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Revista Iberoamericana de Automática e Informática industrial 11 (2014) 20–31
© 2014 CEA. Publicado por Elsevier España, S.L. Todos los derechos reservados
http://dx.doi.org/10.1016/j.riai.2013.11.002
Control Robusto de Orden Fraccionario de la Presión del Vapor
en el Domo Superior de una Caldera Bagacera
R. Rivas-Pereza,*, F. Castillo-Garcíab, J. Sotomayor-Morianoc, V. Feliu-Batlleb
a Programa de Maestría en Ingeniería de Contr ol y Automatización, Pontif icia Universidad Católica del Perú; Universidad Politécnica de la Habana, CUJAE, Cuba
b Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales, Universidad de Castil la-La Mancha, Campus Universita rio s/n, Ciudad Real, 13005, España
c Programa de Maestría en Ingeniería de Control y Automatización, Pontif icia Universidad Católica del Perú, Av. Universitaria 1801, San Miguel, Lima, Perú.
Resumen
En el presente trabajo se desarrolla un controlador de orden fraccionario del tipo IDα-1 para el control robusto de la presión de vapor
en el domo superior de una caldera bagacera, el cual posibilita aumentar la efectividad en el control, así como la eficiencia energética de
estos equipos. La aplicación de un controlador de orden fraccionario se justifica por el hecho de que la dinámica del proceso objeto de
estudio puede cambiar de forma drástica con la variación del calor especifico de combustión (I). Se obtiene un modelo matemático
nominal de la variación de la presión de vapor en el domo superior de la caldera bagacera. Los resultados de validación del modelo
matemático obtenido muestran un elevado grado de adecuación. Mediante estudios experimentales se estimó el rango de variación de los
parámetros dinámicos del modelo matemático obtenido cuando el calor específico de combustión varía en el rango de operación [Imin,
Imax]. El diseño del controlador IDα-1 se realiza en base a especificaciones en el dominio de la frecuencia. Se muestran los resultados
comparativos de simulación del sistema de control desarrollado con controladores IDα-1 vs PI e IDα-1 vs PID, en el sentido de exhibir el
mismo comportamiento dinámico en lazo cerrado para las especificaciones de la planta nominal y en presencia de perturbaciones. Estos
resultados demuestran que cuando la ganancia de la presión del vapor en el domo superior de la caldera bagacera presenta variaciones en
el rango [Kmin, Kmax] el controlador IDα-1 diseñado exhibe mejores prestaciones, así como una mayor robustez. Copyright © 2014 CEA.
Publicado por Elsevier España, S.L. Todos los derechos reservados.
Palabras Clave:
controlador de orden fraccionario IDα-1, control robusto de presión de vapor, caldera bagacera, modelo matemático, eficiencia energética.
* Autor en correspondencia.
Correos electrónicos: rivas@electrica.cujae.edu .cu (R. Rivas-Perez),
vicente.feliu@uclm.es (V. Feliu-Batlle),
fernando.castillo@uclm.es (F. Castillo-Garcia),
jsotom@pucp.edu.pe (J. Sotomayor-Moriano)
1. Introducción
Los ingenios azucareros tradicionales se caracterizan por su
elevado consumo de energía y contaminación del medio
ambiente, en gran parte debido a la tecnología de baja eficiencia
con la que cuentan (Hugott, 1996; Marín Hernández et al., 2007).
En estos ingenios las calderas bagaceras constituyen las plantas
que presentan las principales pérdidas energéticas (Rein, 2007).
Es por ello que en la industria de transformación de la caña de
azúcar, como resultado del incremento del costo de los
combustibles, de la elevada competitividad en los mercados
energéticos y de las fuertes exigencias medioambientales, los
trabajos encaminados a aumentar la eficiencia energética, así
como disminuir el impacto de la actividad industrial sobre el
medio ambiente presentan una elevada actualidad e importancia
científico-técnica (De Prada Moraga et al., 2009).
Las calderas bagaceras constituyen plantas vitales para la
industria de transformación de la caña de azúcar, debido a que
garantizan la producción de energía de forma relativamente
económica mediante el uso del bagazo como combustible, el cual
representa un desecho propio de la industria (Kohan, 2000; Rivas-
Perez, 2011). Estas calderas se caracterizan por presentar un
comportamiento dinámico complejo (parámetros variantes en el
tiempo (LPV)), así como diversos procesos interactuantes que
usualmente se controlan de forma independiente, mediante
controladores PID (Astrom and Bell, 2000; Dukelow, 1991;
Rivas-Perez et al., 2000; Yu and Xu, 2005). En la Figura 1 se
muestra una imagen frontal de una caldera bagacera.
Es bien conocido que diversas calderas bagaceras operan con
tecnología obsoleta pese a las grandes ventajas que reportan
(Marín Hernández et al., 2007). La operación de esta clase de
calderas con buenos niveles de eficiencia posibilita obtener un
elevado beneficio económico y medio-ambiental. Por ejemplo,
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Figura 1: Caldera bagacera .
por cada 10°C de disminución de la temperatura de salida de los
gases de la combustión se reduce el consumo de bagazo en
aproximadamente un 3.5%. De forma similar, durante el proceso
de combustión por cada 10% de reducción en el exceso de aire el
consumo de bagazo disminuye aproximadamente un 3%. Para
asegurar una elevada eficiencia en la operación de esta clase de
calderas son esenciales dos requerimientos (Hugott, 1996): 1)
garantizar que en todo momento se queme la cantidad de bagazo
que posibilita mantener la presión de vapor dentro de los límites
requeridos, independientemente de las variaciones en la carga; 2)
mantener una correcta relación aire/bagazo, lo cual posibilita que
la combustión sea completa dentro de los límites de diseño de la
caldera.
Estos requerimientos no pueden ser garantizados si no se
cuenta con un controlador efectivo de la presión de vapor en el
domo superior de la caldera (Dukelow, 1991; Fernandez et al.
1998; Rivas-Perez, 2011; Sun et al., 2010).
Entre los controladores más utilizados en el control de la
presión de vapor en el domo superior de las calderas bagaceras se
encuentran los PID convencionales (analógicos o discretos),
debido a la simplicidad de su estructura, flexibilidad, ajuste
sencillo, así como a sus propiedades generales de robustez
(Dukelow, 1991; Havlena and Findejs, 2005; Hogg and El-
Rabaie, 1990). Sin embargo, como resultado del complejo
comportamiento dinámico que presenta este proceso (retardo de
tiempo dominante, parámetros dinámicos variantes en el tiempo,
(LPV), diferentes perturbaciones medibles y no medibles, etc.) los
controladores convencionales no posibilitan obtener un efectivo
control (Guin et al., 1989; Dong et al., 2005; Rivas-Perez et al.,
1998; Gonzalez Rodriguez et al., 2011; Tung et al., 1995; Xin et
al., 2010). Por consiguiente, cualquier controlador que se diseñe
debe caracterizarse por presentar una adecuada robustez frente a
esta clase de comportamiento dinámico (Martinez et al., 2006).
Para contrarrestar el efecto negativo del complejo
comportamiento dinámico que presenta la variación de presión en
el domo superior de las calderas, se han propuesto diversas
estrategias de control (control inteligente con modelo de
referencia, control predictivo multivariable, control predictivo
generalizado, control neuro-difuso, control multivariable, control
PID adaptativo difuso, control no lineal, etc.), las cuales han sido
reportadas por diferentes autores (Dong et al., 2005; El-Rabaie
and Hogg, 1991; Havlena and Findejs, 2005; Hogg and El-
Rabaie, 1990; Liu and Lara-Rosano, 2003; Rivas-Perez et al.,
1998; Sun et al., 2010; Xin et al., 2010; Xu et al., 2008; Yu and
Xu, 2005). Entre los principales inconvenientes de estas
estrategias se encuentran: baja robustez frente a incertidumbres
paramétricas de la planta y compleja implementación práctica.
Por consiguiente, el desarrollo de métodos sistemáticos de diseño
de controladores robustos de la presión de vapor en el domo
superior de las calderas bagaceras constituye un área de
investigación de elevado interés científico-técnico y práctico.
Por otro lado, en los últimos años, como resultado de una
mejor comprensión del cálculo de orden fraccionario, los
operadores de orden fraccionario han sido aplicados con
resultados satisfactorios en el modelado y control de procesos con
comportamiento dinámico complejo (Castillo-Garcia et al., 2013;
Chen et al., 2004; Dzielinski et al., 2011; Feliu-Batlle et al., 2013,
2012, 2005a, 2005b; Machado, 1997; Monje et al., 2010; Petras,
2002; Podlubny, 1999; Rivas-Perez et al., 2014, 2011a, 2008;
Sanchez-Rodriguez et al., 2008; Vinagre and Monje, 2012, 2006;
Vinagre et al., 2007, 2000).
El cálculo de orden fraccionario representa a la teoría que
involucra a derivadas e integrales de orden arbitrario, la cual
generaliza y unifica los conceptos de diferenciación e integración
de orden entero (Podlubny, 1999). El operador básico de
integración y diferenciación de orden no necesariamente entero
(real e incluso complejo) se representa como
D
ta D
donde
a
y
t
son los límites de operación y
)(
DD
es el orden del operador.
Este operador se puede definir, por ejemplo, mediante la
expresión (Chen et al., 2009):
°
°
°
¯
°
°
°
®
!
³
t
a
ta
d
dt
d
D
|0:)(
0:1
0:
DW
D
D
D
D
D
D
(1)
En este sentido han sido propuestas diferentes definiciones de
este operador, entre las que se encuentran las de: Riemann-
Liouville, Caputo y Grünwald-Letnikov (Podlubny, 1999). Por lo
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general, el limite inferior
a
del operador integro-diferencial (1)
se toma igual a cero (Podlubny, 1999).
En el dominio del tiempo estos operadores se encuentran
definidos por la operación de convolución, por lo que están
especialmente indicados para describir fenómenos con memoria
(difusión, transporte, etc.). En el dominio de Laplace este
operador se corresponde con
D
s
(siempre que las condiciones
iniciales sean cero) y por lo tanto su respuesta en frecuencia es
D
Z
)( j
(Vinagre y Monje, 2006).
Esta última característica es muy atractiva en el diseño de
controladores con especificaciones en el dominio de la frecuencia,
ya que posibilita la obtención de sistemas de control con nuevos
comportamientos asintóticos en el dominio de la frecuencia, tanto
en magnitud, como en fase (Monje et al., 2010).
La aplicación de controladores de orden fraccionario (FOC)
posibilita ampliar las acciones de control que se pueden
desarrollar sobre una variada clase de procesos industriales, así
como resolver el problema de la automatización efectiva de
procesos cuyos comportamientos dinámicos se describen
mediante modelos de orden no entero, sin utilizar aproximaciones
(Monje et al., 2010; Chen et al., 2009).
Una de las ventajas de los controladores de orden fraccionario
consiste en que posibilitan el diseño de sistemas de control
robusto de procesos cuyos parámetros dinámicos varían en un
amplio rango (LPV) o de procesos con amplias variaciones en la
carga (Feliu et al., 2013; Monje et al., 2010).
Por consiguiente, el comportamiento cualitativo, así como la
robustez de los controladores PID industriales utilizados en el
control de la presión del vapor en el domo superior de las calderas
bagaceras puede mejorarse mediante el diseño de controladores
OE
DPI
, los cuales involucran un integrador de orden
E
y un
derivador de orden
O
.
Este trabajo presenta como objetivo fundamental el desarrollo
de un controlador de orden fraccionario del tipo IDα-1 para el
control robusto de la presión de vapor en el domo superior de una
caldera bagacera, intentando aumentar la efectividad en el control,
así como la eficiencia energética de estos equipos.
La principal contribución de este trabajo consiste en la
propuesta (por primera vez) de un controlador de orden
fraccionario del tipo IDα-1 para el control robusto de la presión de
vapor en el domo superior de una caldera bagacera con resultados
muy satisfactorios, ofreciendo una solución práctica al complejo
problema del diseño de controladores robustos con modelos
imprecisos (con grandes incertidumbres) de la dinámica de las
calderas bagaceras y verificando que los controladores de orden
fraccionario pueden mejorar el comportamiento de los
controladores convencionales (PI y PID) en esta clase de
aplicaciones.
Este trabajo ha sido estructurado de la siguiente forma. En la
Sección 2 se presentan las características fundamentales de la
caldera bagacera objeto de estudio. En la Sección 3, mediante la
aplicación de las herramientas de identificación de sistemas, se
obtiene un modelo matemático del comportamiento dinámico
nominal de la presión de vapor en el domo superior de una
caldera bagacera, así como el rango de variación de los
parámetros dinámicos de dicho modelo cuando el calor específico
de combustión varía en el rango de operación [
maxmin
,II
]. En la
Sección 4 se realiza el diseño de los controladores PI, PID e IDα-1
para el control del proceso objeto de estudio. En la Sección 5 se
analizan los resultados comparativos del sistema de control
desarrollado con los controladores diseñados IDα-1 vs PI e
IDα-1 vs PID. Finalmente, en la última Sección se ofrecen las
conclusiones.
2. Caldera bagacera
El objetivo fundamental de esta clase de plantas consiste en
transformar la energía contenida en el bagazo, mediante su
combustión, en energía térmica disponible y transferirla al agua
para generar vapor a presión y temperatura específicas, en
correspondencia con las condiciones de operación de la caldera
(Hugott, 1996). Este vapor, en adelante, se utiliza en la
generación de energía mecánica y eléctrica, o como tal para
alimentar a otros equipos y procesos de la propia industria.
La caldera bagacera objeto de estudio pertenece al Central
Agro Industrial (CAI) 30 de Noviembre, ubicado en la provincia
de Artemisa, Cuba. Esta caldera es de tubos de agua, y presenta
dimensiones de 12 m de altura, 8.80 m de largo y 4.95 m de
ancho. La misma puede generar hasta 60 T/h de vapor con una
presión máxima de 31 Kg/cm2.
En la Figura 2 se muestra un diagrama funcional de dicha
caldera, en el cual es posible observar sus diferentes estructuras y
superficies auxiliares, entre las que se encuentran: el hogar, los
domos superior e inferior, los haces de tubos descendentes y
ascendentes, los ventiladores de tiro forzado (VTF) y tiro
inducido (VTI), el sobrecalentador, el economizador, el
calentador de aire y la chimenea.
Igualmente, se muestran los diferentes sensores/transmisores
utilizados en la caldera: caudal de bagazo, caudal de aire, presión
de vapor, caudal de agua de alimentación, caudal de vapor
sobrecalentado, analizador de oxigeno, temperatura del aire de
combustión y temperatura de los gases de combustión.
El bagazo, luego de ser sometido a un procedimiento de
secado (en el secador de bagazo) y trituración, mediante una
estera transportadora es conducido hasta los alimentadores
rotativos (conocidos como alimentadores de bagazo), que son los
que introducen el bagazo necesario en el hogar para su
combustión. Este tipo de alimentadores posee un motor que hace
girar a dos rodillos, cuya velocidad de rotación es proporcional al
caudal másico de bagazo que ingresa al hogar.
La presión de vapor requerida en el domo superior de la
caldera determina el caudal másico de bagazo que ingresa al
hogar y por ende la velocidad de los motores de los alimentadores
rotativos. La velocidad de los motores de estos dispositivos es
regulada mediante variadores de frecuencia (velocidad) y puede
alcanzar desde 7 rpm a 25 Hz hasta 17 rpm a 60 Hz. La presión de
vapor de operación nominal en el domo superior de la caldera,
ascendente a 25 kg/cm2, se alcanza con la combustión de un
caudal nominal de bagazo de 8 000 Kg/h.
Para la combustión del bagazo en el hogar se requiere el
suministro de aire para garantizar una determinada relación
aire/bagazo, así como la extracción de los gases y cenizas
producto de la combustión. El VTF suministra el aire de
combustión requerido al hogar a través del calentador de aire, con
el objeto de aprovechar parte del calor que contienen los gases
producto de la combustión para calentar el aire. Este aire se divide
en dos caudales que se introducen tanto en la parte superior como
en la inferior de la zona de combustión del hogar con el objeto de
que el bagazo permanezca en suspensión mientras se quema,
mejorándose de esta forma la eficiencia del proceso de
combustión, debido a que el mismo se desarrolla de forma más
rápida y con una menor cantidad de productos no quemados.
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Figura 2: Diagrama funcional de la caldera bagacera objeto de estudio.
El VTI se encarga de mantener una presión de vacío dentro del
hogar, succionando los gases producto de la combustión y
expulsándolos a través de la chimenea. De esta forma, se evita la
fuga de aire caliente del hogar y se logra una mejor evacuación de
los gases producto de la combustión (Rivas-Perez, 2011).
La extracción de las cenizas se realiza mediante dos parrillas
giratorias independientes, situadas en la base del horno, sobre la
cual cae la ceniza, y de ahí deriva a zanjas, donde una corriente de
agua la arrastra a un pozo.
Adicionalmente, la caldera cuenta con un dispositivo para la
disminución de la emisión a la atmosfera de las partículas que se
originan de la combustión del bagazo y que contaminan el aire
(Carbajal-Hernández et al., 2012).
3. Identificación de la presión del vapor en el domo superior
de la caldera bagacera
Los métodos modernos de diseño de sistemas de control
automático usualmente requieren de un modelo matemático que
describa de forma adecuada el comportamiento dinámico del
proceso a controlar. Cuando el comportamiento dinámico del
proceso es complejo su modelo matemático se puede obtener
mediante la aplicación de las herramientas de identificación de
sistemas (Ljung, 1999; Rivas-Perez et al., 2011b).
El término de identificación de sistemas se define como la
obtención de la estructura y parámetros de un modelo
matemático, generalmente dinámico, que reproduce con suficiente
exactitud, para los fines deseados, el comportamiento dinámico
del proceso objeto de estudio (Ljung, 1999, Rea et al., 2013;
Salcedo y Martínez, 2006).
La presión de vapor en el domo superior de una caldera
bagacera constituye una de las principales variables a controlar en
esta clase de plantas debido a que representa un indicador del
balance de energía entre el vapor generado y el vapor demandado
(Dukelow, 1991; Hugott, 1996; Rivas-Perez et al., 1994). Esta
presión es proporcional a la producción de vapor y constituye la
energía de salida, mientras que el flujo de bagazo representa la
energía de entrada (Rein, 2007).
Es por ello, que el modelo matemático a obtener tendrá como
variable de salida a la variación de presión de vapor en el domo
superior de la caldera (
)(ty'
) y como variable de entrada al % de
variación de la velocidad de los motores de los alimentadores de
bagazo al hogar (
)(tu'
). Las variaciones en la demanda de vapor
y el % de humedad contenido en el bagazo que ingresa al hogar
constituyen las perturbaciones fundamentales D(t) que afectan a
este proceso (Agüero et al., 2004; Rivas-Perez, 2011).
Para la obtención del modelo matemático de la presión de
vapor en el domo superior de la caldera bagacera objeto de
estudio se utilizó el procedimiento de identificación de sistemas
basado en la respuesta escalón (Ljung, 1999; Rodriguez-Vazquez
et al., 2008).
El experimento de identificación se organizó bajo las
condiciones de inicialmente descender la presión de vapor en el
domo superior de la caldera hasta un valor que no afecte al
funcionamiento de la turbina del CAI (21 Kg/cm2) y luego
mediante una señal escalón llevar a esta variable a su valor de
operación nominal (25 Kg/cm2). De esta forma, el modelo
matemático a obtener de la presión de vapor representará al
comportamiento dinámico nominal de dicha variable.
Una vez alcanzada la presión de vapor de 21 Kg/cm2, se
estimuló con una señal escalón (con la amplitud requerida para el
ingreso al hogar del caudal de bagazo de operación nominal
ascendente a 8 000 Kg/h) la velocidad de los motores de los
alimentadores de bagazo con la ayuda de los variadores de
frecuencia. Se registraron en una PC las señales correspondientes
a la variación de presión de vapor en el domo superior de la
caldera (
)(ty'
) y al % de variación de la velocidad de los
alimentadores de bagazo (
)(tu'
).
Los resultados del experimento con señal escalón se exhiben
en la Figura 3. La respuesta obtenida describe a un sistema de
segundo orden con retardo de tiempo, cuyo comportamiento
dinámico en el dominio del tiempo se representa mediante la
expresión:
)()(
)(
)(
)(
21
2
2
21
W
' '
'
'tuKty
dt
tyd
TT
dt
tyd
TT
, (2)
donde
K
es la ganancia estática,
21
,TT
son las constantes de
tiempo y
W
es el retardo de tiempo.
La expresión (2) puede ser representada en la forma:
s
e
sTsT
K
su
sy
sG
W
'
'
)1)(1()(
)(
)(
21
. (3)
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Figura 3: Resultados del experimento con señal escalón.
Los valores nominales estimados de los parámetros del modelo
(3) son:
0
K
=0.395 Kg/cm2%,
10
T
=103.05 s,
20
T
= 93.44 s,
0
W
=120 s. Notar que ambos polos presentan valores muy
cercanos. El tiempo de establecimiento en lazo abierto es de
aproximadamente
|
s
t
586 s. Observar, que el retardo de tiempo
obtenido es mayor que la mayor constante de tiempo del modelo
(3), es decir:
1
10
0
!
T
W
, (4)
por consiguiente, el proceso objeto de estudio presenta retardo de
tiempo dominante (Albertos and García, 2009; Palmor, 1996).
Durante el procedimiento de validación del modelo (3) con los
parámetros estimados se consideraron además otros modelos
lineales (de primer y tercer ordenes). El mejor ajuste (FIT: 90.5
%) se obtuvo con el modelo de segundo orden más retardo de
tiempo. Con el modelo de primer orden más retardo de tiempo se
obtuvo un FIT de 83.7 % y con el modelo de tercer orden más
retardo de tiempo un FIT de 78.5 %. Los resultados de
validación del modelo (3) con los parámetros estimados se
muestran en la Figura 4.
Figura 4: Resultados de validación del modelo matemático (3).
De la Figura 4 se observa que entre los resultados
experimentales y las predicciones que realiza el modelo existe
una adecuada correspondencia. Por consiguiente, el modelo (3)
representa al comportamiento dinámico nominal de la presión de
vapor en el domo superior de la caldera bagacera objeto de
estudio (planta nominal) y puede ser utilizado en el diseño de
sistemas de control efectivo de dicha variable.
El calor específico de combustión (I) es la propiedad más
importante de los combustibles y se define como la cantidad de
calor (Q) que cede la unidad de masa del combustible al quemarse
totalmente (Rein, 2007). Para el caso del bagazo, el calor
específico de combustión depende principalmente del contenido
de fibra en caña y del % de humedad contenido en el bagazo
(Agüero et al., 2004; Hugot, 1996; González-Pérez et al., 2010).
Con el aumento del contenido de fibra en caña, aumenta el
contenido de fibra en el bagazo y ello implica que aumente el
calor específico de combustión. Por otro lado, con el incremento
de la cantidad de agua de imbibición aumenta el contenido de
humedad en el bagazo y por ende disminuye el calor específico de
combustión (Agüero et al., 2004). Por ejemplo, un incremento de
1% del contenido de humedad en el bagazo puede representar una
disminución del calor específico de combustión del orden de 2%
(González-Pérez et al., 2010; Lamb and Bolger, 1977).
Durante una zafra azucarera, como resultado del complejo
proceso agro-industrial de transformación de la caña de azúcar,
tanto el contenido de fibra, como el % de humedad en el bagazo
presentan amplias variaciones, lo cual conlleva a que el calor
específico de combustión del bagazo presente variaciones en el
rango de operación [
maxmi n
,II
]. Estas variaciones afectan el
comportamiento dinámico de la presión de vapor en el domo
superior de la caldera bagacera.
Los experimentos desarrollados en la caldera bagacera objeto
de estudio mostraron que cuando el calor específico de
combustión del bagazo varía en el rango de operación [
maxmi n
,II
]
se originan variaciones en los parámetros dinámicos del modelo
matemático (3) en los siguientes rangos:
.30060
;728.95256.90
;834.106557.98
;3825.11975.0
2
1
dd
dd
dd
dd
W
T
T
K
(5)
Observar que las mayores variaciones en los parámetros
dinámicos del modelo (3) se originan en la ganancia estática
(
0
3KK |'
) y en el retardo de tiempo (
0
2
WW
|'
). Las variaciones
en las constantes de tiempo de dicho modelo son despreciables
(
101
08.0 TT |'
,
202
058.0 TT |'
).
Por esta razón, cualquier controlador que se diseñe para el
control efectivo de la presión de vapor en el domo superior de la
caldera bagacera objeto de estudio debe garantizar a priori un
nivel específico de comportamiento mínimo en todo el rango de
variación de los parámetros dinámicos del modelo matemático
(incertidumbres paramétricas). Este es el problema del diseño de
controladores con comportamiento robusto.
4. Diseño del controlador de orden fraccionario
El control actual de la presión de vapor en el domo superior de
la caldera bagacera objeto de estudio se realiza mediante un
controlador PI, el cual presenta como ventajas su facilidad de
sintonización y obtención de un error en régimen permanente
nulo frente a cambios tipo escalón en la referencia o
perturbaciones también en forma de escalón. Paralelamente, esta
clase de controladores presenta la dificultad de ser muy sensible a
las variaciones de los parámetros dinámicos de los procesos,
desajustándose con facilidad o incluso pudiendo llegar a
inestabilizar el sistema de control (Astrom and Hagglund, 1995).
Como se mostró en la sección anterior, cuando el calor
específico de combustión del bagazo varía en el rango de
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operación [
maxmi n ,II
] los parámetros dinámicos del proceso de
presión de vapor en el domo superior de la caldera bagacera
objeto de estudio (ganancia estática y retardo de tiempo) varían en
un amplio rango (5). Esto conlleva a que el desempeño de los
controladores PI diseñados para las condiciones nominales de
operación se degrade rápidamente.
El enfoque desarrollado en este trabajo consiste en diseñar un
nuevo controlador que exhiba el mismo desempeño que un
controlador convencional PI frente al comportamiento dinámico
nominal del proceso objeto de estudio, es decir diseñado para las
mismas especificaciones, pero que presente menor sensibilidad
frente a variaciones en los parámetros dinámicos del proceso, por
consiguiente mayor robustez.
Por ello, nuestro objetivo consiste en obtener un controlador
que comportándose de forma similar a un PI bajo régimen
nominal de operación, proporcione una respuesta que se deteriore
menos cuando el calor específico de combustión del bagazo
presente variaciones en el rango de operación [
maxmi n
,II
].
Nuestra propuesta novedosa consiste en el diseño de un
controlador de orden fraccionario del tipo ID
D
, el cual
cumpliendo con las especificaciones prefijadas en el dominio de
la frecuencia para la planta nominal, maximice la robustez frente
a cambios en la ganancia de la planta mediante el correcto ajuste
del parámetro
D
. Este controlador se comparará con otros
controladores (PI y PID), diseñados para maximizar también la
robustez frente a variaciones en la ganancia de la planta.
4.1. Planteamiento del problema de control
El diseño de los controladores se desarrolla en base al modelo
nominal del proceso objeto de estudio (planta nominal):
s
e
ss
sG
120
0
)144.93)(105.103(
395.0
)(
, (6)
utilizando las siguientes especificaciones en el dominio de la
frecuencia:
a) Margen de fase (
m
I
), el cual garantiza el máximo
sobreimpulso (
p
M
) nominal deseado de la respuesta temporal,
así como la robustez del sistema de control frente a variaciones
del retardo de tiempo. El máximo sobreimpulso debe ser
|
p
M
5
%.
b) Frecuencia de cruce de ganancia (
c
Z
), la cual posibilita
ajustar la velocidad de respuesta temporal del sistema de control
con la planta nominal, es decir con un tiempo de establecimiento
(
s
t
) mínimo. Además, garantiza la estabilidad en lazo cerrado
en todo el rango de varación paramétrica. En correspondencia
con las condiciones de operación, el sistema de control en lazo
cerrado requiere un tiempo de establecimiento igual al de lazo
abierto (no más rápido), por ello el tiempo de establecimiento
debe ser
|
s
t
586 s.
c) Error de estado estacionario nulo, lo cual implica que el
controlador debe incluir un término integral.
En la Figura 5 se muestra el diagrama de bloques del sistema
de control de la presión de vapor en el domo superior de la
caldera bagacera que se propone. En este diagrama se emplea la
denominación R(s) para representar a un controlador genérico,
además se considera la perturbación D(s) (% de humedad
contenido en el bagazo), la cual se modela mediante una señal
escalón que pasa a través de un filtro de primer orden con
constante de tiempo
3
T
=51.525 s.
Figura 5. Diagrama de bloques del sistema de control de la presión de vapor
en el domo superior de la caldera bagacera objeto de estudio.
Las ecuaciones que definen el margen de fase y la frecuencia
de cruce de ganancia son (Monje et al., 2010):
dBjGjR
dB
cc
0)()(
0
ZZ
; (7)
mcc
jGjR
ISZZ
))()(arg(
0
, (8)
las cuales pueden expresarse de forma compacta mediante la
siguiente ecuación compleja de diseño de controladores:
)sin()cos ()()(
)(
0mm
j
cc
jejGjR
m
IIZZ
IS
. (9)
La expresión (9) se utilizará en el diseño de los diferentes
controladores que se analizan en este trabajo: PI, PID e
ID
D
Nótese, que el controlador PI tiene únicamente dos
parámetros de ajuste, mientras que los controladores PID e ID
D
poseen tres. El parámetro adicional de los controladores PID e
ID
D
se empleará para mejorar la robustez del sistema de control.
Debido a que el parámetro que presenta la mayor influencia en
la estabilidad del sistema de control en lazo cerrado del proceso
objeto de estudio es la ganancia estática (los resultados (5)
presentados en la sección anterior muestran que este parámetro
puede tener variaciones de hasta 3 veces el valor nominal), el
parámetro adicional de diseño de los controladores PID e ID
D
se
ajustará para maximizar la robustez del sistema de control en lazo
cerrado con respecto al controlador PI, en el sentido de la
estabilidad frente a variaciones de la ganancia del proceso, es
decir para garantizar que el margen de ganancia (
g
M
) del sistema
de control alcance su valor máximo.
4.2. Diseño de los controladores PI y PID
La función de transferencia del controlador PID convencional,
el cual genera acciones proporcionales, integrales y derivativas
basadas en la señal de error puede ser representada mediante la
siguiente expresión (Astrom and Hagglund, 1995):
sK
s
K
KsR
d
i
pPID 1
1
1
)(
, (10)
donde
111 ,, dip KKK
denotan a las ganancias proporcional, integral
y derivativa respectivamente del PID.
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Sustituyendo (10) en (9) se obtienen las siguientes ecuaciones
de diseño del controlador PID:
¿
¾
½
¯
®
)(
)sin()cos(
0
1
c
mm
p
jG
j
K
Z
II
;
(11.a)
»
¼
º
«
¬
ª
¿
¾
½
¯
®
)(
)sin()cos(
0
11
c
mm
cdcdi
jG
j
KKK
Z
II
ZZ
,
(11.b)
donde las notaciones
()
y
()
representan las partes real e
imaginaria de un número complejo respectivamente y la ganancia
derivativa (
1d
K
) del controlador constituye el parámetro de ajuste
adicional que se empleará para maximizar la robustez frente a
variaciones en la ganancia de la planta.
La función de transferencia del controlador PI se representa en
la forma:
s
K
KsR
i
pPI
2
2
)(
.
(12)
Particularizando las ecuaciones de diseño obtenidas para el
controlador PID (11.a) y (11.b) con
1d
K
=0, se obtienen las
ecuaciones de diseño del controlador PI. La ecuación para la
obtención de la ganancia proporcional (
2p
K
) coincide con la
obtenida para el controlador PID (11.a), mientras que la ecuación
para la obtención de la ganancia integral (11.b) se convierte en:
¿
¾
½
¯
®
)(
)sin()cos (
0
2
c
mm
ci jG
j
K
Z
II
Z
.
(13)
Como resultado del requerimiento de operación de que el
sistema de control en lazo cerrado presente el mismo tiempo de
establecimiento que el de lazo abierto, la frecuencia de cruce de
ganancia se escoge
c
Z
=0.00288 rad/s. Este valor se corresponde
aproximadamente con el tiempo de establecimiento de lazo
cerrado
|
0
CL
t
1.69/
c
Z
=586 s. Esta última expresión es una
aproximación obtenida de la consideración general sobre la
relación inversa que existe entre la frecuencia de cruce de
ganancia y el tiempo de establecimiento (Ogata, 1993).
Se escoge un margen de fase
m
I
=61.450, el cual se
corresponde con un
|
p
M
5 % y se encuentra dentro del rango de
valores estándar para esta especificación.
De las expresiones (11.a), (13) y considerando el par de
especificaciones
c
Z
y
m
I
se obtiene el siguiente controlador PI:
s
s
sRPI
0617.1007258.0
)(
. (14)
En la Figura 6 se muestra la respuesta en el dominio de la
frecuencia del sistema de lazo abierto
)()()( 0sGsRsH PI
, donde
es posible observar el perfecto cumplimiento de las
especificaciones en el dominio de la frecuencia
c
Z
y
m
I
.
Por otro lado, se define la frecuencia de cruce de fase (
s
Z
)
como la frecuencia a la cual:
^`
q 180)()( 0ss jGjR
ZZ
. (15)
Figura 6. Respuestas en el dominio de la frecuencia de
)(sH
.
Para dicha frecuencia, el margen de ganancia (
g
M
) se define
como:
)()(
1
0ss
gjGjR
M
ZZ
.
(16)
De la Figura 6 se obtiene la frecuencia de cruce de fase
s
Z
=0.008801, así como el margen de ganancia
g
M
=3.2919 dB
característicos del regulador PI para la planta nominal.
Para la obtención del controlador PID óptimo que maximice
el margen de ganancia (
g
M
), partiendo de las especificaciones en
el dominio de la frecuencia obtenidas para el controlador PI, se
sigue el siguiente procedimiento: se realiza un barrido del
parámetro de ajuste adicional
1d
K
en el rango [-1000, 1000] y,
empleando las ecuaciones de diseño (11.a) y (11.b) se obtienen
diferentes valores de
1p
K
y
)(
11 di
KK
, originándose de esta forma
diferentes controladores PID. Una vez obtenido cada controlador,
se calcula numéricamente la frecuencia de cruce de fase (
s
Z
)
mediante (15) y el margen de ganancia (
g
M
) mediante (16).
Finalmente se selecciona el controlador que proporciona el mayor
margen de ganancia
)(
1dg
KM
. En la Figura 7 se resume el
procedimiento desarrollado para la obtención del controlador PID
óptimo.
Figura 7. Procedimiento para el cálculo de Mg(Kd1).
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En la Figura 8 se muestra la variación del margen de ganancia
(
g
M
) en función del parámetro de ajuste adicional
1d
K
del
controlador PID.
Figura 8. Variación del margen de ganancia (Mg) en función de la ganancia
derivativa Kd1.
De la Figura 8 se observa como el margen de ganancia del
controlador PI,
PIg
M
_
= 3.29, se mejora en un 9.7% mediante el
controlador PID óptimo obtenido,
PIDg
M
_
= 3.61.
El controlador PID óptimo resultante se representa mediante
la expresión:
s
s
sR
PID
75
007880.0
0616.1)(
.
(17)
4.3. Diseño del controlador ID
D
El controlador PID (10) puede generalizarse a un controlador
de orden fraccionario
OE
DPI
, el cual presenta un integrador de
orden
E
y un diferenciador de orden
O
(Podlubny, 1999). En el
dominio del Laplace este controlador se puede representar
mediante la expresión:
O
E
sK
s
K
KsR
d
i
pFPID 3
3
3
)(
. (18)
Este controlador puede mejorar el desempeño de los sistemas
de control de la presión de vapor en el domo superior de la
caldera bagacera objeto de estudio, debido a que presenta 2
parámetros más de ajuste que el PID convencional (10).
La estructura del controlador (18) puede ser modificada
haciendo
3p
K
=0,
E
=1 y
DO
-1, dando lugar al controlador
ID
D
, cuya función de transferencia se representa mediante la
expresión:
s
sKK
sR
di
ID
D
D
33
)(
1
. (19)
Esta clase de controladores requiere, al igual que el
controlador PID, el ajuste de tres parámetros
33
,
di
KK
y
D
, es
decir un parámetro más que en el caso del controlador PI
convencional. El parámetro de orden fraccional
D
se utiliza para
cumplir con las especificaciones adicionales de comportamiento
robusto del controlador (Monje et al., 2010).
Evaluando el controlador (19) en el dominio de la frecuencia y
sustituyéndolo en la ecuación (9) se obtienen las siguientes
ecuaciones de diseño del controlador ID
D
¿
¾
½
¯
®
)(
)cos()sin(
)
2
sin(
)(
0
3
c
mmc
d
jG
j
K
Z
II
D
S
Z
D
D
;
(20.a)
.
)(
)cos()sin(
)
2
tan(
)(
)sin()cos(
)(
0
0
3
¿
¾
½
¯
®
¿
¾
½
¯
®
c
mmc
c
mm
i
jG
j
jG
j
K
Z
II
D
S
Z
Z
II
D
D
(20.b)
Resulta obvio, que particularizando el controlador IDD (19)
y sus ecuaciones de diseño (20.a) y (20.b), para
D
=1, se obtiene
el controlador PI (12) y sus respectivas ecuaciones de diseño
(11.a) y (13).
El parámetro de ajuste adicional
D
del controlador IDD se
utiliza, al igual que en el caso del controlador PID, para
maximizar la robustez frente a cambios en la ganancia de la
planta, es decir, para maximizar el margen de ganancia
)(
D
g
M
.
El procedimiento para el cálculo del controlador ID
D
óptimo
es análogo al empleado para el controlador PID y consiste en:
realizar un barrido del parámetro
D
en el rango [0, 2] y,
empleando las ecuaciones de diseño (20.a) y (20.b) obtener los
diferentes valores de
3i
K
y
3d
K
. Una vez obtenido cada
controlador, se calcula numéricamente la frecuencia de cruce de
fase mediante (15) y el margen de ganancia mediante (16).
Finalmente se selecciona el controlador que proporciona el mayor
margen de ganancia
)(
D
g
M
. En la Figura 9 se resume el
procedimiento desarrollado para la obtención del controlador
ID
D
óptimo.
Figura 9. Procedimiento para el cálculo de Mg(
D
).
En la Figura 10 se presenta la variación del margen de
ganancia (
g
M
) en función del parámetro
D
. Los resultados
muestran como el margen de ganancia del controlador PI,
PIg
M_
=3.29, se mejora en un 15.8% mediante el controlador ID
D
óptimo desarrollado,
1
_
D
IDg
M
=3.81.
El controlador ID
D
óptimo resultante es:
s
s
sR
ID
25.1
9605.4008525.0
)(
1
D
.
(21)
Todas las simulaciones presentadas en este artículo se han
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desarrollado utilizando operadores integro/diferenciales de orden
no entero mediante la aproximación de Grünwald-Letnikov sin
truncar (Podlubny, 1999) con un periodo de muestreo
h
=1 s.
Figura 10. Variación del margen de ganancia (Mg) en función del parámetro α.
5. Comparación de controladores
Con el objeto de verificar las ventajas del controlador ID
D
diseñado para el control de la presión de vapor en el domo
superior de la caldera bagacera objeto de estudio en comparación
con el controlador PI actualmente instalado en dicha caldera, y
con el controlador PID óptimo obtenido, así como su robustez
frente a variaciones de los parámetros dinámicos de la planta, se
realizaron diferentes simulaciones de dicho sistema con los tres
controladores bajo las mismas condiciones de operación.
En la Figura 11 se exhiben las respuestas en frecuencia del
sistema de lazo abierto H(s)=R(s)G0(s) con los tres controladores
obtenidos en la Sección anterior.
Figura 11. Resultados comparativos de las respuestas en frecuencia de H(s)
con la planta nominal y controladores PI/PID/IDα-1.
De la Figura 11 se observa como los tres controladores
cumplen con las especificaciones en el dominio de la frecuencia
establecidas: frecuencia de cruce de ganancia (
c
Z
=0.00288 rad/s)
y margen de fase (
m
I
=61.450). Por consiguiente, las respuestas
temporales del sistema de control que se obtienen con dichos
controladores y la planta nominal son aproximadamente similares
(ver Figura 12).
No obstante, la señal de control del controlador ID
D
comienza en valores altos cuando se enfrenta a señales de
referencia tipo escalón (ver Figura 13). Una variante de solución
de este problema consiste en modificar el controlador ID
D
de
forma simple, añadiendo un término (
s
J
1/1
), donde
J
es un
coeficiente suficientemente pequeño, es decir:
Figura 12. Respuestas temporales del sistema de control de la presión de vapor
con la planta nominal y controladores PI/PID/ID
D
.
)1(
9605.4008525.0
)(
25.1
1
ss
s
sR
MID
J
D
. (22)
Figura 13. Señales de control d e los controladores PI/PID/ID
D
.
Hemos elegido arbitrariamente
J
=2, que es un valor
aproximadamente 50 veces más pequeño que la menor de las
constantes de tiempo de la planta nominal. Con esta modificación
del controlador, la respuesta temporal del sistema de control se
comporta de forma similar a como se muestra en la Figura 12 con
controlador ID
D
. Sin embargo, se logra reducir la amplitud de la
señal de control hasta un valor adecuado cuando el controlador se
enfrenta a señales de referencia tipo escalón (ver en Figura 13 -
vista ampliada). El valor de pico de la señal de control que origina
el controlador ID
D
es de 19.88, mientras que con el controlador
ID
D
-M este valor se reduce a 14.07, es decir un 41 % menor.
En la Figura 14 se muestran los resultados comparativos de
simulación del sistema de control del proceso objeto de estudio
con controladores PI/PID/ID
D
frente al efecto de una
perturbación (% de humedad contenido en el bagazo), la cual se
modela como señal escalón (ver Figura 5). De esta figura se
observa que los tres controladores rechazan el efecto de la
perturbación de forma similar, así como que las señales de control
presentan también valores similares.
Cuando, como resultado de la variación del calor específico de
combustión del bagazo en el rango de operación [
maxmi n
,II
] la
ganancia del proceso objeto de estudio adquiere valores diferentes
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R. Rivas-Perez et al. / Revista Iberoamericana de Automática e Informática industrial 11 (2014) 20–31 29
a su valor nominal
0
K
, la respuesta temporal del sistema de
control con controlador PI se deteriora y con valores de
!K
1.3003 el sistema de control se convierte en inestable.
Figura 14. Respuestas temporales y seña les de control del sistema de control
con controladores PI/PID/ID
D
frente a perturbaciones.
En la Figura 15 se presentan los resultados de simulación del
sistema de control con controladores PI/PID/ID
D
del proceso
objeto de estudio cuando se originan variaciones en la ganancia
del proceso en el rango de operación [
maxmin ,KK
], donde
min
K
=0.1975 y
max
K
=1.3825.
Figura 15. Respuestas temporales del sistema de control con controladores
PI/PID/ID
D
de la presión de vapor frente a variaciones de la ganancia del
proceso en el rango de operación [0.1975, 1.3825].
Los resultados de la Figura 15 muestran como el sistema de
control con controlador PI se convierte en inestable para valores
de la ganancia del proceso dentro del rango de operación (para
!K
1.3003). Sin embargo, el sistema de control con
controladores PID e IDa-1 se mantiene estable en todo el rango de
variación de la ganancia del proceso.
No obstante, es importante destacar que el sistema de control
con controlador PID, cuando la ganancia del proceso alcanza su
valor máximo (
K
1.3825), se encuentra prácticamente en el
límite de estabilidad, mientras que con el controlador IDa-1 el
sistema de control se mantiene estable con un determinado
margen de estabilidad en todo el rango de variación de la
ganancia del proceso. Demostrándose que el controlador IDa-1
presenta una mayor robustez que los controladores PI y PID
frente a variaciones en la ganancia del proceso.
En la Figuras 16 se muestran los resultados de simulación del
sistema de control con controladores PI/PID/ID
D
del proceso
objeto de estudio cuando se originan variaciones en el retardo de
tiempo del proceso en el rango de operación [
maxmi n
,
WW
], donde
min
W
60 s y
max
W
300 s.
Figura 16. Respuestas temporales del sistema de control con controladores
PI/PID/ID
D
de la presión de vapor frente a variaciones del retardo de tiempo
del proceso en el rango de operación [60, 300].
De la Figura 16 se observa que el sistema de control se
comporta de forma similar con los tres controladores comparados,
manteniéndose estable dentro de todo el rango de variación del
retardo de tiempo [
maxmi n ,
WW
]. El sistema de control se convierte
en inestable con los tres controladores para
!
W
490 s. De esta
forma se demuestra que los controladores PI, PID e ID
D
presentan la misma robustez frente a variaciones en el retardo de
tiempo.
Como se mencionó al final de la Sección 4, las simulaciones
de los operadores de orden no entero se realizaron empleando la
aproximación de Grünwald-Letnikov sin truncar con un periodo
de muestreo
h
1 s. Las simulaciones se desarrollaron en el
dominio del tiempo, por lo que directamente se utilizó el producto
de la señal de error, la ganancia de la acción integral no entera y
los coeficientes aportados por la aproximación, los cuales debido
a que se conoce con antelación el valor de la acción integral no
entera fueron calculados iterativamente y de manera previa a la
ejecución del lazo de control.
El hecho de no truncar la aproximación de Grünwald-
Letnikov y emplear todos los valores de la señal de error desde
que se comienza la simulación no es factible en la actividad
práctica, por lo que en la etapa experimental resulta necesario
truncar la aproximación empleando un número discreto de
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muestras de la señal de error. En trabajos experimentales
anteriores (por ejemplo Feliu-Batlle et al., 2005a) se empleó un
orden de truncamiento
n
2000, es decir, se almacenaron las
últimas 2000 muestras de la señal de error para aproximar la
integral de orden no entero con los 2000 primeros coeficientes de
la aproximación de Grünwald-Letnikov. Aunque, obviamente el
coste computacional de la implementación del operador de orden
fraccional es mayor que el de la implementación de un
controlador PI o PID, cualquier PLC comercial de prestaciones
medias, puede soportarlo sin excesivos problemas. Por ejemplo,
en el trabajo (Rivas-Perez et al., 2014) se implementó de forma
experimental el operador de orden no entero en un PLC
SIMATIC S7-300.
6. Conclusiones
Se desarrolló el diseño de un controlador de orden fraccionario
de tipo ID
D
para el control robusto de la presión del vapor en el
domo superior de una caldera bagacera en explotación, el cual se
comporta de forma más robusta que otros controladores PI y PID
equivalentes (en el sentido de exhibir el mismo comportamiento
dinámico en lazo cerrado para las especificaciones de la planta
nominal) frente a variaciones de la ganancia del proceso objeto de
estudio. Este resultado presenta una especial relevancia en
calderas bagaceras cuyos parámetros dinámicos exhiben una
amplia variación cuando el calor específico de combustión varía
en el rango de operación [
maxmi n
,II
].
Aplicando las herramientas de la identificación de sistemas se
obtuvo un modelo matemático que describe de forma adecuada el
comportamiento dinámico nominal de la variación de presión de
vapor en el domo superior de la caldera bagacera objeto de
estudio, el cual se utilizó en el diseño de los controladores que se
analizan en este trabajo.
Resulta importante destacar que en este trabajo se presentan
las primeras experiencias relacionadas con el diseño y evaluación
comparativa mediante simulación de un controlador de orden
fraccionario ID
D
vs PI/ PID para el control robusto de la presión
de vapor en el domo superior de una caldera bagacera. Es por
ello, que para poder obtener conclusiones más sólidas sobre la
efectividad del sistema de control diseñado en cuanto a
comportamiento y robustez se requiere implementar dicho
controlador en una caldera bagacera y realizar experimentos
evaluativos de su funcionamiento en tiempo real.
Los siguientes objetivos de nuestras investigaciones consisten
precisamente en la implementación práctica del controlador
diseñado ID
D
en base a un PLC de la familia SIMATIC, por
ejemplo el S7-300, así como desarrollar otras estructuras de
controladores de orden fraccionario que presenten mayor robustez
frente a las variaciones del retardo de tiempo de la presión del
vapor de las calderas bagaceras.
Los beneficios que se obtienen con el aumento de la robustez
en el control de la presión de vapor en el domo superior de la
caldera bagacera objeto de estudio se revierten de forma
inmediata en un aumento de la efectividad en el control (precisión
y rapidez de respuesta), así como de la eficiencia energética.
English Summary
Robust Fractional Order Control of Steam Pressure in
Steam Drum of Bagasse Boiler
Abstract
This paper presents a fractional order controller of the class
IDα-1 for robust control of the steam pressure in the steam drum of
a bagasse boiler. The proposed controller improves the
effectiveness on the control, and likewise the energy efficiency of
this plant. The dynamics of this process drastically changes with
the variation of the specific heat of combustion (I) and the use of
a fractional order control looks therefore suitable. A mathematical
nominal model of the steam pressure variation in the steam drum
of a bagasse boiler was obtained and validated. Experimental
studies provided an estimation of the range of variation of the
parameters' model when the specific heat of combustion varies in
the operating range [Imin, Imax]. The proposed fractional order
controller has been compared to the standard PI and PID
controllers. All of them have been designed by means of the same
frequency specifications and their nominal time responses are
similar when input reference changes and in presence of
disturbances. The PID controller and the fractional order one have
been also designed in order to maximize their robustness when
the gain of the steam pressure in the steam drum of bagasse boiler
changes in the range [Kmin, Kmax]. Simulated results show that the
fractional order controller is more robust than the PI and the PID
controllers when the gain of the plant changes but preserving the
robustness when time delay varies.
Keywords:
Fractional order controller ID
D
, robust control of steam
pressure, bagasse boiler, mathematical model, energy efficiency.
Agradecimientos
Este trabajo ha sido realizado parcialmente debido al apoyo
recibido del Departamento de Ingeniería de la Pontificia
Universidad Católica del Perú.
Referencias
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