Simulation numérique d'un écoulement autour de deux cylindres circulaires

Abstract

L’écoulement d’un fluide autour d’un cylindre est un cas d’étude fondamental, partie des problèmes les
plus étudiés en mécanique des fluides ou en aérodynamique. À cause de son aspect pratique, on le rencontre dans de nombreux domaines de l’ingénierie mécanique, aussi bien que dans plusieurs applications technologiques d’intérêt comme les pipelines, les structures maritimes et les échangeurs de chaleur.
Ce travail consiste à étudier numériquement l’écoulement d’un fluide autour de deux cylindres horizontaux et/ou verticaux en fonction du nombre de Reynolds (Re) et de la distance entre les deux cylindres (L). Les résultats numériques, obtenus dans cette étude, sont en bon accord avec ceux trouvés dans la littérature.
Pour différents gaps L= D, 2D, 4D et 5D et un nombre de Reynolds 100< Re ≤ 200, des contours de vitesses, vecteurs vitesses, pressions et les traces de particules sont présentés.

Full text

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The 2nd International Seminar on New and Renewable
Energies
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Ghardaïa – Algérie 15, 16 et 17 Octobre 2012
1
Simulation Numérique d’un Ecoulement Autour de
Deux Cylindres Circulaires
F.Mebarek-Oudina*1, A. Khalfaoui, M. Petit, S. Hamrelaine
Département des sciences de la matière, Faculté des sciences, Université 20 Aout 1955 de Skikda, Raout El-Hadaeik, BP 26,
Skikda, 21000, Algérie.
1oudina2003@yahoo.fr
f.oudina@hotmail.com
* Laboratoire d’Energétique Appliquée et de Pollution, Université Mentouri-Constantine, Route d’Ain El Bey, Constantine
25000, Algérie.
Résumé — L’écoulement d’un fluide autour d’un
cylindre est un cas d’étude fondamental, partie des problèmes les
plus étudiés en mécanique des fluides ou en aérodynamique. À
cause de son aspect pratique, on le rencontre dans de nombreux
domaines de l’ingénierie mécanique, aussi bien que dans
plusieurs applications technologiques d’intérêt comme les
pipelines, les structures maritimes et les échangeurs de chaleur.
Ce travail consiste à étudier numériquement l’écoulement d’un
fluide autour de deux cylindres horizontaux et/ou verticaux en
fonction du nombre de Reynolds (Re) et de la distance entre les
deux cylindres (L). Les résultats numériques, obtenus dans cette
étude, sont en bon accord avec ceux trouvés dans la littérature.
Pour différents gaps L= D, 2D, 4D et 5D et un nombre de
Reynolds 100< Re ≤ 200, des contours de vitesses, vecteurs-
vitesses, pressions et les traces de particules sont présentés.
Mots-clés — Simulation numérique, détachement
tourbillonnaire, CFD, Interférence, Transition.
I. INTRODUCTION
L'écoulement autour d’un groupe de cylindres a fait
l’objet d'intenses investigations numériques et expérimentales
dans la dernière décennie, principalement en raison de
l'importance d'ingénierie de conception structurale, flux de
vibrations induites, et les émissions acoustiques. Lorsque
plusieurs corps sont placés dans un jet fluide, l'interférence
d'écoulement est responsable de plusieurs changements de la
caractéristique des charges liquides. L’investigation d’un
écoulement autour de deux cylindres peut nous fournir une
meilleure connaissance de la dynamique des vortex, de la
distribution de pression et des forces de fluide, dans les cas
comportant des arrangements plus complexes. Ce document
présente une étude numérique détaillée de l'écoulement autour
de deux cylindres dans des configurations tandem et
verticaux.
Dans cette configuration, le type d'interférence présent est
celui du sillage, où l’ascendant touche le descendant
(Zdravkovich, 1987). L'effet de cette interférence est étudié,
par exemple, dans la variation du nombre de Strouhal (St) et
les coefficients de la force avec le nombre de Reynolds (Re) et
avec la distance entre les centres des cylindres.
Les travaux précédents concernant l'écoulement autour de
deux cylindres circulaires identifient les différents régimes
d'interférences sont basés principalement sur une visualisation
expérimentale de l'écoulement. Les investigations numériques
telles d’Igarashi (1981), Zdravkovich (1987) et Sumner et al.
(2000) ont proposé des classifications de ces régimes. La
classification d’Igarashi (1981) est basée sur des arrangements
tandem, similaires à notre premier cas d’étude. Selon cette
classification, six différents régimes d'interférence peuvent
être identifiés (fig. 2) : (a) les couches de cisaillement qui
proviennent de la séparation sur la surface du cylindre
ascendant n’est pas rattacher à la surface du cylindre
descendant ; (b) les couches de cisaillement qui venaient du
cylindre ascendant sont capturés par le descendant, mais il n'y
a aucune formation de vortex dans l'espace entre corps ; (c)
des vortex symétriques sont formés entre les cylindres ; (d) les
vortex symétriques deviennent instables et commencent à se
développer dans la proximité du cylindre descendant ; (e) le
cisaillement provenant du cylindre ascendant s'enroulent très
près du cylindre descendant ; et (f) les extrémités proches de
la région de sillage (région de formation) devant le corps
descendant et des vortex sont lâchés dans la région d'espace
d'une manière régulière.
Du régime A au régime D, le coefficient de traînée dans le
cylindre descendant est considérablement inférieur que dans
cylindre ascendant. Ceci s’explique par le fait que, de A à D,
le cylindre descendant est à l'intérieur du sillage proche
derrière le cylindre ascendant, donc dans une région de basse
pression. Dans ces cas, la traînée dans le deuxième cylindre

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est habituellement négative. Quand l'écoulement est dans le
régime F, la traînée dans le cylindre descendant est positive.
L'espacement auquel la traînée descendant de cylindre change
de signe s'appelle espacement d'inversion de traînée ou
l'espacement critique, et il dépend du Re. Les résultats
expérimentaux ont motivé un certain nombre d'études
numériques en vue de la reproduction des régimes
d'interférence et la réalisation d'un meilleur arrangement de
l’interférence d'écoulement. Par exemple, Slaouti et Stansby
(1992) ont utilisé une méthode discrète de vortex pour
effectuer des simulations bidimensionnelles, alors que
Meneghini et al. (2001) utilisait une investigation
bidimensionnelle en éléments finis. Les deux études montrent
un bon accord avec les données expérimentales, dans le sens
ou les régimes d'interférence sont identifiés. En plus, elles
présentent quelques perspicacités importantes en ce qui
concerne les mécanismes physiques de l'interférence de
sillage. Cependant, les résultats quantitatifs présentés diffèrent
des données expérimentales pour un nombre de Reynolds Re
≥ 200. Cela est dû à l'existence des structures
tridimensionnelles dans les écoulements.
Notre étude se concentre sur la transition bi et
tridimensionnelle de sillage dans les écoulements autour de
deux cylindres circulaires horizontaux ou verticaux.
Bearman & Wadcock (1973) ont étudié l'effet de l'interférence
de deux cylindres horizontaux. Ils ont mesuré la distribution
de pression autour des corps, et ont trouvé une force répulsive
entre les cylindres. L’aspect de cette force est justifié par la
rotation du vecteur de force résultant dû à la présence du
deuxième cylindre. Pour un très petit gap, Bearman &
Wadcock ont observé une symétrie marquée dans
l'écoulement avec deux cylindres, des différentes traînées et
des basses pressions.
Carmo et Meneghini (2006) ont présenté une investigation
numérique d’un écoulement autour de deux cylindres en
arrangement tandem. Leur analyse se concentre sur les
instabilités du décollement tourbillonnaire de petite taille, qui
se produit dans la gamme de Re étudiée 160<Re<320. À l'aide
des données de Strouhal et des contours de vitesses, des
mécanismes sont proposés pour expliquer le phénomène
d'interférence et son interaction avec les structures vortical
tridimensionnelles présentes dans le champ d'écoulement.
Patil et Tiwari (2009) ont étudié numériquement le
comportement instable d’un sillage pour un écoulement après
un arrangement intégré des cylindres carrés confinés dans un
canal. Ils ont effectué une étude détaillée sur l'influence de la
taille relative et l'arrangement des deux cylindres sur des
caractéristiques de décollement tourbillonnaire dans leurs
sillages. Sumner (2010) a réuni les littératures sur
l'écoulement autour de deux cylindres circulaires de même
diamètre immergés dans un flux régulier. A partir du grand
nombre d'études trouvées dans la littérature, la complexité de
l'écoulement autour de deux cylindres circulaires dans divers
arrangements continuera à motiver davantage de recherche [1,
4, 15]. Le travail actuel se concentre à étudier le comportement
de l'écoulement en aval et entres les deux tubes circulaires.
II. MODEL MATHEMATIQUE ET CONDITIONS AUX LIMITES
A. Model Mathématique
Le mouvement des fluides est gouverné par les équations
de la conservation de masse et de quantité de mouvement.
L'équation de continuité d’un écoulement incompressible est
donnée par :
(1)
Les équations de Navier-Stokes bidimensionnelle pour le cas
d’un écoulement transitoire, laminaire et incompressible sous
la forme adimensionnelle sont :
(2)
ou ui est la composante de vitesse le long de xi coordonnés de
direction et Re est le nombre Reynolds. Pour un system
bidimensionnel, l’équation (2) représente les composantes
suivant x et y des équations de la quantité de mouvement
pour les valeurs de xi sont x et y, et ui sont u et v
respectivement.
Le nombre Reynolds est défini par :
(3)
Ou u∞ est la vitesse à l’entrée, Dh est le diamètre hydraulique
(égale au diamètre du tube circulaire, D), υ est la viscosité
cinématique, le temps et la pression adimensionnels sont
définis respectivement par : , .

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B. Conditions aux limites
Les conditions aux limites à l’entrée, à la sortie, aux
extrémités du canal et aux surfaces des cylindres sont
présentées au-dessous :
Entrée u∞=1, v=0 et
Sortie
Parois supérieure & inférieure u=0, v=0 et
Surface des cylindres u=0, v=0 et ,
n : normal à la surface des cylindres
III. RESULTATS ET DISCUSSION
Un maillage structuré et non structuré en éléments
finis avec un arrangement tandem est présentée sur la figure 1.
Exemple, le maillage d’un espace L= 4D se compose de 20 6
14 éléments et 12 386 nœuds avec un temps de calcul
d’environ une heure 34 seconds pour deux cylindres en
arrangement tandem, et 15 387 éléments et 9212 nœuds avec
un temps d’environ une heure pour deux cylindres verticaux.
Le tableau 1 donne la densité des maillages utilisés
correspondant aux cas L=1D, 2D, 4D et 5D pour des cylindres
en arrangements tandem et verticaux, montrant la gamme de
la variation dans le nombre d'éléments et de nœuds de notre
étude. Toutes les simulations ont été effectuées sur un micro –
ordinateur portable Core Duo CPU, (2 GHz) avec 1,96 G-
octet de RAM
TABLE I
DIFFERENTS MAILLAGES UTILISEES DANS LES CALCULS
Cylindres Horizontaux
Cylindres verticaux
Nombres
d’éléments
Nombres
de nœuds
Nombres
d’éléments
Nombres
de nœuds
L = D
11774
7865
27246
15875
L= 2D
12250
11682
16937
15852
L= 4D
20614
12386
15387
9212
L= 5D
12460
11787
16107
15 433
Afin d'étudier le décollement tourbillonnaire, des simulations
numériques ont été effectuées pour des cylindres en
arrangements tandem et verticaux. Pour les deux cas, l'espace
(L) entre les centres des cylindres, qui ont le même diamètre,
a été choisi dans la gamme D≤L≤5D
A. Cylindres en Arrangements Tandem
Afin de prendre en compte les forts gradients de vitesse au
voisinage du cylindre, les éléments près des deux cylindres
sont plus resserrés et s’élargissent en s’éloignant des
cylindres.
(a) L=5D
(b) L=4D
(c) L=2D
(d) L=D
Fig. 1 : Maillage typique en éléments finis pour des cylindres en arrangements
tandem. La distance entre les centres égale à 5D, 4D, 2D et D respectivement.

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(a) L=5D
(b) L=4D
(c) L=2D
(d) L=D
Fig. 2 : Contours de vitesses, traces de particules, contours de pression et de
vecteurs-vitesses, respectivement correspondant aux (a)L=5D, (b) L=4D, (c)
L=2D et (d) L=D pour deux cylindres en arrangements tandem. Les résultats
sont présentés pour un nombre de Reynolds Re=200, au temps t =644. Sur ces
figures, on remarque clairement la formation de deux vortex symétriques pour
L=4D, similaires à ceux mentionnés par Igarashi en 1981.
Le nombre de Reynolds pour toutes les simulations
effectuées est égal à 200. Le rayon (R) des cylindres est égal à
0.05 et l’axe des coordonnées (0.0) est situé au centre du
premier cylindre. La frontière externe du maillage se prolonge
en aval à 60R et en amont à 10R. Dans la direction verticale,
les frontières externes sont situées à -20R et à 20R.
Pour le temps adimensionnel, UΔt/D, égale à 0.005. Le point
du maillage le plus étroit dans la direction normale à la paroi
est situé à une distance autour de 0.01R, et la distribution de
point du maillage est concentrée près de la paroi afin de
donner une solution très précise de la couche-limite. La figure
1 représente des maillages typiques en éléments finis,
soulignant l'importance d'une distribution nodale
convenablement concentrée dans la région de la couche limite.
Le nombre de nœuds et d’éléments utilisés pour les
simulations et les valeurs d'espace sont légèrement différents ;
cependant, les caractéristiques générales des maillages sont
très semblables.
Les contours vitesses, vecteurs vitesses, pression et traces
de particules sont présentés pour différentes valeurs d'espace
simulées sur la figure 2. Le coefficient de traînée sur le
cylindre descendant s'avère être négatif avec la croissance du
gap. Ces résultats sont similaires aux observations
expérimentales de Zdravkovich (1987), dans lequel on a
observé une traînée négative pour le même interval d'espace
(L). Pour des gaps de L=1D et de 2D, respectivement, il est
intéressant de noter que pour L=2D elle prend plusieurs cycles
pour un écoulement stationnaire et à l’état stable en termes de
décollement tourbillonnaire.
Quand l'espace (L) croit de 3D jusqu'à 4D, un changement
des caractéristiques d'écoulement se produit. Les ascendants
du cylindre commencent à lâcher des vortex. La traînée de ce
cylindre devienne positive, quoiqu'avec une intensité
considérablement inférieure à celle du corps ascendant. La
traînée sur le cylindre ascendant croit de 1.0 jusqu' à 1.2. Si
l'espace est encore agrandi, la traînée sur les deux cylindres
augmente.
Les contours de vitesse représentée sur les figures 2 (a) – (d)
donnent une image très intéressante de la condition
d'écoulement pour chaque cas. Les sillages sont représentés
par les traces de particules respectives. L'analyse des figures
indique que les cylindres agissent en tant que corps simple,
avec seulement un sillage de vortex formant derrière le
cylindre descendant. La couche de séparation de cisaillement
des cylindres ascendants implique le corps descendant.
L'interaction entre ces couches de cisaillement a lieu
seulement dans la basse région du cylindre descendant, avec
une formation conséquente de vortex et en l'occurrence lâché
derrière ce corps.

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B. Cylindres verticaux
(a) L=5D
(b) L=4D
(c) L=2D
(d) L=1D
Fig. 3 : Maillage typique en élément fini pour deux cylindres verticaux. La
distance entre les centres égale à 5D, 4D, 2D et D respectivement.
(a
) L=5D
(b) L=4D
(c) L=2D

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(d) L=D
Fig. 4 : Contours de vitesses, tracé de particules, contours de pression et de
vecteurs-vitesses, respectivement correspond a (a)L=5D, (b) L=4D, (c) L=2D
et (d) L=D pour deux cylindres verticaux.
Des simulations numériques ont été effectuées pour deux
cylindres verticaux et des gaps entre 1 D et, 5D. Comme dans
le cas des deux cylindres en tandem, le point (0.0) est situé au
centre du premier cylindre. Le pas de temps, la vitesse de
l’écoulement et le nombre de Reynolds sont les mêmes
utilisés dans les cas précédents. Un maillage fin structuré et/ou
non structurée en utilisant l’ANSYS avec élément typique
pour deux cylindres verticaux est schématisé sur la figure 3
pour différentes distances entres les centres des cylindres. Les
densités du maillage utilisées pour ce cas sont présentées dans
le tableau 1. La figure 3 (d) montre un agrandissement du
maillage à proximité des parois des cylindres, soulignant
l'importance d'une distribution nodale convenablement
concentrée dans la couche limite. Le nombre de triangles et de
nœuds pour les autres cas ¸ sont légèrement différents, mais
les caractéristiques des maillages sont essentiellement
identiques. Toutes les simulations pour les cylindres verticaux
ont été effectuées jusqu'à un temps adimensionnel de 800.
Des contours de pression peuvent être observés sur la figure 4.
Pour ce cas il y a une force répulsive agissant sur les
cylindres, selon les résultats observés expérimentalement par
Wadcock & Bearman (1973) et Williamson (1985). Dans ces
contours, des régions à haute pression sont indiquées par une
couleur rouge, et celles négatives par une couleur bleue. Une
région de haute pression devant les cylindres. Une chute de
pression se produit pendant que le fluide traverse le gap.
Cependant, la pression le long de cette région (indiquée par
une transition d'une couleur jaune à une couleur bleu-clair) est
encore plus haute que la pression sur les deux côtés opposés
des cylindres (une couleur bleue plus foncée). Les points
d'arrêt frontaux se déplacent selon la direction du gap. Les
positions des points de séparation dans les cylindres inférieurs
et supérieurs se déplacent dans le sens horaires et antihoraire,
respectivement, comparés aux positions du point de séparation
d'un cylindre isolé. Le résultat de ce champ de pression est
causé par une force répulsive entre les cylindres. Les
historiques temporaires de coefficient de traînée, ont le même
comportement du sillage, décrit par Durbin & Kim (1988). Le
sillage visualisé sur la figure 4 (d) est semblable au sillage
formé derrière un corps simple.
Une explication possible pour ce désaccord peut être
due au fait que les simulations sont bidimensionnelles et à un
faible nombre de Reynolds. Les résultats pour L=2 D sont
présentés sur les figures 4 (c). Le phénomène s'effondrant peut
être vu dans l'historique temporel de la trainée. La force
répulsive entre les cylindres est diminuée, mais le sillage
ressemble toujours au sillage d'un corps simple. Pour cet
espacement le sillage n'est pas clairement organisé, indiquant
seulement l'effet de la répulsion entre les cylindres. Dans nos
simulations pour L=3.0D, disparaît. Sur les figures 4 (a) - (d)
nous pouvons percevoir que les sillages sont antiphasiques,
d’une manière similaire aux résultats expérimentaux réalisés
par Wadcock & Bearman (1973) et Williamson (1985). Les
sillages derrière chaque cylindre sont antisymétriques. A
mesure que l'espace augmente, il y a une synchronisation de
vortex des cylindres supérieurs et inférieurs, indiquant la
visualisation anti-phasique du sillage. On observe également
ce comportement pour un gap L=4.0D, semblable à celui
montré sur la figure 4 (b). Pour des valeurs plus élevées de
gap, la force de répulsion entre les cylindres diminue,
récupérant ainsi le résultat d’un cylindre isolé.
NB :
Contacter l’auteur pour obtenir les animations des résultats
obtenus (préciser l’animation).
IV. CONCLUSIONS
Dans ce travail, un algorithme a été développé et
employé pour le calcul d’un écoulement autour de deux
cylindres en arrangements tandem et verticaux, pour Re=200.
Des contours vitesses, vecteurs vitesses, pressions et traces de
particules sont présentés. Pour l'arrangement tandem, les
résultats sont semblables à ceux trouvés par les expériences.
On a observé une force de traînée négative sur le cylindre
descendant pour des gaps moins de 3D et une force de traînée
positive pour des gaps supérieurs à 3D. Pour des valeurs de
L>3D des vortex sont lâchés des deux corps. Dans ce cas, les
vortex frappent le cylindre descendant et subissent un procédé
d'amalgamation avec les vortex lâchés par ce dernier.
Pour deux cylindres verticaux, on a observé une force de
répulsion entre les cylindres pour les gaps D≥L≥5D,
semblable aux résultats expérimentaux obtenus par Bearman
& Wadcock (1973) et Williamson (1985). L'analyse des
contours de pression pour ce cas a donné une explication pour
ce comportement. Pour des gaps supérieurs à 3D, les deux
cylindres lâchent des vortex synchronisés.

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Bien que cette étude est bidimensionnelle avec des cylindres
fixes sans champ magnétique, en s’attend à ce qu’une étude
tridimensionnelle que nous recommanderons confirme ces
résultats ainsi l’effet de la rotation d’un cylindre et
l’application d’un champ magnétique constant.
ACKNOWLEDGMENT
Ce travail a été effectué dans le cadre d’un projet de fin
d’étude, Master, au sein de l’université de Skikda, Algérie.
Les auteurs remercient le soutien financier de ce travail par
le ministère algérien de l'Enseignement Supérieur et de la
Recherche Scientifique.
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