ArticlePDF Available

Prognostic specific features of the use of apriori model conditions in the framework of the geomapping variational-grid method

January 2018

January 2018

DOI:10.30713/2413-5011-2018-6-29-36

Authors:

Andrey Plavnik

A.A. Trofimuk Institute of Petroleum Geology and Geophysics SB RAS

Content uploaded by Andrey Plavnik

Content may be subject to copyright.

Geology, geophysics and development of oil and gas ﬁ elds, 6/2018

Введение

Построение карт является важным элементом ре-

шения многих задач в процессе геолого-разведочных

работ и последующих этапов разработки месторожде-

ний полезных ископаемых. Ключевая цель таких по-

строений заключается не только в достоверном отобра-

жении пространственных закономерностей изменения

свойств геологических объектов, но и в выполнении на

этой основе прогноза значений этих свойств в слабо-

изученных зонах.

К настоящему времени разработано и используется

на практике большое число различных методов кар-

тирования [1, 2, 5, 9, 15, 18 и др.]. Наличие множе-

ства методов, с возможностью реализации различных

управляющих параметров, определяет то, что по задан-

ному набору данных может быть построена целая се-

рия карт, существенно отличающихся друг от друга.

В этих условиях прогноз картируемых показателей

в слабоизученных зонах является задачей, которая не

имеет однозначного решения. Это, в свою очередь,

определяет востребованность решения вопросов, свя-

занных с выбором методов, наиболее подходящих для

описания пространственных закономерностей измене-

ния изучаемых свойств для конкретных геологических

объектов [10, 11, 13, 14, 16, 19–21 и др.].

Для решения этих задач, как правило, проводятся

сопоставление прогностических свойств нескольких

выбранных методов (или с использованием разных

управляющих параметров в рамках одного метода).

При этом фактические данные разделяются на обуча-

ющие, по которым строятся карты этими методами, и

на экзаменационные, на которых проводится контроль

ошибок прогноза.

Необходимо отметить, что различные алгоритмы

решения задачи картопостроения в явном или неявном

виде реализуют различные формализованные матема-

тические модели. И в конечном итоге достоверность

полученных результатов определяется соответствием

этих модельных условий пространственного измене-

ГЕОЛОГИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

УДК 550.822.2:550.8.023

ПРОГНОСТИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ АПРИОРНЫХ МОДЕЛЬНЫХ

УСЛОВИЙ В РАМКАХ ВАРИАЦИОННО-СЕТОЧНОГО МЕТОДА

ГЕОКАРТИРОВАНИЯ

А.Г. Плавник1, 2, Н.Ю. Галкина1

(ЗСФ ИНГГ СО РАН1, Тюменский индустриальный университет2)

В статье на примере картирования структурного плана одного из геологических объектов Западно-Сибирского нефтегазоносно-

го бассейна, охарактеризованного большим объемом фактических данных, рассматриваются прогностические особенности

применения двух стандартных априорных модельных условий вариационно-сеточного метода геокартирования – минимума

кривизны и минимума поверхности, а также их комбинированного варианта. Установлено, что вариации прогнозных погрешно-

стей результатов построений для рассматриваемых условий в целом идентичны. При этом оптимальные в отношении прогно-

за результаты обеспечиваются разными модельными условиями в зависимости от детальности картирования. Предваритель-

ное построение трендовой составляющей с использованием одних модельных условий и последующая детализация с приме-

нением других условий не позволяют добиться однозначного повышения точности прогноза. Невысокая в целом точность карт,

построенных с использованием априорных условий, свидетельствует о необходимости разработки специализированных мето-

дов поиска оптимальных модельных условий для вариационно-сеточного метода геокартирования.

Ключевые слова: геокартирование; вариационно-сеточный метод; ошибка прогноза; тренд; локальные особенности.

DOI: 10.30713/2413-5011-2018-6-29-36

PROGNOSTIC SPECIFIC FEATURES OF THE USE OF APRIORI MODEL CONDITIONS IN THE FRAMEWORK OF THE GEOMAP-

PING VARIATIONAL-GRID METHOD

A.G. Plavnik, N.Yu. Galkina

The paper considers the prognostic specific features of application of two standard a priori model conditions of the variational-grid

method of geo-mapping, namely, the minimum of the curvature and the minimum of the surface as well as their combined on the

example of structural plan mapping of one of the geological objects of the Western-Siberian oil- and gas-bearing basin characterized by

a large volume of real data. It is established that the predicted errors variations of the results of the constructions for the conditions

under consideration are generally identical. At the same time, the optimal results in terms of the prediction are provided by different

model conditions, depending on the details of the mapping. Preliminary construction of the trend component using some model condi-

tions and subsequent detailing with the use of other conditions do not allow achieving an unambiguous increase of the prediction accu-

racy. The low accuracy of the maps constructed with the use of a priori conditions prove the necessity to develop some specialized

methods of looking for optimal model conditions for the variational-grid geo-mapping method.

Keywords: geographic mapping; variational-grid method; prediction error; trend; local features.

30 Геология, геофизика и разработка нефтяных и газовых месторождений, 6/2018

ГЕОЛОГИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

ния картируемых показателей реальным. В этом отно-

шении методы, непосредственно реализующие некото-

рые физико-математические модели, как представляет-

ся, имеют определенные преимущества, поскольку эти

модели могут служить основой для анализа наблюда-

емых данных и выбора на этой основе наиболее подхо-

дящих модельных параметров.

В частности, широкое распространение различных

вариантов кригинга в решении задач картирования обо-

сновывается их оптимальностью при условии право-

мерности стохастических моделей пространственной

изменчивости геологических параметров [3, 4, 12 и др.].

В рамках вариационно-сеточного метода геокарти-

рования [2, 6, 7, 17 и др.] реализуется другой подход, с

модельными условиями, базирующимися на использо-

вании уравнений математической физики достаточно

общего вида. Это, с одной стороны, обеспечивает гиб-

кость метода и его применимость для решения широ-

кого круга геологических задач. Но, вместе с тем, опре-

деляет трудности в интерпретации массива наблюда-

емых данных с целью выявления соответствующих им

модельных условий и, как следствие, слабую изучен-

ность комплекса вопросов, связанных с этими задачами.

В данной статье, в качестве начального этапа тако-

го изучения рассматриваются прогностические осо-

бенности применения двух стандартных априорных

модельных условий (минимума кривизны и минимума

поверхности, а также их комбинированного варианта)

на примере картирования структурного плана одного

из геологических объектов Западно-Сибирского неф-

тегазоносного бассейна, охарактеризованного большим

объемом фактических данных.

Априорные модельные условия вариационно-

сеточного метода картирования

Математическая постановка решения задачи гео-

картирования в рамках вариационно-сеточного метода

заключается в нахождении функции двух переменных

S(x, y), обеспечивающей минимум функционала, пред-

ставляющего собой сумму невязок квадратов отклоне-

ний от наблюдаемых значений в заданных точках (xi, yi)

и интегральных стабилизаторов, в качестве которых

рассматриваются дифференциальные уравнения в част-

ных производных до второго порядка включительно.

При этом искомая функция ищется в классе бикубиче-

ских сплайнов на равномерной сетке.

На практике, при отсутствии достоверных сведений

о закономерностях пространственного изменения кар-

тируемых параметров, как правило, применяют апри-

орные интегральные условия минимума кривизны или

минимума поверхности результирующей карты.

Для модельных условий минимума кривизны функ-

ционал имеет вид

()

кр.

222

кр.

ii i

xx xy y y

Sx y z

SSSdxdyρ

Φ= − +

+++

∑

∫ (1)

для условий минимума поверхности

()

()()

222

пв пв.

ii i x y

Sx y z S S dxdyρ

Φ= − + +

∑∫ (2)

Здесь кр. и пв – весовые коэффициенты, с помощью

которых можно контролировать (в определенной сте-

пени) точность аппроксимации; Sx, Sy, Sxx, Sxy, Syy – пер-

вые и вторые производные картируемой поверхно-

сти по соответствующим пространственным коорди-

натам x и y.

По своему физическому смыслу эти условия опре-

деляют отсутствие линейного тренда (минимум по-

верхности) или его наличие (минимум кривизны) в зо-

нах вне точек с фактическими наблюдениями. При по-

строении структурных карт, для которых характерно

закономерное увеличение глубин на крыльях ловушек

или на моноклиналях, обычно применяют условие ми-

нимума кривизны. При картировании показателей, зна-

чения которых существенно ограничены некоторыми

пределами (пористость коллекторов, толщины гори-

зонтов и др.), в основном применяются условия мини-

мума поверхности.

Комбинированная модель строится на основе ком-

плексирования функционалов (1) и (2)

()

()()

кр.

222 22

кр. пв

ii i

xx xy yy x y

Sx y z

SSSdxdy SSdxdy

ΩΩ

Φ=λ − +

+ρ + + +ρ +

∑

∫∫

со значениями весовых коэффициентов кр. и пв, полу-

ченными в результате раздельного применения модель-

ных условий минимума кривизны и поверхности (при

построении карт по данным из обучающей выборки).

Коэффициент  подбирается таким, чтобы обеспечить

точность аппроксимации, согласованную с точностью

построений по отдельным моделям.

На первом этапе анализа возможных направлений

выбора оптимальных (для рассматриваемых данных)

модельных условий наиболее простым, как представ-

ляется, является подход, основанный на комбиниро-

ванном использовании этих двух априорных моделей.

В предположении, что априорные модельные условия

минимума кривизны и минимума поверхности модели

являются некоторыми "крайними" условиями, можно

ожидать, что их комбинирование позволит приблизить

модельные закономерности к реальным.

Объект картирования

В качестве исходных данных при построениях в

данной работе используются значения отметок кровли

продуктивного пласта в 856 скважинах. Скважины рас-

положены на площади протяженностью 52 км и шири-

ной 40 км. Абсолютные отметки изменяются в диа-

пазоне от 1538,5 до 1668,9 м, среднее значение равно

1630,3 м, стандартное отклонение составляет 17,8 м.

Отметим, что эта величина стандартного отклонения

может рассматриваться в качестве некоторого реперно-

го значения, характеризующего прогностические свой-

Geology, geophysics and development of oil and gas ﬁ elds, 6/2018

ГЕОЛОГИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

ства "нулевого" варианта, когда для всей об-

ласти картирования присваивается среднее

значение параметра. На рис. 1 представлены

полувариограмма и гистограмма, построен-

ные по исходным данным.

Рассматриваемые данные характеризу-

ют структурную ловушку, и поэтому, вполне

ожидаемо, вид полувариограммы свидетель-

ствует о наличии существенного тренда – ее

диапазон (ранг) сопоставим с размерами об-

ласти картирования. Замеры распределены

неравномерно по площади. Это отчасти про-

является на гистограмме, в которой преоб-

ладающая часть замеров имеет значения от

1610 до 1660 м и характеризует преимуще-

ственно крылья структуры.

На рис. 2 приведены результаты картиро-

вания с использованием априорного условия

минимума кривизны, с весовым коэффициен-

том на данные, равным 100. Точками на рис. 2 отраже-

но расположение фактических данных. Построения вы-

полнены с детальностью используемой сетки сплай-

нов – 210 узлов в широтном направлении и 161 узел в

меридиональном направлении. Для расчетов использо-

ван программный комплекс GST, реализующий вариа-

ционно-сеточный метод геокартирования [8].

Методы исследования

Для сопоставительной оценки различных модель-

ных условий выполнено многовариантное разделение

имеющихся данных на обучающую и экзаменацион-

ную выборки с оценкой погрешности прогнозных по-

строений. При реализации модельных условий, более

близких к реальным, точность прогноза должна быть

большей, и, наоборот, при несогласованности этих

условий погрешности прогноза должны увеличивать-

ся. Исходя из этого, можно судить о большей или мень-

шей приемлемости тех или иных модельных условий

для картирования конкретных данных.

Расчеты проведены для серии из трех вариантов

группирования данных с соотношением количества в

обучающей и экзаменационной выборках 50/50 % и

для трех вариантов с соотношением 75/25 %. По дан-

ным, входящим в обучающую выборку, осуществля-

лось построение структурных карт, а по экзаменацион-

ным рассчитывались среднеквадратические отклоне-

ния прогнозных значений картируемого параметра от

фактических. Использование выборок с достаточно

большим объемом данных определяет надежность ста-

тистических оценок результирующих погрешностей

прогноза.

Поскольку вариационно-сеточный метод является

аппроксимационным, то при картировании по обуча-

ющей выборке точность построения является неодно-

значной, но контролируемой используемыми весовы-

ми коэффициентами на данные. В этих условиях для

обеспечения возможности сравнительного анализа про-

гностических свойств различных модельных условий

выполнялась их "калибровка" таким образом, чтобы

погрешности аппроксимации по обучающим выбор-

кам при использовании различных априорных модель-

ных условий были близкими.

Отметим также, что при невысокой точности ап-

проксимации результирующие карты в большей степе-

ни отражают трендовые закономерности. При повыше-

нии точности (при увеличении весовых коэффициен-

тов на данные) детальность картирования в точках с

данными увеличивается, но могут появляться эффекты

артефактов, снижающих достоверность прогноза. Раз-

Рис. 1. Полувариограмма (а) и гистограмма (б) исходных данных

Рис. 2. Результаты картирования с использованием условия

минимума кривизны

32 Геология, геофизика и разработка нефтяных и газовых месторождений, 6/2018

ГЕОЛОГИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

личия в построенных картах соответственно отража-

ются в разнице прогнозных погрешностей по данным

из экзаменационной выборки.

Поэтому расчеты пр оведены для вариантов с отно-

сительно высокой и средней точностью аппроксима-

ции данных обучающих выборок – для двух характер-

ных значений погрешности (стандартных отклонений

σоб. около 1 и 5 м). Первое значение более чем на поря-

док, а второе более чем в 3 раза меньше стандартного

отклонения (17,8 м) картируемого параметра по всем

имеющимся данным. Соответственно такой выбор уров-

ня погрешности аппроксимации в определенной степе-

ни характеризует расчеты при высокой и средней сте-

пени детальности картопостроения.

Отметим, что в условиях явного наличия в рассма-

триваемых данных трендовой составляющей возмож-

но преобладание различных модельных закономерно-

стей при разномасштабной детальности построений. С

учетом этого в статье проведена серия расчетов с пред-

варительным построением трендовой составляющей

(с использованием наилучших по прогностическим

свойствам модельных условий), последующим постро-

ением карт для полученных отклонений фактических и

трендовых значений (с применением всех рассматри-

ваемых условий). Расчеты также выполнены для трех

вариантов разделения данных на обучающие и экзаме-

национные выборки, по которым выполнена оценка ре-

зультирующей погрешности прогноза.

Кроме рассмотренных выше моделей реализации

задач геокартирования для дополнительного сопостав-

ления проведены расчеты методом кригинга, который

применен к тем же данным обучающих выборок, и вы-

полнены оценки прогнозных погрешностей по соот-

ветствующим данным экзаменационных выборок.

Результаты реализации различных модельных условий

На рис. 3 представлены карты, построенные для

одного из вариантов реализации обучающей выборки

(с выбором 50 % данных) с использованием различных

Рис. 3. Варианты картирования по обучающей выборке:

модельные условия: а – минимум кривизны; б – минимум поверхности; в – комбинированный; г – кригинг.

Условные обозначения см. на рис. 2

Geology, geophysics and development of oil and gas ﬁ elds, 6/2018

ГЕОЛОГИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

модельных условий в вариационно-сеточном методе

геокартирования (при стандартном отклонении по-

грешности аппроксимации 1 м), а также с использова-

нием кригинга. Для других вариантов разделения фак-

тических данных на обучающую и экзаменационную

выборки полученные карты имеют аналогичной вид.

Как видно из приведенных на рис. 3 результатов, в

целом карты имеют близкий вид независимо от ис-

пользуемого метода построения и различаются отно-

сительно незначительными, отдельными деталями.

Четко прослеживается наличие структуры с куполом в

центральной части области картирования, с тенденци-

ей к увеличению глубин к границам. Значимые отли-

чия приурочены к областям с низкой плотностью фак-

тических данных или их отсутствием.

Можно отметить более выраженную схожесть ре-

зультатов картирования для вариантов с условием ми-

нимума поверхности и комбинированным условием. К

этим же вариантам близко и построение, полученное с

использованием кригинга, хотя для него в отдельных

деталях наблюдаются закономерности, имеющиеся толь-

ко в результатах картирования с применением в качестве

модельных условий стабилизатора минимума кривизны.

В табл. 1 представлены результаты расчетов стан-

дартных отклонений погрешностей прогноза (σэкз.) для

трех вариантов (1–3) разделения данных на обучающие

и экзаменационные выборки. Для каждого из этих ва-

риантов реализованы построения с использованием

трех видов модельных условий – минимума кривизны

(min кр.), минимума поверхности (min пв) и их комби-

нирования (комб.) и двух показателей соотношения ко-

личества данных в выборках (50/50 и 75/25 %). Здесь же

приведены результаты реализации подхода с предвари-

тельным построением трендовой составляющей для ва-

риантов с разделением количества данных в обучающих

и экзаменационных выборках в соотношении 50/50 %.

Картирование с применением кригинга проведено

также для трех реализаций разделения фактических

данных на обучающую и экзаменационную выборки

при двух вариантах количественного соотношения дан-

ных в этих выборках 50/50 и 75/25 %. И выполнены рас-

четы с картированием (и последующим учетом) ло-

кальных отклонений от трендовых закономерностей.

На рис. 4 представлены эмпирическая полувариограм-

ма и гистограмма значений отклонения от трендовых

карт для одного из вариантов выборки данных. Их вид

подтверждает успешное вычленение трендовой соста-

вляющей – полувариограмма, варьируясь в незначи-

тельных пределах, практически не изменяется с ро-

стом расстояния, а гистограмма близка к нормальному

закону распределения с относительно небольшим стан-

дартным отклонением (5,0 м).

Результаты расчетов приведены в табл. 2. Следует

отметить, что хотя кригинг является интерполяцион-

ным методом, обеспечивающим точное совпадение в

точках фактических и расчетных значений картиру-

емого показателя, результаты его реализации в конеч-

ном итоге оформляются в виде грида, в котором значе-

Рис. 4. Полувариограмма (а) и гистограмма (б) значений отклонения от тренда

Таблица 1

Среднеквадратические погрешности прогноза (м)

Модельные

условия

σоб.

σэкз.

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3

50/50 %

Min кр.

1,00

9,46 9,47 8,72

Min пв 8,85 8,48 8,44

Комб. 8,74 8,54 8,40

50/50 %

Min кр.

5,00

7,31 7,56 7,80

Min пв 9,25 8,97 9,04

Комб. 8,88 8,72 8,81

75/25 %

Min кр.

1,00

10,43 9,54 8,95

Min пв 9,82 8,11 7,76

Комб. 9,91 8,20 7,82

75/25 %

Min кр.

5,00

7,98 6,31 7,35

Min пв 10,05 7,94 8,13

Комб. 9,71 7,64 7,83

Тренд + корректировка 50/50 %

Min кр.

1,00

9,47 9,48 8,72

Min пв 8,19 8,00 7,93

Комб. 8,33 8,22 8,04

34 Геология, геофизика и разработка нефтяных и газовых месторождений, 6/2018

ГЕОЛОГИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

ния рассчитаны в узлах равномерной сетки. Это приво-

дит к неоднозначности и некоторой погрешности об-

ратного расчета картируемого параметра в точках с ис-

ходными данными. В табл. 2 в колонках σоб. для рас-

смотренных вариантов приведены значения этих сред-

неквадратических погрешностей, которые варьируют-

ся от 1,85 до 3,26 м.

Характерные особенности результатов картирования

Как следует из приведенных результатов, погреш-

ности прогноза для рассмотренных вариантов значи-

тельны и изменяются от 6,31 до 10,43 м. И, соответ-

ственно, при реализации рассматриваемых модельных

условий точность прогноза по сравнению с "нулевым"

вариантом (использованием среднего значения параме-

тра) увеличивается на 40…65 %.

Существенные различия в точности прогноза на-

блюдаются в рамках каждого из вариантов модельных

условий для разных наборов обучающих и экзаменаци-

онных выборок. Например, для варианта с использова-

нием стабилизатора минимума поверхности (min пв),

при погрешности аппроксимации по обучающей вы-

борке (σоб.) 5 м и при соотношении количества данных

в выборках 75 на 25 %, стандартные отклонения по-

грешностей прогноза σэкз. отличаются более чем на 2,11 м

(10,05 и 7,94 м в вариантах 1 и 2, соответственно).

Несмотря на значительную вариативность прогноз-

ных погрешностей, в их значениях прослеживаются

определенные закономерности.

Во-первых, при использовании комбинированных

условий статистические результаты близки к показате-

лям, полученным при реализации условий минимума

поверхности. При этом практически для всех рассмо-

тренных вариантов комбинирование условий миниму-

ма кривизны и минимума поверхности приводит к

ухудшению прогностических свойств модели.

Во-вторых, можно заметить, что для одних и тех же

модельных условий (а также при равных погрешностях

аппроксимации для обучающих выборок σоб.) разброс

по трем вариантам расчетов стандартных отклонений

погрешностей прогноза существенно меньше в случа-

ях, когда обучающие и экзаменационные выборки раз-

делены в cотношении 50 на 50 %, по сравнению с рас-

четами по группам с соотношением 75 на 25 %. В част-

ности, для приведенного выше примера при делении

выборок в соотношении 50 на 50 % различия в значе-

ниях σэкз. составляют не 2,11 м, а всего 0,28 м, т. е. на

порядок меньше. По-видимому, это является следстви-

ем того, что с уменьшением количества данных в экза-

менационных выборках (в условиях, когда в целом

данные характеризуются значительной дисперсией)

статистические различия между ними проявляются в

большей мере, в том числе и в отношении согласован-

ности с моделируемыми пространственными законо-

мерностями.

И, в третьих, для групп с различной точностью ап-

проксимации данных обучающих выборок проявляют-

ся противоположные закономерности в прогностиче-

ских свойствах карт, построенных с использованием

различных модельных условий. Для расчетов с более

высокой точностью аппроксимации (σоб. равно 1 м) для

всех вариантов более точный прогноз обеспечивают

модельные условия минимума поверхности и, наобо-

рот, при построениях со среднеквадратичной погреш-

ностью σоб., равной 5 м, большей прогностической точ-

ностью характеризуются карты, построенные с приме-

нением условия минимума кривизны. Отметим, что

эти закономерности прослеживаются для выборок с

разделением данных как 50/50 %, так и 75/25 %.

Очевидно, в этом проявляется отсутствие единства

в модельных условиях при выявлении разномасштаб-

ных закономерностей (на уровне трендовых или ло-

кальных особенностей), характерных для наблюдаемых

данных. Видимо, именно этим может быть обусловлено

то, что использование комбинированного единого усло-

вия приводит к ухудшению прогностических свойств

модели. С учетом последнего можно предположить,

что добиться повышения прогностической точности

картирования можно за счет предварительного постро-

ения трендовой составляющей с использованием од-

них модельных условий и последующей корректиру-

ющей поправки с применением других условий.

В качестве трендовых в работе использованы кар-

ты, построенные с применением стабилизатора мини-

мума кривизны и со среднеквадратичной погрешно-

стью σоб., равной 5 м. Именно эти построения характе-

ризуются наименьшей погрешностью на экзаменаци-

онных выборках (σэкз. от 7,31 до 7,80 м). Последующее

картирование отклонений фактических значений от

расчетных трендовых по обучающим выборкам осу-

ществлено с более высокой точностью (σоб. равно 1 м) с

использованием, так же как и ранее, трех рассматрива-

емых модельных условий.

Из приведенных в табл. 2 данных видно, что приме-

нение условий минимума поверхности на этапе кор-

ректировки обеспечивает наилучшие конечные резуль-

таты. Среднеквадратическая погрешность σэкз. при этом

составляет от 7,93 до 8,19 м. Вместе с тем несколько

неожиданным является явное ухудшение прогностиче-

ских свойств "уточненных" карт по сравнению с трен-

довыми (σэкз. от 7,31 до 7,80 м). Очевидно, это свиде-

тельствует о том, что используемые априорные модель-

ные условия не подходят (по крайней мере, в данном

конкретном примере) для надежного описания локаль-

ных особенностей картируемого показателя – наблю-

даемых отклонений от трендовых поверхностей.

Таблица 2

Среднеквадратические погрешности прогноза кригинга (м)

Схема

Варианты

1-й2-й3-й

σоб.σэкз.σоб.σэкз.σоб.σэкз.

50/50 % 2,31 8,40 2,35 8,37 1,89 8,17

75/25 % 2,47 9,25 3,26 7,20 3,25 7,56

Тренд + корректировка 2,29 7,92 3,23 7,72 1,85 8,22

Geology, geophysics and development of oil and gas ﬁ elds, 6/2018

ГЕОЛОГИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

В этих условиях представляют интерес дополни-

тельный анализ и сопоставление прогностических

свойств карт, построенных с использованием кригинга.

Как следует из приведенных данных, погрешности

прогноза (σэкз.) при использовании кригинга изменя-

ются от 7,2 до 9,25 м и в целом сопоставимы с этими

показателями для результатов применения априорных

модельных условий в виде стабилизаторов минимума

поверхности или минимума кривизны. Погрешности

прогноза кригинга при этом немного меньше по срав-

нению с вариантами использования стабилизаторов и

аппроксимации обучающих выборок с σоб., равным 1 м,

но больше, чем при аппроксимации с σоб., равным 5 м.

Таким образом, эти результаты картирования также со-

ответствуют выявленной тенденции ухудшения про-

гностических свойств более детальных карт по сравне-

нию с трендовыми. Вместе с тем сохраняется также и

тенденция к увеличению погрешностей прогноза (по

сравнению с трендовыми построениями) при исполь-

зовании процедуры картирования трендовой поверх-

ности с последующей корректировкой картированием

отклонений от тренда.

Выявленные особенности прогнозных свойств карт,

построенных различными методами, обусловлены, как

представляется, двумя факторами. С одной стороны,

фактические данные имеют явную трендовую состав-

ляющую, которая наглядно прослеживается как на кар-

тах в виде структурного купола в их центральной части

(см. рис. 2, 3), так и в виде закономерного, устойчивого

роста полувариограмм (см. рис. 1, а) с увеличением

расстояния вплоть до значений, практически сопоста-

вимых с размерами области картирования. При этом

более явное отражение трендовой составляющей в кар-

тах с повышенной погрешностью аппроксимации фак-

тических данных и определяет их относительно высо-

кие прогностические свойства.

С другой стороны, отклонения от трендовых значе-

ний характеризуются полувариограммами, которые де-

монстрируют эффект самородка, причем с высоким

пороговым значением (см. рис. 4, а). Это свидетель-

ствует о существенной изменчивости картируемого па-

раметра в пределах относительно небольших локаль-

ных зон, что при попытках более точного описания ча-

сти данных из обучающих выборок приводит к ухуд-

шению прогноза расположенных вблизи данных из эк-

заменационных выборок.

Выводы

Выполненный в работе анализ проведен по данным

хорошо изученного объекта, обеспечивающего надеж-

ность применения статистических оценок. Несмотря

на то, что этот объект представляет собой частный слу-

чай (в отношении реализации пространственных зако-

номерностей изменения картируемого показателя), по-

лученные результаты, как представляется, характеризу-

ют достаточно общие черты прогностических свойств

использования априорных модельных условий в рам-

ках вариационно-сеточного метода геокартирования.

Для сопоставительной оценки приемлемости раз-

личных априорных модельных условий в рамках ва-

риационно-сеточного метода геокартирования реали-

зован стандартный для такого рода задач подход с по-

строением карт по нескольким вариантам обучающих

выборок данных и последующим определением по-

грешности прогноза выполненных построений по дан-

ным соответствующих экзаменационных выборок. Важ-

ной особенностью реализации такого подхода (в усло-

виях аппроксимационного характера рассматриваемо-

го метода геокартирования) является вариативное по-

строение карт по обучающим выборкам, отражающих

или трендовые закономерности, или локальные черты

изменения картируемого показателя.

Полученные результаты свидетельствуют о том, что

вариации прогнозных погрешностей результатов по-

строений в целом идентичны для всех рассматрива-

емых априорных модельных условий – минимума кри-

визны, минимума поверхности или их комбинации.

Вместе с тем установлено, что при расчетах с повы-

шенной точностью аппроксимации более точный про-

гноз обеспечивают модельные условия минимума по-

верхности и, наоборот, при трендовых построениях

большей прогностической точностью характеризуются

карты, построенные с применением условия минимума

кривизны. При этом за счет предварительного постро-

ения трендовой составляющей с использованием одних

модельных условий и последующей корректирующей

поправки с применением других условий не удается

добиться однозначного повышения точности прогноза.

Полученные результаты свидетельствуют о невысо-

кой в целом точности карт, построенных с использова-

нием априорных условий, и о необходимости разработ-

ки для вариационно-сеточного метода геокартирова-

ния специализированных методов поиска модельных

условий в виде дифференциальных уравнений в част-

ных производных, в наибольшей мере согласующихся

с имеющимися фактическими данными.

ЛИТЕРАТУРА

1. Аронов В.И. Методы построения карт геолого-геофизи-

ческих признаков и геометризация залежей нефти. – М.:

Недра, 1990. – 303 c.

2. Волков А.М. Геологическое картирование нефтегазоносных

территорий с помощью ЭВМ. – М.: Недра, 1988. – 221 c.

3. Демьянов В.В., Савельева Е.А. Геостатистика: теория и

практика – М.: Наука, 2010. – 327 c.

4. Дюбрул О. Использование геостатистики для включения

в геологическую модель сейсмических данных // EAGE. –

2002. – 296 c.

5. Матерон Ж. Основы прикладной геостатистики. – М.:

Мир, 1968. – 408 с.

6. Плавник А.Г. Обобщенная сплайн-аппроксимационная

постановка задачи картирования свойств геологических

объектов // Геология и геофизика. – 2010. – № 7 (51). –

C. 1027–1037.

7. Плавник А.Г., Сидоров А.Н. К оценке достоверности кар-

тирования свойств геологических объектов в рамках сплайн-

аппроксимационного подхода // Сибирский журнал индуст-

риальной математики. – 2012. – № 1. – Т. XV. – C. 66–76.

36 Геология, геофизика и разработка нефтяных и газовых месторождений, 6/2018

ГЕОЛОГИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

8. Свидетельство о регистрации программы GST в Ре-

естре программ для ЭВМ Федеральной службы по интел-

лектуальной собственности, патентам и товарным зна-

кам № 2005612939 / А.Н. Сидоров, А.Г. Плавник, А.А. Сидо-

ров, М.С. Шутов, А.В. Степанов, М.А. Пономарева. – 2005.

9. De Boor C. Bicubic spline interpolation // J. Math. Phys. –

1962. – № 3 (41). – Pp. 212–218.

10. Chai H. Analysis and comparison of spatial interpolation me-

thods for temperature data in Xinjiang Uygur Autonomous Region,

China // Natural Science. – 2011. – № 12 (3). – Pp. 999–1010.

11. Gong G., Mattevada S., O’Bryant S.E. Comparison of the

accuracy of kriging and IDW interpolations in estimating

groundwater arsenic concentrations in Texas // Environmental

Research. – 2014. – № 130. – Рр. 59–69.

12. Isaaks E.H., Srivastava R.M. An introduction to applied geo-

statistics. – New York: Oxford University Press, 1989. – 561 р.

13. Application of machine learning methods to spatial interpo-

lation of environmental variables / J. Li [et al] // Environmental

Modelling and Software. – 2011. – № 12 (26). – Рр. 1647–1659.

14. Ruhaak W., Bar K., Sass I. Combining numerical modeling

with geostatistical interpolation for an improved reservoir ex-

ploration // Energy Procedia. – 2014. – № 59. – Рр. 315–322.

15. Sarcozy F. Gis functions interpolation // Periodica Polytech-

nica, Ser. Civil Engineering. – 1999. – Vol. 43. – № 1. – Pp. 63–86.

16. Sarzeaud O., LeQuentrec-Lalancette M.F., Rouxel D. Optimal

Interpolation of Gravity Maps Using a Modiﬁ ed Neural Network

// Mathematical Geosciences. – 2009. – № 4 (41). – Pp. 379–395.

17. Use of variational methods in geological mapping / A.N. Si-

dorov [et al.] // Mathematics of Planet Earth. Proc. 15th Annu.

Conf. Int. Assoc. Math. Geosci. – Madrid: Springer, 2013. –

Pp. 325–328.

18. Shepard D. A two-dimensional interpolation function for ir-

regularly-spaced data // ACM National Conference. – 1968. –

Pp. 517–524.

19. Varouchakis E.A., Hristopulos D.T. Comparison of stochas-

tic and deterministic methods for mapping groundwater level

spatial variability in sparsely monitored basins // Environmental

Monitoring and Assessment. – 2013. – № 1 (185). – Pp. 1–19.

20. Wise S. Cross-validation as a means of investigating

DEM interpolation error // Computers & Geosciences. –

2011. – № 8 (37). – Pp. 978–991.

21. Zhang H., Wang Y. Kriging and cross-validation for massive

spatial data // Environmetrics. – 2009. – Vol. 21. – № 3–4. –

Pp. 290–304.

LITERATURA

1. Aronov V.I. Metody postroyeniya kart geologo-geoﬁ zicheskikh

priznakov i geometrizatsiya zalezhey nefti. – M.: Nedra, 1990. –

303 s.

2. Volkov A.M. Geologicheskoye kartirovaniye neftegazonosnykh

territoriy s pomoshch’yu EVM. – M.: Nedra, 1988. – 221 s.

3. Dem’yanov V.V., Savel’yeva E.A. Geostatistika: teoriya i

praktika – M.: Nauka, 2010. – 327 s.

4. Dyubrul O. Ispol’zovaniye geostatistiki dlya vklyucheniya v

geologicheskuyu model’ seysmicheskikh dannykh // EAGE. –

2002. – 296 s.

5. Materon Zh. Osnovy prikladnoy geostatistiki. – M.: Mir,

1968. – 408 s.

6. Plavnik A.G. Obobshchennaya splayn-approksimatsionnaya

postanovka zadachi kartirovaniya svoystv geologicheskikh ob'yek-

tov // Geologiya i geoﬁ zika. – 2010. – № 7 (51). – S. 1027–1037.

7. Plavnik A.G., Sidorov A.N. K otsenke dostovernosti kartiro-

vaniya svoystv geologicheskikh ob'yektov v ramkakh splayn-ap-

proksimatsionnogo podkhoda // Sibirskiy zhurnal industrial’noy

matematiki. – 2012. – № 1. – T. XV. – S. 66–76.

8. Svidetel’stvo o registratsii programmy GST v Reyestre pro-

gramm dlya EVM Federal’noy sluzhby po intellektual’noy sobst-

vennosti, patentam i tovarnym znakam № 2005612939 / A.N. Si-

dorov, A.G. Plavnik, A.A. Sidorov, M.S. Shutov, A.V. Stepanov,

M.A. Ponomareva. – 2005.