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Comparaison d’algorithmes pour le problème du vertex cover∗
François Delbot1Christian Laforest2
1LATP (UMR CNRS 6632),
Université d’Aix-Marseille 1
francois.delbot@gmail.com
2ISIMA, LIMOS (UMR CNRS 6158),
Université B. Pascal, Clermont-Ferrand
christian.laforest@isima.fr
Puisqu’il semble maintenant improbable que l’on puisse trouver un algorithme polynomial résol-
vant de façon exacte un problème NP-difficile, l’utilisation d’algorithmes polynomiaux retournant
des solutions non optimales s’est généralisée. Cependant, il est souhaitable que la qualité des solu-
tions retournées ne soit pas trop dégradée et on demande donc à ces algorithmes d’approximation
de donner une garantie sur leurs performances. Cette qualité est le plus souvent mesurée grâce
au rapport d’approximation en pire cas.
Le vertex cover1est un problème "classique" de minimisation, NP-complet pour lequel de nom-
breux algorithmes d’approximation ont été proposés. Par exemple, il est connu que l’algorithme
ED, qui sélectionne les sommets d’un couplage maximal du graphe, possède un rapport d’ap-
proximation de 2 et l’algorithme MDG, qui sélectionne un sommet de degré maximum, le retire
du graphe et recommence tant qu’il existe une arête, possède un rapport d’approximation de
H(∆) = 1 + 1
2+···+1
∆(∆ est le degré max. du graphe). Aucun algorithme ayant un rapport
d’approximation constant inférieure à 2 n’a été trouvé. Avis and Imamura ont proposé LL, un
algorithme de liste ∆-approché (parcourir la liste Ldonnée des sommets de Gde la gauche vers
la droite et sélectionner le sommet courant s’il possède un voisin dans Gqui se trouve à sa droite
dans la liste L). Nous avons proposé un autre algorithme de liste, LR (parcourir la liste Ldonnée
des sommets de Gde la droite vers la gauche et sélectionner le sommet courant ussi il possède un
voisin dans G, qui se trouve à sa droite dans la liste Let qui n’a pas déjà été sélectionné lorsqu’il
a été examiné). Nous avons prouvé dans [DL08] que LR retourne toujours une solution dont
la taille est inférieure ou égale à celle retournée par LL et dans [BDL09] que pour tout graphe
Gànsommets, E(LR(G)) ≤2−2
nopt(G). Ce type de résultat indique que le rapport d’ap-
proximation en pire cas, bien qu’étant une mesure de grande importance, est trop macroscopique
pour rendre compte de l’ensemble des exécutions des algorithmes (qui ne sont pas totalement
déterministes) et ne permet pas d’obtenir un classement des algorithmes qui soit représentatif
de leurs performances “pratiques”. Nous proposons, sous une hypothèse d’équiprobabilité, une
comparaison en moyenne à la fois analytique et expérimentale des 4 algorithmes ED,MDG,LL
et LR.
Les chemins Pnànsommets. Au moyen de séries génératrices, nous avons calculé des
formules closes de l’espérance (exacte) du rapport d’approximation de ces quatre algorithmes,
ainsi que leur limite lorsque la taille du chemin tend vers l’infini. Les résultats de cette étude sont
résumés dans le tableau 1. Nous avons également montré que la meilleure solution retournée par
ED sur un chemin est toujours moins bonne ou égale à la plus mauvaise solution retournée par
MDG.
∗Travail soutenu par le projet ANR Todo http ://todo.lamsade.dauphine.fr/
1Étant donné un graphe G= (V, E ), le problème du vertex cover consiste à trouver le plus petit ensemble
C⊆Vtel que pour toute arête (i, j)∈Eon ait i∈Cou j∈C(ou bien les deux).
1
Algorithme Espérance Limite de l’espérance
du rapport d’approximation
MDG n−1
2+n−1
2Pn−1
p=0
(−2)p
p!+Pn−2
p=0
(−2)p
p!1 + e−2≈1.13
LR n−1
2+n+1
2·Pn
k=0
(−2)k
k!+Pn−1
k=0
(−2)k
k!1 + e−2≈1.13
LL 2n−1
3
4
3≈1.33
ED n−nPn−1
p=0
(−2)p
p!−2Pn−2
p=0
(−2)p
p!2−2e−2≈1.73
TAB. 1 – Tableau récapitulatif des résultats analytiques obtenus sur les chemins.
Étude expérimentale Les résultats théoriques obtenus lors de l’étude précédente peuvent être
difficiles à obtenir ou, tout du moins, prennent du temps à être découverts. Pour aller plus loin,
nous avons décidé de mener une comparaison expérimentale de la qualité moyenne des algorithmes
précédemment utilisés. Pour cela, nous avons développé un outil en JAVA (qui propose un bon
générateur aléatoire pseudo-uniforme). Nos expériences ont été menées sur différents échantillons
de graphes : graphes aléatoires de Erdös-Renyi (denses), arbres, Benchmarks with Hidden Op-
timum Solutions [XL06], qui sont reconnus pour être des instances difficiles à résoudre, graphes
admettant une régularité structurelle (grilles, tores, hypercubes et les graphes réguliers). L’intérêt
de ce dernier échantillon est que tous les algorithmes se trouvent sur un pied d’égalité puisqu’ils
sont tous au plus 2−approchés en pire cas. Cette étude confirme très clairement les résultats
théoriques. On pourra trouver l’intégralité de l’étude portant sur les chemins, l’étude expérimen-
tale ainsi que la comparaison à d’autres algorithmes dans [DLar]. Pour aller plus loin dans notre
analyse théorique, nous proposons ici une comparaison asymptotique de trois2de ces algorithmes
sur les graphes aléatoires de Erdös-Renyi. Pour cela, nous donnons une formule (exacte) de l’es-
pérance de LR et de LL sur cette classe de graphes. En utilisant le résultat asymptotique de
[DFP93] pour ED, nous montrons que dans le cas des graphes creux, c’est-à-dire lorsque la pro-
babilité d’existence d’une arête est de p=p(n) = c
n, avec cune constante, LL est meilleur que
ED (et donc que LR est le meilleur des trois algorithmes). De plus, la différence de performances
entre ces algorithmes n’est pas négligeable (par exemple, lorsque c= 1 ED retourne, en moyenne,
1
2−1
e·nsommets de plus que LL).
Conclusion, perspectives Nous avons montré que des algorithmes qui avaient de mauvaises
performances en pire cas pouvaient produire des solutions moyennes meilleures que des algo-
rithmes ayant de faibles rapports d’approximation. Il nous apparait que, au moins dans certains
cas, l’étude des algorithmes approchés ne doit pas se contenter de produire des analyses en pire
cas mais aussi des résultats en moyenne. Nous pensons même que le "classement" basé sur le pire
cas peut être l’inverse du classement basé sur le cas moyen. Par exemple, nous conjecturons que
pour tout graphe G, on a : E(LR(G)) ≤E(ED(G)).
Références
[BDL09] Etienne Birmelé, François Delbot, and Christian Laforest. Mean analysis of an online
algorithm for the vertex cover problem. IPL, 109(9) :436–439, 2009.
[DFP93] Martin Dyer, Alan Frieze, and Boris Pittel. The average performance of the greedy
matching algorithm. AAP, 1993.
[DL08] François Delbot and Christian Laforest. A better list heuristic for vertex cover. IPL,
107(3-4) :125–127, 2008.
[DLar] François Delbot and Christian Laforest. Analytical and experimental comparison of six
algorithms for the vertex cover. ACM, JEA, 2010 (to appear).
[XL06] Ke Xu and Wei Li. Many hard examples in exact phase transitions. TCS, 355(3) :291–
302, 2006.
2La nature gloutonne liée au degré maximum de MDG rend son analyse très difficile sur les graphes aléatoires.
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