Control de una extrusora de plástico usando un control PI difuso adaptado con el error de predicción del modelo

Full text

Revista Ciencia e Ingeniería. Vol. 25 No. 1. 2004
Control de una extrusora de plástico usando un control PI
difuso adaptado con el error de predicción del modelo
Plastic extruder control using a fuzzy PI controller adapted
with the prediction error model
M. R. Rodríguez
Departamento de Tecnología Industrial, Sede del Litoral,
Universidad Simón Bolívar (USB),
Caracas 1089,Venezuela
mirodriguez@usb.ve
J. Perdomo, M. Strefezza y W. Colmenares
Dpto. de Procesos y Sistemas, Sartanejas,
Universidad Simón Bolívar (USB),
Caracas 1081A, Venezuela
Resumen
En este trabajo se presenta una estrategia de control difuso que controle los set points de controladores PID que operan
sobre una extrusora de plástico optimizando el desempeño de la máquina. Las funciones de pertenencia son modificadas a
partir del error de predicción obtenidas de la identificación del modelo. Los resultados muestran que el controlador
diseñado es bastante útil.
Palabras claves: Predictivo, identificación, estimador, error, difuso, Mamdani, extrusora, MatLab, HP Vee, optimización.
Abstract
In this work its presented a fuzzy control strategy that controls the set points of PID controllers that operate in a plastic
extruder, optimizing the performance of the machine. The membership functions are modified with prediction error
obtained of the model identification. The results show that the designed controller is very useful.
Key words: Predictive, model identification, estimator, error, fuzzy, Mamdani, extruser, MatLab, HP VEE, optimization.
1 Introducción
El objetivo del presente trabajo, es diseñar e
implementar una estrategia de control difusa que controle
las consignas (set points) de los controladores PID
convencionales que operan sobre el perfil de temperatura de
una máquina extrusora de plástico, permitiendo que estos
controladores PID trabajen coordinadamente, optimizando
el desempeño de la máquina.
Esta extrusora de plástico nos muestra un sistema
MIMO, por lo tanto, para realizar este objetivo se procedió
a colocar controles PI difusos controlados por el error y la
variación del error entre cada salida y entrada. Cada control
PI difuso, a su vez, es optimizado en su salida a través de
un error de predicción hallado del modelo de la planta. De
esta manera se puede tener el sistema controlado por
completo con controles puntuales entrada - salida.
Se trabajo con controles PI difusos del tipo mamdani
(Mamdani, 1974), las funciones de pertenencias de salida
de cada control PI difuso fue modificada a partir del valor
del error de predicción usando un modelo identificado.
Para este trabajo se emuló la extrusora de plástico con
la ayuda de una caja de anime, un par de resistencias
térmicas y unos ventiladores para ajustar el flujo de aire a
través de la caja. La cantidad de aire caliente dentro de cada
sección de la caja era medido con unos termopares, este
sistema utilizado se comportó muy parecido al real.

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Primero se describe la extrusora de plástico, su
funcionamiento y como están los controles PID clásicos
conectados. Seguidamente se muestra como se implementó
la identificación del modelo. Con este modelo calcularemos
el Estimador de estado, y usando éste se procede a
encontrar las salidas futuras hasta el horizonte de
predicción, para esto se mostraran las matrices de
predicción.
Se observa como se implementó cada PI difuso entre
cada salida y entrada. Como se implementa el control de las
funciones de pertenencias de las salidas a través del error
futuro usando otra regla lingüística.
Por último se muestran los resultados teóricos
simulados en MatLab y los resultados práctico sobre la
extrusora.
Fig. 1. Características principales de una extrusora de tornillo sinfín simple.
2 Extrusora de plástico
La extrusora es el componente principal de un proceso
de extrusión. La componen un motor, una caja de
velocidades, un cilindro donde va alojado un tornillo en
forma helicoidal; el cual empuja y comprime el volumen de
polímero y finalmente una matriz en el extremo del sistema
tubular el cual da la forma al polímero; sin embargo, un
sistema de extrusión consiste de varios otros componentes
trabajando en conjunción entre ellos. Ver Fig. 1.
La extrusora está constituida principalmente por un
tornillo de Arquímedes que se ajusta con precisión dentro
de la camisa cilíndrica, apenas con el espacio suficiente
para rotar. El polímero sólido se alimenta en un extremo y
en el otro sale el material sometido a extrusión ya perfilado.
Dentro de la máquina el polímero se funde y homogeniza.
La extrusora posee controles PID que controla cada
resistencias de calentamiento durante el proceso de
calentado del material.
3 Modelos matemáticos
Un modelo matemático de un sistema dinámico se
puede definir como un conjunto de ecuaciones que
representa una aproximación a la dinámica del sistema
(Ljung , 1999). Dado que los sistemas se pueden
representar de varios modos diferentes, un modelo
matemático no es único para un sistema dado; su
representación depende de los objetivos y perspectivas
individuales del diseñador del sistema de control.
Con el fin de diseñar controladores para un sistema
dinámico, es necesario tener un modelo, el cual sea una
descripción adecuada de la dinámica del sistema (Astrom y
Wittenmark, 1994). El proceso de construcción de modelos
y estimación de los parámetros desconocidos de la planta a
partir de los datos experimentales es llamado identificación
de sistemas (ISIS) ver Fig. 2.
La identificación de sistemas permite construir
modelos matemáticos de sistemas dinámicos basados en
datos experimentales; esto se realiza, esencialmente,
ajustando los parámetros dentro de un modelo dado hasta
que su salida coincida, tanto como sea posible, con la salida
experimental.
Fig. 2. Esquema para la identificación.
Las técnicas de identificación (Camacho y Bordons,
1995) se aplican a modelos muy generales. Los modelos
más comunes son las descripciones en ecuaciones en
diferencias lineales como ARX (AutoRegressive with
eXogeneous input) y ARMAX (AutoRegressive Moving

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Average with eXogeneous input) así como todos los tipos
de modelos de espacio de estados lineales
Se procedió a encontrar las salidas del sistema
controlado con los PID clásicos con respectos a
perturbaciones a las entradas, se obtuvieron las gráficas
mostrada en las Figs. 3 y 4.
Se procedió a levantar el modelo de estos datos, para
esto se utilizó la aplicación de MatLab “IDENT”, y se
obtuvo el sistema representado por la ecuación 1.










++++
++++
=
0.80574s22s
0.7988
0.26s20s
1.3s
0.42.5s10s
0.492s
0.053830.2ss
0.05299
22
22
H (1)
con este modelo se procederá a encontrar las matrices de
predicción del sistema. Apoyándose en los principios
básicos de balances de materia y energía complementados
con los termodinámicos de combustión y transferencia de
calor, se puede llegar a resultados satisfactorios en el
cálculo de las necesidades de un horno por medio de este
modelo sencillo. Algo a destacar es el uso de colchas de
lana mineral por los beneficios que ésta presenta tanto en
ahorro de energía como en su facilidad de instalación y
poco peso.
4 Matrices de predicción
Recordemos que cuando hablamos de control predictivo lo
fundamental es determinar las predicciones en función del
modelo del que disponemos. En esta sección nos
ocuparemos de la formulación explicita de las predicciones
para el caso en el que tengamos una representación en
Variables de Estado del sistema a controlar. Esto es:
x(k+1)=Ax(k)+Bu(k) (2)
Ym(k)=Cx(k) (3)
x(0)=xo (4)
Fig. 3. Gráficas del sistema con sólo los PID clásicos salida 1 y 2 en función de la primera entrada.
Fig. 4. Gráficas del sistema con sólo los PID clásicos salida 1 y 2 en función de la segunda entrada.

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donde x es el vector de estado, u es el vector de control, y
Ym es el vector salida. Supondremos que u es del tipo
escalón y se mantiene igual durante el valor de horizonte de
predicción, el cual es el número de predicciones que deseo
tener, por lo tanto tenemos lo siguiente:
[]
[]
[]


















+++++=
+++=
++=
+=
−− )0()0()(
)0()0()3(
)0()0()2(
)0()0()1(
21
23
2
uBABBABAxANx
uBABBAxAx
uBABxAx
BuAxx
NNN K
M
(5)
donde N es el horizonte de predicción. De (3) podemos
encontrar el vector de predicción de los N estados. Y con
estos Hallar las N salidas de predicción.
)0()0(
)(
)3(
)2(
)1(
1
2
3
2
u
BA
BABBA
BAB
B
x
A
A
A
A
Nx
x
x
x
N
j
jN
N















++
+
+
















=
















∑=
−
M
MM
(6)
)0()0(
ˆABuAAxX += (7)
donde AA es la matriz de predicción para los estados y AB
la de los controles. Con estas se halla los valores de la
salidas futuras de la siguiente manera.
XCCY ˆˆ = (8)












=
C
C
C
CC
L
MOMM
L
L
00
00
00
dDonde la Matriz CC es la matriz C ampliada en el número
de predicciones. El problema para predecir las salidas es
que hay que estimar los estados para esto diseñaremos un
Observador de Estado.
5 Observador de estado
Para desarrollar el observador de estado, adoptemos la
siguiente nomenclatura: ξ(k+1|k) es el estimado de los
estados en k+1 dado que conocemos la salida en k. ξ(k|k) es
entonces el estimado de los estados en k dado que se
conoce la salida en k.
El observador, propuesto originalmente por Kalman
(Kalman, 1960), es el siguiente:
))1|()(()1|()|( −−+−= kkCkyKkkkk
ξ
ξ
ξ
(10)
)()|()|1( kBukkAkk
+
=
+
ξ
ξ
(11)
combinando las dos ecuaciones anteriores se obtiene:
)()()1|()()|1( kLykBukkLCAkk +
+
−
−
=
+
ξ
ξ
(12)
donde L =AK.
Si los autovalores de A-LC están en el circulo unitario,
el observador converge asintóticamente al valor real del
estado que queremos estimar, L se conoce como la matriz
de ganancia de estimación y siempre se trata de escoger
para que sea pequeña. Para calcular L se encontraron los
autovalores de la matriz de estado A, y después con la
función de MatLab “place” se hallo el valor de L. Con estas
matrices de predicción podemos hallar el error del sistema
para el Horizonte de Predicción que deseamos. Este error
estará representado por la ecuación (13).
)X
ˆ
-(Setpoint CoaP = (13)
6 Diseño del control difuso
El procedimiento más importante en el diseño de un
control difuso es imponer un juego de reglas lingüística que
pueda generar un buen resultado. En este caso, cuando el
problema del sistema se hace MIMO el número de reglas se
pueden hacer muy grandes. Por eso decidimos usar
controles PI difuso MANDANI SISO, implementado por
(Mamdani, 1976), en los cuales, es fácil implementar las
reglas desde el conocimiento de experiencias con la señal
de salida. Pero este proceso emula al modelo como si las
salidas fuesen independiente de una sola entrada, sabemos
por experiencias que cada salida depende de todas las
entradas, pero depende más de una sola, eso se puede
observar en las gráficas de identificación del modelo de las
Figs. 3 y 4. En el diagrama mostrado en la Fig. 5 se
encuentra la implementación de los controles PI difusos
sobre sistema.
Las funciones de pertenencia para la entrada de la
regla del error de predicción consta de tres valores; P
(pequeño), M (mediano) y G (grande). Y la salida consta de
tres paso también P, M, G. Estas funciones de pertenencias
se puede ver en la Fig. 6.
Para generar el control PI Difuso se generaron las
reglas mostrado en la Tabla 1, estas dependen de error del
sistema y de la variación del error (Sugeno, 1985).
Tabla 1. Reglas para el control PI difuso, la salida es ∆U.
Error
Error N Z P
N Ng Np Z
Z Np Z Pp
P Z Pp Pg
(9)

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PID
PID
PID
PIDPIDPID
Termopares
PI
fuzz y
PI
fuzz y
PI
fuzzy
PI
fuzzy
PI
fuzzy
PI
fuzzy
SP1 SP1 SP1 SP1 SP1 SP1
Predicción Regla
Fuzzy
PID
PID
PID
PIDPIDPID
Termopares
PI
fuzz y
PI
fuzz y
PI
fuzzy
PI
fuzzy
PI
fuzzy
PI
fuzzy
SP1 SP1 SP1 SP1 SP1 SP1
PID
PID
PID
PIDPIDPID
Termopares
PI
fuzz y
PI
fuzz y
PI
fuzzy
PI
fuzzy
PI
fuzzy
PI
fuzzy
SP1 SP1 SP1 SP1 SP1 SP1
Predicción Regla
Fuzzy
Fig.5. Implementación del control difuso en la extrusora.
Fig. 6. Funciones de pertenencia para las reglas del error de predicción.
Fig.7. Funciones de pertenencia para las reglas del PI Difuso MANDANI
Donde; N es negativo, P es positivo, Z es cero, Np es
Negativo pequeño, Ng es negativo grande, Pp es Positivo
pequeño y Pg es Positivo grande. Las funciones de
pertenencias se pueden ver en la Fig. 7. Observe que las
funciones de pertenencias para la salida del Control
dependen del valor de las reglas del error de predicción
CoaP. Por lo tanto, las funciones de pertenencias se van
haciendo grande mientras el error de predicción es grande, de
esta manera el control puede realizar controles rápidos,
cuando el error de predicción es pequeño las funciones de
pertenencias a la salida se hacen angostas y los controles son
pequeños.
7 Resultados
Se implementaron los controles sólo para dos resistencias
en la extrusora, pero se puede extender a todas las resistencias
fácilmente, se implementaron las simulaciones en MatLab
obteniendo buenos resultados, pero hay que revisar como
funciona en el sistema debido a las no-linealidades, en las
gráficas de la Fig. 8 se pueden observar los resultados de la
simulación.
Después se implementó el control en HP VEE (Hewllet
Packard Visual Engineering Environment) y se observaron las
respuestas del sistema. El control es más lento, pero lo más
importante es que la variación de temperatura en el proceso no
cambia por más de un grado centígrado, lo que provee una
buena calidad en el producto final. En la Fig. 9 podemos
observar los resultados del control de la planta desde el panel
de HP VEE, los cuales fueron importados a MatLab para otros
análisis.
Se puede decir que este control posee lo mejor de las dos
teorías, la teoría de controles difusos y la teoría de control
predictivo. Usa matrices de Predicción, pero no se debe usar
un método para optimizar el control debido a las variaciones
del modelo, los PI difusos se encarga de eso, haciendo el
control más rápido que cualquier control predictivo. Problema
que posee esto es que no se pueden controlar las restricciones
del sistema, tan bien, como con un control predictivo robusto.
Por otro lado, usa controles difusos SISO sobre un
sistema MIMO, esto minimizas las generaciones de reglas,
debido a que mientras más aumente el sistema más difícil es
implementar las reglas. Pero las salidas de estos controles
depende del error de predicción y esto hace que dependan de
0.5
0.125
00.75
0.5
01-0.1 0.1
Función de pertenencia para la entrada
Función de pertenencia para la salida
PM G
PM G

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las entradas del sistema. Realizando una especie de control dependiente de todas las entradas.
Fig. 8. Gráficas del sistema simulado en MatLab.
Fig. 9. Panel frontal del control de la extrusora con un PI difusos adaptados con el error de predicción del modelo.
Referencias
Avner S, 1988, Introducción a la metalurgia física.
Astrom KJ y Wittenmark B, 1994, Adaptive control,
Addison-Wesley, 2nd edition, New York.
Camacho EF y Bordons C, 1995, Model predictive control in
the process industry, Advances in Industrial Control.
Springer, Berlin.
Kalman RE, 1960, A new approach to linear filtering and
prediction problems, Journal of Basic Engineering (Tran,
ASME, serie D) , V. 82, No.3, pp. 35 - 45.
Ljung L, 1999, System identification: theory for the user,
Prentice Hall, Inc., 2nd edition, New Jersey.
Mamdani EH, 1974, Applications of fuzzy algorithms for
control of simple dynamic plant, IEEE Proceedings, Vol.
121, No.12, pp. 1585-1588.
Mamdani EH, 1976, Advances in the linguistic synthesys of
fuzzy controllers, Internacional Journal Man-Machine Stud,
Vol. 8,No.1 , pp. 669-678.
Sugeno M, 1985, An introductory survey of fuzzy Control”,
information sciences, Vol. 36, No. 1-2, 59-8.