ArticlePDF Available

New Canonical Forms for Four-Valued Logic

Authors:

     
    
       
  !   " !
# $ %&  "%'%
"# ()( *+)(
! ,- !%

    
  
         
      
          !
 "#  $  %   &     '
  $  (%)  %*   &   &'
   +      ,
    -       ,
   (    &     .
 )            
 &  $ #/  &  0
 * #    &      0
0 "#  $ & $  %    
 1  $  & 2#   & .
! 3  $ +3 
' ( 2#           0
, 44&  (    ,
. 4 $ &  &      
    
 1   $ $   & 
 1 # 4 #  5  
 6& 7#  )     0
 5 7# 1 0
 "& $ 1 + 00
 5   $  %     0!
 !   "  #$
 4 $ * 8
9   0/  0,
 7# 1  $ :&  0.
 %  
0 7#  $ *4 %&     
 2  / 1 $ ; &    
! 7% 1             !
' & *  '
' "# ( $ 0 #        '
' "# ( $ ! #        ,
' "# ( $ , #        ,

, # *4 .
,  $  )  4 44&   !
. ( !
  

      
    

    
      

      
    
0
   
     '

    
      ,
!
             
!
           .
'
    
      
,
  "# !     
 
.
$% 
          

&   % 
    0

&   !     '
 !

(%      
   '

  "" 
        .
0
$"   
       

)* +  ,,  -! 
#

 !  
     (    ! .  / +
0

+$! 0 )*    # )* ( # 
&%   1&!2 "    34 
 '
0
      
     ,


          .
!

          .
'
     ! 
   0
,
 (    
      0
.
    $   +& 4-$546-$ 
0

 ! ! !  $ 0 )* +  
! # )*       !   

# )* & $3 $   

  0

      
   00


8
9

         0,

3-7-&73 
        0.

  " 0 -   &% 0
)*  # )* 
 +    #
)*   +  )36#  # 6# * 


0
$   "     " #   !
0 !  !     ! )  *  + 
 "        )* (  !+   
+    !#      !#   +
     # )*      #
)*         ' 0






         

   !    &  

!
   0 )*  88  +   # )*
 11  +   # )* 88  + + !  +
"        #
  
'
3    
      '
,
 $    " &# 99&  !
   3 +  +  ! 
#     6  '   !   
!
.
   "  )* :  &  # )*
!  %  # )*   +  
 ; ! &   ; !  
 !

 #  2    #  $ /   / # 2
   <0=0>  #  $#   <0> "#= 2  #  #
 $  %* $ # 4 $ = $44&=  /  859 
?   #2      &8%9= 2#  4
  #    =   $ & #      
2
   3 #      #  # $
%  
8##$@&9     & 8%9= # # / AA 
 "#=    #  $ AA 3 8= 9    
$ #    $
& &
3  # =    
#  & @ #= # & $   #  2
  #   ?   # #   2 =   
2##  2 &  /=  &= @&
? # 2  5 & 2##       =
@   /=   2  =    %* "# 
 
  
=/&     0= ! , #  /=
#4    # $  & &= /  
  $  # & 2    $      
#  <,=.> "2  & <0'>   # $ (  (
 <>     3=  2 2/ %  / *4 % <!>
         =  = 2#      
 $ /   &   
6 #  &   =  $ & $  = 22/& $  
2 & #        #  & $    ?  
# #&    $ 4=   #  2 2#   $ $ #  B2/=
222 &  #2 # /&     /   = #
 4&=#/     #  ## 2  0/ = 
$ #   

   
 
   
  / 23  2   # $   %  
 $ 2  $ =    = C   @
/= &  & =  $44&  /   7$ = &   2
 /=     "#         $
   =   3 =  $ 3  $ 2 =
 @ /=   $ /     & # # $
 
##  % 2  4 $  = 2 &  #    $
/=  / & %*  /  $ #   #  2
3  & /    $ #   <0= 0> & =  
  4   /  $ #  (  %* #
 <> "#
' ( ))(%( '


#
 2 # %  # (  #  = $ 2##2 2  #
#    #& &  $ # $ # # #2/  $
$     / #
"# 2 $      $  # 2& $   8&= 
/= $44&== 9=  $
   )  
   Æ*
"#= #   D
&    Æ(  
  '     &*
# @ 
&+&
=
A&A= 
&&
@ # # &    # @
 B2/= 2   $    /   / & $  2
 # @=    /  
     
?## 2      = $ #  $ /2 $  = # 
   # $2   $ #   D

#  =

#    = 
#
  
      # 3 #  Æ

 # & /&   &   $ # $= #  2 #
 #  =    # 4 #& = # E&3
 $     #   2##       =   
 @   &=  ?# $     
 =  #  $ 3F  2   #     = =
  #    $  &=  = $ #  $ /2 $ $ 
&  4 =   &    3 $  &   "#  
 #2  $ #      # #  2 # G 
8# F    9 "#= $  

= # 
 # $      =  / /=  &   
F $      =     $ # /
    #  D     2#  =
     2#   ?  # &#


   $       89
,
"# 
#   
,   '

,   '
$ 
 89   &= # 
- 
$  8&  /9
  &=&  = / &   / 
  =   &    & &   & 
+2  $     &  $   "#    $
2#   81       $ # %#)9  4&= # 
 # #  # =  #   #  2  $ 2&  $
#=  #     $ # #   # $  
   ? /= #2/= #  # $ $ 8&=& 9 # &  2  =
# & # A #  A   )& #& 2   #
2## #&  /= =   & "# /&  &  2  
#  1)  $ # 2 & /
     
6 2 / # #  # $ $
   (
#
2    #/  $ $ $   2#   2
 = 2/  $   #   $ $    =
/   #  # 2  2 3  # A  
A 2   &  ## =  # =   22
  2    # # & $  44&    
    $ #   # 3 ? /## 2#  / 
 / &#=    =   &    2 /
$ &  =  #   / 2     81  #
 #    $  # #   #   2#    
&9
7 / #/ ## $  ## #   $   = 
$/ $   ##  %        &#&=
#   $      (7  & #   $ #&
##    &  
$&    $  
 &   #& / $ = #  # 8
9 =        3   <.>= & # 
#&  #/  # #&  & # $ $  2  #
  #    
?# 2= #2/= 3   A $A # #    
  $ 2/ &  2#  /  # #   $  & 
= #  $   C      2 
=   &= # $  2 #/#      #   
    #  &  $  $ #   2   &
$ # = / $   #   /= # 
A 3A "#= 2 / # $ # = & $  =

 . 
2  # 2 #/    C 8 #9
  #  # / #  $= /  = $ 
 &  &=  $  "# = 2 /= 
#/ &
 
= 2## = &= 
(= &  

 &  = # $ #  $
=   $ # @ &23     =  H   
  H #&  $ /   $ # /  &  2
2   # = 2   3 /&  # $ &   & 
2# 2 # $   $  # I  23 #  $  
"#  $ #   # $2  2 2  #   $   %
   &  2  $       &=
  0 2   $2  $ # & "#  2  
# & $   G   2# #4= /  @
  2  # $  $ 4 AA $ #   #
 = # &  5   ! 2 2    #2   $
% 4 #  & $ &    / 5    
      '= #  $ #  =  / & $ @
& =     /& & 4 #2 #   $
   $ & / $ G & 8= #&  4  &I
  = !=  '  $    =  #  ,   ## $ &
  &9  ,  4 $   .  
$ & = 2##  $  #   4 $ &  
  $44&           
# #     # 4   &    #

   ! "#$%%$&! $!# $'
    !   "   #  $
#
"# @  $    / $ / 3 <!=0=,=.== > 
#  $ #    $ # /  $   2#    $ 
 & $     $ /  2  B2
/= $  &=  # &  # #  

# = 
    #       ?# /  #
2 #=   /  $  &= &      /
<,='=.= = != = = ==0=0!= 0,= = = !>
%   $    #   # &   $/ E
& 8/&9 $ # & 8 $   #   /9 # #
## $  <'= ,= .= > "#  #   # 2  $  $ 
  &= 2##    $ &J&A  $  # =
     $   "#  # 3  %) & =
# 2# &  89     ?# #& #/ 
E&$ =    2   /&  #   /
  2# & # = # # & K4 ## $@& $  $
#   / 1C  &   2#     3
2 # = 3 2       #   #=   #
 $    &  
    %
? / # #  # $ & &4  & =  + 
#  $ &  32  # =  #   $ / ?# 2 / 
8  #   9= 2  #  = # D
( ( (
( ( '(   '/(   ' ( ( (

6 #&    & C  $ /  / = #   #
/& $  # = # +   $ #2 4 $  
   #2& # #   # $  E2   4   $ #
  / #  $ #  
   
=2
#/  $ # &  $ $  #&
 #  $2 # & #    #   # / & #
# = 4  2& $ #3 8##&= &=  = 2&23=
9 &= # AA      =   = &
=  # =  & #
?#  # - ?#    # - B2   4 # -
(    &  2= # 2   $   ?2
 #  =  4 # 2# # $  $@ 2 &
& $ #  # 8 = = # 9 8 # = # 2D
#= &=   2  #& 2#    $9
 #     $ # ## $@I 2# #& #/#
     ##   $ # /    
 &  &    &  #@=    # $
$ /  $     #
'  0
 
  # #   /&    # $    #
 #  2 $  #  $

 $
( 
 '  *
"# ## $   #/ &  #
# $   = $  H &  &&  
= # &     2   #& &    
## H $  H   #  $  4 /  B2/=
 = #    = @ /  &  
=  4 
   *
&    //     & /= & $ 2  = &
 4 & $ = 2# &  =   2#  
' 
(

$ $     /   8$= &= 
9=  2 #3 # #     $ #&  $ # = 2 2
 #    =  &  # +=   2 $ 
& # #    Æ # # AA   # %
 # =  &   / = 2
 # $ $&  
   &   $   2   #2&   &
&&  &           =
/    # ## $  $ # 3 $ $& B 2 2   #
  $ / =  
     &
&      #4 &  &   
   2   = =  = = & =   
$ #    = $ =  = #  &   
2 # =    $3   /  &   $3
  # 2 H # =    /  # 2#   "#  &
&  = &  $3  &  & <!=,> #
  $   &      $ # $3
 $   = &  $ #  $=  & #  <0=0=0.>
7#  $ = #   23 8(++9 <=0= 0= 0!= ,>=   
<'= !>=       23 8++9  # / $
&  # / $&  = /  / 
# @D #2 $  #    $ #  $   
/ -     & =    &      
  # & $-
7/= #  $= #  $     2 / & & A&
#A= 23   #&=  23=  23   = #
 #&    =  $ ##/ $   
  ##/ $  = # @   E2= 2## # #
    %#= #  2 =  # $   
&  2 ##  E &   & # #  

( $%$! ) !$ #!$ $'
?     &  8= = = $44&=   
  =  /
 $   29=
'    *
" 3#
&  = $&          # 

"# &/ E& $     2#   /&=2&  4
# F $  *    2# & &=  #
 2 89=  = & /
 %   122 *
&    /      2 D
89 2#  # $& $ / = 
89 #2  #    2   $ #   $ &  8=
  23= 9
"#  @      & &=& & # $ $ 
& #   
  =  2  &    $   3=  #  
  8& 9  #    $ &   #
$&$  $  "#  $  $ & $    $ #
/     & & & $ = $44&=
/  "#        = # & C # & 2
#/    EE 8 #  /9 #     8
# 2 /9 B2/=  = $ # &  = #   #   =
  $
,


7     # 2#  4    
 =  &   *  89 $ &    & *
8
9 $
 /   $44&   =     $&
  $   / $ # 6 =    &     $44&    
    2 E&  #  "#=   # 2  
3 $ =  &  $   #      2&82#2/& $2
  $ #  29 81      # %#9
42D
 D
      
ÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍ
ÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍ
ÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍ
ÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉ
ÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉ
ÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉ
ÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉ
ÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉ
ÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉ
ÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉ
ÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈ
ÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈ
ÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈ
ÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇ
ÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇ
ÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇ
ÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇ
ÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇ
ÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇ
ÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇ
control
analog data path
Dual cellular structure
mixed-signal
processor
43D
 D
  
7 *4 %*   = @ & $  =   2
/D =      #2 #      # 
##
 (
 /&  # 0   0     #  
 $  %  #  7/ # #  /&   
 $ (++ <= 0= .= 0!>= %= *4 % <.=0'=,>= / % <!>=  #
& $ 6 
# / $   #  $    # 8 9  $
#  #     $ #  # #  3 $ 
  "# ) %#=  2##     =   $ # 
 #   "#    & $   =   # 
 $  #  # 
44D
Global interconnections can be used, but only if necessary.
 D
    
   #    7/= # ## &   
 #/     # #//  #4 =  ## "1 
7"77  * %* #  #4  /    # =
#     ##  & 2# @  ?#2 #  
2#
 '0
 2#
'0
 =  /   #4=  # 
  = $ = C ?  = #2/= #     8  9 $
#&= #4= /  @  & #
   
#2
2     # 2 & / #  $
'0( #3 (  
 3 
## 22  & # &  # #  
  $  %* #= 2    2#& #& # / $
# "# & $  #   $ #   $ 3 #
  $   /  &=#= 3       2#
 '

 '
8## 9 86& # 2 2  &
  #   9
4   '       
'   '*
 #  /= /&      $  # &22&  
  "#    / $ C   & # #=
2##  $ # = K #   "# F 2    & 
 #   $ # 8 9 "#        # 
=    #2 & /  8 9 1#      
8#  K     & # = #    2##   #9
 & $ # $   2## #   8&  #     9
 #     = #&     #   7/ # #
4 $ # ?1)7  ?1)+)  32 $ &   $
 #   / #  $  /  = #  2 / /& &#
/  1#   #$   /    $ & $ F $ 
#  & $ # $    2##  1## # #  
    8=  $= #   2#  $ #    9 7/=
# #  2  & #   # 0F <!>=   #   #
!F <>=   & # & & <>=  /  $  5 & $ <0>
"#=       # #        
8?1)7= ?1)+)9 # # #       $ 
#     6 #   $   8= 7= "B1"(
 9=   / $ #& =   # # 4 $
  C=  #    #   "#  #    $
      #  #    $ #3  $ 
 !  
6  / = 22  3 # $2 /D
"#  &   $  &I  # 2& $  
2   # # #    #    #    &
 # 8  9
"#  & 2     E2  # / # #
#   $ D  $ #   #
'
$  E2 "# #
  #

$  E2  $2  = #  
 #
/ 
 #
 
=     #
546

727

784
 32 $ A E2#A $ L  #
# <!0>  #2 #   # =    
8#    #   2# $#9=  #   #
 # 7= +)= 1;7= =     27 
7/= # #  &2 #    =    7%
 %7 $ =         $  $ 4  
= #   AA    $= #$+)
    $ "#     $  &  "#=
+)G7 7%= #   +)  $  #       = 8#  
 9=  # 7  #  #   $% $ "#  # #3
 +)  7     $ 2 +)  7 =    # &I
# +)     
# 7  ?# 2 4 6& ) "
 6))= #  $  #  # $      
$=   $ $ #  #  G  #
   # @ #  (=  7% # $ $ 
       6)) #&     = 2## # &
/     $ & "#  = & #     
 #  '(  #
 6& ) ) = # #    $ $ 
& = #  $ 6))    & = 
  
  '  *
#  # $   $ 
$  &   &"#=      $ &     =  
#  I    #    6    #&   /
/


$&= &   $ 6 $  &  B2/= #  &
   #  D
&  $ 
)
&

/
/ & &  $  #/  & $ # 6))
 $ &  /  82##@/ 
& /

/ 9  #  $ A&  &A
 )/  8  #    6))9=   # 
 /  $ & 9
 # 4 $ )/  <.= ,> $ &  $ / 
 #  #
      #    8#
   /    /9
      $ & # & AA    #
$     $ & $ # /  #
 " '    #
+2= # $2 @ 
( 2  8 9  & $   & = #  # 
$ #   /   -
$ &= #2  -
B2      -
" 2 # @ 2 2 &    2 &   #  #
  $   # $2 #D
  '   
= $ = <0>2 $
 4 $ #      7/
# #  & #   2 $=  $ / $ #
A /A @ 4  # # $ / $ # / @  ?# 2 4
  / = 2 K    & $  #  # / $ # 
/=  $ 22#/&2 = 2#/       $ # 
#=  # #  $  E22&2 # 8# #
2  #/    2#  # 2 #=  29 "#= 
#  $ / ==  # # #$/ =0=!=  2 = # 
& #     #  C=  #   
  / ?#/#   
%
$  / / "#  
#     82##/&      =  
 $ & =  &  5 9 (  2   



+=2   /    = #    =
3   / <

>   # / "#= #   
/& 2$ $  & $ $ /   4 # 3 $ A& 
&A  8   $  9
   84 *
?#/2 # @ 2# 2   5
    $ 1;7 -
$  4  2 /= #       
## # /   #   #   = = 
   2       & =  2#/
   #  #   = #&= /
     =  # 4  #  
/
 %3 = 2##  #    = #  89
=  & "#&  2& 4 $ +) = # += 7)7
"%("7+=  *7"%("7+ "#    ;=
7)7=  *7   B2/=   %   =  2###
+)   4  $ &  <0'> B 2 2 4 # 
 5   
"#= 2  #   2## #  &    
$     $D   = & &  $= & 8
& 9 & $= & 5 $=  & 2  $
# #   2 &= 5= #     2 
3  232   &    &  4 #    
 #   # 
) *'   #    
   $ <0>= #   $  % $    $   =
$2  8@ $  9=   $ 2  & /
  $   #     & =   1@/
$  #  =  =  4 &   / 
? / # #     Æ  2  $   
$ # "# @ $  =
&  (  '' (
Æ ' % ' 9&
"2 # =  2 Æ
#2 #D
 % ?   &  # 

 
 % ?  
%
 $= 2##   &= 5 
 6 /&   AA  A&  #/A $ %   

2 2
   & &  #/= # 2   /&  32 ?#  A& 
#/A-    = / #    #   $ = #$
2###/    & $ A&A  #  # # 
   &   #  $  A & $A 
 G $  3 $ 22 $& 2 #  $ #  )%
= # AA 2     = G  3 2   
  ) M    &=&  #   $  
 &  D & # $ &   & EE= 5 # $ 5
  5 EE= $44& # $ $44&   $44& EE
   $     $ )  " EE "# & EE 
 $ 5 =   # $   7/&=  $  & 
#/= & /& $2  & Æ  & &    
& #     &  2# /  & &  #/
 #   8$ 16 = /  9
2(   
    *
?  #2#/& #  4 
  $  &    & AA= 2## #   &= /=
 = 
"# /  $     $ #   $   & 
&  <>= /   8324= $44&9  = 2##  # 
 $  % 1/ $ # / &    Æ= 2 /=  
 $2 & $ 2 = #  & 2   $2    3  #
  /  & #/ $ &   $  
 = #    # $     2#   #  $ 2
/ Æ& 2$ = 23 3  2$ &  $&
8E&= &9    7/ # &  = #  

=#
          %* 8 # / $   9=  
  8 # / $  9
k
s)a
*...
Y
Control
Control signals
wi
wj
...
ab
1
X1X2Xn
35D
 0D
   
*
wi
wj
...
1
X1X2Xn
1
const
... digital
control
Y
control signals to analog
blocks of the cell
control signals (external)
Legend:
avb,awb
a
b
k
s)a
36D
 D
    
"#  $    #2   0      
+ ,   # -'   #
!  ,
+
–+
+
–+
+
+
+
+
+
–+
+
+
CL1
+
–+
+
–+
+
–+
+
+
+
+
+
+
+
–+
+
–+
+
–+
+
–+
+
–+
+
–+
+
–+
+
+
+
+
+
+
+
+
1a 1b 6a 6b
1d
2
1c
10a
3a
4a
5
4b
7
6c
8a
9
8b
6d
10b
11
10c
CC2
CC4
CC3
CL3
CC6
CC5
CL5CL7
CC8
Vin Vout
3b 3c
62D
 !D
            
!
Input Output
1a
1d
CL121c
3b
1b CC4
CL3
CC3CC5CL5
CC6CL7
CC2
CC8
4b 3a
5
4a
6a
3c
10a
6b
76c
8a 6d 8b
9
10b 11
10c
6
63D
 'D
    
 ! #2   #  $  #=    4   7"H(
 8# #   $ #  7"H(   <0.> $ ( & 
 #    #& 4 $ #  #   2&  = 
  2& 
= # 23 $ #     # # &=  & $  "#
 2&  #  &2 # # $  $ #   #  $ 2
  C =       $ # #=  #7" 
    $ # # 8 '9 "# # / &2##  
$C 4   = &&   7 
2& $ /   $ #   &       /   
  8#  #@ #   $ & E2#=  &9
 #    = 2# #  / & # /  # 
      #  $ #   $    '=  
  & $ # = 2##   &  #  $ # &
 $ #   $       #  $ # 
/    2&  8@9   & =  /& $
$  4  $ @= 2##  #    # # 
# &= # / / # 2& $ 4    &  $  
 &
 $ # 4 $ # 2#  =   2 & @
$3    $ # 7"  4 &   $ 7"  @ &
  !
Analogix
COR PORAT ION
(A)
(B)
+
–+
+
–+
+
+
+
+
CC4
to
cell 9 cell 9
from
to
cell 4
to
cell 6
to
cell 1
cell 6
from
cell 1
from
cell 4
from 3a 3c
3b
Input
Output
CL1
CC2
CL3
CC3CL5
CC4
CC5
CC6
CC8
CL7
59
4
2
3
1
8
6
7
11
10
51B
 ,D
  "# !     
. /   %/
1
s
*
–+
–+
1
s
an)1
an
Cn*1Cn
anan)1
Cn*1Cn
an
Cn
(A) (B)
66D
 .D
$% 
3   #2   .    )  %  8)%9   
%
0  -'  
/  
3a11 3a123a13 3a21 3a22 3a23 3a31 3a32 3a33
3b11
3b21
3b31
3b12
3b22
3b32
3b13
3b23
3b33
c13 c12 c23 c11 c22 c33
c21
c32
c31
68D
 D
&   % 
  #2 #  $   3  3 2  /& 
8
9N<

>
8
9N<

>=
# O =   # 
8
9N
8
9
8
9 8 $ $ @  $
#  $ #    I /& # 
$ #   
& #   $9 "#   & 4 $ &  $  
1#  

8
9 $ #     & JA  $    
  B2/=   #     #  =  
 & 1#         & 



N

=
  #   

  /  # # J&A $    & $ #   
  =   #   ( $ #     J&A
8##    9 ?#    =  #     # & 
# J A $ # =  $ #     *    // 
    $ #  *  $ # 3 2  # #
!
   = (     //  
$3   
+2=   /&  # $ # $ # 2  # # 3 /
     2    = $ =  2# &K
 =   $ # K  $ $  "# 2  $ %
/      0
a21 a22 a23 b2
3x1
3x2
3x3
x
.2
a11 a12 a13 b1
x
.1
a31 a32 a33 b3
x
.3
70D
 D
&   !      '
$& #& #   3 = 2    3 #  $
& $  @ "# 
8
9 $ # &
8
9
8
9N
8
9
 $ & / &
P
8
9N
8
9
8
9
8
9N
$ C @ / # 
8
92& /  <>  & 
 
2  /=  /  #  $    =
 2#  /& 
8
9   #2  / & $ @ 2#
32
8
9

8
9

8
9 "#   #  &  $3 =
## #  / & #     #  2  ( 


"#  2        /     E
 =  2  4  
/     '
3x1
3x2
3x3
x
.1x
.2x
.3
g1g2g3
3g3U(g3)
3g2U(g2)
3g1U(g1)
f11 f12 f13 f21 f22 f23 f31 f32 f33
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
ρ1
ρ2
ρ3
Legend:v
h
v@hgi
3giU(gi)
x
.
i
3xiρi
m@ρi
72D
 D
(%      
      $2 */  $ 
8
9N
8
9
8
9N<
8
9

8
9>
8# @&   # $ /&   $ # /I
   $
 Æ=
 /  / 9=  4 # K/ $
8

9N
N
Q

=
2#
N<

>  $ # # $     # & $ @
P
N

8
9
8
9= 2#
8
9  #  $=

8
9    2#   $ /
 # 
= 

  8
N

N

9 <> 81     
/9 "# &  / & #  #2     #  $  

2   
=/#       # @&
#2    $ # /& $ # /   = 2# & 
=
 & /
  #  $ #  2 # # Æ 
1 22#   
44&     8#324 9 <= !>  4 2  
 =        $ $44&   2#  $
<>  /&    # $ %  4 %=  #2   =  
   2#
 / 
$44& $    #2 
$ #     44& # $      4 $
$ / /
  & / $ # $44&  @
=
# 
= & 2     2 #4   "#   $
# $44  /
  &2@ / <>= #2   
7/ # #     $ # $  
...
X1
X2
Xm
c1c2cn
R1R2Rn
(A)
I1I2In
w1w2wn
/vk+
ȍ
n
i+1
wiciIi
ȍ
n
i+1
wiIi
...
X1
X2
Xm
ÍÍ
ÍÍ
ÍÍ
ÍÍ
ÍÍ
ÍÍ
ÍÍ
ÍÍ
R
x
y
x
y
Legend:
product
fuzzy set membership
min
(B) (C)
ȍ
ȍ
74D
 D
  "" 
3 2  #  $#
consta c
d
(a)
d
const
const2
1
a2a1
b
c
h1
h2
h3
h4
h5
b
(b)
cd
ab cd
sin(y)
cos(y)
y
(c) (d)
 0D
$"  
B#  $
%
  2    = 2##  
 $ A A  3= #34      "# 
  $   2#  &     #   =
2## & #    8&  59 EE   #  ) 
2# # 4 $   & $=   #=   
#I 4  = &= /   = #   D =
   = &      2  # =
#2 /=  K  &   $   & $  &  
 0 #2   2#      =   0 $
 2#    2# # = = &    $  
 
"2      $  $  #2   0=  0 
 4 $ # 2  $
 ::

;:

;;  
::
 :
;;  :;  :;
 0 #2  4 $ 
$ ;8




9   4   $ 3   = 
 = @ /=  8  9      622 2 /
#2 # 3 $       = 3/ 
  = # & $   $ = # #  $  0= 
/
+2= # 2#/ $       $  &
D *4 %=   / = =    = 
 #2 #    AA   / / $ # 

  

 *)$ $ $ &$  $!!$  #!$ !$'
 , ' 2 '  $4 
"# $  $  #
%    '
 0 


$ $=   # $  $  $2
  $ ?      8  &=  
9
 =  232  #  $
  2# 
 /
 $2D
N

Q

2#
N

=
N


 %  % 
$ $
2#    /
=  /&
 # )* = # $ $ #   8     
&  9       + $ $

  $
/
  &=  #     $ #   /
 #2  L#/F 3 <0>  3F  <>= # 2&=&  &  &
$  &   & 2# ===0=   / / 
  /
B 2 2 #2#2  # #
'
& $=  &
& 
 #2 2=
 
$ $   =  #   
  # ##  2##   2$ # # / #&
 #  <>=     # $    * %*
7  $
& &
   # D
  
89=
%
89= 
' 
8  2#
#  
9    # $  2#  &=  / 2= 
/ &   # 

  
$ $  /   $ #  
  #     #  = &  "# $ A A
 AA    $ # 

$  8&  L&9


% 
  /   #  $ #   8$
# / = # / 3 3 9 "#  /   
  &  #  /  = #   & / =
  2 2  2

 '
= 2## #    =  2##  $ #
/     3 #      $  # )
 8  $=  # ) 9
1/&  #  &    / 8&= &9 /
859  $  2#
/  4 &
& 2 2##    8 3
#  A$A9   # /  & =  2#
/
 4 &

!"
2 2##      # /   /
/ = $ &
!)   *
"# 232  D

 
=   

-) 12( 12( -2( 12( 4
=   

:);  (   ( *
=   
0
2/ 2 <=
  
?  #2 # #&   K    $  2$  $  
&
1
22
33 33
4
4
4444
4
4
55 5
5
55
5
5
55
66666
6
6
6
66
6
6
6
6
6
6
6
7
77
777 7
77
7
7
7
7
7
7
a
b
c
 D
)* +  ,,  -! 
#

 !  
    (    ! .  / +
     $  6  2 &=    2
 ,,  6  $    = # $ #    
"#  # / #  /  / !   # #/  $ 
 $ #  2    2  / 2=   2 
 "
inputs
terms
outputs
inputs
terms
outputs
b)
c)
a)
d) e)
g) h) i)
inputs
third level
terms
second
level
terms
outputs
 D
<  0 )* "     # )* "   
  # )* 88  +  # )*     +%
  ==# )* 88        + ' # )*   
  + "  !  )     *#
)*      + "# !  '  ) * )*  !
  (6( +% >.1?
   /   #  # 232  #/  
/  9  *4 % $ #  & "#    ## #
 = & &    "# *4 %   % 87%
 %79= 1;7 %=   1;7 $  (  9  *4 % $
#  &= 2#  $ #    ## #    9 
  8 = 22 9 2#   #   
 &   2#      9 #2 00   $ %
23 $ & A #A= #  #     $  
#            # 8# # 
   #9  9   $   $ & 
2# @  "# 2        
2 $ 00     $ @&   #    
   $ 9 #2 00  $   2# #4  / 
"#   &  #  8)9  *  %  * &$
(    9  00  $   2# #4= /
 @  "#     $  % "#= 2= 2#  $
 /   #4   % 2   /   #2
/=   & #   =   $ 2## # #/  &    
  2   $  2# #  &=  9 #2 #& % 4
"+" 23 <!>= 2##    2&  %=  # # & $ ++)
  &= / 4 %  4 $ &  & $ 
    @ $  +)= 7  1;7  &  849
    @ $  8/ 9  #/  #  & 
2 # @  3 & 3  # & $  !9=  #  
&    @ = 2& $ # 2 
 = / = #          # 
  # (         2 # 
# 2 2 $  #  $    $ #
  
=  $
=   # 4  
 # = #2/= # 2    &   2 2 #22
/  Æ # $     $  #  <0>
 = 2#2  &   <0=0=0'> # #  &  /& 2$  
/ # # /& /    B 2 2 $#  
$& #   
    
=
 
  # '*
 #& #     &$# $
 6=      $= 2 / # ,  & # 7/= # 
   2& =   $ #    83 0  @9=
2 4 $  & # 6= #& 
 

     % *
afaa
+a’g
fa’b’ ab
g
a’ aa a
bb’ bb’
bb’
fg
a
g
fa’
aa
+a’g )
aa
+a’g
b’(af )
+bfa’
b (af
+b’ga
a
g
+a g 0
a
0
a fa1
1
(a)
fg
(b) a0aaa a
a
11
220
2
+a gaa 1
1
2
fa
0af
2
 D
+$! 0 )*    # )* ( # 
&%   1&!2 "   34  
a
aa
aa
a
rst
u
a
rst
u
 0D
      
ab
d
d
d
a
b
c
d
a
b
c
0
1S
01
(a)
c0
1
(b)
(c)
(d)
d
a
b
c
1
0
01
(e) (f)
 D

d
a
b
c
ab
c
d
d
a
a
bc
bc
d
d
(b)
(c)
(a)
 !D

yz
r
xv
1b1b
rs
by b’z yz
b1 b1
xyzv
rsRULE(pD,pD)
11
xyzv
rs
xv
11
rs
by b’z yz
xv
b1b
rs
by b’z
b
b1
xyzv
rs
x
1bb
rs
by b’z
b1 b
xyzv
rs
b
b
xyzv
rs
x
bb
s
by b’z
RULE(S,S)
RULE(nD,nD)
RULE(S,pD)
RULE(pD,S)
b’ b’ b’ b’
v
b’ b’ b’ b’
b’ b’
b’ b’
v
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
3,1 3,2 3,3 3,4 3,5
1,1 1,2 1,3 1,4 1,5
2,1 2,2 2,3 2,4 2,5
4,1 4,2 4,3 4,4 4,5
5,5
5,3 5,4
5,2
5,1
sum=2
level 1
(a)
sum=3
level 2
sum=4
level 3
 'D
    ! 
   2 = # 2# # /  7 # $ 
#  2#  /  "#    @/ $ %  2=
#      $ &$/= $ #     K ? 2
 # ;&  7/ # AQ  A    7 1;7
1;7    $   *89 7/= # AQ A   
  8;9  %  2# /= #   6 #    $ 
   # / 
"# #  #  )   &  5 # 
  %  )  $    $ 8  9  /
= # /   $F   # /$=  &2 $ #
    &/   ;   ?  # 2 
/ % 1  %  ) 
;  #     &
>
  / # K $ 


 # $   #      &     
  $ 7#& $ $   #  82## 2   #
 9 7/#& 
>
     /    #  
# # $ 2  / 1  #  $ # &   #  
?#   # -
1
22
33 33
4
4
4444
4
4
55 5
5
55
5
5
55
66666
6
6
6
66
6
6
6
6
6
6
6
7
77
777 7
77
7
7
7
7
7
7
a
b
c
 ,D
 (    
 5# 6'  !
xnor(a,b,c,d)
0
exor(a,b,c,d)
exor xnor(a,b,c,d)
010101
exor xnor(a,b,c,d)
01
a
b
c
d
a
(b)
(a) (c)
ss
sss
ssss
sssss
010101
01 01
010 10 10 1
01
01010101
0110
110
0
00
11
1100
ss
ss
ss
ss
b
c
d
pD
pD pD
pD
pD
a
b
c
d
a
 .D
    $   +& 4-$546-$ 
 &= 2/ #  L3   <!'>& # 4 $ # 
$ 6))= # 2 4 # ;&    $   A#A  AL
3A    "#& #/  #       =
 .    $ 4 $  & #    22
& $    $ # 1;7G;+7 2 $
 .   # 2   #  #  
 # 8/& Æ # 9  3 & 8#   #  / <>9 "#
 $  / 
  
6 # $ & = /    
7/ # 2 2# 8$   /9  2&  $ "# #  4
 # 4 0  (/&    "# 3 &<>2 #/8O9O
8 4 #$2 $ &=   O  @ $ 0 / $9
 .    2#  /&  &$    
#  # O 0 N ,    # 89= # #  2# 
 / 8F9  2  7/ # 2 $ # $ #/#/
 .  %/%&   )  /&  &$
/)/ 8)9    &  #  #  "#  &  
 / $ #/ ##       & %&
 @& $ & #     
"# $   . 2# & = 
 '   ) 
 9
fh
g
a1a1a
1b1b1b
d
1c1
1a
c
pD pD pD
pD
pD pD
nD nD nD
pD’ pD’
1
(c)
g2
g + a h
00a g + h
202
h + g2
g
(a)
2
h
0
h
1a
h
g0
1a
gh
a1a
1
for hcancel
for gcancel
(b) rev-exp(g , h )
20
 D
  ! ! ! $ 0 )* +  
! # )*       !   

# )* &
 $3 $   

?  / #   &    2#  & $ 
 =  & #= 2##2&   &  "# 2 4
&   #   # # 32 &  $ $=   # = 
$       2#   /
 #  #/ #   &    4    
2#  /
"# @= #2/=  /  $   =  #  $
/   $ 1;7=    #  ## #2
# & $ )        = #      $   
     $ # # &     #   
/ $   $  )  2#  /
  

 # =
N
8
N9

N
8
N9

N
 # /  / $
 6 C= /&    #  $ /   # 


"# /   D
#$% $#& $
$' (&)(
N

=
2##  #   $
N

   2 
 $

"#
 



   $ 
#= /&  & #3= #  $ #   8 
N 9=  #  / $ /
$   # )  $

 
D
N

=
N

   %&   ) 8 )  )9 $ $
D
N

R

=
N
R

R



R

=
NR



R
R



5
    ) /   $ #  $   #2   =
 $ /

  2/  )=  #  $ /
 # #
/ 
5
     #  / $ #   "#  
# /  )F= 2## = / )= #  )  2# /  $  
7/= # ## # $   &   2&=  4 2#
/     # 4 %L3 &     & $ 
#  $    & #=  &  $   # = &
#  =  2$  &  =  # #  #
  /  #    #    / $ #    #
 $ 89 /  #  & #  #    Æ
  /
( 2# 2    2= 2   # &    4
2#  =  # #     $ & 7  1;7
    $ # 5 4 6 #2   #  $ 5 $-
( #& 4   % - "# 2  K $  $2 
 4 6' ,
7#  $ &   1;7 =   4 $ )/ 
  /  #&   *      = 
 = $ & = #& # #/    89   
  = #&    89  #    &
#  89  $   
6  #& #   #   $  &
,
= <'> =
#&  87   2# 1;7  # 9= %/  +/)/
8)  )= /&9=  # 8&  59 <.>
/   $ #       2  2
"#    $2 7 / $ $
    & $ #
 ) $  / 8  $ /   $ #  "#=
# / $ #    #   & $  )  "#    #
   $ # 32  $ #   "#  @    /
 #  = # 3& 2 #   # $ /   & 
7 # # /    &    4 
&  $ $
? 2  2   # # /# $ /  &  
 /=  $#    &? / #  2  
$ 5     
 ')  *)$ 
MIN
MIN
d
MIN
MIN
a
b
literal1
(h)
MAX d
literal
c
aMIN
3
literal2
a
b2
4
4
dc
bb2
b3
a
4
(a)
d
a
b
c
a
bc
c
d
d
b
a
(b)
(c)
MAX d
a
b
literal1
literal2
c
a
(d)
3
db
c
a
3b2
3
(e)
a
(g) 2
2
4
b3
b2
b
c
4
(f)
S
d
bc
01
a
0
1
 D
     
"#  $ & $2  /   /   $ 89 /
   $   /   ( 2#
 
  
#/
/&  62= 2 2    /    82# 
  $  9  0/   82# 00 /& 9 $ #= )/=
#= $44&   
   C   $ / 3 $  $ &= /=
 $44& $
  #2 2 /2 $  $ # 89 D =   
$    ) # & 4 &# 8#  $    
/    9 ?# 
 /= #  / # 8F9 
 = 2##  # #  $ 

 /
  #2 # /)/    8)9=    # /)/
8)9 #     %/%&= %&= L3  %L3 
)   # 4 <,=.>
   #  $ / =
 $ #  $ 0/ =    4 $ # 0/ # 
$ 8$9 &  "2 &   #   0/ 
  /= # $   $  $ /   #= &
$     # # &   &2   K 8
&= # &  
N 9 "#   &  / 859 &
   82  ;&  & Q  &  &
9 "# 
$  $ & ;&    # & #  # 

 1;7 $ D
N
Q

"#=
N
Q

N
"#   # &  
"#  $  $ #&   # &2 # #  
#    # 8
N9
 $4    
)   / 8%*= 1%)9 $ = 2/  #/2   
 / & ## #  & #  $ / 
8 <= = !>9= #  $ # #F 32=   / $ /
 #/  
 #  2 #2#2     &8%9  <0>=
  $ #    $ 2  $ 5     
#  $   4 & /  $ # /     
# $  &  4    6# #  $ # /  #
$& $ /  2 #  & $ &  & & $ =  #&
/   2  $ # 4 $ /   "#    
3  # #& $ 4 5 $   =  <,>   2 #
 2    # 
 # 2  $ @ /  #  $ &   #  <0= 0> 
@   "# 2& #  3      $ $ 
 $    /= # @&$2  = @&$
$   4  # =  "# $    4   
  $2 8+  ;9=  / 869=  #  " 4 + 
;  #  3  &  #  89    # 
#  $ #  "#   # &   #   $ #  
  2# #   $  8 9 $ #     89 # #
  = #       #   
K  2#  #   89   ?# 4 # 6 $= #
 3# #  $  2# $ # 2#   /
    $ 5 = $  & # =   4 2
  =
*
 #   +   2   
=  #   #  # 
*
*
N
8
½
98
¾
9
+

+
   $  2#I
  #  H ,6 (  
$ #  8 #     /= ;9  
*
*
N
8
9
*
*
N

#*
*
N

*
*
N
, (
8

9
"#  3J2#A     #  
?*
*
N
,
8

9
@*
*
N
*
*
 & $ # $  2
!/I
-

$*
*
N

8
*
9
N

N
A*
*
N

8
*
92#
 #  $
N

N
,
=
N
B*
*
N
*
*
&
     /= #  $    $    & # 
&=  $ 2  8@ $  9=  $ 2  &
/ 2#   $   #     & = 

"# $ #2 /    #   $   &  &
  <>=  /= $44&=   8#3249   "# #
$ # /  / & #     4 2#    &
$  =   ##   <0>= 3   <'>= 
$ 3 #  $ 2 =  $ & $  @ <>=  
$     & # # $  <>= 2   &4
8  2# 9
"#         &    6(7
  (7 8  &9  

   
 
( $!+$ $! ,!-
¾
. ) $  /0$! !#
0
1
2
3
0
1
2
3
0
1
2
3
0123
0123
1 2 3 4 5 6 x
1 2 3 4 5 6 x
1 2 3 4 5 6 x
1 2 3 4 5 6 x
1 2 3 4 5 6 x
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
b)
a) c)
+*012 3
0123 00 0
0 1 2 3
0 2 3 1
0
0 3 1 2
1 0 3 2
2 3 0 1
2 3 1 0
0 1 2 3
1 2 3 2
2 3 2 1
3 2 1 0
f(x)
f1(x) f1(x)
d)
e) g)
f) h)
-1
-2
-3
-1
-2
-3
 D

8
9

    #2 #  $     *  $ $  
1# $ #   4 &   $ %=   # & 2 $ # F
     
  4
N
8
Q
9
0,
$
N
8   9= 
N #2 "# 
N
  &
#  3 "# @   # 2# $  $ #   
 # C
$ #  =   $   #  3=
  # 2# $ # #     #  4 $
N
2 
 $ $
8
9 8 9 # $
8
9 8 9   "# $
 4 &  2# $ #  3 #2   $ $ #
$ $ # $ #2    @=   4 &/  
3  # 

 #  8 9  4
N88
Q
9

9Q $
N 
N=
N #2 "# 2  $

   &
& #   #  3=    $ #    #  2#
$ #   2  2       4  #2 
   # "#   3 $  # &   
"# 4 $ *8
9    /     # 4   <!>
0
1
2
3
3
a)
+012 3
0123
1 2 3 0
2 3 0 1
3 0 1 2
(A + B) mod 4 = A + B if A+B 3
A+B-4 otherwise
b)
+
A
B1
(A+B)mod4
-
40
(A+B) 3
c)
 D
3-7-&73 
#  4 $   #2    7/ #  3
# # A  $ A  A A   "#=   3  /&
   &  3
( #$! *)$   1$$' #
B/  #   

8
9= 2  & #   $
&# #   # $   <,=.>
  #2  3  $  4 $ $  /


1#   4  # $ /

8
9  & $

8
9= #
$    # # # $   

8
9   #2
   $ 4 $  $ # $
 #   4 # & 
8 #2 $9=         /

 #    # 
  $    $ # 4 $ #
$ & =  & /
3   / /  #  #4 
 / #=  /   #4 =   $ $ 
/ 2##  / $ #  $ =     # #= #
2 8  

8
99 2    &   $ 5
$
...
... .
+
X1
X2
.
+
.
+
X1
X2
X
X
3
4
1
X1
X2
Xm
f1f2fn
a)
C
n
..
+
+
C
C
1C
2
b) c)
X
X
3
4
1
.
.
.
 D
 " 0 -    &% 0 )*
 # )*   +    # )* 
 +  )36#  # 6# * 
(( " !#
"#    #2      $ #   $ %  1#
  4 +  ; =   $ # $ #2    1# $
 4    =  # #  4 +  )1+""S   $
  /

8
9= ;   
(/  $))!$  $!+ "') 
"#  $     $ 4 $   $ 2# # #
 # 4= 3 #    # # = &  @ 
#  = #2/  # /& $ =  8 # /
9=     =     $ &#//& Æ
 = # & $ 5    # %   #/ 
 # $ #2    * /      = $ &=
#/  E& $ # F 
 2 2    = #    # #  "#&
  $ # 232 # 869 = $ 2##)/    #
  /
A
B
C
B
Z
X
C
D
a)
b)
const
var
X
0
2
+
c)
top
right
bottom
control
 0D
$   "     " #   ! &
0 !  !    ! )  *  +   " 
      )* (  !+    +    !#
     !#   +     # )* 
     # )*          '
0






 =  0 #2  <0> $      4 #
 $ 5  2  $ # 4 # & #  32 $
L#/F 3   # #  2#

   & /  #  
L#/       $ & 6  $=  & & 
"# @   /   3 &=  $  # =  & $ 
  $= #      &   3    / 
   #     2 4 $ & $  
$  $ #   3  =   #   # #  A
A  $ 
= $  / / &=    #&=2## 4 $ #
#  <,
= .> $ 2/ $ "#   # #
89 2#  #  = $ =   $ 1;7 = # 
 1;7   $ & * = #  *    $ & =
#       $ # 4 2  2
&=#  3     &  =  4 $ @
  #   4 & $=     /= 
 =   $    @     # 

 # $  #  $ $/  2#

=
=
=

=

=
=
=

= 
(2 3$ $ 0 *)$  4 ')
"# / && $   #4  $

=$
4
 *
  &   # ;  8 &  79= 
C
  $ $ $ "#&  & # 89   $%  87%9
  # /  4= #% 
 # = 2 2  # ;& D
D( D41
=
1 : D
;
af1
a
--
cc
aa
--f2
ab c01
00
01
11
10
00
0
11
0
1
1
ab 0 1
00
01
11
10
0-
01
0
0
0
1
c
abab c01
00
01
11
10
af1
a
0-
01
--
--
ab 0 1
00
01
11
10
-
1
0
1
-
--
1
0
-
ab 0 1
00
01
11
10
-
1
0
-
-- -
-
0
-
ab c01
00
01
11
10
-0
01
--
--
-
ab c01
00
01
11
10
-0
01
--
--
ab c01
00
01
11
10
-
-
-
-
--
0
0
= 0
-
ab c01
00
01
11
10
-0
1
--
--
-
c
ab c01
00
01
11
10
aa
f3
11
00
--
--
ab c01
00
01
11
10
11
00
--
--
b
aa
aa’ a
c
c
c’
cc
b
a’ a
cc’ 1
c’
aa
f2 f3
a
f1
(b)
a
0
b
c’ c
b
b’ b
1
0a
0
a’
RE
a
a’0
00
a’ a
a’ aa’
aa
b
a
cc
cc’
b
aa
f2 f3
a
f1
aa’
a’ 0
a
b
1
b
c’ c
b’
0
1
a
c
c
b
b
c
(c)
c’
c’
0
0
0-
1
-
1
11
10
0-
-0
ab c01
00
01
11
10
01
00
01
11
10
ab c01
00
01
11
10
aa
ab c01
00
01
11
10
f1
0
0
0
-0
-0
-0
-
--
--
a
-aa
-
a
ab c01
00
01
11
10
f2
f2
0
0
0-
111
01
--
--
ab c01
00
01
11
10
ab c01
00
01
11
10
aa
--f3
a
-
a
f3
00
01
11
00
00
01
--
--
a
-a
c
ab c01
00
01
11
10
00
01
ab c01
00
01
11
10
11
01
--
--
-
--
-
a
-
a
join join
(a)
ab 0 1
00
01
11
10
-
-
-
-
0-
01
join
ab 0 1
00
01
11
10
0-
0
0
0
cc
-
-
-
-
cc
-
1
join
ab 0 1
00
01
11
10
-
1
-
--
1
bb
-
--
=1
c
-c
ab 0 1
00
01
11
10
-
-
-- -
-
0
ab 0 1
00
01
11
10
-
1
0
-
-- -
--
-
-
=a
bc 0
aa
-
-
ab c01
00
01
11
10
-
0
--
--
-
-
c
-
b
b
-
01
c
ab c01
00
01
11
10
1
0
--
--
-
-
=b
c
-
a
 D
   !    &  
?   # # & $
  &  <7+8
9=78
9> "#  $
$ #  $ 
=  D
N<7+8
9=78
9>    #  $
 #  )    #  $  $
8$
=
9 ) $ 2 #2 #  E2
7/#/& $
$ # 
$  89  $
 
 
2#
   L    
2# F  
$
2#
 /    # /   = ##=

 $ $  / 
=    $ $ # /
  /
? 2  #
% 
=   &
%
"#= $ &2 K 

= # /$
½

¾
 K 8/ #
 $    K9= "#$ $
½

¾
    
& =  $

  # 2#
½

¾
  879
 2 $D
½
Q
¾
=   82#D
N
N
=R
  
9
"# 2# 2  # / # 1 87/ # $ /&    
/ 9
"# 2&= #  &  /&/= & # / #2    7/
# $ #  &        2# /  /
  =   &    = 2##   # &  
"# 2&=  /& /  L   2 K = & 2 $

 2&  # #  = 2# 7 /  =
/ # #   /
   # /=      
 #
$=  / 
$ # / # #
7/= # $ @& #   / 1 # #  & #
 = # & C  # /& / # 0 $= #     0   
$ 22   & $ @& = # 2#/   &  $ $
 # $ # G=  #   $  #  #  =
#   D
 # $ 
 # #= 
 # $ 
 #
#= 
 # $ 
 # #= 
abc d
a
b
b
c
c
c
d
d
d
d
e
e
e
f
f
g
d
e
e
f
g
a
d
(a) (b) (c)
(d) (e) (f)
b
c
efg
a
b
c
b
d
e
g
e
h
0c
eh
112
 !D
   0 )*  88  +   # )*
 11  +   # )* 88  + + !  + " 
       #
    = & $ $ #       #$ &  $ #
/  2 $  /   &  # $  /  "#
    #  $ # $     2# # 76)) $ #
$ 6    = #  $& &  3 & 
  2# # 



K= # /$
½

¾
=    =
 $    & $ $ ?# # 2 $ $& & =
# $
½

¾
   879 2# # $

7/&=
#   # 23 $ & $  $
7/#2/= #   #  2     G/ 
  =  /  $ #   $  ! 6&  @  
= #  &/
  & $  !  2 2 = #  &
 =  $ &$# 2 $    !9    
# $   & 2   @ =      / $
/  #4  B= 2/  2 #4    = #  
(  #  !9     $    2# @
= 2## #     849 &  $=  #  
 $ / "# & 2#  /I
     
2  # /
3 &  !9     $   2# 2 @  =
#   00 #   #  :& # 1=   
  #   2#=    &2 $    
# # #     /  &=  !$ 9  
  $    2###     C / 
# &  &    & &  2#   
 
( # =  # / & &    = # 2# /
 $ 8& 9 / #    $ #   /  
&/& / 8&   L3   <!'>9 6&    
=      2#  8%L3 &9   
= #   # %L3   =   &  2#  ?
<!!>
(5 " *)$
 & 7%  # $ 
 $ &  $ 
# # 
/ # $
"# 7%  D
N
Q

Q
"# #   #    /    $ 8
9 # )   7% ) =  #  &
&2  $ #  # $    &    #2
/  7%  &   /= # 
==
& $  = &
&  L3  
(6 $' %
0 *'  ) '
12
2
3
3
4
1
2
2
3
3
3
4
4
4
4
5
5
5
5
6
6
61
b1a1
a2
a0 b0 c0 d0
b1
b0
b2
c2
b2
b2
b0
b1
c0
c1
c0
c1
c2
a
b
c
c
b
cd
d
de
efd
e
d
ed
e
d
c1
b
c
d
c
c
e
e
d
a
bcc
cdbeg
g eceg
o
g’ e’
o
oo
a
b
b
c
c
pD
pD pD pD
SS
S
S
S
S
S
S
SS
nD
nD
nD
nD nD
nD
nD
c
d
b
a
f1 f2 f3 (b)(a)
(c)
(d)
(e) (f)
 'D
3    
  $ 0 #=  =  '=== #       
 1#  # 2  8$ +  19  2  8  ?9 <> 7 
2 $ %/  +/)/ =  /     /
$ # =    &/  & $=  /  2  ?
    $ L3= %L3   L3 ) 
? 2 #2 #   # /& $ #   &   & 4 &
 /  #  &=  #  $ #  /   #
 / 
?#    # 4= #  $ &   / 
/    @=   # & $  8/= #4  9   
 &/ # F /
 & 2  2& @ #  $ #  =  2  #  $
#/ & /  # / $ # =  #/ #  &  # /
+2= & /    # /=    3 $ #  &
$  8# # $    * %* <>9 /=   $
&  /    $ & #  <.> 7 @/&=
/     #= $ 0#   &=&  $ $
    # 4  4 8 # #  
   $ *  = # *899 = & 5  8$  *809= 
 4  # 0#  =  # 2 $ @ &  $ /
(  $44& $   4D # # & 2  $
2# 4 #  <0>
0 *'  . '

 ? '
=  =  '=$   =$== #    #
2#   = # /&  # #  8$ += +1  19  #  8
?= ?  9 "# 2 4 $ # 4 /   8$ & 1;7 9=
 2  4 $ &  %  *89  $ <.> &=
& &= 5      #  $ # 0#  =  2  $
    $  
0 *'  1 '

  $ '
= 00 =  '=   == #    # 2#
   =  # /&  # $  8$ +=+1=+?=  19=  $
 8 = ?= 1=  ?9 "# 2 4 $ # 4 0/   8$
*8099=  2  &  % *839=
.
0 $ = & & 
5   =   Æ&   #  & /= # ## D
+??= +?= +1= +11 $ = ??=? 1=  11 $ 
*  2 $ $ 2 /    *809  $  
 &  $  L3 ) )  2#    
# #  8#= %/)/= +/)/9
& # 2 $  $ $    2 = D % L3
 ) =   L3  L)) "# 6  /  )) 
 2# #   @ +)= 7  1;7  $   4
* *89  *809   @ #  $ #  = /&
"# $  $   # 2
  #   4 $ /
  32 $ #  86))= ))= L3  9 ) # &= 
   /     $ $ # # $ #  
 =  #&   @ &    %     
C $  &# 7 #  /& Æ & $ &  $=
#   # $= #  #  = $  G&    &
  8 9  &= $  $  $ #
"
Q
"
(7  $!+$
  &  4 # & #     .= /  0/
#  "# 2   2 @    $  =  0 
 0  $  =  /& +   0 /  $ F  =
  / /  0/    $  &   / 
$  "# 2&=%&  *&      $ 2&= 2#
& C $  /   /   B2/= # 2 3 $
= $  #   $ # /  =   #  D K
 $ ;&  ) = 
Q8
9 N   $ 7# 
)  82## 4 # 
N $ *  89 "#    #/
/ & $ 8&9 &  $  &  $ # 
  &  $
6&
 
2  & $   #  &  6&
  
2    2 = # 2  4
/& &  $ 2#  /  / #   
%
& &  $  4 2# /  =  2#  2
 #/ #   # "#=
    '    

  & $= &  / $  4  
      ## 2     #  4 /& & 
/ $ 2# / =      & $ 4
#  "# #   @/ 2 B$&=   
$   $ 4 5 =  # $  & $ & 4  
  "#= $    = # /    #  
  =                 
     & $  #   6     
 & $ 00  =   /    ## # 
 #& = # 2&  $ /  0/   # 2/ I #
   =  #    =  /& $  ?  32
$ &  # 2  #  $ 2   #   
 # 2 & #2#2 &   $   # 
 4 =    6  $  K $2   /  #  
23= #2/=   # 
 #2   =  $ & /   0/ / ## #
2  #    $ & 2/ #
%' '/
=  
 #     / 3 $ & 4  0 #2    $
  &   $ 0/ #   2# #  8#
   /  4= &   / 9
"# 7#  )  $  $ /    &   
$  / 
99
+  2 $  $ /=  #  $
7#  <,=.>   8#  #// 89 9 1/&  
#   0      & # = = )  )= # #  /&
/ $    ,0 #    # 8# #   
$ #  $  $ /9=     $ #    # 
"#   & $    L3 &   =  / 
    $ %L3 &   "# /     #
      "#   $    $  $  
#= /&/ $ #  89  /& /= #   
/  #  & $ #  / 83# &9 "#   $
& # %&  # $ /      8L3 &9 $ #
/ $ #    % & $  = #   $ #
 &
+22 2 #2   $# 4 $ # =      
 #   &/  &# &  &  # &=
&= $ #=   &= #   # /&  
  7     # &#   / =   &  * %*=
$=  %* # ;
6  & $ 4 $ Æ $  2 #= 2 4 #
  # $2 2&D
  $   &

 # = 2  


 # # 6 / 
 ? 

   L3= %L3= = 5=
 # ) )

#       =  2
)  *
 ?2 
  ' *
 $ #/ & 2   2
 $ /& 82  #   ) 9= 2    
  2## #   =   2# 0   0  $
=    2# ,   ,  $  "#   )   $
/ =  $ & / 89= $ 6 / ) ) 
"# 00  )   $ 0/ =  $ &  / "#& 
$   $ )  4 $ *L"= %*L"=  "# ,, )   $ ,
/ =  $ &  /  & 2   ####
 =  2 /   3 # $ #    =
# = = 00  ,, ##  
0 ?2   /   "#    4   
 
 ?2 & /  $
  
=  &   3 $
# 83   O 0 O 0= # ## 9 "#  /& 
2$ &=   2   & $ & # $   /= 2
    #  4 &    #
 $ #   
 7
"#&    & "# & 
D # /  #  2= #         2# 
$  $  / 2#     =  #  2= 2# 4=
   "#
%  
   &2 =  &
 # 2   #  /&    & $ # &$
&   = #2/= /= # $   #= # ; 2# & 
  #= #  &   #&    &  
  # (6  "#  #  & $ =
-)
7
= 2## &     = # &  =  $ 
   $  = 2     $ # *4 
) 
 $ # = 2# #  $ #  # 2= 
 *
 
/ $ $ = $ / $  # & 
  = # = #  4 2 # $ &
2
1
3
23
31
2
2
3
23
3
2
2
3
1
2
1
a,b
c,d e
f
g
h
i
j
k
f1
f2
f3
f4
 ,D
 $    " &# 99&  !
    3 +  +  !  # 
   6 '  !  
"# # $ #     && $ / 6 $  
Æ   /   #  2  K    #=  2
  32&     #&=2  K #  2$ & &
&=    # #  # 2  #    /   &
 8#   L3 ) / 6))  ))9 6  # # $
#   &   Æ #   # # $  & $ &
%#=      &    $ &= 3   & # 1
8 9 2   # $ $ &   /&   
&
( $   $   $

& $  


## $  & #   #@ $ /  @ $ / =  
 $ 7#  "# #@  /&     & & 
B2/=   # 7# = 2# # @ #/2&   
$ & $ # 
,
= #  @=  =  #/ = &=
   8= #&   & @ / * 9 ?# #  & =
#  /   3 ?# #   = # 33 # =
# = # 3 $  / #   $ # 
$ 8& 9 /    #  $ #   $  C/
 =   /     & 
"#   $ /   / = 32 $    &#
# = #   /   =  #      Æ=  # /
  B$&=2 $ #   # 2  & 
$= $ $ # 3 $ & $2  $ /  #    &
&  & 4 23&  $
 .  # & 4   L  6  # $= 2 
# E #   # / # #  E 2# # / #  #
 # E 2     = # E  AA   AA "#  # E
2     = # E  AA   AA "# AA # E /  
  2 L  "# 2    =  # $ & =  
#   E 2  /= 2## =/&  $  2# #   & &
 8L#/9 # /   F  F  F  F
a1a
ab c
00
01
01
11
10
2bc01
000
001
011
010
110
111
101
100
-0
-
1
01
0
1
-0
-0
--
--
01
11
--
--
S3
S2
S1
S0
(a) (b) (c)
S4
S3
S2
S0
S1
c
b
a
 .D
 "  )* :  &  # )*
!  %   # )*   +  ; 
! &   ; !  
1    !  2 22# 
6   $44& 
N = 
N
Q

N = # # ;&
 # #  2  23 B2/=  / #   

)) 
=2##2
7C))  :7;
=2##  $44&    
#    =      &   & $  
) = &2 
"
"
 #/ & # =   KI $ &
/ $
<
>
"
8
9
"
8
9N
   # &  $ & )=   # # / 
 $ / ) "# 
"
"
"
  & K ) 
 4  / $44&   =    5 /   6 $ K
= /   2& $  7/= #
/ %   
 $ ) 2#
= 8 # / #     $ # / )
9
(8 !
 # = #   = 2#/ 
%  
 2 #2
  $   ? /= #2/= #   #  /  
 $=  #  $ 
 % 
  Æ 
"#   $  #  $ # 4 $ 2  $ I
=  8&  /9=  
"#  #   $ #    
   
 % '
=     & & 83  9 
& 2# & &   $      
$ 2  #    2###   & 4
"#  $ # / =    $ # #= 2    
#  $ # /  $ # /=  $ &  &   $44& 
/   "# /  $       7$
= &     $ # /=  $44&  =  /&# 
$ 2      $ &
&= #       &   $ #    $
/   ## #  % 2  $ &  &    
=    $& & 2  $ &  / 
 = &   $ # %  <0>=  & #  $ 2
   3= 2 &   / 4 $ / / 
 
"#    # # 4   #   2  
=    $
   
=     2##
 &   &
"#   /= 4 $ 0/ =    $ $ &
$  /  &   2 / # #  #  2#  &
   2# #2 4 $ /   2# # &  
$ #  = 5  &  2  %      
& $ 4 $ 2  $ # = 2## 2   #   $ 
       E2  
"#   $ #  #   4  $
2D  $
 '
#    2  #   = 2 
 '  
"#  2$ #  # /  <> 2##      
= 2  #  &  #  $   /  
$  /= 2# 3  # 2  $ # #= 2##

2$ $  $ 7 &  $ / & $     $
 2 #  # # $ 3 = 3   #2 # $ )/= /
 $44&= 2## 3  # #    &=2  #2 #  #
  # %= $  # 32 
+ 2 
' 
$ & $ #  +2   
  # #  #=  & #    $ 
?   # /& ##  $
%  
=   & #
 &  &3 <>
"# 2&= #  =  = &/ &# #   $ &= /
= #= *   $ <0> "#= #  # 4 
 &32 =   =   &   "# # 
$    2 # #    2## @   ## =
## G= 3   C   ? / #  #
C  #  2   $= $    #= #    
4 $ /= &=    7 /  &  
 &    = # /  &?  #  #  2
 $ #2  #/    2
 
<> 6 3= J   &=A
 (
=5 (=  ,0,,'=  .'
<> 1 6&= J*# #  $  $ =
 (
=5 (=
+ ,=  !!'!.= .,!
<> 7 (#= J( + +23D "#&A= 111 " (  & = 5 =
+ =  'H'= 7 .,,
<0> 7 (#= J( + +23D A= 111 " (  & = 5
= + =  'H.= 7 .,,
<> (  = J( !   %  * &=A
 
=
) = ..= / 
<!> L (= J 5 D (  (7 (A=  '!H,= 5F.
<'>  )#=  =  "#= 6 63=   %323= J1Æ  
 $ 2# $   7 L3  ) ) =A
   )( $
<,> ? #=  K =  ( #= J %   + +23 %
A= 111 " + +23= 5 = + =  H.=  ..
<.> ( 3= J%   (  &A=  % + 0=.,=00=  '= ..
<>  1 * = J%  #A=  % + 0=,'=0.= 7 = .,.
<>  1 * = T *= T &= 1 &3= L 1H&=  #= J #
$ 1& ( * &A= 111 T H (= 5 0= + =  .0H.,=
 .,.
<> 6 *= J +2 ?6   "#@A= 111 T $   (= 5
(H= + 0=  H!= ) .!,
<> 6 * = J % :  2#  A= 111 T
$   (= 5 (H= + 0=  !H'= ) .!,
<0> 6 *= J(  (   " 52D "A= D  (
)D #   #=  ( " 4= T &= ) * B#=  H.= %
% = ..
<> 6 *= J +2 ?H6   "#@A= 111 T $   (= 5
(H= + 0=  H!= ) .!,
<!> 6 * = 6  7   ( )= T ?&=.,0
!
<'> B% *$=  ) B= J  (7 + +23A= ((= 111= 
= (=  ..
<,> % *&=   * &= &  ) $   (=  = T ?&=
..
<.> L B= 5 %="3=(#= J%   5 (++ (# 2# 
) A= (= 111=  .H.0= = ..
<> B B= T +3=   4= J    $ )H"  (
+ +23A= 111 "  + +23= 5 = + =  0!!H0'!= & ..
<> B= =   GB& (  % = # = %HB= =
12 (C= +T= .'
<> 6 L3= + +23  44& & = )&  &  # # 
= % B= 12 (C= +T= ..
<> ) T#= ? /=    = J("   / /
A= (= 111= %= 7= .,.
<0> M L#/= A2# (     "#&=A  *2 B= .'
<> T L= LL =  3=  = J%  5H 
A= 111 T $  (= 5 = + =  'H0=  ..
<!> T L=  3=  L L = J%   5  ( A=
 % + 0=.=!'0= T = ..
<'> 1L =  %* *3= J (7 H%   &A= .. 111 ((
) "# %= 5 0= ,!H,'=  ..
<,> 1L =  %* *3= J (7 H%   &A= 111 T H
(= 5 != + =  ,!H,!'= ) ..
<.> 1L =  %* *3= J %   & 6  71" "
A= 1 = 5 ,= + =  ,H.= 11= T ..
<> LB #= ) B= ?T  =    *= J 5 )& ( (H
"   = 2# ?H    (&A= 111 "
 (
 & = 5 .= + =  !H'!= &..
<>  =   ( %= J & %   $ (H"  7
A= !#  1# ($= 811(7+ F.9= 111=  H,=
KK= S/= & H0= ..
<> T =  = 6 6=  T C= J $74 + + (#A= (((=
111=  H= .,,
<>  #= * 7=  %44=  = J+ +23 2# $H/"
&A= (= 111=  0.,H= = ..
<0>  = " %#= ) /=  )1 5  6= J"# "++ 5 (#A= 111
"  + +23= 5 = + =  'H,0= &..
<> T ? = J1Æ  ( $ 5& ) 324  (A= 
5 F.=  .H.,= & ..
<!> T ? = J324F D "#  $ (5    F
= (=   A= 5F.=  ,H!
<'>  %= L B =  T  +3= J    3 A= (=  H0= 
)= (= ..
<,>   %323= J   "# $ 1;7 (A= % % ?*  ?3#
  $ #  1 ( )=  H!= B= * &=
 ..
<.>  %323=  =    6&= J/ ;7 (   $ 2# 
A= % % ?*  ?3#   $ #  1 (
)=  'H= B = * &=   ..
<0> 1 %4#=   %323= JB#   %   &#
)=A =
 @A
= 63&= ($
<0> 1 %4#=   %323= % =  (=  2#2
<0> 1 %4#=  %323=  *&= J  %   & $ (
= 44&=  5  =A   5F.0
<0> 1 %4#=   %323= JB#   %   &#
)A=   %*F.0 $  /
<00> 1 %4#= J"# ) $ (  % ( $  % 
 &A= %#)  
<0>   454@4= 1 K= ) 4(= T B=  1 #4=
J( "#@ $ #   $ (  )"  (
+ +23A= 111 "
  (  &= D   )  %= 5 0=
+ = # ..
<0!> " 3=  7 (#= J"# (++ / #D   & ( A= 111
"  (  &= D   )  %= 5 0= + = # ..
<0'>  = + = (#423T3=  %323= A ( #/ #
 &#  %#& ) $ "2)   &=A   )(
<0,>  &&= S% "/=  B % *$= J  5 + +23 (#A=
111 T H (= 5 '= + =  !'H,= T ..
<0.>  # =  *#=  L 3= J) $  =A % B= 12
(C= +T= ..
<> )6 #24= 1 B2=  ? 1 B= J %   + +23
(#A= 111 T H (= 5 0= + =  H.=  .,.
<> 6T #= J5 +   2#  %  (#  )= & &
(#A= (= 111=  !'H'= = ..
<>  /= J )& & ( # $ %&  (A= 
/ # 5= $# " ($=  T = "#  #=  'H,=
"# " %= ( = =  .,,
<> T 5  = % = ) 63 = % (#= (# )# = 1H( =
 % L= J  + (  2#  # $ H" = )& 
( A= 111 T H (= 5 + =  ,H.= T ..
<0>  "= )    " $ & = "H* (
 = %#) "#= / $ = .,,
<> L "#= 3= S 7=  =  " = J6(7 ( 
5  ( 2# 5 & 5A= 5F.=  !H
<!>   = J %  "$ A=  ( #  8#  .9= 5 =
 !0H'= .
<'> T 5 + = "#& $ $H   8    &  639=
/ $  %= .!!
<,> T1 5= 1 #4=  T  4= J ( ( +
+23  A= 111 " (  &= D   )  %=
5 0= + = # ..
<.> * ) 5 =   * S 3= J# H  B4 " 6 6 2
A= (= 111= =  000H00'= ..
<!> M M=  M 5= J(  (7 *  (A= 5 F.=  0H
<!> "# %  * & ) 6 3= ;=  T= (= .,.
<!>  M=  =   = J  7 G)) (7 
#A= 111 "  (  &= D   )  %= 5 .= +
!= T ..
<!>  (#423T3=  %323= "+" +23 2# 5 = 
  5F.0
<!0>  %323= A"# # $ /     #    $ 
& A  $   (= "# /&$?2= %#) "#= .,=
00   %# +  $ /D %$ ?2"4&3= ) $ #  $
  (= )  $ 1= "# /&$?2= ?2= %=
.,
<!>  %323= A $  #  $ #  # &# $  =A
3(
=  $   (= "# /&$?2= 0'   %#=
.'
<!!>  ?=  3  %323= A 4 $ %   " $ (
 %  * &=A
   8  B% &
  #
%F.= 5= =  'G0'G00=    = ..
<!'>  = % B= L /= ?  )#=   %323= A  / 4
 $ 2#  6 L3  ) ) =A
  
 B%   #
? F.= "# (&= (=  % %!= &
..
... Having de®ned the addition and multiplication in GF(2 2 ), we can apply the combinational functions synthesis method based on orthogonal functions proposed in [20].Fig. 15a shows a block diagram of a structure realizing an arbitrary function of input variables X 1 Y X 2 Y F F F Y X m . ...
... Global vertical and diagonal signal lines can be used, if necessary, to achieve greater ¯exibility of the circuits topologies.Fig. 16 shows a structure for implementations based on generalized Shannon expansion of mvl functions [20]. Some input variables need to be connected to more than one diagonal line. ...
... More general forms of the same kind are possible, based on operators other than 4 used for separation, for instance even vs. odd parity, based on matrix orthogonality [20] , which is a generalization of the approach presented in [18] and [19] for two-valued functions. Finally, the integrator block can be used as a memory element, enabling realization of sequential circuits. ...
Article
Full-text available
This paper presents a variety of applications of an FPAA based on a regular pattern of signal-processing cells and primarily local signal interconnections. Despite the limitations introduced by local interconnections, the presented architecture accommodates a wide variety of linear and nonlinear circuits found in many signal processing systems. Thus it effectively proves that it is possible to improve the performance of an FPAA by means of constraining the interconnection pattern, without significantly limiting the class of circuits it can implement.
... The regular layout structure called 2x2 lattice with Shannon gates at the nodes has been first proposed in [13][14] [21]. Publication [13] proposed also more general regular geometries and expansions other than Shannon, including Davio. ...
... The regular layout structure called 2x2 lattice with Shannon gates at the nodes has been first proposed in [13][14] [21]. Publication [13] proposed also more general regular geometries and expansions other than Shannon, including Davio. These ideas were next expanded by several research groups [ [27]. ...
... The number pairs ("2x2" and "3x3") specify the lattice geometry: the first number tells how many gates of the lower level can feed into the given gate; the second number tells how many gates of the upper level can receive the output of the given gate. The general concept of "kxk" diagrams that included 2x2 and 3x3 lattices has been presented in [13] [14]. It should be noted that there exist various other 3x3 regular diagrams [2][3] [13][20] that are not 3x3 lattices in the sense of this paper but have been also called "lattices" by us. ...
Article
Full-text available
In this paper, we propose a regular layout geometry called 33 lattice . The main difference of this geometry compared to the known 22 regular layout geometry is that it allows the cofactors on a level to propagate to three rather than two nodes on the lower level. This gives additional freedom to synthesize compact functional representations. We propose a SAT-based algorithm, which exploits this freedom to synthesize 33 lattice representations of completely specified Boolean functions. The experimental results show that the algorithm generates compact layouts in reasonable time.
... Both the structure of the device and the functionality of individual cells were chosen primarily for dynamic system type of applications, but they prove to be well suited for the realization of various mentioned logics. The presented examples are linked to the theory of realizing mvl functions in finite fields, introduced in [12, 131, and generalized for mvl in [14]. ...
... Such realizations , unlike the ones based on the orthogonal expansions, may not be unique in the presented structure, however due to the availability of addition, multiplication (in the conventional sense), and nonlinear operations on signals, some combinational functions may have very efficient imple- mentations. Also, the topology of mvl circuits mapped into the FPAA does not have to be constrained to the form shown inFigure 9. Global vertical and diagonal signal lines can be used, if necessary, to achieve greater flexibility of the circuits' topologies.Figure 10 shows a structure for implementations based on generalized Shannon expansion of mvl functions [14] . Some input variables need to be connected to more than one diagonal line. ...
Conference Paper
Full-text available
We propose a novel approach to the realization of continuous, fuzzy, and multi-valued logic (mvl) circuits. We demonstrate how a general-purpose field programmable analog array (FPAA), with cells realizing simple arithmetic operations on signals, can be used for this purpose. The FPAA, which is being implemented in a bipolar transistor array technology, operates from ±3.3 V or ±5 V power supplies and works in the range of frequencies up to several hundred MHz
... In general, we do not claim that our circuits are always best, only that they are not worse than those obtained from Pseudo-Kronecker diagrams for single variables. The advantages of such circuits become clear for large functions, because of their highly regular realizations with predictable timing, [12,14,25,28,31,32,35]. B [7,24] and thus, 840 different universal modules. ...
... A particularly important open problem is to define generic recursive butterfly diagrams to create all expansion polarities of certain practical types and for arbitrary numbers of variables. A very practical application of the methods presented and outlined here is for the optimization of various types of lattice diagrams [14,17,19,25,31,32], such as regular lattices with two, three and especially four inputs/outputs from a node. All methods can be applied to new Xilinx FPGAs, as well as to similar lookup-table architectures. ...
Article
Full-text available
A new kind of a decision diagrams are presented: its nodes correspond to all types of nonsingular expansions for groups of input variables, in particular pairs. The diagrams are called the Linearly Independent (LI) Decision Diagrams (LI DDs). There are 840 nonsigular expansions for a pair of variables, thus 840 different types of nodes in the tree. Therefore, the number of nodes in such (exact) diagrams is usually much smaller than the number of nodes in the well-known Kronecker diagrams (which have only single-variable Shannon, Positive Davio, and Negative Davio expansions in nodes). It is usually much smaller than 1/3 of the number of nodes in Kronecker diagrams. Similarly to Kronecker diagrams, the LI Diagrams are a starting point to a synthesis of multilevel AND/OR/EXOR circuits with regular structures. Other advantages of LI diagrams include: they generalize the well-known Pseudo-Kronecker Functional Decision Diagrams, and can be used to optimize the new type of PLAs called LI PLAs. Importantly, while the known decision diagrams used AND/EXOR or AND/OR bases, the new diagrams are AND/OR/EXOR-based. Thus, because of a larger design space, multi-level structures of higher regularity can be created with them. This paper presents both new concepts and new efficient synthesis algorithms.
... 1. Instead of assuming only a Shannon expansion, we use any subset of S,pD and nD expansions. We allow also all Linearly-Independent expansions 16,17,25,5], the Boolean Ternary expansions from 20, 21], as well as all Zhegalkin expansions from 24] and this paper. 2. We consider all Kronecker, Pseudo-Kronecker, Mixed, and other Decision Diagram concepts that are used in Reed-Muller logic, and we generalize these concepts. ...
... The word-level expansions together with the generalization types D1-D5 can be used to create trees, forms, diagrams, lattices, and layouts, along the same lines as presented in 24] and this paper 28]. Lattices have been also proposed for continuous logic 30,29,28] and mv logic 17,28]. All these researches have the same applications to submicron technology and the same basic philosophy as explained in 40] (they can be used for custom logic/layout synthesis, and to develop new types of FPGAs 28,29,30]. ...
Article
Full-text available
The paper presents two hierarchies of canonical AND/EXOR trees, forms and decision diagrams. The first hierarchy generalizes the Kronecker and Generalized Kronecker representations by introducing new canonical AND/EXOR forms. We propose to call all these new forms and future AND/EXOR forms including KRO and GRM, the Zhegalkin forms [42] to honor the Russian scientist who in 1927 discovered the forms now attributed to Reed and Muller and invented by them in 1954. The new Zhegalkin representations and forms can be used for synthesis of quasi-minimum ESOP circuits and the new diagrams can represent large functions and can be used for optimal synthesis of highly testable multilevel circuits in several technologies, especially in Fine Grain Field Programmable Gate Arrays. The second hierarchy generalizes and extends the Universal Akers Array to expansions other than Shannon and neighborhoods other then 2-inputs, 2-outputs. These diagrams are called Zhegalkin Lattice Diagrams. I. INTRODUCTIO...
... As a result of this analysis, several new types of binary and multiple-valued reversible gates have been created. In another line of research, the concepts of regular structures, such as PLAs [19], 2-dimensional lattices [15][16], three-dimensional lattices and nets were adapted to reversible logic. The methods based on decision diagrams have been proposed, as well as composition and decomposition methods [16][9]. ...
Article
Full-text available
A circuit is reversible if it maps each input vector into a unique output vector, and vice versa. Reversible circuits lead to power-efficient CMOS implementations. Reversible logic synthesis may be applicable to optical and quantum computing. Minimizing garbage bits is the main challenge in reversible logic synthesis. This paper introduces an algorithm to generate the cascade of reversible complex Maitra terms (called here reversible wave cascade) implementing incompletely specified Boolean functions. The remarkable property of the presented method compared to other reversible synthesis methods is that it creates at most one constant input and no additional garbage outputs. Preliminary estimation suggests that the method may be applicable to small and medium-sized benchmarks.
Article
Full-text available
Regular layout is a fundamental concept in VLSI design which can have appli-cations in custom design for submicron technologies, designing new architectures for Field Programmable Gate Arrays (FPGAs) and Electrically Pro-grammable Logic Devices (EPLDs), and minimization of logic functions for exist-ing FPGAs. PLAs are well-known examples of regular layouts. Lattice diagrams are another type of regular layouts that have been recently introduced for layout-driven logic synthesis 14 . In this paper we extend and combine these two ideas, by i n troducing the multi-level PLA-like structures, composed from multi-output (pseudo)symmetrical lattice planes and other planes(multi-input, multi-outputreg-ular blocks). The main idea is to decompose a non-symmetric general function to planes, in order to realize as much as possible of the functionwith totally symmetric and regularly connected planes.
Conference Paper
Full-text available
Ternary and quaternary lattice diagrams are introduced that can find applications to submicron design, and designing new fine-grain digital, analog and mixed FPGAs. They expand the ideas of lattice diagrams and linearly-independent (LI) logic. In a regular layout, every cell is connected to 4, 6 or 8 neighbors and to a number of vertical, horizontal and diagonal buses. Various lattices and algorithms for their creation are presented
Conference Paper
Full-text available
We propose a novel approach to the realization of continuous, fuzzy, and multi-valued logic (mvl) circuits. We demonstrate how a general-purpose field programmable analog array (FPAA), with cells realizing simple arithmetic operations on signals, can be used for this purpose. The FPAA, which is being implemented in a bipolar transistor array technology, operates from ±3.3 V or ±5 V power supplies and works in the range of frequencies up to several hundred MHz
ResearchGate has not been able to resolve any references for this publication.