(a+1)t
ak=t, donc :
|Cmax|=
a−1
X
t=1
t
X
j=1
((a+ 1)t−aj)−a(a−1)(a(a−1) −2)
8.
On prend la somme double :
a−1
X
t=1
t
X
j=1
((a+ 1)t−aj) = (a+ 1)
a−1
X
t=1
t
X
j=1
t−a
a−1
X
t=1
t
X
j=1
j,
= (a+ 1)
a−1
X
t=1
t2−a
2
a−1
X
t=1
t(t+ 1),
=(a+ 2)
2
a−1
X
t=1
t2−a
2
a−1
X
t=1
t,
=(a+ 2)
2
a(a−1)(2a−1)
6−a
2
a(a−1)
2,
=a(a−1)
12 ((a+ 2)(2a−1) −3a),
=a(a−1)(2a2−2)
12 ,
=a(a−1)(a2−1)
6,
= (a−1)a+ 1
3.
Si nous rempla¸cons dans la formule complete, nous avons :
|Cmax|=a(a−1)(a2−1)
6−a(a−1)(a(a−1) −2)
8.
89
Alors, en utilisant des op´erations alg´ebriques et des relations binomiales nous obtenons :
|Cmax|=a(a−1)(a2−1)
6−a(a−1)(a2−a−2)
8,
=a(a−1)(a2−1)
6−a(a−1)(a−2)(a+ 1)
8,
=a(a−1)(a+ 1)
24 (4(a−1) −3(a−2)),
=a(a−1)(a+ 1)
24 (4a−4−3a+ 6),
=a(a−1)(a+ 1)(a+ 2)
4! ,
=a+ 2
4.
Lemme A.4.1. Soit aet brelativement premiers alors,
a−1
X
t=1 bt
abt −a
2bt
a=(b2−1)(a−1)(2a−1)
12 .(A.7)
D´emonstration. `
A partir de l’´equation A.5 et en utilisant l’expression :
|Cmax|=(a2−1)(b2−1)
24 ,(voir [14, page 98])
nous avons que :
a−1
X
t=1 bt
abt −a
2bt
a−(a−1)2(b2−1)
8=(a2−1)(b2−1)
24 ,
a−1
X
t=1 bt
abt −a
2bt
a=(a−1)2(b2−1)
8+(a2−1)(b2−1)
24 ,
=(b2−1)(3(a−1)2+ (a2−1))
24 ,
90
=(b2−1)(3a2−6a+3+a2−1)
24 ,
=(b2−1)(4a2−6a+ 2)
24 ,
=(b2−1)(2a2−3a+ 1)
12 ,
=(b2−1)(a−1)(2a−1)
12 ,
APPENDICE B
CODE SAGE
Tous les outils d´evelopp´es sont librement disponibles sur le site web :
http://thales.math.uqam.ca/~jeblazek/Sage_Combinatory.html
B.1 Le Chemin de Christoffel
Le mot de Christoffel a ´et´e introduit par Christoffel en 1875, il est ´etroitement li´e `a la
combinatoire des mots. On peut d´efinir le chemin de Christoffel comme la courbe
discr`ete associ´ee au mot tel qu’elle est la plus proche `a la diagonale.
On construit l’algorithme sage selon l’article [10].
Exemples :
sage: c=Christoffel([3,5])
sage: c.word()
’ababbabb’
sage: c.op=’Num’
sage: c.word()
’01011011’
sage: c.vec=true
[0,1,0,1,1,0,1,1]
sage: c=Christoffel([3,5,7])
sage: c.word()
’accbbacccaccbbb’
92
1###############################################################
2# Chemin de Christoffel
3# Algorithme de l’article de C.Reutenauer et autres. 2013
4# J.E.Blazek 2014
5###############################################################
6# Definition du Class
7###############################################################
8class Christoffel:
9def __init__ (self, vlist):
10 self.a=vlist ;
11 self.let=[]
12 self.op=’Alp’
13 self.vec=false
14 def word(self):
15 a=self.a
16 b=[];ax=a
17 n=len(a)-1
18 if (self.let==[] and self.op==’Alp’):
19 self.let=[’a’,’b’,’c’,’d’,’e’,’f’,’g’]
20 if (self.let==[] and self.op==’Num’):
21 self.let=[str(j) for jin range(n+1) ]
22 cwg=self.let
23 cw=cwg[:n+1]
24 nul=[0for iin range(n-1)]
25 b=[a[0]]+nul+[a[0]]
26 while (a!=b):
27 ax=[]
28 cwx=[]
29 if a[0]>a[n]:
30 ax=ax+[a[0]-a[n]]
31 ax=ax+[a[n]]
32 ax=ax+a[1:n]
33 cwx=cwx+[cw[0]]
34 cwx=cwx+[cw[0]+cw[n]]
35 cwx=cwx+cw[1:n]
36 else:
37 ax=a[:n]
38 ax=ax+[a[n]-a[0]]
39 cwx=cwx+[cw[0]+cw[n]]
40 cwx=cwx+cw[1:n+1]
41 a=ax
42 b=[a[0]]+nul+[a[0]]
93
43 cw=cwx
44 CW=cw[0]+cw[n]
45 if self.vec:
46 CWx=[eval(e) for ein CW]
47 else:
48 CWx=CW
49 return CWx
50
51 #--------------------------------------------------------------
52 # Definitions Auxiliaires
53 #--------------------------------------------------------------
54
55 def Christoffel_gen(a):
56 cwg=[’a’,’b’,’c’,’d’,’e’]
57 b=[];ax=a
58 n=len(a)-1
59 cw=cwg[:n+1]
60 nul=[0for iin range(n-1)]
61 b=[a[0]]+nul+[a[0]]
62 while (a!=b):
63 ax=[]
64 cwx=[]
65 if a[0]>a[n]:
66 ax=ax+[a[0]-a[n]]
67 ax=ax+[a[n]]
68 ax=ax+a[1:n]
69 cwx=cwx+[cw[0]]
70 cwx=cwx+[cw[0]+cw[n]]
71 cwx=cwx+cw[1:n]
72 else:
73 ax=a[:n]
74 ax=ax+[a[n]-a[0]]
75 cwx=cwx+[cw[0]+cw[n]]
76 cwx=cwx+cw[1:n+1]
77 a=ax
78 b=[a[0]]+nul+[a[0]]
79 cw=cwx
80 CW=cw[0]+cw[n]
81 return CW
82
83 def Christoffel_gen2(a):
84 CW=Christoffel_gen(a)
94
85 n=a[0]+a[1]
86 l=len(CW)
87 if l!=n:
88 MC=’’
89 r=int(n/l)
90 for kin [1..r]:
91 MC=MC+CW
92 CW=MC
93 return CW
94
95 def Christoffel_Lst(a):
96 CW=Christoffel_gen2(a)
97 Lst=[]
98 for ein CW:
99 c=0
100 if e==’b’:
101 c=1
102 Lst.append(c)
103 return Lst
95
B.2 Les Treillis de Young et de Kr´ew´eras
Nous avons d´evelopp´e des routines sur SAGE qui font des op´erations sur les partages
directement comme Uet D, aussi des routines li´ees aux librairies de L
A
T
E
X comme
usepackage{tikz}et usepackage{ytableau}pour am´eliorer la visualisation des objets
comme les treillis de Kr´ew´eras et de Young.
Exemples :
Y=Treillis(4)
TYs=Y.Plot()
Ø
Y=Treillis(4)
Y.vPKrew=[3,1]
TYs=Y.Plot()
Ø
96
1from sage.misc.latex import latex_extra_preamble
2latex.extra_macros(’’)
3latex.extra_preamble(’’)
4latex.add_to_preamble(’\\usepackage{tikz}’)
5latex.add_to_jsmath_avoid_list("tikz")
6latex.add_to_preamble(’\usepackage{ytableau}’)
7
8###############################################################
9# Treillis de young et latex
10 ###############################################################
11
12 class Part_Latex:
13 def __init__ (self, vArg):
14 self.Part=vArg
15 self.Color=’*(yellow!70)’
16 self.Scale=’1’
17 self.mode=’fr’
18
19 def Tableau(self):
20 vArg=self.Part
21 H=LatexExpr(r’\ytableausetup’)+’{mathmode, boxsize=’+self.Scale+’em,centertableaux}’
22 S=LatexExpr(r’\ydiagram’)+’[’+self.Color+’]{’
23 if self.mode==’fr’:
24 vArg=Sequence(vArg)
25 vArg.reverse()
26 for iin range(len(vArg)):
27 c=’,’
28 if i==len(vArg)-1: c=’}’
29 S=S+str(vArg[i])+c
30 Y=H+S
31 return Y
32
33 class Treillis:
34 def __init__ (self, vlevel):
35 self.n=vlevel
36 self.form=’Di’
37 self.TrYP=[]
38 self.vPKrew=[]
39 self.Ycolor=’*(yellow!70)’
40 self.Kcolor=’*(red)’
41 self.Lcolor=’red!50’
42 self.Lwidth=0.5
97
43 self.Lstyle=’-’
44 n=self.n
45 for iin [0..n]:
46 self.TrYP.append(Partitions(i).list())
47 self.TrC=Linked(self.TrYP)
48
49 def Plot(self):
50 vPKrew=self.vPKrew
51 if vPKrew!=[]:
52 KS=Kreweras(vPKrew)
53 vArg=self.TrYP; vTree=self.TrC
54 n=self.n ; op=self.form; sc=2
55 vStyle=’’
56 s=’’
57 for i,l in enumerate(vArg):
58 n=len(l)
59 y=sc*i
60 y0=y
61 for j,p in enumerate(l):
62 x=sc*j-n
63 TY=’*’
64 if op==’Di’:
65 if p!=[]:
66 PLx=Part_Latex(p)
67 PLx.Color=self.Ycolor
68 if vPKrew!=[]:
69 if (p in KS):
70 PLx.Color=self.Kcolor
71 TY=PLx.Tableau()
72 else:
73 TY=LatexExpr(r’\tb{\O}’)
74 if op==’Pt’:
75 TY=LatexExpr(r’\tb{’)+str(p)+’}’
76 s=s+LatexExpr(r’\draw (’)+str(x)+’,’+str(y)+’) node{’+TY+’};’
77 m=len(vArg)
78 vStyle=’[color=’+self.Lcolor+’,line width=’+str(self.Lwidth)+’pt,’+self.Lstyle+’]’
79 s1=LatexExpr(r’\draw’)+vStyle+’(-1,0) -- (-1,’+str(sc)+’);’
80 for iin [1..m-2]:
81 n0=len(vArg[i])
82 n1=len(vArg[i+1])
83 y0=sc*i
84 y1=sc*i+sc
98
85 T=vTree[i]
86 for j,t in enumerate(T):
87 x0=sc*j-n0
88 for kin t:
89 x1=sc*k-n1
90 r=LatexExpr(r’\draw’)+vStyle+’(’+str(x0)+’,’+str(y0)+’) -- (’+str(x1)+’,’+str(y1)+’);’
91 s1=s1+r
92 s=s1+s
93 S=’’
94 S=LatexExpr(r’\begin{tikzpicture}[scale=.7, every node/.style={scale=0.5}]’)
95 S=S+s
96 S=S+LatexExpr(r’\end{tikzpicture}’)
97 show(S)
98 return S
99
100 #-------------------------------------------------------------
101 # Definitions Auxiliaires
102 #-------------------------------------------------------------
103
104 def Linked(vList):
105 vLinked=[]
106 for i,vL in enumerate(vList):
107 if i<len(vList)-1:
108 vLx=Partitions(i+1).list()
109 vLk=[]
110 for ein vL:
111 vLkx=[]
112 vLPart=Up(e)
113 for pin vLPart:
114 vLkx.append(vLx.index(p))
115 vLk=vLk+[vLkx]
116 vLinked=vLinked+[vLk]
117 else:
118 vLinked=vLinked+[[[]]]
119 return vLinked
120
121 def Up(vPart):
122 S_P=[]
123 n=len(vPart)
124 for iin range(len(vPart)):
125 nul=[0for kin range(n-1)]
126 uni=vector(nul[:i]+[1]+nul[i:])
99
127 vNP=Sequence(vPart[:i]+[vPart[i]+1]+vPart[i+1:])
128 vNP.sort(reverse=True)
129 if not(vNP in S_P):
130 S_P.append(vNP)
131 vNP=vPart+[1]
132 S_P.append(vNP)
133 return S_P
134
135 def Kreweras(vPart):
136 KS=[vPart]
137 n=1
138 j=0
139 while j<n:
140 S=Down(KS[j])
141 for sin S:
142 if not(s in KS):
143 KS.append(s)
144 n=len(KS)
145 j=j+1
146 return KS
147
148 def Down(vPart):
149 S_P=[]
150 n=len(vPart)
151 for iin range(len(vPart)):
152 nul=[0for kin range(n-1)]
153 uni=vector(nul[:i]+[1]+nul[i:])
154 if vPart[i]-1>=0:
155 if vPart[i]-1==0:
156 vNP=Sequence(vPart[:i]+vPart[i+1:])
157 else:
158 vNP=Sequence(vPart[:i]+[vPart[i]-1]+vPart[i+1:])
159 vNP.sort(reverse=True)
160 if not(vNP in S_P):
161 S_P.append(vNP)
162 return S_P
100
B.3 Chemins de Dyck
Pour les chemins de Dyck, nous avons d´evelopp´e des routines semblables aux sections
pr´ec´edentes et d’autres routines comme pour le calcul de polynˆome q-´enum´erateur
ou de sous-treillis. Ci-dessous nous avons ´ecrit seulement les routines qui ne sont pas en
commun avec les autres sections.
Exemples :
sage: D=Dyck([4,5])
sage: D.Treillis()
[[[]], [[1]], [[2], [1,1]], [[3], [2,1], [1,1,1]], [[3,1], [2,2],
[2,1,1]], [[3,2], [3,1,1], [2,2,1]], [[3,2,1]]]
sage: D.qEnumerateur()
q^6+q^5 + 2*q^4 + 3*q^3 + 3*q^2 + 3*q+ 1
sage: D.Ym()
sage: D.Frobenius
[[1], [6,2], [11,7,3]]
sage: D.ModuleAffine()
sage: D.Affine
[[[]], [[11]], [[7,11], [6,11]], [[3,7,11], [6,7,11], [1,6,11]],
[[3,6,7,11], [2,6,7,11], [1,6,7,11]], [[2,3,6,7,11], [1,3,
6,7,11], [1,2,6,7,11]], [[1,2,3,6,7,11]]]
sage: P=D.Plot()
Ø
•
• •
• • •
• • •
• • •
•
101
sage: D.List_Ch
[(0,1,0,1,0,1,0,1,1), (0,1,0,1,0,0,1,1,1), (0,0,1,1,
0,1,0,1,1), (0,1,0,0,1,1,0,1,1), (0,0,1,1,0,0,1,1,
1), (0,1,0,0,1,0,1,1,1), (0,0,1,0,1,1,0,1,1), (0,0,1,
0,1,0,1,1,1), (0,1,0,0,0,1,1,1,1), (0,0,0,1,1,1,0,1,
1), (0,0,1,0,0,1,1,1,1), (0,0,0,1,1,0,1,1,1), (0,0,0,
1,0,1,1,1,1), (0,0,0,0,1,1,1,1,1)]
sage: D.chp=tuple([0,0,0,1,0,1,1,1,1])
sage: D.is_Dyck()
True
sage: R=D.Rectangle()
11 7 3 -1 -5
6 2 -2 -6 -10
1-3 -7 -11 -15
-4 -8 -12 -16 -20
sage: D.Core()
[[7,3,2], [6,2,1], [3], [2], [1]]
sage: C=D.Core_latex()
1
2
3
6 2 1
7 3 2
sage: D.Core_Conjugate()
[[7,6,3,2,1], [3,2], [2,1]]
sage: CC=D.Core_Conjugate_latex()
2 1
3 2
76321
102
1###############################################################
2# Class de Chemin de Dycks
3# JEB
4###############################################################
5class Dyck:
6def __init__ (self, vlist):
7self.m=vlist
8self.Dyk=Dyck_X(vlist)
9self.cardinality=Bizley(self.m[0],self.m[1])#len(self.Dyk.Set())
10 self.chp=[]
11 self.vPKrew=[]
12 self.TrDyk=[]
13 self.TrC=[]
14 self.n=((self.m[0]-1)*(self.m[1]-1)-gcd(self.m[0],self.m[1])-1)/2
15 self.Frobenius=[]
16 self.Affine=[]
17 self.form=’Di’
18 self.Ycolor=’*(yellow!70)’
19 self.Kcolor=’*(red)’
20 self.Lcolor=’red!50’
21 self.Lwidth=0.5
22 self.Lstyle=’-’
23 self.PartMax=Ch_Part(self.Dyk.chChr)
24 self.List_Ch=self.Dyk.Set()
25 self.DiagrammeMax=Part_Latex(self.PartMax).Diagramme()
26 self.Rect_Latex=’’
27 self.Coeur=[]
28 self.Coeur_Conjugate=[]
29
30 def qEnumerateur(self):
31 mx=add(e for ein self.PartMax)
32 vArg=self.TrDyk
33 q=var(’q’)
34 qC=0
35 for lin vArg:
36 for pin l:
37 np=add(e for ein p)
38 n=mx-np
39 qC=qC+q^n
40 return qC
41 def Core(self):
42 a=self.m[0];b=self.m[1]
103
43 ch=self.chp
44 if ch==[]:
45 ch=tuple([0for iin range(a)]+[1for iin range(b)])
46 self.Coeur=Dyck_Core(ch)
47 return self.Coeur
48 def Core_Conjugate(self):
49 Cx=self.Coeur
50 Cx_Cj=[]
51 n=len(Cx)
52 L=[len(j) for jin Cx]
53 m=max(L)
54 M=Matrix(n,m)
55 for j,l in enumerate(Cx):
56 for k,e in enumerate(l):
57 M[j,k]=e
58 for kin range(m):
59 Cx_e=[]
60 for jin range(n):
61 e=M[j,k]
62 if e!=0:
63 Cx_e.append(e)
64 Cx_Cj.append(Cx_e)
65 self.Coeur_Conjugate=Cx_Cj
66 return Cx_Cj
67 def Core_latex(self):
68 S=’’
69 Co=self.Core()
70 Co.reverse()
71 for j,L in enumerate(Co):
72 sL=’’
73 for i,e in enumerate(L):
74 c=’&’
75 if j!=len(Co)-1:
76 if i==len(L)-1:
77 c=LatexExpr(r’\\’)
78 else:
79 if i==len(L)-1:
80 c=’’
81 if i==0:
82 sL=sL+’*(yellow!50)’
83 if i!=0:
84 sL=sL+’*(white)’
104
85 sL=sL+str(e)+c
86 S=S+sL
87 S=LatexExpr(r’ \ytableausetup{centertableaux}\begin{ytableau}’)+S+LatexExpr(r’\end{ytableau}’)
88 show(S)
89 return S
90 def Core_Conjugate_latex(self):
91 S=’’
92 Co=Sequence(self.Coeur_Conjugate)
93 Co.reverse()
94 for j,L in enumerate(Co):
95 sL=’’
96 for i,e in enumerate(L):
97 c=’&’
98 if j!=len(Co)-1:
99 if i==len(L)-1:
100 c=LatexExpr(r’\\’)
101 else:
102 if i==len(L)-1:
103 c=’’
104 #print i
105 if i==0:
106 sL=sL+’*(yellow!50)’
107 if i!=0:
108 sL=sL+’*(white)’
109 sL=sL+str(e)+c
110 S=S+sL
111 S=LatexExpr(r’ \ytableausetup{centertableaux}\begin{ytableau}’)+S+LatexExpr(r’\end{ytableau}’)
112 show(S)
113 return S
114 def PartCh(self):
115 a=self.m[0];b=self.m[1]
116 ch=self.chp
117 if ch==[]:
118 ch=tuple([0for iin range(a)]+[1for iin range(b)])
119 self.chp=ch
120 P=Ch_Part(ch)
121 return P
122 def Rectangle(self):
123 a=self.m[0];b=self.m[1]
124 ch=self.chp
125 vPart=self.PartCh()
126 S=LatexExpr(r’\begin{tikzpicture}’)
105
127 S=S+Dyck_Rect(a,b)
128 S=S+DyckNum(a,b,vPart,’yellow!50’)
129 S=S+Diag(b,a)
130 if self.is_Dyck():
131 S=S+Ch_Latex(a,b,ch,’red’)
132 S=S+LatexExpr(r’\end{tikzpicture}’)
133 self.Rect_Latex=S
134 show(S)
135 return S
136 def is_Dyck(self):
137 Dy=self.Dyk
138 ch=self.chp
139 isD=(ch in Dy.Set())
140 return isD
141 def Treillis(self):
142 a=self.m[0];b=self.m[1]
143 n=a+b-1
144 ch=self.Dyk.chChr
145 vPrt=Ch_Part(ch)
146 self.TrDyk=Dyck_levels(vPrt,a,b)
147 self.TrC=Linked_Gral(self.TrDyk)
148 return self.TrDyk
149 def ModuleAffine(self):
150 Y=Sequence(self.Frobenius)
151 Y.reverse()
152 T=self.TrDyk
153 MAf=[]
154 for j,L in enumerate(T):
155 MAfx=[]
156 for i,p in enumerate(L):
157 MAfx.append(Ab(p,Y))
158 MAf.append(MAfx)
159 self.Affine=MAf
160 return
161 def Ym(self):
162 MX=[]
163 a=self.m[0];b=self.m[1]
164 if gcd(a,b)==1:
165 MLx=[]
166 for iin [1..a-1]:
167 MLx=[]
168 k=int(b*i/a)
106
169 for jin [1..k]:
170 MLx.append(b*i-a*j)
171 MX.append(MLx)
172 self.Frobenius=MX
173 return
174 def Plot(self):
175 mx=add(e for ein self.PartMax)
176 vPKrew=self.vPKrew
177 if vPKrew!=[]:
178 KS=Kreweras(vPKrew)
179 vArg=self.TrDyk; vTree=self.TrC
180 n=self.n ; op=self.form; sc=2
181 vStyle=’’
182 s=’’
183 for i,l in enumerate(vArg):
184 n=len(l)
185 y=sc*i
186 y0=y
187 for j,p in enumerate(l):
188 x=sc*j-n
189 TY=’*’
190 if op==’DiPo’:
191 np=add(e for ein p)
192 n1=mx-np
193 TY1=’=$ q^{’+str(n1)+’}$’
194 if p!=[]:
195 PLx=Part_Latex(p)
196 PLx.Color=self.Ycolor
197 if vPKrew!=[]:
198 if (p in KS):
199 PLx.Color=self.Kcolor
200 TY=PLx.Diagramme()+TY1
201 else:
202 TY=LatexExpr(r’\tb{\O}’)+TY1
203 if op==’Di’:
204 if p!=[]:
205 PLx=Part_Latex(p)
206 PLx.Color=self.Ycolor
207 if vPKrew!=[]:
208 if (p in KS):
209 PLx.Color=self.Kcolor
210 TY=PLx.Diagramme()
107
211 else:
212 TY=LatexExpr(r’\tb{\O}’)
213 if op==’Pt’:
214 TY=LatexExpr(r’\tb{’)+str(p)+’}’
215 if op==’Po’:
216 np=add(e for ein p)
217 n1=mx-np
218 TY=’$q^{’+str(n1)+’}$’
219 if p!=[]:
220 s=s+LatexExpr(r’\draw’)+’[color=’+self.Lcolor+’](’+str(x)+’,’+str(y)+’)’
221 s=s+LatexExpr(r’\node{$’+LatexExpr(r’\bullet$};’)
222 s=s+LatexExpr(r’\draw (’)+str(x)+’,’+str(y)+’) node{’+TY+’};’
223 m=len(vArg)
224 vStyle=’[color=’+self.Lcolor+’,line width=’+str(self.Lwidth)+’pt,’+self.Lstyle+’]’
225 s1=LatexExpr(r’\draw’)+vStyle+’(-1,0) -- (-1,’+str(sc)+’);’
226 for iin [1..m-2]:
227 n0=len(vArg[i])
228 n1=len(vArg[i+1])
229 y0=sc*i
230 y1=sc*i+sc
231 T=vTree[i]
232 for j,t in enumerate(T):
233 x0=sc*j-n0
234 for kin t:
235 x1=sc*k-n1
236 r=LatexExpr(r’\draw’)+vStyle+’(’+str(x0)+’,’+str(y0)+’) -- (’+str(x1)+’,’+str(y1)+’);’
237 s1=s1+r
238 s=s1+s
239 S=’’
240 S=LatexExpr(r’\begin{tikzpicture}[scale=.7, every node/.style={scale=0.5}]’)
241 S=S+s
242 S=S+LatexExpr(r’\end{tikzpicture}’)
243 show(S)
244 return S
245
246 class Dyck_X:
247 def __init__ (self, vlist):
248 self.vlist =vlist ;
249 self.chChr=Christoffel_Lst(self.vlist)
250
251 def Set(self):
252 a=self.vlist[0];b=self.vlist[1]
108
253 n=a+b-1
254 ch=self.chChr
255 chv=tuple(ch)
256 DyL=[chv]
257 l=len(DyL)
258 j=0
259 while (l>j):
260 chi=DyL[j]
261 DyLX=[]
262 for iin [1..n-1]:
263 if chi[i]==1:
264 t=Permutation(Trp(i+1,n+1))
265 chn=t.action(chi)
266 DyLX.append(tuple(chn))
267 SX=Set(DyLX)
268 S=Set(DyL)
269 DS=SX.difference(S)
270 DyL=DyL+DS.list()
271 l=len(DyL)
272 j=j+1
273 return DyL
274 def Matrix(self):
275 a=self.vlist[0];b=self.vlist[1]
276 M=[]
277 n=a+b-1
278 ch=self.chChr
279 chv=tuple(ch)
280 DyL=[chv]
281 l=len(DyL)
282 j=0
283 while (l>j):
284 chi=DyL[j]
285 DyLX=[]
286 Ml=[0for kin [1..j]]
287 for iin [1..n-1]:
288 if chi[i]==1:
289 t=Permutation(Trp(i+1,n+1))
290 chn=t.action(chi)
291 DyLX.append(tuple(chn))
292 SX=Set(DyLX)
293 S=Set(DyL)
294 DS=SX.difference(S)
109
295 DyL=DyL+DS.list()
296 Ml=Ml+[1for kin range(len(SX))]
297 l=len(DyL)
298 j=j+1
299 M=M+[Ml]
300 M=Lst_Mx(M)
301 return M
302
303 def Dyck_Rect(a,b,BgC=’gray!20’,DwC=’white’,UpC=’yellow!50’,ch=[]):
304 S=’’
305 M=MDiagram(a,b)
306 for i,L in enumerate(M):
307 for j,m in enumerate(L):
308 Co=’yellow!50’
309 if m<0:Co=’gray!20’
310 x=j
311 y=-a+i
312 S=S+LatexExpr(r’\draw’)+’[fill=’+Co+’]’+’(’+str(x)+’,’+str(y)+’) rectangle
313 (’+str(x+1)+’,’+str(y+1)+’);’
314 return S
315
316 def MDiagram(a,b):
317 M=[]
318 for iin [1..a]:
319 M1=[]
320 for jin [1..b]:
321 M1=M1+[a*b-i*b-j*a]
322 M=M+[M1]
323 M=Matrix(M)
324 return M
325
326 def Diag(a,b,*arg,**kwds):
327 vColor=’blue’
328 vStyle=’’
329 K=kwds
330 for vArg in K.items():
331 if vArg[0]==’vColor’:
332 vColor=vArg[1]
333 if vArg[0]==’vStyle’:
334 vStyle=vArg[1]
335 r=LatexExpr(r’\draw’)+’[color=’+vColor+’,’+vStyle+’]+(0,0) -- (’+str(a)+’,’+str(-b)+’);’
336 return r
110
337
338
339 def Ch_Latex(a,b,ch,vColor=’black’):
340 x=0; y=0
341 if vColor==’’:
342 vColor=’black’
343 dr=LatexExpr(r’\draw [line width=1pt,color=’+vColor+’]’)
344 S=’’
345 for kin range(len(ch)):
346 if ch[k]==0:
347 x1=x
348 y1=y-1
349 if ch[k]==1:
350 x1=x+1
351 y1=y
352 S=S+dr+’(’+str(x)+’,’+str(y)+’) -- (’+str(x1)+’,’+str(y1)+’);’
353 x=x1
354 y=y1
355 return S
356
357 def Position(vLst,x):
358 try:
359 p=vLst.index(x)
360 except ValueError:
361 p=-1
362 return p
363
364 def SZeros(vLst):
365 L=vLst
366 P=Position(L,0)
367 while P>=0:
368 L.remove(0)
369 P=Position(L,0)
370 return L
371
372 def DyckNum(a,b,vP,Co=’white’):
373 S=’’
374 cfn=’’
375 M=MDiagram(a,b)
376 for i,L in enumerate(M):
377 for j,m in enumerate(L):
378 Cf=’red’
111
379 Co=’white’
380 if m<0:
381 Cf=’black’
382 Co=’gray!20’
383 else:
384 if j>=vP[i]:
385 Co=’yellow!50’
386 x=j+1
387 y=-a+i+1
388 S=S+LatexExpr(r’\draw’)+’[fill=’+Co+’]’+’(’+str(x-1)+’,’+str(y-1)+’) rectangle
389 (’+str(x)+’,’+str(y)+’);’
390 S=S+LatexExpr(r’\draw’)+’[color=’+Cf +’](’+str(x-0.5)+’,’+str(y-0.5)+’)
391 node[fill=’+Co+’]{’+str(m)+’};’
392 return S
INDEX TERMINOLOGIQUE
A
hai, le semi-anneau, 86
aire d’un chemin de Dyck, 33
B
bijection entre Da,b et Ya,b,25
bijection entre Da,b et Ya,b `a partir
du mot associ´e, 29
Bizley, formule de, 46
C
Catalan g´en´eralis´e, formule de, 21
Catalan g´en´eralis´ee, formule de, 45
Catalan, formule de Fuss-, 45
Christoffel, chemin de, 33,91
Cœur maximal, taille du, 87
Cœur, conjugu´e d’un, 39
Cœur, taille d’un, 42
D
D4,k nombre de chemins de, 59
D4,4n+2, nombre de chemins de, 59,
65
D6,6n+2, nombre de chemins de, 67
D6,6n+4, nombre de chemins de, 62
D8,8n+6, nombre de chemins de, 64
diagramme, conjugu´e d’un, 39
Dyck, chemin de, 19,100
E
´equerre, longueur de l’, 36
F
Ferrers, diagramme de, 31,36
formule pour le nombre total de
cases, 17
Frobenius, le nombre de, 8
Frobenius pour trois valeur,le
nombre , 80
Frobenius, probl`eme de, 7
Fuss-Catalan, formule de, 45
K
Kr´ew´eras, treillis de, 31,95
M
M´ethode de comparaison de
diagrammes de Ferrer., 54
N
N-module, 3
N-module Affine, 4,23
N-module, compl´ement d’un, 5
113
114
N-module Affine, 38
N-module, repr´esentation
cart´esienne, 15
O
L’op´eration de somme +, 4
Op´erations sur un treillis, 32,95
P
partage d’un entier, 30
(P(N),+), le semi-groupe, 79
(P(N),∪,+), le semi-anneau, 79
Polynˆome q-´enum´erateur, 33,100
Le probl`eme des pi`eces de monnaie,
7
Le probl`eme des timbres pour la
poste a´erienne, 12
R
(a, b)-rectangle, 15
S
Sage pour des treillis, 95
Sage pour le chemin de Christoffel,
91
Sage pour le chemin de Dyck, 100
Somme d’une forme quadratique de
la partie enti`ere, 89
S∗
a,b(j),les ensembles, 5,17,57
suite arithm´etique, 8
suite g´eom´etrique, 8
Sylvester, James Joseph, 8
T
treillis, 31,95
Y
Young, treillis de, 31,95
R´
EF´
ERENCES
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