Content uploaded by Eduardo Barbará Morales
Author content
All content in this area was uploaded by Eduardo Barbará Morales on Oct 02, 2016
Content may be subject to copyright.
FILTRADO DIGITAL EN EL PROCESAMIENTO DE IMÁGENES
EMPLEANDO MATLAB
Yusleidy Alvarez Germade, Eduardo Barbará Morales, Oscar Rodriguez Ramirez
eduardobm@electrica.cujae.edu.cu,oscar@electrica.cujae.edu.cu
RESUMEN.El siguiente trabajo trata sobre un estudio de las técnicas de filtrado digital de imágenes que son
útiles cuando se quiere suavizar, realzar, detectar bordes o minimizar los efectos del ruido aditivo o impulsivo
presentes en las imágenes procesadas. Este estudio se basa en la utilización de Matlab 7.6.0 (R2008a) como
herramienta matemática útil en el procesamiento de imágenes.
Por último se desarrolla una aplicación gráfica interactiva basada en estos algoritmos. Esta es capaz de filtrar
imágenes seleccionadas por el usuario o contaminar estas antes de proceder al filtrado, con determinado tipo
de ruido, impulsivo o aditivo, para que el observador compruebe de forma interactiva la acción de los filtros
presentados en imágenes corrompidas por el ruido.
PalabrasClaves.Deteccióndebordes,empleodelMatlab,filtradodigitaldeimágenes,suavizado.
ABSTRACT. Thefollowingworkisaboutthestudyofimagesdigitalfilteringtechniquesthatareusefulwhen
onewantstosoften,toenhance,todetectbordersortominimizetheeffectsofthenoisepresentinthe
processedimages.ThisstudyisbasedontheuseofMatlab7.6.0(R2008a)asthemathematicaltoolinthe
processingofimages.
Finally,aninteractivegraphicapplicationbasedonthesealgorithmsisdeveloped.Itisabletofilterimages
selectedbytheuserorcontaminatethembeforefilteringwithcertaintypesofnoisethatcanbeimpulsiveor
additive,sothattheobserverchecksinaninteractivewaytheactionofthefiltersintheimagescorruptedby
noise.
Keywords:algorithmsinMatlab,digitalfiltering,Boundarydetection,
I. INTRODUCCIÓN
En los campos que se aplica el PDI, en
dependencia de la aplicación, será necesario
resaltar o identificar características específicas
de las imágenes que se traten como bordes,
límites, figuras, etcétera. De esta forma, se hace
necesario realizar funciones de pre-procesado
para preparar las imágenes para su posterior
procesamiento. En este punto es que el filtrado
digital viene a ocupar un escalón fundamental
dentro del PDI.
Básicamente, el proceso de filtrado en esta
temática se describe como el conjunto de
técnicas englobadas dentro del pre-
procesamiento de imágenes cuyo objetivo
principal es obtener, a partir de una imagen
determinada, otra final cuyo resultado sea más
adecuado, mejorando o resaltando ciertas
características de la misma que posibilite
efectuar operaciones del procesado sobre ella.
[1] [2] [3]
De esta forma, los principales objetivos que se
persiguen con la aplicación de filtros digitales
son:
• Suavizar la imagen (reducir las
variaciones de intensidad entre píxeles
vecinos).
• Realzar bordes (destacar los bordes
presentes en una imagen).
• Detectar bordes (detectar los píxeles
donde se produce un cambio brusco en
la función intensidad).
• Eliminar el ruido presente en la imagen
(eliminar aquellos píxeles cuyo nivel
de intensidad es muy diferente al de
sus vecinos y cuyo origen puede estar
tanto en el proceso de adquisición de la
imagen como en el de transmisión o
inclusive, durante la reproducción).
II. MATERIALES Y MÉTODOS
A. Métodos en el dominio espacio y de la
frecuencia
Las técnicas en el filtrado sobre imágenes
digitales, se pueden clasificar en dos grandes
grupos:
• Técnicas en el dominio espacial
• Técnicas en el dominio de la frecuencia
Las primeras tienen su efecto sobre la
aglomeración de pixeles que componen la
imagen y sus vecinos, mientras que las otras
hacen modificaciones sobre la transformada de
Fourier de la imagen. El uso del término filtrado
espacial lineal diferencia este tipo de proceso
del de filtrado en el dominio de la frecuencia.
[2]
Las operaciones lineales utilizan máscaras de
tamaño m x n, se asume que m=2a+1 y n=2b+1
donde a y b son enteros no negativos. Esto
significa que se trabaja primordialmente con
máscaras de tamaño impar pues el trabajo con
estas es más intuitivo ya que tienen un único
punto central.Estas máscaras forman una matriz
conocida como filtro, máscara, kernel o ventana.
El mecanismo de filtrado espacial lineal se
ilustra en la figura 1 El proceso consiste
simplemente en mover el centro de la máscara
del filtro por todos los puntos de una imagen
f(x, y). En cada punto (x, y) de la imagen, la
respuesta del filtro será la suma de los productos
de los coeficientes del kernel con los
correspondientes píxeles vecinos que abarca la
máscara del filtro.
Existen dos conceptos extremadamente
relacionados con el tema. Uno es la correlación
y el otro es la convolución. El primero es un
proceso que se realiza durante la transición de la
máscara del filtro por el arreglo de la imagen
f(x, y) de la forma que se describe en la figura 1,
mientras que el segundo es básicamente el
mismo proceso exceptuando que la máscara del
filtro es rotada 1800 antes de transitar por f(x,y),
[4]
En el dominio de la frecuencia se puede realizar
el proceso de filtrado con un mayor grado de
comprensión. Esto se debe a que en una imagen
las fronteras, contornos y cambios bruscos están
asociados con las componentes de alta
frecuencia, las componentes de bajas
frecuencias representan las zonas suaves. [5]
La utilización de la transformada de Fourier en
el procesamiento de imágenes tiene su origen
en la utilización de esta teoría en el
procesamiento de señales. Para utilizar la
transformada de Fourier en imágenes digitales,
que son funciones discretas y bidimensionales,
es necesario discretizar y además extender a 2-D
la Transformada de Fourier. Esta expresión se
obtiene como se muestra en la ecuación (1) [6]
La función anterior se nombra comúnmente
como Transformada Discreta de Fourier
Bidimensional.
En estas ecuaciones u y v son las variables de
transferencia o frecuencia y x e y son las
variables espaciales.
El filtrado en el dominio de la frecuencia se
realiza básicamente siguiendo los pasos que se
mencionan a continuación. Se considera que f es
la imagen original, g es la imagen resultante de
todo el proceso de filtrado y además, se asume
Figura 1 Mecanismo de filtrado especial lineal. Convolución
de una imagen con una máscara dando como resultado una
imagen de salida filtrada.
(1)
que la función del filtro es del mismo tamaño
que la imagen. [7]
1. Rellenar la función f con ceros y
multiplicarla por -1(x+y) para centrar la
transformada.
2. Obtener la DFT de la función obtenida
en el paso 1.
3. Generar la función del filtro H (u, v.)
4. Multiplicar la transformada obtenida en
el paso 2 con la función del filtro
obtenida en el paso 3).
5. Calcular la DFT inversa del resultado
obtenido en el paso 4 y obtener su parte
real.
6. Multiplicar la función obtenida en el
paso 5 por -1(x+y) y eliminar las filas y
columnas de relleno para obtener una
imagen de igual tamaño que la original.
En el presente trabajo se abordan algunos de los
filtros digitales más comunes en el filtrado
digital de imágenes. Las imágenes filtradas que
se muestran se desarrollaron utilizando el
programa Matlab® 7.6.0 [R2008a] el cual
proporciona una amplia gama de utilerías para
el procesamiento de imágenes y para el filtrado
de estas también. También se muestra una
interfaz gráfica en la cual se agrupan los filtros
fundamentales empleados y que permite
interactuar de manera simple con el usuario.
B. Filtros implementados en el dominio del
espacio
Los procesos y algoritmos de filtrado que han
sido implementados, serán discutidos a
continuación.
Uno de los filtros tratados en este trabajo lo
constituye el filtro de la mediana que se basa
en ordenar de forma ascendente o descendente
los píxeles que caen dentro de la vecindad o
ventana que se analiza. Una vez ordenados se
escoge el valor que se ubica en la posición
central de la ventana y ese es el valor que se
sitúa en el píxel que se encuentra en dicha
posición de la imagen destino. La modelación
matemática de este método es como muestra en
la ecuación (2) [5]
Donde M y N representan las dimensiones de la
vecindad, K(i) son los valores leídos y
ordenados, G (x,y) es el valor en el par
coordenado (x, y) que se obtiene como resultado
de la operación y v representa la posición
central de la vecindad donde se opera y puede
ser calculado mediante la ecuación ( 3)
Generalmente M=N y ambos deben ser números
impares. Este método es particularmente
efectivo se quiere preservar contornos, fronteras
así como detalles finos de los objetos.
Figura 2 Se muestra una imagen original filtrada con
filtros de mediana de tamaños de vecindad de 3 x 3, 5
x 5 y 7 x 7.
Otro de los filtros empleados es el que utiliza el
método del gradiente es muy popular en el
procesamiento de imágenes y puede
implementarse de diversas formas, de acuerdo
con la aplicación. La ecuación (4) define el
gradiente de la función
f(x, y) en el punto (x, y) como un vector. [5]
(3)
(4)
(2)
Esta ecuación es la base de un gran número de
aproximaciones para la diferenciación de
imágenes. La misma está en la forma de
derivada bidimensional y siempre es positiva.
La magnitud del gradiente también puede ser
calculada utilizando cualquiera de las
ecuaciones 5 y 6 que son aproximaciones de la
magnitud real.
Gracias a las dos propiedades anteriores es que
los operadores gradientes se utilizan en el
procesamiento de imágenes, pues calculan el
cambio de intensidad del nivel de gris y también
la dirección en que este cambio ocurre. Se
puede deducir que el gradiente tomará valores
altos para regiones de fronteras y valores
pequeños en regiones de poca variación entre
los píxeles. Esta técnica es aplicada mediante la
diferencia de los valores de los píxeles vecinos,
por ejemplo, como muestran las ecuaciones 7 y
8. Donde y representan las columnas y x las
filas. [3]
La utilización del método del gradiente tiene
distintas variantes que dependen de los
resultados que se deseen obtener. Un
acercamiento alternativo al cálculo de
gradientes involucra un valor umbral, de forma
que si el gradiente es mayor que el umbral,
entonces se detecta la presencia de un borde
mientras que las zonas suaves, aparecerán
oscuras debido a los valores pequeños que toma
el gradiente en esas zonas
Por otro lado, un filtro que detecte bordes,
idealmente debe cumplir dos condiciones.
Primero, que todos los puntos que detecte como
puntos de frontera sean correctos. Segundo, que
todos los puntos que no detecte como límites no
lo sean.
Pero como la decisión de si un punto pertenece
o no a un borde o límite está basada en la
comparación de la magnitud del gradiente con
un umbral, entonces estos requisitos entran en
contradicción uno con el otro. Es decir, puede
que el umbral escogido sea muy grande y no se
detecten todos los puntos límites, o por el
contrario, si el umbral es muy pequeño, pueden
detectarse puntos límites que no lo son
realmente como ruidos, etcétera. La meta es
entonces escoger un umbral apropiado. [8]
A continuación se exponen dos filtros que
aplican este método para la detección de bordes.
Aunque estos ejemplos se basan en el algoritmo
del gradiente, es muy común encontrarlos
simplemente como filtros para detectar bordes
en una dirección específica, aplicando el kernel
apropiado.
En este caso fueron implementadas dos
máscaras para la detección de bordes
horizontales y verticales, se halló la magnitud
del gradiente en cada punto, se comparó el
resultado obtenido con un umbral y como
resultado se obtuvo una imagen compuesta por
aquellos valores mayores que el umbral.
El gradiente más sencillo se obtiene con las
máscaras de Prewitt, que involucra vecindades
de 3 x 3 utilizando los kernels que muestra la
figura 3 para la detección de bordes horizontales
y verticales. Estos kernels no son los únicos que
utiliza el filtro de Prewitt, estos mismos se
pueden rotar 45º y obtener nuevos kernels que
detectan bordes en otras direcciones. [8]
Las dos máscaras son aplicadas por separado a
la imagen de entrada, obteniendo las
componentes del gradiente en las direcciones
horizontal y vertical respectivamente. En la
figura 4 se muestra el efecto del filtro de
Prewitt en una imagen.
(5)
(6)
(7)
(8)
Figura 3 Kernels utlizados por el operador de Prewitt. a) Para
la detección de bordes horizontales. b) Para la detección de
bordes verticales.
Otro de los filtros empleados para la detección
de bordes es el filtro por el método de Sobel, en
este filtro las máscaras de convolución son
definidas en dos kernels como muestra la figura
5 para la detección de bordes horizontales y
verticales. Estas también pueden ser rotadas 45°
para detectar bordes en otras direcciones.
La magnitud y dirección del gradiente pueden
ser calculadas igual que en el operador de
Prewitt. En este método se le da mayor peso a
los coeficientes centrales. [8]
En la figura 6 se muestra el efecto del filtro de
Sobel en una imagen.
Otra de las técnicas presentadas en este trabajo
es la del promediado de los píxeles vecinos, es
íntegramente del dominio espacial y tiene como
fin principal suavizar la imagen.
La ecuación que modela este proceso se muestra
en la ecuación 9:
Donde G(x, y) es la nueva imagen, f(x, y) es la
imagen original y M, N representan las
dimensiones de la vecindad involucrada en la
operación. Son muy comunes los tamaños de la
vecindad de 3 x 3 y 5 x 5. Para este filtrado se
utilizan kernels como los que se muestran en la
figura 7.
Este tipo de filtro tiende a producir un efecto en
la imagen similar al que ocurre cuando una
cámara se encuentra desenfocada debido a que
el valor del píxel calculado es una media del
valor de los píxeles vecinos. Por eso se plantea
que este método tiende a crear un desenfoque.
Los resultados de este planteamiento, se
muestran en la figura 8 en la cual puede
observarse una imagen original filtrada con
filtros de promedio ilustrados en la figura 7 y
dando como resultado las imágenes b) y c).
Un método muy utilizado en el PDI para la
detección de bordes o el realzado de las
características de las imágenes es el Laplaciano.
En las funciones continuas, este se basa en la
utilización de las derivadas de segundo orden y
para su utilización en imágenes digitales se
utilizan algoritmos aproximados como muestran
las ecuaciones (10) y (11) [8]
Figura 4 Aplicación del filtro de Prewitt. a) Imagen original. b)
Imagen filtrada con el filtro horizontal c) Imagen filtrada con el
filtro vertical d) Imagen filtrada mediante el filtro de Prewitt
con umbral de 50.
Figura 5 Kernels utilizados por el operador de Sobel. a) Para
la detección de bordes horizontales. b) Para la detección de
bordes verticales.
Figura 6 Aplicación del filtro de Sobel. a) Imagen original. b) Imagen
filtrada con el filtro horizontal c) Imagen filtrada con el filtro vertical
d) Imagen filtrada mediante el filtro de Sobel con umbral de 50.
(9)
Fi
g
ura 7 Kernels del
p
romedio de tamaño a
)
3 x 3
,
b
)
5 x 5
Figura 8 Efecto del filtro del promedio, a) imagen original, b)
imagen filtrada con un filtro de promedio de 3 x 3, b) imagen
filtrada con un filtro de promedio de 5 x 5.
Sustituyendo y combinado ambas ecuaciones se
obtine la ecuación (12) que se muestra a
continuación
Esta función puede ser implementada de
diversas formas para realizar un filtrado a una
imagen. Uno de los métodos aproximados es
una máscara de convolución de 3 x 3 como la
que se muestra en la figura 9.
En la figura 10 puede observarse el efecto de la
convolución Laplaciana para la detección de
bordes y para el realzado.
C. Filtros en el dominio de la frecuencia
El método utilizado para implementar los filtros
digitales en el dominio de la frecuencia es el
método de muestreo de frecuencias.
Este método crea un filtro a partir de la
respuesta de frecuencias deseada, que es
muestreada en puntos equidistantes sobre un
plano cartesiano y al resultado se le aplica la
transformada de Fourier inversa en 2D.
La respuesta al impulso del filtro es la mostrada
en la ecuación (13)
Con la utilización de la función fsamp2 de
Matlab, se aplicó esta técnica a la respuesta de
frecuencia de dos filtros ideales: uno pasa bajo
con frecuencia de corte π/2 y otro pasa alto con
frecuencia de corte π/100. El resultado se
muestra en las figuras 11 y 12. Como puede
observarse esta técnica provoca ondulaciones
notables en las transiciones bruscas, como los
bordes de la respuesta de frecuencia deseada
La figura 13 se muestra el efecto de filtrar una
imagen con los filtros mostrados. Las imágenes
muestran el efecto del filtro pasa bajo aplicado,
la primera sin rellenar los bordes de la imagen y
la segunda con el relleno necesario.
(10)
(11)
(12)
Figura 9 Máscara Laplaciana
Figura 10 Efecto del filtro Laplaciano. a)
Imagen original. b) Filtro utilizado. c) Imagen
filtrada con el filtro anterior, d) Imagen
mejorada
(13)
Figura 11 Filtro pasa bajo con frecuencia de
corte en π/2. a) Respuesta de frecuencia del
filtro 2D
Figura 12 Filtro pasa alto con frecuencia de corte
en π/100 . a) Respuesta de frecuencia del filtro 2D
deseado. b) Respuesta de frecuencia del filtro 2D
obtenido mediante el método de muestreo de
frecuencias.
III. RESULTADOS Y DISCUSIONES
A continuación una aplicación gráfica
interactiva basada en los algoritmos de filtrado
digital de imágenes mostrados anteriormente.
Esta fue desarrollada utilizando Matlab en la
versión 7.6.0 [R2008a].
La aplicación gráfica general consta del diseño
de dos ventanas. Ambas ventanas permiten al
usuario abrir una imagen almacenada en el
ordenador. En una ventana se puede aplicar a la
imagen original algún filtro de los presentados,
mientras que en la otra puede contaminarse esta
imagen para después filtrar la imagen resultante
y observar el efecto de esos algoritmos ante
estas degradaciones
La imagen cargada se lleva a un plano de M x N
x 1, en escala de grises antes de ser mostradas.
Los algoritmos que se utilizaron en la aplicación
gráfica son para imágenes en escala de grises.
Las dos ventanas se relacionan mediante una
opción en la barra menú que presentan cada una,
de modo que estando trabajando en una ventana
puede cambiarse a la otra y trabajar en esta.
Otra facilidad que brinda esta aplicación en
general es que la imagen filtrada puede
guardarse mediante una opción que aparece en
la barra menú en la componente Archivo, en la
parte superior izquierda de esta barra.
Luego de abrir una imagen, se puede
seleccionar mediante la barra de menú el
dominio donde se quiera trabajar (espacial o
frecuencial) y en el caso de ser el espacial, si se
desea trabajar con filtros lineales o no lineales.
Sólo la opción seleccionada quedará habilitada.
En la figura 14 se muestra una imagen que ha
sido cargada y luego filtrada con un filtro en el
dominio espacial.
Para el filtrado en el dominio de la frecuencia se
disponen de dos filtros, uno pasa bajo y otro
pasa alto. Estos son implementados con un
tamaño de 31 x 31, con la frecuencia
especificada por el usuario con el objeto slider
que aparece en el panel ‘Frecuencia’
especificada en grados y utilizando el algoritmo
de muestreo de frecuencias que ofrece Matlab.
En la parte inferior central de la ventana se
muestra la característica del filtro bidimensional
obtenido mediante ente método.
En la figura 15 se muestra una imagen que ha
sido cargada mediante la interfaz y a la que le
ha sido aplicada un filtro paso bajo de
frecuencia de corte de 19.8°.
Figura 13 Filtrado frecuencial. a) Imagen original; b)
imagen original sin relleno filtrada con un filtro pasa
bajo c) imagen original con relleno filtrada con un
filtro pasa bajo d) imagen original con relleno filtrada
con un filtro pasa alto
Figura 14 Ejemplo de la utilización de la
ventana para filtrar una imagen en el dominio
espacial
Esta aplicación permite además a la imagen
seleccionada contaminarse con varios tipos de
ruido, es decir, los valores de sus píxeles pueden
modificarse de determinadas formas.
Luego de obtener la imagen contaminada se
habilitan los filtros seleccionados para tratar de
reconstruir la imagen corrompida por el ruido.
Los filtros que se implementaron para esta
acción son: promedio, mediana, mínima y
máximo.
En la figura 16 se muestra un ejemplo de la
utilización de esta ventana. La imagen original y
la contaminada son mostradas. Se visualiza
además la imagen recuperada, a partir de
aplicarle a la imagen contaminada un filtro de la
mínima de 3 x 3.
IV. CONCLUSIONES
En este artículo se han analizado una serie de
filtros digitales que tienen una amplia aplicación
en el procesamiento digital de imágenes.
Se estudiaron e implementaron los filtros
digitales más comunes, utilizados para resaltar o
suavizar cierta información de una imagen
digital en escala de grises.
Se logró la realización de algunos de filtros
digitales que resultan útiles en la disminución de
los efectos de ruido, aditivo o impulsivo,
presentes en imágenes contaminadas con estos.
Se elaboró una aplicación gráfica utilizando la
herramienta matemática Matlab versión 7.6.0
[R2008a], basada en los algoritmos anteriores.
Esta aplicación permite al usuario interactuar
con las técnicas de filtrado tratadas en el trabajo
mediante la contaminación con ruido (aditivo o
impulsivo) y/o filtrado de una imagen
seleccionada.
REFERENCIAS
[1] Young, I.T., Gerbrands, J.J. y van Vliet, L.J.,
“Fundamentals of Image Processing”, (tutorial),
Delft University of Technology, Netherlands,
1998.
[2] González, R.C., Woods, R.E., y Eddins,
S.L., “Digital Image Processing”, Pearson
Prentice Hall, Estados Unidos, 2002.
[3] González, R.C., Woods, R.E., y Eddins,
S.L., “Digital Image Processing using Matlab”,
Pearson Prentice Hall, Estados Unidos, 2004.
[4] Plarero, Carlos., “Apuntes de Visión
Artificial”, Escuela Universitaria de Ingeniería,
España, 2007.
[5] Sepúlveda Peña, Juan Carlos., “Filtrado de
Imágenes (parte III)”. GIGA La Revista Cubana
de Computación. No. 6, p. 27-32, 2000.
[6] Hernández Hoyos, Marcela. Procesamiento
y Análisis de Imágenes Digitales (PAID),
Compugráfica, 2004.
[7] Mejía Vilet, José Ramón., “Apuntes de
Procesamiento Digital de Imágenes”,
Universidad Autónoma de San Luis de Potosí,
2004.
[8] Acharya, Tinku.Ray,,Ray, Ajoy K.Image
Processing: Principles and Applications, Wiley-
Interscience, New Jersey, 2005.
Figura 15 Ejemplo de la utilización de la
ventana para filtrar una imagen en el dominio de
la frecuencia.
Figura 16 Ejemplo de la utilización de la
ventana para contaminar y filtrar imágenes.
Imagen original ruido Lognormal con
parámetros a = 8.07692 y b=14.2308. La imagen
contaminada fue filtrada con el filtro de la
mínima teniendo en cuenta vecindades de 3 x 3.
